CC BY
33
ТЕХНОЛОГИИ И ОБОРУДОВАНИЕ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
УДК 621.983; 539.374
М.В. Грязев, д-р техн. наук, проф., ректор, (4872) 35-14-82, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872) 35-14-82, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
С.Н. Ларин, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
ИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПОЛУСФЕРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ ИЗ ЛИСТОВОГО МАТЕРИАЛА С ПЛОСКОСТНОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ В РЕЖИМЕ ПОЛЗУЧЕСТИ
Предложена математическая модель деформирования куполообразных изделий из листового материала, подчиняющегося энергетической или кинетической теории ползучести и повреждаемости, с плоскостной анизотропией механических свойств в режиме ползучести.
Ключевые слова: анизотропия, повреждаемость, разрушение, полусферические детали, пневмоформовка, ползучесть.
В различных отраслях промышленности широкое распространение нашли куполообразные детали. Традиционные методы их изготовления штамповкой на прессах весьма трудоемки и проблематичны в части обеспечения необходимой геометрической точности из-за наличия остаточных напряжений, что вызывает поводки контура и связанный с их устранением большой объем слесарно-доводочных работ по пригонке деталей в заданные размеры. Остаточные напряжения во многом вызваны исходной анизотропией механических свойств деформируемого листа и неравномерностью деформаций.
Анизотропия механических свойств листовых материалов оказывает как положительное, так и отрицательное влияние на устойчивое протекание технологических процессов обработки металлов давлением при различных температурно-скоростных режимах деформирования. Изотермическое формоизменение куполообразных деталей давлением газа из листовых высокопрочных алюминиевых и титановых сплавов имеет значительные преимущества перед традиционными методами обработки и весьма перспективно при использовании его в промышленности [11Теоретические исследования напряженного и деформированного состояния заготовки, силовых режимов и геометрических размеров изготавливаемого изделия при изотермической пневмоформовке куполообразных изделий из изотропного и трансверсально-изотропного материала в режиме ползучести выполнены в работах [1 - 5].
Ниже приведены основные уравнения и соотношения для анализа напряженного и деформированного состояния оболочки, силовых режимов и предельных возможностей формоизменения полусферических деталей из листового материала с плоскостной анизотропией механических свойств в режиме ползучести.
Рассмотрим формоизменения круглой листовой заготовки радиуса Ro и толщиной ho при изотермической пневмоформовке куполообразной оболочки под действием избыточного давления газа p в режиме ползучести. Материал заготовки обладает плоскостной анизотропией, а сама заготовка рассматривается как мембрана. По внешнему контуру заготовка закреплена. Оси координат х, у, z - главные оси анизотропии, совпадающие с направлениями прокатки (ось х), лежащие поперек прокатки (ось у) и перпендикулярно к плоскости листа (ось z) (рис. 1).
Предполагается, что коэффициенты анизотропии вдоль и поперек прокатки равны, т.е. Ях = Яу. Напряженное состояние оболочки принимается плоским (аz = 0). В силу симметрии механических свойств относительно осей координат х, у и х', составляющей с осью х угол 45°, и характера нагружения меридиональные и окружные направления являются главными и совпадающими для напряжений и скоростей деформации в сечениях оболочки меридиональными плоскостями хoz, yoz, х'oz и коническими поверхностями, перпендикулярными дуге меридиана.
Принимаем, что срединная линия в меридиональных плоскостях, указанных выше хoz, уох и х'oz, при деформировании является частью окружности.
Предполагаем, что на каждом этапе деформирования течение материала оболочки в этих плоскостях радиальное по отношению к новому центру (рис. 2).
В силу принятых допущений характер деформирования оболочки в меридиональных плоскостях xoz и yoz идентичен. Радиусы кривизны окружностей сечения срединной поверхности вышеуказанными меридиональными плоскостями определяются по формулам
ртх рту р
тх
Н 2 + Ro 2 Н
(1)
где Н - высота купола в данный момент времени.
Так как траектории точек в этих плоскостях ортогональны в данный момент образующемуся профилю, то в полюсе срединной поверхности скорости деформаций в меридиональном направлении будут вычисляться как
2 НН 2 НН
£
с
тхс
Н2 + Я
£
с
тх 'с
О
Н 2 + Я,
(2)
О
где Н = dH/dt.
Рис. 1. Схема к расчету деформированного состояния срединной поверхности заготовки в меридиональной плоскости
Рис. 2. Схема к расчету деформированного состояния срединной поверхности оболочки
Рассмотрим вопрос об определении окружных и меридиональных скоростей деформаций. Используя ассоциированный закон теории течения анизотропного материала и формулы преобразования компонент напряжений и скоростей деформации при повороте осей координат [1], найдем для
с
меридиональных сечений xoz и х oz отношение окружных и меридиональных £ст скоростей деформаций соответственно:
£
tx
рі В-х (р т рі) .
£ С' ^іх
Р/
t Ях'(р т рі)
£
с
тх
р т +
Ях (рт -рі У £
■с
3тх'
р т + Ях'(р т рі)
(3)
Вырезая из мембраны элементы меридиональными плоскостями и коническими поверхностями в окрестности рассматриваемых сечений и, принимая, что напряжения равномерно распределены по толщине элемента, запишем уравнения равновесия безмоментной оболочки, нагруженной равномерным давлением р:
р
тх
+
р
tx
р
тх
рtx
р
h
тх
р
тх
+
р
tx
р
тх
рtx'
р
h
—; р
тх
Ррх . 2h ’
Ррх^ 2 h ‘
Решая эти системы уравнений, получим
р
tx
р
тх
2-
рtx
V
р
р
тх
тх
ґ
р
tx
р
тх
рtx'
\
2 -V ртх у
р
тх
_Ррх ' 2h
ррх 2 h
(4)
(5)
(6) (7)
Подставив выражения (6) и (7) в соотношения (3), установим связь между меридиональными и окружными скоростями деформаций в рассматриваемых сечениях:
2
рtx
Ях
р
тх
Vр тх
1
£С' У . ^іх
р
х
тх
ріх ' Vрmx'
1
£
ґ
тх
1 + В
Л
ріх - і
Vр тх у
£
с
тх
1 + Я
х
ріх' Vр тх'
\
(8)
1
Заметим, что из соотношений (3) следует, что если Рт = Рі (имеет место в центре купола), то £і = £т независимо от коэффициентов анизотропии. По контуру заготовка закреплена и поэтому £ґхк = £іх= 0, т.е.
е п Яхртхк . е л Ях'р тх'к
£іхк = °, ріхк = 1 + Я , £іх'к = °, ріх'к =
х
1+Я
(9)
что следует из ассоциированного закона пластического течения материала и соотношений (3). Выражения (9) с учетом (6) и (7) позволяют определить
связь радиусов кривизны ртк и р^ в рассматриваемых меридиональных
сечениях
рtxk _ 2 + ях . ргхк _ 2 + ях '
р тхк 1 + Ях р тх 'к 1 + Ях'
(10)
с
с
с
Удобно задавать зависимость радиуса кривизны рt от рт вдоль дуги окружности в виде линейной функции от угла 0, имея в виду, что 0 = 0 Pt = Рт, а при 0 Ф а рt определяется соотношениями (10), т.е.
ptx _ р
mx
1 +
1 0^
Rx +1 а
р mxA
ptx' _ р
mx
1+
1____0^
Rx' +1 а у
Л0_Л
а
pmx' B1
0
vay
(11)
где 0 - текущий угол между осью г и радиусом-вектором, определяющим положение точки в сечении срединной поверхности рассматриваемыми диагональными плоскостями.
В этом случае формулы (8) перепишутся в следующем виде:
£
1
0
tx
а
Л Rx 0
S mx 1 + x------------------
1 + Rx а
A
0
Va/
S c'
tx
1
0
а
S
mx
Rx 1 + x
0 B2
1 + Rx а
0
Va/
(12)
Определим скорости деформаций в меридиональных направлениях. Приращения деформаций в указанных выше плоскостях будут определяться по формуле
de
m
sCndt
(pm + dpm )(0 + d0) pm0 _ dpm
p m 0
+
P
m
d0
0
(13)
Учитывая, что
m
P
-ctgaa и pm sin a_ Rq, скорость деформации найдем
m
как
s с _ p m + 0 _ Sm q
Pm 0
sin0 0 sin а
ctga
a
(14)
Скорость деформации по толщине оболочки определяется по формуле
Й . (15)
Используя условие несжимаемости и соотношения для нахождения скоростей деформации в меридиональном, окружном и перпендикулярном срединной поверхности направлениях, получим уравнение для определения изменения толщины оболочки на этапе деформирования:
h
h
sin0
ctga
1+
1 -0/a
1+
R0
a
(16)
V 0 sin a
1 + R ay
где R - коэффициент анизотропии в направлении x или x'.
Из геометрических соображений установим связь между углом a и временем деформирования, когда задана функциональная связь H _ H(t):
c
c
c
а = 2arctg[ H (t) / Ro]
(17)
Изменение толщины оболочки от времени в куполе срединной поверхности оболочки (0 = 0) можно оценить по выражению
h = h0
R
(18)
0 y
Рассмотрим вопрос об изменении толщины оболочки от времени в месте ее закрепления (0 = а) в меридиональных плоскостях xoz и х ' oz . Уравнение (16) при 0 = а запишется как
h
= -(і/а - ctga)a .
(19)
Заметим, что в это уравнение, как и в предыдущее (17), величины коэффициентов анизотропии не входят. Интегрирование уравнения с учетом начальных условий приводит к выражению
h = h0 sin а/а . (20)
В тех случаях, когда 0 Ф 0 и а, изменение толщины определяется от этапа деформации согласно уравнению (16), следя за перемещением материальной точки заготовки. Это изменение будет зависеть от коэффициентов анизотропии.
Вопрос о распределениях напряжений в рассмотренных выше сечениях оболочки на каждом этапе деформирования решается путем использования соотношений (6) и (7) с учетом выражений (11) и изменения толщины оболочки в рассматриваемой точке в результате интегрирования уравнения (16). При этом принимается во внимание характер течения материала.
В случае плоского напряженного состояния эквивалентная скорость деформации и эквивалентное напряжение ае с учетом соотношений (6), (7), (11), (12) в плоскостях xoz и x'oz вычисляются соответственно по следующим выражениям:
т2
л/2(2 + Rx)
5С =■ Ъех
Rx
1 -
Va yy
+ RX
A
^0Л
vay
+ R
х
1 +
0
vayy
+
R
■13 Rx
0
■ X
1 + A
+1
vayy
X
1/2
(2 Rx +1)
-5
С .
xm ’
(21)
2
2
а
ех
í С о Л Л
А
0
-1
+ R
V ЧаУ
х
2 - А1
+ R
VаУУ
х
2йх (2 + йх)
12
атх X22)
V2(2TRXГ)
I
R3 ,
х
1 - В2
02
VаУУ
+ й2
х
Vй У
+ R
х
1 + В2
0
VаУУ
+
ех
■ х
+ й2
х
R
х
1 + В2
0
VаУУ
+1
х
1/2
(2 йх +1)
-|С •
^х' т ’
(23)
2 ^0Л 2 '0' 2 "
<3 х В1 -1 + йх' 2 - 1 I + йх '
1 V VaУ У V V“. УУ
12
[2Rx' (2 + Rx ' Ш а тх ' ■ (24)
а ех' 1 3
Найдем эти величины в вершине купола сечения срединной поверхности оболочки меридиональной плоскостью xoz :
43 (25)
£ехс /т л/2 + Rx £тхс ; аехс
Я
1 а
л/2 + йх
тхс •
Те же самые величины определим в точке закрепления оболочки по контуру:
1/2
^ = 1 2 (2 + йх )(RX + 1) I IV ; а
^>ехк I ^ ~ ^ ^ I ^>тхк ’
С • ас = < 3 (2Rx + l)(Rx +1) тхк ’ ехк I 2 (1 + Rx )(2 + Rx)
12
а
тхк
,, (26)
хх
По аналогии вычислим эквивалентные скорости деформаций и напряжений в куполе и точке закрепления в меридиональной плоскости х ' oz :
2 „с л/3
|с , _
Чех с л/3
л/2+й7Iе ' ;
V х ^тхс’
а
х ^тх с* ех с
а
тх с
(27)
|ехк
2 (2 + Rx ' )(Rx ' +1)
12
3 2 Rx ' +1
|С • с =
¿тх'к ’ а^\- ' ^
3 (2 йх' +1)
12
ас , к .(28)
тх к
т'к’ ех'к (1 + )(2 +
Уравнения состояния энергетической теории ползучести и повреждаемости записываются следующим образом:
с = в(ае /а е0 ) • юс = ае| е
1е =
1 -®А т
; ю а =
А
(29)
ир
где юА - повреждаемость материала при деформации ползучести; В,и,т -
константы материала, зависящие от температуры; АИр - удельная работа
2
3
2
с
2
с
разрушения; аео - предел текучести на статической кривои упрочнения при степени деформации ве = в ео.
В дальнейшем величину давления р в каждый момент деформирования будем определять в вершине купола оболочки в сечении xoz, т.к. оно равномерно распределено по поверхности оболочки.
Подставим в первое из уравнений состояния материала (29) входящие в него ае, ^, определяемые по формулам (25) с учетом (1), (2), (6), (11), (18), тогда получим
п+1
n її c m , п \ 2 ~2n+2Т Tn+In4n7 n ,тт
е0^ _®а) (2 + Rx) 2 H Ro hodH
pndt = eor ^+1 7- - —0 0 . (30)
2/2 2^n +1
3 B (h 2 + Ro )
Найдем величину накопления повреждаемости ю^хс.
Для этого подставим первое уравнение состояния (29) во второе и
получим уравнение для нахождения повреждаемости
n+1
юс. — Ge011 С0 Axc feexc )______ (31)
(DAxc = Ac R\/n • (31)
AnpxB
Это уравнение удобно использовать, если £cexc - ^cci - const.
В этом случае интегрирование уравнения (31) при начальных условиях t — 0, ю Axc — 0 приводит к выражению
V (n + 1)/n
1 _ n _ m Щ,сЄсі) Qeot
n Ac BV n
AnpxB
n /(n _ m)
. (32)
Время разрушения tp определяется из условия юAxc — 1:
Ac в1!nn
— AnPxB n (33)
P ( i,c )(n+1)/n ■ (33)
Geo (n - m \£ec1)
Давление p, необходимое для реализации условий деформирования, будет рассчитываться по формуле
G e0 (1 — юAxc m (2 + Rx )
(я 2 + Ro У
Зависимость юА — ®A (t) находится по формуле (32), а Я — Я (t) может быть определено из соотношения
p(t)_Цe0\L~ шАхс/ (2 + RxУ^2hr4h0 1 1/n (34)
ln
Я 2 + Rq
t—
2^2 + Rx~ Я^ + R
(35)
Я &1 '
Предельную высоту купола найдем по уравнению (35) при t = tp.
Величина повреждаемости в точке закрепления оболочки в плоскости xoz может быть определена по выражению
(2 + Rx )Я 2 + Ro2 f
СО
Axk — P
1/arctg(Я /Rq) -
Ro - Я 2 Я R0
Я
4Я Anpxh0 R0 (1 + Rx )
(36)
±прхп01^о^ 1 “х,
Удобно это уравнение интегрировать вместе с уравнением для купола оболочки, т.к. в этом случае известны величина р и высота купола Н как функция времени.
Если необходимо в точке закрепления оболочки осуществлять де-
формирование с постоянной скоростью деформации £ех^ = £ехк1 то для этого необходимо давление р = р (Н), определяемое как
const ,
P
Geo(1 -«Axk)ml"2512(Rx + 1)3'2Я2Mo
Я
B1/n 312-
(2Rx +1)1/2 (я 2 + Rq2 f (2 + Rx )1/2 arctg
(37)
R
0
Связь между величинами Н и ? устанавливается по выражению
с \
t 12 (2 + Rx )(Rx +1)]12 Я
КхЫ13 2 Rx +1 ] Я?с
1
R02 - Я 2
arctg
Я
R0
Я R0
dЯ
Я 2 + Rq
(38)
Величина повреждаемости юАхк может быть определена из уравнения
c
ю Axk — 1
n+1)/n
n - m %exk\) Ge0 t
n
Ac BVn
Anp x в
n /(n - m)
(39)
Время разрушения найдем из условия юАхк = 1, т е.
Ac B^nn ^npx^ 11
( )(?c Yn+1)/n
Ge0 (n - m A^exkJ
(40)
Вопрос об определении характеристик напряженного и деформированного состояний в сечении срединной поверхности меридиональной плоскостью х ' oz решается аналогично, как и в плоскости xoz. Заметим,
t
что все соотношения, касающиеся нахождения р, юахС, юАх'к, ^ в куполе и месте закрепления сохраняются аех>, Ьех>, t, в которых индекс х необходимо заменить на индекс х'.
Подход к определению этих величин в плоскости х 'oz сохраняется,
когда рассматриваются частные случаи - скорость деформации <^се или давление р постоянны в куполе или месте закрепления. В общем случае нагружения и в произвольной точке оболочки следует решать уравнения (30) совместно с (31), при этом нужно учитывать характер течения материала при деформации.
Рассмотрим вопрос деформирования заготовки из материала, относящегося к группе материалов, подчиняющихся кинетическим уравнениям ползучести и повреждаемости:
ее _ в (ре/ре0) . юе _ (41)
ее _ -СГ ’ с°е _~—, (41)
(i -<s>ce m ’ є enp
где senp - предельная эквивалентная степень деформации.
Определим величину накопления повреждаемости ®ЄхС в полюсе оболочки сечения срединной поверхности меридиональной плоскости xoz. Рассмотрим случай, когда в полюсе ^cxc = ^Єхс1 = const. В этом случае проинтегрируем второе уравнение системы (41) при начальных условиях t = 0, ®cxc = 0, в результате получим
®ec = ^exc1t/senpx = sexcIsenpx . (42)
Давление p, необходимое для реализации условий деформирования, будет определяться соотношением
, ч 4а 0(l -ю")mn(2 + Rx)12Hr4h0 i c \yn
p(t)=-**----ejx^--^^foxelfn • (43)
B1 n 3l2 (h 2 + r2 J3
Зависимость ю<ехе _ю<ехе(t) определяется по формуле (42). Функция Н _ Н ^) может быть найдена из выражения
,_242^ но2 + яр
^ ' ( } Предельную высоту купола найдем по уравнению (44) при t _ tр _ еепрх Дехе1, те. из уравнения
182
2^2 + R*. H 2 + R0
£епрх _ гг 1п 2 2 . (45)
л/3 н о + яо2
Отсюда следует, что предельная высота купола не зависит от времени деформирования.
Величину повреждаемости и давления р , необходимую для реализации процесса в случае, отличном от рассмотренного выше, следует определять из уравнения
е 2^2 + Ях Н2 +
юСхе -пт Х ^------------------------. (46)
(н 0 + R0) Senp
c
x
n+1
(\ Ш 2
1 -mCxc) (2 + Rx) 22n+2Hn+1 R^nh0idH
p Ш =-------------------------------------------------. (47)
2(2 2\3n + 1
B 3 (H + Ro )
Рассмотрим напряженное и деформированное состояние в точке закрепления оболочки в плоскости xoz. Величины <5exfc и ^ для этой точки определяются из соотношений (26).
Повреждаемость можно найти из уравнения
®exk = ^exk/Senpx • (48)
Если нагружение осуществляется таким образом, что ^Cxk = £exk2 = const,
то
®exk = £exk211Senpx • (49)
Предельная степень деформации достигается при ®Cxk = 1 •
Давление p, необходимое для реализации условий деформирования, найдем по формуле
p ° eo ( -<xk V” 252 (Rx +1)3/2 H 2 h0 R0 (&k 2)1/2 . (50)
B1 n 31/2 (2 Rx + i)1/2 (h 2 + Ro f (2 + Rx )12 aretg (H / Ro)
Связь между величинами H и t устанавливается из соотношения
Ro i 2 (2 + Rx XRx +1)
J
1 Ro2 - H 2
Л
dH
arctgjH HRo
Ro ;
H 2 + Rq
• (51)
В плоскости х' oz параметры деформирования могут определяться по тем же формулам, что приведенные выше с введением в них индекса х'
t
0
вместо x и соответствующего учета коэффициента анизотропии Rx>. Подход к анализу процесса формоизменения остается таким же. При рассмотрении более сложного характера нагружения необходимо решать уравнения типа (46) и (47) совместно методом итераций с последующим использованием необходимых приведенных выше соотношений.
Приведенные выше уравнения и соотношения могут быть использованы для оценки напряженного и деформированного состояний, силовых режимов и предельных возможностей изотермического деформирования куполообразных изделий из листового материала с плоскостной анизотропией механических свойств в режиме ползучести.
Работа выполнена по государственным контрактам в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы и грантам РФФИ.
Список литературы.
1. Малинин Н.Н. Ползучесть в обработке металлов. М.: Машиностроение, 1986. 216 с.
2. Романов К.И. Механика горячего формоизменения металлов. М.: Машиностроение, 1993. 240 с.
3. Изотермическое деформирование высокопрочных анизотропных материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2004. 427с.
4. Изотермическая пневмоформовка анизотропных высокопрочных листовых материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2009. 352 с.
5. Грязев М.В., Яковлев С.С., Ларин С.Н. Математическая модель изотермического деформирования полусферических деталей из трансвер-сально-изотропных материалов в режиме ползучести // Известия ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып. 1. С. 27-36.
M.V. Gryazev, S.S. Yakovlev, S.N. Larin
THE ISOTHERMAL DEFORMING OF HEMISPHERICAL DETAILS FROM SHEET MATERIAL WITH TWO-DIMENSION ANISOTROPY IN THE MODE OF CREPING
The mathematical model of dome-shaped details deforming in the mode of creping from sheet material with two-dimension anisotropy possessing energetical and kinetical theory of creeping and damaging is offered.
Key words: anisotropy, damageability, failure, hemispheriacal details, pneumatic forming, creeping.
Получено 15.01.12
