Изотонные отображения в однозначном контексте Текст научной статьи по специальности «Математика»

Следствие 3 есть аналог теоремы Кирри Шенберги для двоичных сплайнов второй степени. Другой способ построения базисных сплайнов при помощи интегрирования можно найти в [3].

Работа подготовлена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00152).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, ДеБор К. Практическое руководство по сплайнам, М, : Радио и связь, 1985, 304 с.

2, Алберг Дж., Нильсен Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения, М, : Мир, 1972. 320 с.

3, Кашин Б., Саакян А. Ортогональные ряды. М, : АФЦ, 1999. 560 с. УДК 519.7

В. Е. Новиков

ИЗОТОННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ОДНОЗНАЧНОМ КОНТЕКСТЕ

В работе рассматриваются изотопные отображения как инструмент, с помощью которого можно упростить однозначный контекст с действительными множествами атрибутов с тем, чтобы наиболее существенная информация об объектах в исходном контексте сохранилась.

Формальным контекстом называется тройка К = (О, {М^},р), где О - конечное множество объектов, |О| > 2, {М^} - семейство конечных множеств атрибутов с множеством индексов 1 < г < п, |М^| > 2, Р некоторое (п + 1)-арное отношение. Если (#,Ш1, ...,тп) € р, то говорим, что объект д по атрибуту 1 имеет значение ш1? по атрибуту 2 имеет значение m2 и т.д. Когда любой объект по каждому атрибуту имеет точно одно значение, контекст называется однозначным. В однозначном контексте отношение р определяет семейство отображений рj : О ^ Mj, 1 < ] < п, по правилу рj (д) = т^ Ядро каждого отображения рj является разбие-О

^ (или коротко с ^'-концептами). Обозначим это разбиение на ^'-концепты О/-. Таким образом, для любого mj € М^^ ^^^жество р~1(mj) является некоторым блоком разбиения О/- и иекоторым ^'-концептом.

Обозначим ]к = {^1,^2, ...,3к} где 1 < ^ < ^ < ... < ]к < п, П = = {1, 2,...,п} Щк = Мл х М2 х ... х Щк, Щк = {тл ,mj2 ^..^к} € € М^, ]к С п. Отношение р однозначного контекста К также определит более широкое семейство отображений р^ : О ^ М^к, % С п, по

правилу р-к(д) = т-к. Ядро отображения р-к также является разбиением множества С, блоки которого совпадают с концептами по атрибуту% (пли коротко ^-концептами). Обозначим раз биение на ^к-концеп ты С/-к. И аналогично для любого т-к € М-к мпожество р- 1 (т-к) является некоторым блоком разбиения С/-к и некоторым ^-концептом однозначного контекста К.

Концепты по одному и тому же вектору атрибутов % будем называть однотипными. Пусть дополнительно каждый атрибут Mj С К, 1 < ] < < п, является линейно упорядоченным множеством с естественным порядком действительных чисел <. Тогда всякое множество М-к С п)

<

%к = (ал,) <-к Ь-к = (ьл,^ к) ^ < ьл Л ... л ак < bjk. <

дуцируют изоморфные порядки на множествах однотипных концептов:

(УЗк С п) : р-1(%к) <-к р-1(ь-к) ^ %к <-к К.

Эти порядки в свою очередь естественно продолжаются на множество всех концептов контекста К. Пусть X и У - два произвольных не обязательно однотипных концепта. Полагаем, что

X У ^ (Ух € X)(Уу € У) : р-к(х) <-к р-к(у).

Концепт X называется оптимальным в контексте К по отношению <-к, если в этом контексте не существует никакого другого концепта У с условием X <-к У.

В [1] был представлен алгоритм вычисления множества, содержащего все оптимальные концепты. Естественно возникает проблема упрощения таких вычислений, с тем чтобы заново вычисленное множество концептов содержало бы все объекты оптимальных концептов прежнего множества, но на его вычисление потребовалось бы существенно меньше операций.

Один из способов решения указанной проблемы лежит в сокращении решётки концептов контекста К, в объединении тех его концептов, значения которых по данному атрибуту хоть и различны, но достаточно близки друг другу. Эту проблему можно решить построением семейства целесообразных изотонных отображений типа fj : Mj ^ К, 1 < ] < п. Целесообразных в том смысле, чтобы построение этих отображений обоснованно соответствовало поставленной цели. Ясно, что ядро каждого

отображения fj является разбиением множества Mj, которое равносильно осуществлению на линейно упорядоченном множестве Mj шкалирования по блокам этого разбиения. Возможны два варианта шкалирования: либо равномерное шкалирование, т.е. на равномерные интервалы множества R, либо неравномерное шкалирование. Множество работ по рассматриваемой тематике посвящены вопросам равномерного шкалирования, выбору шага шкалирования и начальной точке. Но обоснования таких выборов довольно туманны и, по сути, остаются на усмотрение исследователя предметной области контекста. Однако проблема может иметь

решение, продиктованное строением контекста. Для каждого атрибута Mj

жутки скопления объектов по атрибуту j возле некоторых его значений, если они есть. Fj : R ^ R, по правилу

Fj (x) = \Gj (x)\,

где Gj (x) = {g G G \ pj (g) < x} и \Gj (x)\ — мощность множества Gj (x).

Теорема (свойства функции распределения объектов контекста) .

1) Функция Fj неубывающая, с наименьшим значением 0 на

(-то; inf Mj) и наибольшим значением |G\ ua (supMj;

Fj Mj

на интервалах множества R \ Mj.

Итак, если функция Fj равномерно возрастающая на [inf Mj; sup Mj], то наилучшим выбором является равномерное шкалирование с начальной точкой inf Mj и с шагом, кратным длине отрезка [inf Mj; sup Mj].

Fj

тервале [inf Mj; sup Mj], то данный участок соответствует началу промежутка скопления объектов по данному атрибуту к значению, в окрестности которого усиление заканчивается. Тогда шкалирование целесообразнее осуществлять по точкам усиления роста функции распределения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Новиков В. Е. Вычисление множества оптимальных концептов в контексте с упорядоченными множествами атрибутов // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2015. Вып. 17. С. 43-44.