CC BY
10
УДК 551.513 А. А. Зеф [A. A. Zef],
Р. Г. Закинян [R. G. Zakinyan], А. А. Лукинов [A. A. Lukinov], Ю. Л. Смерек [J. L. Smerek]
ИЗУЧЕНИЕ хАРАКТЕРА ЗАВИСИМОСТИ АГЕОСТРОФИЧЕСКОй СОСТАВЛяЮщЕй СКОРОСТИ ВЕТРА ОТ ВРЕМЕНИ
The study of the nature of the dependence ageostrophic wind speed from time
В данной статье исследуется характер зависимости агеострофической составляющей ветра от времени. Авторами проведен вывод уравнения, отражающего характер зависимости агеострофической компоненты скорости от времени; проведен расчет скорости в определенный промежуток времени t и построен график зависимости агеострофической составляющей скорости ветра от времени.
Ключевые слова: атмосфера, уравнение движения, скорость ветра, геострофический ветер, агеострофическая составляющая, расчет зависимости.
This paper examines the nature of the dependence ageostrophic component of the wind from time to time. The authors made a derivation of the equation, reflecting the dependence of ageostrophic velocity components from time to time. Also calculated the velocity at a given time t. Plotted ageostrophic component of the wind speed from time to time.
Key words: atmosphere, equation of motion, wind speed, geostrophic wind, ageostrophic component, payment depending.
Оценка состояния атмосферы и ее динамики развития остается важной и актуальной задачей физики атмосферы. Сложности, возникающие в результате исследований состояния атмосферы, связаны с тем, что на атмосферу Земли влияет множество факторов.
Как показывают наблюдения, фактическая скорость ветра и скорость, вычисленная, например, по геострофическим соотношениям заметно различаются. Эти различия часто достигают величин порядка 10 %. Хотя различия сами по себе невелики, они играют существенную роль в эволюции барических образований, развитии вертикальных движений в свободной атмосфере. За счет изменения кривизны изобар в циклонах могут формироваться области нисходящих потоков, а в антициклонах -восходящих. Такую разность между действительным и геострофическим ветром называют агеострофическим отклонением. Оно происходит тогда, когда движение происходит с ускорением [1, 2].
Везде, где движение воздуха ускоряется, возникает поток массы поперек изобар, в сторону убывания атмосферного давления, а при замедлении движения воздушной частицы поток отклоняется вправо в сторону более высокого давления.
Вопросу о характере влияния агеострофической составляющей скорости на движение воздушного потока посвящено довольно много исследований.
Целью настоящей статьи является определение характера зависимости агеострофической составляющей скорости ветра от времени.
Для решения этой задачи будем рассматривать движение сухого воздуха, описываемое уравнением движения идеальной жидкости [3]:
1
+ (у,У)у =--УР + 80+2[ую0] + Й>02К.
от /?,•
Давление можно представить в виде:
Р = Р + Ps + Р' .
Здесь р' - отклонение изобарической поверхности от стационарного состояния.
Для проекций скорости движения воздуха запишем и = + и', V = + V',
где и', V' - агеострофическое отклонения скорости ветра.
Подставляя эти выражения в уравнения движения, получим d и' 1 др'
ё г р дх' dv' 1 др'
+ 2Щ г V',
- 2ю0м'.
л * я* 07
а г р дг
Продифференцируем первое уравнение по времени:
ё2 и' 1 ё др' „ ёу
—;г =----+ 2®0 7 — .
а г1 р а г дх' иг а г
С учетом второго уравнения, получим:
ёV 1 д др' ( 1 др' }
—г =---Г + 2®о 2---2®о 7и
ёг2 р дх ёг ^ р ду у
Производная отклонения р по времени имеет вид:
ё р' др' др' , = иа^Т + .
ё г дх ё ду
Таким образом, выражение для второй производной по времени проекции агеострофической составляющей скорости ветра имеет вид:
d2 и' 1 д
f дР' , „ дР' 1 1 дР' л ^ 2
+ Vg
- 2ю0 z---4ю0и' (1)
d t p дх у & дх ду ) р ду
Для изобарической поверхности имеет место условие:
Ug %+Vg дУ- = 0.
ё дх ё ду
Тогда уравнение (1) принимает вид
2
d и' 1 др' . 2 ,
—Т = -2®0 z - 4<и'. (2)
dt2 р ду
Уравнение (2) - неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое можно представить в виде:
d2 и' „ 2 . „ 1 др' —у + 4®02u' = -2®0z -Г-. (3)
dt р ду
Найдем решение уравнения (3). Для этого сначала найдем решение однородного дифференциального уравнения второго порядка:
d2U' „ 2 . ^
—— + 4ю0 и' = 0 . (4)
dt2 0
Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Решением такого уравнения будет выражение вида:
и0 = A cos 2ю0zt + B sin 2ю0zt, (5)
где A и B - произвольные константы.
Решение неоднородного уравнения (3) ищем в виде
u = A(t) cos 2щzt + B(t) sin 2a>0zt,
где A = A (t) и B = B (t) функции времени t. Найдем функции A и B . Для этого продифференцируем дважды по времени уравнение (5).
du' dA „ „ , . „ dB . „ „
-= — cos 2ю0zt - 2ю0zA sin 2ю02t +--sin 2a02t + 2ю0zB cos 2ю0zt. (6)
dt dt dt
В виду произвольности выбора коэффициентов, сумма первого и третьего слагаемых равна нулю, т.е.:
dA dB .
— cos2fi>0 zt +--sm2fi>0 zt = 0. (7)
dt dt
Тогда (6) примет вид:
du'
= 2a0z (B cos2fi>0zt - A sin2®0zt).
Ж
Продифференцировав второй раз по времени, получим
выражение вида:
^ и ■ = 2ап, | — -2Бап, зт2юп 1 -—sin2юn 1 -2Лап, cos2юn 1 |. (8)
dt У dt dt z
Подставляя (8) в (3), получим следующее выражение:
о (dB 0 0 dA . 0
0z I "d7 C0S 0^ - 2B®0z sln 2®0zt - "df Sln 2®0zt -
-2Aa0z cos 2ю0zt) + 4alz (A cos 2ю0zt +
1 dp'
+B sln 2©0zt) = -2®0z--;r" .
Pi дУ
Проведя преобразования, получим выражение вида:
dA - о dB 1 dp'
— sin2®0 zt-~77 cos2®0 zt =--. (9)
dt dt p dy
Решим систему уравнений (7) и (9).
dA
dB
— cos 2®0 zt +--sin 2®0 zt = 0,
dt dt
(10.1)
dA dB „ 1 dp'
— sin 2a0 zt--cos 2a0 zt =--
dt dt p dy
(10.2)
Решим эту систему методом Крамера. Определитель сис-
Д
темы ^ имеет вид:
Д =
cos2®0 2t sin2®0 zt - sin2®0 zt - cos2®0 zt
= - cos 2®0zt - sin 2®0zt-
(cos2 2a0zt + sin2 2a0zt) = -1 ^ 0 .
Поскольку определитель отличен от нуля, то система имеет тривиальное решение. Для нахождения корней уравнения нам необходимо вычислить еще два определителя:
Д1 =
Д2 =
0 sin200 zt
1 dp'
Р &
- cos200 zt
= 0 -
1 dp' 1 dp'
Р dy Р dy
cos200 zt 0
sin00 zt
1 dp
1 dp'
Р dy
cos200zt.
Р dy
Таким образом, корни уравнения имеют вид:
dA 1 dp' . „
— =--— sin200zt,
dt p dy
dB 1 dp'
dt p dy
cos2®0zt.
Интегрируя от 0 до t, найдем выражения для коэффициентов A (t) и B (t):
, 1 r dp' . 0
A = — I — sin 2a0zTdx,
Р 0 dy
1 г Ф'
Б =--I — со8 2щ2тат.
Р п дУ
Тогда решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (5) примет вид:
, 1 г дР' • „ и =— соз2юп 211-зт2юп 2тат-
Р П дУ
1 • „ Г дР' --зт2юп I-соз2юп 2гат =
Р1 п ^
= — f-^^-(cos 2ю0 t sin 2ю0т - sin 2ю0 t cos2^>0zr\dr .
Рг 0
Выражение в скобках является приведенным тригонометрическим выражением для синуса разности
cos 2ю0zt sin 2a0zr - sin 2a0zt cos 2a0zr = - sin 2a0z (t - т).
Так же будем считать, что величина -у - постоянная величина, т. е. изменение давления не зависит от времени. Тогда последнее выражение примет вид:
, 1 dp'<■._/ ч , 1 dp' _ / 4if
u =--— f sin2®0z (t-T) dT = ~-— cos2®0z (t-T)0 =
Рг ty 0 2®0zP Ф
= —1— —---1——cos2®0 zt = —1— — (1 - cos2®0 zt). (11)
2®0zPi дУ 2®0zPi дУ 2®0zPi дУ
Поскольку, согласно приведенным тригонометрическим выражениям, 1
2 (1 - соэ 2®п) = sin2 Щ>
то выражение (11) принимает вид: г 1 др' . 2
и =--- sin щ^. (12)
ЩР дУ
Рис. 1. График зависимости агеострофической составляющей скорости ветра от времени.
неоднородная часть уравнения агеострофическая скорость ветра
Рис. 2.
Изменение во времени отдельных слагаемых выражения (13) в сравнении с полным значением агеострофической составляющей скорости ветра.
физико-математические науки
Изучение характера зависимости агеострофической составляющей.
Первые множитель представляет собой выражение для амплитуды колебания агеострофического ветра относительно положения равновесия:
1 др'
и„„ = --
2(о2Р dy
Отсюда полное решение дифференциального уравнения (3) принимает вид:
2
u' = u sin (0zt + Aq cos(0zt + B0 sin2(0zt. (13)
Здесь А0 и В0 - произвольные коэффициенты.
Оценим зависимость агеострофической составляющей ветра от времени.
Пусть А0 = 5, В0 = 3 - значения произвольных коэффициентов. Величина ю0г = 7,292 • 10-5 рад/с - угловая скорость вращения Земли. Значение величины pi примем равным значению плотности воздуха стандартной атмосферы на высоте 500 метров: р 1=р500 = 1,167 кг/м3. Изменение давления будем считать равным 0,002 Па/м. Время г возьмем равным 10 секундам.
Подставляя все указанные величины, получим значение агеостро-фической составляющей скорости ветра в данный момент времени: и '(10) = 7,409 м/с.
На рис. 1 представлен график зависимости агеострофической составляющей скорости ветра от времени (за промежуток времени 20 часов), построенный на основании проведенных по формуле (13) расчетов.
Как видно из графика, зависимость агеострофической составляющей скорости ветра от времени носит гармонический характер.
При этом вклад отдельных слагаемых выражения (13) в значение агеострофической составляющей скорости ветра до конца не ясен.
Как видно на рис. 2, значения слагаемых однородной части выражения (13) и его неоднородного компонента совершают гармонические противофазные колебания относительно начального значения.
ЛИТЕРАТУРА 1. Murry L. Salby Physics of the Atmosphere and Climate. Cambridge University Press, 2012. 2 edition. 718 p.
2. James R. Holton, Gregory J Hakim. An Introduction to Dynamic Meteorology. Academic Press - 5 edition. 552 p.
3. Крупкин А. А. Исследование волновых движений в атмосфере: ав-торефер. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 2014. 23 с.
ОБ АВТОРАх Закинян Роберт Гургенович, ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет», доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики. Телефон: (8652) 35-32-73. E-mail: art.zakinyan@gmail.com
Зеф Анастасия Александровна, ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет», магистр физики, специалист по учебно-методической работе. Телефон: 89289725042. E-mail: an.zeff@gmail.com
Zakinyan Robert Gurgenovich., FSAOU VPO «North Caucasian Federal University», Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of Theoretical Physics. Telephone: (8652) 35-32-73. E-mail: art.zakinyan@gmail.com
Zef Anastasia Aleksandrovna, FSAOU VPO «North Caucasian Federal University» Master of Physics, specialist in teaching methods Started those. Phone: 89289725042. E-mail: an.zeff@gmail.com
