Изучение эффективности обнаружения сигнала для многоканальной системы Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ИЗУЧЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛА ДЛЯ МНОГОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ Н.В. Дьякова

Научный руководитель - к.ф.-м.н., доцент И.А. Суслина

Целью работы является исследование качества линейных тестов и сравнение их свойств с оптимальным тестом в неасимптотическом случае для задачи проверки гипотез в многоканальной системе. Проведено моделирование и обнаружение сигнала в многоканальной системе. Оценена эффективность асимптотически минимаксных тестов.

Введение

В статье изучается задача обнаружения сигнала в многоканальной системе, каждый из каналов которой может содержать или не содержать сигнал ), t е (0,1), наблюдаемый в гауссовском белом шуме. Задача состоит в обнаружении факта наличия сигнала в наблюдаемых данных.

Рассматривается модель гауссовского белого шума, т.е. наблюдаются п независимых случайных процессов X; (V), t е (0,1), каждый из которых соответствует г-му каналу системы и удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

¿X,. (V) = £ ^) + е (V), V е (0,1), г = 1,..., п .

Рассматривается случай сигнала известной формы Д/) = сф(/), фе Ь2(0,1), ||ф|| = 1; где £2(0,1) - пространство измеримых функций на (0,1) и суммируемых со степенью 2. Здесь ф - известная функция, определяющая форму сигнала, а величина с = сп = |Д || > 0

определяет уровень сигнала.

Цель работы - исследование качества линейных тестов и сравнение их свойств с оптимальным тестом в неасимптотическом случае, т. е. в случае небольшого числа каналов, для задачи проверки гипотез в многоканальной системе.

В процессе работы было произведено:

(а) моделирование статистик ДХ);

(б) построение кривых обнаружения для байесовского теста и линейного теста;

(в) сравнение тестов на базе кривых обнаружения.

При моделировании многоканальной системы использовался математический пакет МЛТЬЛВ 6.5.

Полученные результаты можно использовать всюду, где идет обработка многоканальных систем (например, техническая и медицинская диагностика, прием и передача информации, радиотехника и т.д.).

1. Обнаружение сигнала в многоканальной системе

1.1. Постановка задачи

При моделировании многоканальной системы используются результаты статьи [1]. В [1] изучается задача обнаружения сигнала в многоканальной системе, каждый из каналов которой может содержать или не содержать сигнал ), / е (0,1), наблюдаемый в гауссовском белом шуме. Задача состоит в обнаружении факта наличия сигнала в наблюдаемых данных.

Задачи такого типа возникают при разработке и исследовании различных систем технической или медицинской диагностики, радиолокационных систем, систем передачи информации и т.д.

Рассматривается случай, когда число каналов п велико, и поэтому рассматривается асимптотика при п .

Точная постановка задачи состоит в следующем. Рассматривается модель гауссов-ского белого шума, т.е. наблюдаются п независимых случайных процессов Хг (г), г е (0,1), каждый из которых соответствует г-му каналу системы и удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

ёХг (г) = £ 1(г) + е (г), г е (0,1), г = 1,..., п . (1.1)

Здесь Wj (г) - независимые винеровские процессы, е = еп > 0 - известный уровень шума, ^ е {0,1} - параметры, соответствующие наличию сигнала 1 е Ь2(0,1) в г-ом канале (£ = 1) или отсутствию сигнала (£ = 0). Рассматривается случай сигнала известной формы 1(г) = сф(г), фе Ь2 (0,1), ЦфЦ = 1; здесь ф - известная функция, определяющая форму сигнала, а величина с = сп = Ц || > 0 определяет уровень сигнала.

Обозначим 1 = (^ £,...,е Ьп2(0,1) набор функций, характеризующих наличие

п

или отсутствие сигнала 1 в каналах. Величина К(£) = есть число каналов, содер-

г=1

жащих сигналы; 0 < К(£) < п.

Пусть Бп = {1} е Ьп2(0,1) - заданное множество наборов сигналов в каналах. Задачу обнаружения сигнала можно рассматривать как задачу проверки гипотезы Н0 :1 = 0

против альтернативы Н1Р : 1 е Бп.

Изучается эта задача с точки зрения минимаксного подхода. Именно, пусть ц/п = щп (Х1,...,Х п) - тест, т.е. измеримая функция от наблюдений со значениями в интервале [0, 1]. Пусть ап ) = Е п0(^п) есть вероятность ошибок I рода и

вп(Уп,1) = Е -(1 _Щп) есть вероятность ошибок II рода теста п (здесь и ниже Е _ есть

п,1 п,1

математическое ожидание по мере Р ., соответствующей наблюдениям (1.1); мера Р

п,1 п,0

соответствует отсутствию сигналов в системе). Обозначим уп(щп,Бп) сумму вероятности ошибок I рода и максимальной вероятности ошибок II рода

Уп Л) = ап (^п)+тахД (^п,1). Положим /п = гп (рп) =^ гп (¥п Л). Величину

Уп С^п) будем называть минимаксной ошибкой обнаружения для альтернативы Н1 = Н1Р . Легко видеть, что 0 <уп < 1.

Будем говорить, что тест п является минимаксным для альтернативы Н1Р , если

Гп (^п Л )=Гп (Рп ).

Рассматриваемую задачу можно представить в несколько другой форме. Рассмотрим статистики

1

X = |ф(г)ёХг.(г), г = 1,...,п. (1.2)

0

Легко видеть, что это достаточные статистики в рассматриваемой задаче, и они независимы как при гипотезе, так и при альтернативе, соответствующей любому набору ?п = (%\,...,%п). Переход к статистикам хг вида (1.2) в радиотехнике часто называют фильтрацией сигналов в каналах, согласованной с известной формой сигнала. При ги-

потезе H0 статистики xt имеют стандартное гауссовское распределение N(0,1). Пусть b=c/s есть отношение «сигнал-шум». Тогда при альтернативе, соответствующей набору = (^\,...,^п)- статистики xt имеют гауссовское распределение N(v1,1), vi = b$ . Переходя к статистикам (1.2), получаем вектор наблюдений вида x = v + ^,ve Rп, где П = (п1,.. ,пп) - стандартный n-мерный нормальный вектор, а v = (b&,...,b$n) - п-мерный вектор, соответствующий наличию или отсутствию сигнала уровня с в каналах. Получается эквивалентная задача проверки гипотез о среднем п-мерного нормального распределения: H0 : v = 0, H1V : v e Vn, где Vn œ Rn - множество, соответствующее

множеству Fn œ Ln2(0,1). Величины pn(yn,v), Y„(¥n) = Yn(Wn,VnК Y„ = Yn(Vn) в этой задаче определяются аналогично.

Пусть число каналов к, 1 < к < n, содержащих сигналы, и отношение сигнал-шум b<0 известны. Полагается

Vn (b, к) = {v = ($b,...,&b), & e {0,1}, y $ = к}, (1.3)

i=1

и рассматривается эквивалентная задача проверки гипотез о среднем п-мерного нормального распределения H0:v = 0 против альтернативы H1V(b, к ):ve Vn (b, к ). Нетрудно указать вид минимаксного теста в этой задаче. Именно, пусть п - равномерное априорное распределение на дискретном множестве Vn (b, к ):

n(v) = M-1, V v e Vn ; M = (Vn (b, к)) = Cп„ . Рассматривается байесовская задача проверки гипотезы H0 : P = Pn 0 против альтернативы H1 : P = Рп о распределении Р наблюдений x; здесь Рп = J Pnv n(d v) - смесь по априорному распределению. Пусть у/п -

r„

байесовский тест, минимизирующий y(w,Pm) = En0V + EP (1 ~w). По лемме Неймана-Пирсона он имеет вид у/п = 1{L(x)>1}, где L(x) есть байесовское отношение правдоподо-

dP г 2 2

бия: L(x) = (x) = Jexp(-|vf/2 + (x,v))n(dv) = (C„)-1 e^ /2У exp(b У ^), где сум-dP

U± n,0 К,к ieA„,k

мирование ведется по всевозможным подмножествам Aпк œ {1,...n}, содержащим к

элементов. Из соображений инвариантности следует, что есть минимаксный тест для альтернативы Vn (b, к ), т.е. y/(Vn (b, к )) = y{W„, Vn (b, к )). Это означает, что есть наименее

благоприятное априорное распределение. Однако структура статистики L(x) достаточно сложна при к < п, и трудно исследовать вероятности ошибок минимаксного теста. Кроме того, статистика L(x) существенно зависит от параметров к, b.

В этой связи мы изучаем асимптотический вариант задачи при п ^ œ. Будем говорить, что последовательность тестов ц/п является асимптотически минимаксной для

альтернативы H1V , если Yn (Vn ,Vn ) = Y„ (Vn ) + o(1), и состоятельной для альтернативы

H1V , если Yn {Щп, Vn ) ^ 0. Здесь и далее пределы рассматриваются при п ^ œ .

1.2. Основные результаты

Пусть к = кп, b = bn - заданные последовательности, bn > 0, 1 < кп < п . Нас интересуют следующие вопросы:

(1) какой вид имеют условия различимости в задаче, т. е. насколько большими должны быть отношения сигнал-шум bn в зависимости от общего числа каналов п и

числа каналов kn, содержащих сигналы, чтобы минимаксные ошибки обнаружения уп стремились к 0.

(2) как построить возможно более простые асимптотически минимаксные и состоятельные тесты щп при выполнении соответствующих условий различимости, и как

их структура зависит от параметров bn, kn.

Введем величину 5п = (logkn)/(logп) е [0,1], т.е. kn = п5". Положим

иП = Un (kn , bn ) = n~lknV2 - 1), un = un (kn , bn ) = nV2kbn, Tn =yj 2log n . Будем обозначать

Ф(^) функцию распределения стандартного нормального закона. Теорема 1.1. Пусть Vn = Vn (b,k) - множества вида (1.3) и liminf 5п > 1/4 . Тогда справедливы следующие утверждения.

(1) Справедливо неравенство: уп > 2 Ф(-мп /2) + o(1).

л л л л thr

(2) Рассмотрим тесты вида =¥„А ,Hn = max(^n,b„ ,Hn ,¥п ). Здесь ¥п b н = 1t b >H есть тесты, основанные на статистиках

^ = A п ZVx, К ), A п = ( n(eb" - 1))-1/2,v(t, b) = (e^ -1) и пороге H = un/2 , а ¥

thr

есть тесты порогового типа

thr

Vn = 1Хя, X = (х е R" : maxx > T} (1.4)

1<i <n

Тогда Гп < Yn(wnK,Hn ) < 2Ф(-^п/2) + °(1).

(3) Рассмотрим тесты, основанные на линейных статистиках

lin п ~ ~

¥п =1ti" >н , С = пШ Ё х , и пусть H " = u п /2. Тогда Yn < Y ) = 2 Ф(- U/2). Кроме

n t >H 5 n

ln

i=1

того, уп {щ™ ) ^ 0 при и ^го и таких Нп ^го, что ип - Нп ^го.

Теорема 1.1 описывает точную асимптотику гауссовского типа минимаксных вероятностей ошибок в рассматриваемой задаче. Утверждения п.п. {1), {2) означают, что

если НштГ5п > 1/4, то тесты щпЪ Н являются асимптотически минимаксными.

Имеется соотношение ип < ип, и при условии пк-2 = 0(1) соотношение ип ^го имеет место тогда и только тогда, когда ип ^ го ; кроме того, при условиях пк-2 = о(1)

и ип =0(1) мы имеем Ъп =о(1) и, следовательно, ип ~ип в этом случае. Поэтому утвер-

Ип

ждение п. (3) означает, что тесты уп также являются асимптотически минимаксными в случае пк-2 = о(1), а при пк-2 = 0(1) они обеспечивают состоятельную различимость, если состоятельные тесты существуют, т.е. при ип ^ го . Кроме того, нетрудно видеть,

Ип

что если кп = п, то тесты уп являются минимаксными (не асимптотически). Стати-

Ип

стики тестов у п , не зависят от параметров Ъп и кп.

Используя теорему 1.1 и эти замечания, можно получить простые условия различимости и неразличимости в задаче (т.е. условия того, что уп ^ 0 или уп ^ 1).

n

1=1

Следствие.

(1) Пусть пк- = о(1). Тогда уп ^ 1 при Ып ^ 0 и уп(у1™) ^ 0 при Ып ^ да .

(2) Пусть кп = п5п, пк-2 ^да и 5п ^ 5е (1/4,1/2]. Положим

К(к„) = д/ 1ов(пк;2) = ^(1 -25п)1овп . (1.5)

Тогда, если НшзирЪп /Ъ*(кп) < 1, то уп ^ 1. Если же НштГЪп /Ъ*(кп) > 1, то

Уп (У п,Ъ„ ,Н„ ) ^ 0.

Если 5п (0,1/4), то точная асимптотика минимаксных вероятностей оши-

бок в задаче описывается в терминах специальных безгранично делимых распределений без гауссовской компоненты. Однако можно получить другую точную границу между условиями различимости и неразличимости при НштГ 5п < 1/4.

Положим при 5п е [0,1/ 4]

ЪЖ) = (1 -51„/2)л[Щ^. (1.6)

Теорема 1.2. Пусть 5п [0,1/ 4]. Тогда справедливы утверждения.

(1) Если Ншзир Ъп / Ъ*(кп) < 1, то уп ^ 1.

(2) Если НштГ Ъп / Ъ*(кп) > 1, то уп (у п ) ^ 0, где тесты уп определены (1.4). Более того, это справедливо при 5п ^ 5 для любого 5п е [0,1/ 2) .

гЪт

Заметим, что тесты уп , являющиеся состоятельными при условиях НштГ Ъп /Ъ*(кп) > 1 и НшМ Ъп /Ъ*(кп) < 1/2, где определены равенствами (1.5), (1.6), не зависят от параметров кп и Ъп.

2. Моделирование многоканальной системы в среде МаНаЬ

2.1 Исходные данные

Для выбора исходных данных моделирования системы были учтены особенности эксперимента:

• необходимость построения оптимальных тестов для анализа обнаружения сигнала;

• определение более точной оценки близости (расходимости) кривых обнаружения для различных тестов;

• вычислительные мощности используемой для осуществления эксперимента техники.

После анализа всех нюансов эксперимента были выбраны следующие исходные данные: количество каналов системы: п=50; количество каналов с сигналами: к =49; 48;

47; 46; отношение сигнал-шум: Ъ = су[п / к, где с = 1.

2.2 Создание статистик Ь(Х)

Сигнал многоканальной системы имеет вид: х = V + п, V е Яп.

Для проверки гипотезы с альтернативой вида: Н0: V = 0, Н1 р : V е Уп необходимо

построить на базе леммы Неймана-Пирсона байесовский критерий при наиболее неблагоприятном априорном распределении п, он базируется на статистике Ь(х), где

х = (х„...,хп), х ~N(0,1):

Ь(х) = (х) = |ехр(-н2/2 + (х,у))ж(ау) = (С)-1 ^£ехр(Ъ £ х).

аРп,0 А„ ,к геА„,к

Рис. 2.1. Кривые обнаружения для байесовского теста (п=50, с=1) в динамике

по количеству каналов с сигналами

Рис. 2.2. Кривая обнаружения для линейного теста (с=1)

Рис. 2.3. Кривые обнаружения для байесовского теста (п=50, с=1) в динамике по количеству каналов с сигналами и кривая обнаружения для линейного теста

Рис. 2.4. Кривые обнаружения для байесовского и линейного тестов (п=50,к=49)

Рис. 2.5. Кривые обнаружения для байесовского и линейного тестов (п=50,к=48).

Рис. 2.6. Кривые обнаружения для байесовского и линейного тестов (п=50,к=47)

1

0 9

о.а

0.7 0.6

0 5 0.4 0.3 0.2

01

°0 0 1 0 5 0 3 0.4 0,5 0.5 0.7 08 0 9 1 Рис. 2.7. Кривые обнаружения для байесовского и линейного тестов (п=50,к=46)

3. Выводы

В ходе эксперимента, основываясь на лемме Неймана-Пирсона, был построен байесовский критерий при наиболее неблагоприятном априорном распределении п на базе статистик Ь(х) и Ь1(х). Этот критерий из-за сложности моделирования статистики неудобен в применении. Было проведено сравнение этого критерия с асимптотически минимаксным (линейным) с помощью кривых обнаружения. Анализ графиков показал состоятельность линейного теста для 50 каналов. Кривая обнаружения для линейного теста имеет сравнимую с кривыми обнаружения для байесовского теста различимость при уровне сигнала с=1 и количестве каналов с сигналами к=49, 48, 47, 46. Благодаря полученным результатам облегчается обработка многоканальных систем и при небольшом числе каналов.

Заключение

В ходе работы были проведены эксперименты по моделированию многоканальной системы со сравнительно малым числом каналов (п=50) и выполнено сравнение точных байесовских тестов и асимптотически минимаксных (линейных) на базе кривых обнаружения. В результате анализа экспериментов сделаны выводы о состоятельности линейных тестов и для малого числа каналов. Эти тесты удобны в применении, в отличие от байесовских тестов, которые строятся на базе леммы Неймана-Пирсона.

Литература

1. Ингстер И.Ю., Суслина И.А. Об обнаружении сигнала известной формы в многоканальной системе // Записки научных семинаров ПОМРАН, 2002. Т. 294. С.88-112.

2. Бодрова Н.А., Родина Т.В., Суслина И.А. Элементы теории вероятностей и математической статистики (Под редакцией В.П. Смирнова). СПб: СПбГУ ИТМО, 2001.

3. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики // СПб: Лань, 1998.

4. Ингстер Ю.И. Асимптотические методы в статистике // СПб: ПГУПС, 2000.

5. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере // М.: Имфра-М, 1998.