CC BY
1
ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК
Том 25. Выпуск 3.
УДК 517.957
DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-201-212
Изоспектральные и частично-изоспектральные операторы Дирака на конечном отрезке
О. Э. Мирзаев, Т. Г. Хасанов
Мирзаев Олим Эркинович — кандидат физико-математических наук, Самаркандский государственный университет им. Ш. Рашидова (г. Самарканд, Узбекистан). e-mail: [email protected]
Хасанов Темур Гафурджанович — аспирант, Ургенчский государственный университет
(г. Ургенч, Узбекистан).
e-mail: [email protected]
В данной работе предлагается алгоритм построения изоспектрального и частично-изоспектрального операторов Дирака на конечном отрезке. Этот алгоритм применяется к процессу нахождения решений смешанных задач, поставленных для систем дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа с переменными коэффициентами.
Ключевые слова: собственные значения, нормирующие константы, обратные задачи, интегральные уравнения Фредгольма второго рода, изоспектральные и частично-изоспектральные операторы Дирака.
Библиография: 25 названий. Для цитирования:
Мирзаев, О. Э., Хасанов, Т. Г. Изоспектральные и частично-изоспектральные операторы Дирака на конечном отрезке // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 3, с. 201-212.
Isospectral and partially isospectral Dirac operators on the finite
interval
O. E. Mirzaev, T, G. Khasanov
Mirzaev Olim Erkinovich — candidate of physical and mathematical sciences, Samarkand State University named after Sharof Rashidov (Samarkand, Uzbekistan). e-mail: [email protected],
Khasanov Temur Gafurdjanovich — postgraduate student, Urgench State University (Urgench, Uzbekistan).
e-mail: [email protected]
Аннотация
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 3.
UDC 517.957
DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-201-212
Abstract
In this paper, we propose an algorithm for constructing isospectral and partially isospectral Dirac operators on a finite interval. This algorithm is applied to the process of finding solutions to mixed problems posed for a system of partial differential equations of hyperbolic type with variable coefficients.
Keywords: eigenvalues, normalization constants, inverse problems, Fredholm integral equations of the second kind, isospectral and partially-isospectral Dirac operators.
Bibliography: 25 titles. For citation:
Mirzaev, O. E., Khasanov, T. G. 2024, "Isospectral and partially isospectral Dirac operators on the finite interval" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 3, pp. 201-212.
1. Введение
Определение 1.1. Краевые задачи для систем уравнений Дирака
D0y = Ву' = \у, (0 <х<ж),у = ( ) , (1)
yi(0) = 0, уг(тг) = 0 (2)
D(p(x), q{x),, ^ œ)y = By1 + Q(x)y = \у^ = ^ ) ,
(3)
У!( 0) = 0, У1(тт) = 0 (4)
называются изоспектральными, если имеют одинаковые собственные значения, т.е. а(Б(р(х), д(х), ж, ж) = а(В°) = {п, п е %}.
Определение 1.2. Краевые задачи (1)-(2) и (3)-(4) называются частично-изосиектральными, если собственные значения удовлетворяют условиям
Ао = АО; Ап = А° при п е %\{0}.
Здесь
B = ( -W) . Q(x) ^ )
0 1
— 1 0 ) ' д(х) — р(х)
а р(х), д(х) е С1 [0, - вещественные непрерывно дифференцируемые функции, А - комплексный параметр, - собственные значения краевой задачи (1)-(2).
Настоящая работа посвящена обратной спектральной задаче об описании всех краевых задач системы дифференциальных уравнений Дирака на конечном отрезке с одним и тем же спектром. Такие краевые задачи называются изоспектральными и были изучены в работах [1-5]. М.Г.Гасымов, Т.Т.Джабиев (см.[6]) показали, что оператор Дирака на конечном отрезке определяется однозначно по его собственным значениям и последовательности нормирующих констант, а также ими найдены необходимые и достаточные условия восстановления краевых задач. М.Г.Гасымовом и Б.М.Левитаном (см.[7]) были найдены необходимые и достаточные условия восстановления оператора Дирака на полуоси по их спектральным функциям. При построении изоспектральных операторов Дирака на конечном отрезке с заданным спектром а(И(р(х), д(х), ж, ж)) = {Ап,п е %} нами использован метод Гасымова-Левитана (см.[7]). Этот метод основан на восстановлении коэффициента оператора Дирака по спектральным данным с помощью интегрального уравнения Фредгольма второго рода с параметром.
и
Следует отметить, что изоспектральные операторы Штурма-Лиувилля на конечном отрезке изучались в работах [8-16]. Частично-изоспектральные операторы Штурма-Лиувилля на конечном отрезке изучались в работах [17-18]. Теория обратных спектральных задач для оператора Штурма-Лиувилля и их приложения более подробно изложена в работах [19-25].
Основным результатом настоящей работы является алгоритм восстановления семейства операторов Дирака D = D(p(x), q(x), ж, го) и D = D(a) на конечном отрезке, спектры которых удовлетворяют соостветсвенно условиями:
a(D(p(x), q(x), ж, ж)) = {An = п, e Z} и a(D(a)) = {Aq = a, \a\ < 1, An = n, n e ^\{0}}.
2. Некоторые сведения об обратной задаче для оператора Дирака на конечном отрезке
Обозначим через р(х,А) = (р1(х, А), р2(х, А))т решение уравнения (3), удовлетворяющее начальным условиям:
Pi(0,A) =0, Р2(0,А) = -1. (5)
Известно [22], что решение р(х,А) задачи (3) с условиями (5) существует, единственно и для каждого фиксированного х £ [0, ж] является целой вектор-функцией по А. Кроме того, имеет место интегральное представление
, ( sin Ах \ íx ,, ( sin At \ ,,
Р(х,А)П — ccos Ах ) + I к(х, Ч — <cos At )dt, <6>
притом матрица-функция К (х, t) = \\Kij (х, t)\\ij=i2 является решением задачи
ВК'Х(х, t) + К[{х, t)B = —д(х)К(х, t), (7)
В К (х,х) — К (х,х)В = —Я(х) (8)
Кц(х, 0) = К21(х, 0) = 0. (9)
Очевидно, что вектор-функция р(х,А) = (р1(х, А), р2(х, А))т при любом А удовлетворяет граничному условию pi(0, А) = 0. Поэтому собственные значения Ап, п £ Z задачи (3) с условиями (4) суть корни уравнения
Д( А) = р1(ж,А) = 0. (10)
Тогда р(х, Ап) = (р1(х, Ап), р2(х, Ап))т, п £ Z является собственной вектор-функцией задачи
(3) с условиями (4).
Положим
fK
= / [р1(х,Ап) + р2(х,Ап)^х, п £ Z. (11)
J 0
Числа ап, п £ Z называются нормировочными числами краевой задачи (3)-(4). Набор чисел {Ап,ап}';^=_00 будем называть в дальнейшем спектральными данными задачи (3)-(4).
Теорема 2.1. ([6]). Если р(х) и д(х) имеют производные fc-порядка из Ь2[0,ж], то для спектральных данных {Ап,ап}';£=_00 задачи (3)-(4) справедливы равенства
\ , А , , Pk-1 . Pk,n /10ч
Ап = п + — + ... + -Т-Г + —ГТ, 12
п пк 1 пк
i С1 i i cfc—1 i , п /ion
ап = ж +---+ ... + -Т--1 +--г. (13)
п пк-1 пк
где ряды
оо
^ ЦЗк,п12 < Ж, ^ | Ск,п12 < Ж п=—<х п=—<х
сходятся.
Следует отметить, что собственные вектор-функции ^(х,Хп) = Хп),^2(х, Хп))т,
п е 2 задачи (3)-(4), соответствующие различным собственным значениям ортогональны в гильбертовом пространстве квадратично суммируемых двух компонентных вектор-функций ^2(0, к) и для произвольных вектор-функций ¡(х) = (/1 (х), /2(х))т е имеет место
(ЭО 1 /. ж
№= ф,\п){— (t,xn)f(t)dt}
ап J0
Отсюда получим символическое равенство:
Э i
V —у(х,\п)ут(t,\n) = IÖ(x — t), (14)
П=-Э
где /-единичная матрица, ¿(x) - дельта функция Дирака. В частности, при р(х) = 0, q(x) = 0, имеем
El sin nx \
— I I (sinnt, — cosnt) = I5(x — t). (15)
^ \ cos nx 1
п=—э 4 '
Теорема 2.2. (f6j). Коэффициенты p(x) и q(x) краевой задачи (3)-(4) определяются однозначно по спектральным данным {Хп, ап}^=_ос. Лемма 2.1. Имеет место тождество
V —(p(x, Xn)(srn Xnt, — cos Xnt) = 0, 0 <t<x<-K. (16)
^ an
n=—<x>
Теорема 2.3. (f6j). Ядро К (x, t) = \\Kij (x, t)\\i-=l2 оператора преобразования (6), удовле-ряет линейному интегральному уравнению
г х
К (x, t) + F (x, t)+ К (x, s)F (s, t)ds = 0, (0 <t ^x<n), (17)
0
где
oo
F (x, t) = У"^ { — [ sinA"-x | (sinAraí, — cosA„,t) — — [ snnx ) (sinnt, — cosnt)>.
^ аД — cos Anx K ж \ — cosnx I I
(18)
Теорема 2.4. (f6j). Для того чтобы последовательность вещественных чисел {An, ап}с^=_00, ап > 0, n Е Z была спектральными данными некоторой краевой задачи вида (3)-(4) с матричной функцией вида
Q(x) = ( p(x) q(x) ^
( ) у q(x) — p(x) J ,
необходимо и достаточно, чтобы для An, n Е Z и ап, n Е Z выполнялись асимптотические формулы (12) и (13), где p(x) и q(x) имеют производные fc-ro порядка из Ь2(0,ж).
Итак, пусть {Ara, ап}^=-(Х, ап > 0, n Е Z удовлетворяет условиям (12) и (13). Постро-
F( x, )
относительно К (x, t) = (x, t)\\i-=l2- Тогда имеет место следующая теорема.
Теорема 2.5. ([6]). При каждом фиксированном х G (0,^) интегральное уравнение (17) имеет единственное решение К(х, t) = \\Kij(х, t)\ij=1 2.
Теперь, решая интегральное уравнение (17), находим матрицу-функций К(х, t) = = \\Kij(х, t)\\^ -=1 2- Далее определим вектор-функцию р(х,Х) = (р1(х,Х),р2(х,Х))т по формуле (6). Тогда нетрудно показать, что вектор-функция р(х, X) = (р1(х, X), p2(х, X))T удовлетворяет уравнению
Bp' + Q^)p = Xp, <^(х) = К(х, х)В — ВК(х, х) и начальным условиям pi(0, X) = 0, p2(0, X) = —1.
3. Алгоритм восстановления изоспектральных и частично-изоспектральных краевых задач
Основной результат настоящей работы содержится в следующей теореме.
Теорема 3.1. Пусть пара {\п, ап > 0,п € Z последовательностей действитель-
ных чисел удовлетворяет следующим условиям
оо
1 1
Xn = n, n GZ, — = - + , V < Ж, Jn > 0, n GZ. (19)
an к n2 +1 ^ n2 + 1
Тогда эта пара является спектральными данными граничной задачи, поставленной для оператора Дирака вида D(p(x, ...,^-п, -,7о, In,...), q(x, ...,1-п, ...,7о, In,...), ж, ж) =
= D(...,J-n, ...,Jо, ...л^
Доказательство. Легко заметить, что последовательность {\п,&п}У=-У, > 0n Е Z, определенная формулами (19), удовлетворяет условиями (12)-(13).
Для этого определим матрицу-функций F(x, t) по формулам (18) и (19):
F (x, t)= У {81ППХ ) (sinnt, - cosnt)\ . (20)
^ n2 + 1 \ - cosnx K ' \ ■ '
n=—y 4 4 / y
Подставляя (20) в интегральное уравнение (17) получим
оо
К (x, t) = — ^ ^p(x,n)(sinnt, — cosnt), (21)
п=-—
где
Ф,П) = ( únnx ) + íХ К{х, s)( sinns )ds. (22)
У — cos nx J Jo \ —cos ns J
Известно ([6], [22]), что вектор-функция p(x,A) определенная по формуле (6) удовлетворяет дифференциальному уравнению (3), и начальным условиям pi(0,A) = 0 P2(0,A) = — 1, где коэффициенты определяются по формулами
р(х,..., j-n, ...,7o, ..,jn,...) = Е—=-— [P2(x, n) sinnt — pi(x,n) cosnt],
(23)
q(x, ...,7-n,..., 7o, ...,7n,...) = — E—=-— -J+;[ti(x, n) sinnt + p2{x, n) cos nt}. Далее подставляя выражение (21) в формулу (22), имеем
(sin "nx х—^ 7 f^ ( sin ns
— cosnx) —¿J2T1 p(x,p) J0 (sinPS, — COsPS){ — cosns ) ds. (24)
П= — OO
Отсюда, получим собственную вектор-функцию
1+
ю(х, п) = I I ,п ЕZ,
1+-&г5
п2 + 1
соответствующую собственным значениям Ап = п, п Е Z, т.к.
. > / вшП8 \ , ( X,
(вт рв, — еовшм ) ав = < „
\ — еовпв ) у 0,
Легко проверяются выполнение граничных условий (4), т.е. Ю1(0, \п) = 0 Ю1(ж,Ап) = 0, Ап = п, п Е Z.
Таким образом, удалось найти все коэффициенты семейства изоспектрального оператора Дирака вида И(...,7-п, ...,7о, ■ ■■,7п, ...)■ В частности, если 70 > 0, 7п = 0, п Е Z\{0}, то имеем следующую изоспектральную краевую задачу:
И (7») V - ( —01 ^ ) ✓ + ( ^ Г') У = ^ V (Х = ( £ (Х) <х<ж (25)
У1 (0) = 0, У1 (ж) = 0.
Все собственные значения краевой задачи ) состоят из заданных чисел Ап = п, п Е Z, а соответствующие им собственные функции находятся по формулам
Ю1(х, 0) = 0, р2(х, 0) = —1 + 1п (1 + 70х) ,
, . , . 7о в\ппх , ,
юАх, п) = втпх, ю2(х, п) = — еовпх +--?--,п Е Z\{ 0}.
п (1 +7ох)
Теперь с помощью изоспектральных граничных задач (25) построим семейство смешанной задачи:
г Щ = ^ —1 о ) + ^ 0 и, 0 <х <ж, 70 > 0,
и(х, 0) = /(х), /(х) = (Ь(х), /2(х))Т, 41 (0,1)=0, 41 (ж, 1)=0, и (х, 1)=^ Щ2 (х^) .
2 , (26)
Используя теорему 3.1, получим:
Следствие 3.1. Решение смешанной задачи, поставленной для системы уравнения гиперболического типа с переменными коэффициентами (26), выглядит следующим образом:
оо / \
/ вш пх \
и(х « = М —1 + 1п(1+70х))+ Е — е<хпх + ^)
п = —ж, п = 0 х '
здесь В0 = /и (—1 + 1п(1 +7ох))Ь(х)йх, Вп = £(уы(х)/1(х) + у2П(х)Ь(х))ах,п Е Z\{0}.
Теорема 3.2. Пусть пара {\п, ап > 0,п Е Z последовательностей действитель-
ных чисел удовлетворяет следующим условиям
Ао = а, 1а1 < 1, Ап = п, п Е Z\ {0} , ап = ж, п Е Z. (27)
Тогда эта пара является спектральными данными граничной задачи, поставленный для оператора Дирака вида И(р(х, а), д(х, а), ж, ж) = И (а).
о
Доказательство. Легко заметить, что последовательность {\п,ап}с£=—Х1, ап > 0,п € Z, определенная формулами (19), удовлетворяет условиями (12)-(13).
Для этого определим матричную функцию Р(х, ¿) по формулам (18) и (27):
р (х, г) = -
к
( вт ах \
у — совах )
вшах \ , . 1
(вта1, — сова1)--
— совах ; к
—0-
(0, —1).
Подставляя (28) в интегральное уравнение (17) получим
где
К(х, 1) = — —д (х) (вта1, — сов аЪ) + —/ (х) (0, —1), к к
Пх) = ( - °1)+1Х К(х, е) ( —- ) 0з,
9(х) =
( вшах \ Г Т., л ( вта« \ ,
+ / К(х, «м 0,8.
\ — совах ) Уо \ — сов аз ]
Подставляя выражение (28) в формулы (30) и (31), имеем
П.х) =
(—0)
вш ах , , х „ , , -д (х) + -/ (х)
а к к
, ч ( вт ах \ х . . вт ах , . .
— совах) " 9(х) + —!(х).
к
а к
( х) =
а2ж(ж—х) вт ах а2(ж2 —ж2)+б1п2 ах —аж[а(ж—х) сое ах+вт ах] а2(ж2—х2)+б1п2 ах
аж бш2 ах
!(х) =
а2(ж2 —ж2)+б1п2 ах —аж[а(ж—х) — ]
а2(ж2 —ж2)+б1п2 ах
Далее, учитывая формулы (29), (34) и (35), находим
К( х, ) =
а2 (ж—х) вт ах вт а1 а2 (ж—х) вт ах сов аЪ—а вт2 ах
а2(ж2—х2)+вт2 ах а2(ж2—ж2)+вт2 ах
а[а(ж—х) сов ах-+вш ах] вш а!, —а[а(ж—х) сов аж+в1п ах] сов аг+а2(ж—х) — а В1п22ах
а2 (ж2 —х2)+вт2 ах а2 (ж2—х2)+вт2 ах
. а2 (к — х) в\п2ах
КП(х,х) = ( ^ ,
а2 (к2 — х2) + вт2 ах'
К\2 (х, х) = К21 (х, х) = К22 (х,х) =
а2 ( к - х)
вт2ах — а вт2 ах
а2 (к2 — х2) + вт2 ах
а2 (к — х) вт2ах + а вт2 ах а2 (к2 — х2) + вт2 ах '
а2 (к — х) вт2 ах — а вт 2ах а2 (к2 — х2) + вт2 ах
Далее, учитывая формулы (8), (35), (36), (37) и (38) , находим
р (х, а) = — (К 12 + К21) = д(х,а) = К11 — К22 =
а2 (к — х) вт 2ах а2 (к2 — х2) + вт2 ах'
2 а2 (к — х) вт2 ах + а вт 2ах
2 2 2
а2 (к2 — х2) + вт2 ах
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
и
Таким образом, удалось найти все коэффициенты семейства частично-изоспектрального оператора Дирака вида И (а):
D (а)у _°110 ) у'
У' +
2о? (ж-х) sin2 ах+а sin 2ах ' ах а2 (ж2 -x2)+sin2 ах
2а2 (ж-х) sin2 ах+а sin 2ах а2 (ж-х) sin 2ах
а2 (ж2 - x:2 )+sin2 ах
а2 (ж-х) sin 2ах
а2 (ж2-x2)+sin2 ах 22
п грА_п о i п
у = Ху, 0 < х < ж,
a2^2-x2)+sin2 ах
yi (0) = 0, yi (к) = 0, у (х) =
( Vi(х) \
2 ( х)
(39)
Все собственные значения краевой задачи D(a) состоят из заданных чисел Хо = а, |а| < 1, Хп = п, п Е Z\{0}, a соответствующие им собственные функции находятся по формулам
а2 (к2 _ х2) sin ах _ а2х (к _ х) sin ах + 2 sin3 ах
<fii(x, Хо) =
ф2(х,Х0) =
а2 (к2 _ х2) + sin2 ах '
ах sin ах _ а2 (к2 _ х2) cos ах + а (к _ х) [ах + sin ах] а2 (к2 _ х2) + sin2 ах
, , , 4(а _п)2 sin2 ах sinrn _ 4а2п (к _x)sinax sin^ _ п)х ^1(х,Хп)= -i----, r ^ 2-. 2—^-^-'— ,п Е Z\{0},
п(
( а _ п) [а2 (к2 _ х2) + sin2 ах]
<р2(х, Хп) = _ cosrn _
а sin^ _ п)х [а (х _ к) cos ах + sin ах] (а _ п) [а2 (к2 _ х2) + sin2 ах]
+
+
sin пх [_а (х _ к) cos ах + sin2a^]
п
[а2 (к2 _ х2) + sin2 ах]
, п Е Z\{0}.
Теперь посмотрим следующие смешанную задачу:
а2 (ж-х) sin 2ах 2а2 (ж-х) sin2 ах+а sin 2ах
гщ
U)
UX + I 2 2 f(*2-x2)+s+2 ах 2 a2^2-x2)+sin2ax | щ, 0 <х<к, |а| < 1,
^ i 2а2(ж-х) sin2 ах+аsm2ax а2(ж-х) sin 2ах I ' ' 1 1 '
а? (ж2 -x-2 )+sin2 ах а2(ж2-х2)+sin2 ах
щ(х, 0) = ¡(х), ¡(х) = (Д (х), ¡2(х)У , Ui (0, t) = 0, Ui (к, t) = 0, и (х, t) =
Ui ( х, ) . ^ U2 (х, t) ) .
(40)
Используя теорему 3.2, получим:
Следствие 3.2. Решение смешанной задачи поставленной для системы уравнения гиперболического типа с переменными коэффициентами (40) выглядит следующим образом:
Здесь,
и(х, t) = В0е mtуо(х) +
£
Впе-"*у„(х).
п = _<xi, п = 0
Ую(х) = У20(х) =
а2 (к2 _ х2) sin ах _ а2х (к _ х) sin ах + 2 sin3 ах а2 (к2 _ х2) + sin2 ах '
ах sin ах _ а2 (к2 _ х2) cos ах + а (к _ х) [ах + sin ах]
Уы(х) = sinrn _
а sin а х
а2 (к2 _ х2) + sin2 ах
а (к _ х) sin^ — п)х sinrn sin ах
а2 (тт2 _ х2) + sin2 ах
( а _ п)
п
,п Е Z\{0},
, . а sinfo _ п)х [а (х _ к) cos ах + sin ах]
У2п(х) = _ cos пх--7-х г 2f 2-к .. 2-1-+
( а _ п) а2 ( к2 _ х2) + sin2 а х
sinnx \—а (х — к) cos ах + sm0ax 1 >г ,
+-рЦ-^-2 I2 ■n е Z\{0},
n [а2 (к2 — х2) + sin2 ах\
е"К е"К
Во = У2о(х) h(x)dx, Вп = (у\п(х) fl(x) + У2п(х) f2(x))dx,n е Z\{0}. J0 J0
Таким образом, в этой статье построено семейство изоспектрального и частично-изоспект-рального оператора Дирака, D(...,j-n, ■ ■■■J0. ■ ■■■Jn....) и D(a) собственные значения которых совпадают соостветсвенно с заданными числами:
a(D(...,^-n, ■■■■ jo■ ■■■ Jn. ■■■)) = {Ап = n, е Z}
и
a(D(a)) = {Ао = а. \а\ < 1, Хп = n,n е Z\{0}} ■
С помощью изоспектрального и частично-изоспектрального оператора Дирака найдено решение смешанных задач, поставленных для системы дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа с переменными коэффициентами.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арутюнян, Т. Н. Изоспектральные операторы Дирака // Известия Национальной Академии Наук Армении. Математика, 29, № 2, 1994, с.4-14.
2. Albeverio, S., Hrvniv, R., Mykvtvuk, Ya. Inverse spectral problems for Dirac operators with summable potentials //Russian Journal of Math Physics, 12(2005), 406-423.
3. Etibar, S., Panakhov, Tuba Gulsen. Isospectralitv problem for Dirac system // National academy of sciences of Azerbaijan, v.40, Special issue, 2014, p.386-392.
4. Ashrafvan, Yu. A., Harutyunvan, T. N. Dirac operator with linear potential and its perturbations // Mathematical Inverse Problems, Vol.3, No.l (2016), 12-25.
5. Ashrafvan, Y., Harutyunvan, T. Isospectral Dirac operators // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations 2017, № 4, 1-9.
6. Гасымов, М.Г., Джабиев, Т. Т. Определение системы дифференциальных уравнений Дирака по двум спектрам // Труды летней школы по спектральной теории операторов и представлению теории групп - Баку: Элм, 1975, с. 46-71.
7. Гасымов, М. Г., Левитан, Б. М. Обратная задача для системы Дирака // ДАН СССР, -1966.
г. 167. № 5. с.967-971).
8. Poschel, J., Trubowitz, Е. Inverse spectral theory // Academic Press, New York, 1987.
9. Jodeit, M., Levitan, В. M. The isospectralitv problem for the classical Sturm-Liouville equation // Advances in differential equations. 1997, v.2, № 2, p. 297-318.
10. Jodeit, M., Levitan, В. M.. The izospectralitv problem fo some vector boundary problems // Russian journal of mathematical physics, vol.6, No.4, 1999, pp.375-393.
11. Ashrafvan, Y. A., Harutyunvan, T.N. Inverse Sturm-Liouville problems with fixed boundary conditions // Electronic Journal of differential equations, (2015), v. 2015, № 27, p.1-8.
12. Khasanov, A.B. Eigenvalues of the Dirac operator in the continuous spectrum // Theoretical and Mathematical Physics, 1994, 99(1), 396-401. https://doi.org/10.1007/BF01018793
13. Mirzaev, О. Е., Khasanov, А. В. On families of isospectral Sturm-Liouville boundary value problems //Ufa Math. J. 12:2 (2020),28-34. https://doi.org/10.13108/2020-12-2-28
14. Мирзаев, О. Э., Хасанов, А. Б. Изоспектралные операторы Штурма-Лиувилля на конечном отрезке // ДАН РУз. 2020, № 3, с. 3-9.
15. Мирзаев, О.Э., Муродов, Ф.М. Изоспектралные операторы Штурма-Лиувилля на конечном отрезке //Научный журнал Самаркандского университета, 2020, № 3(121), с. 50-55. https://doi.org/10.59251/2181-1296.v3.1211.1083
16. Мирзаев, О. Э. Изоспектралные операторы Штурма-Лиувилля на конечном отрезке //Научный журнал Самаркандского университета, 2020, № 5(123), с. 60-64. https://doi.org/ 10.59251/2181-1296.v5.1231.1436 *
17. Мирзаев, О. Э. Частично-изоспектральные операторы Штурма-Лиувилля на конечном отрезке // Чебышевский сборник. 2023, Т.24, Выпуск 1(87), с. 104-113. https://doi.org/ 10.22405/2226-8383-2023-24-1-104-113
18. Мирзаев, О. Э., Сувонова, М. Частично-изоспектральные операторы Штурма-Лиувилля на конечном отрезке // Математические методы и модели в высокотехнологичном производстве. II Международный форум. 9 ноября 2022 г. Сборник тезисов докладов, с. 23-27.
19. Амбарцумян, В. A. Uber eine Frage Eigenwerttheori. // Zeitschr, fur Phvsik, 53,1929, pp.690695.
20. Алимов, Ш. А. О работах A. H. Тихонова по обратным задачи для уравнения Штурма-Лиувилля // УМН, 6(192), 1976, с. 84-88.
21. Гельфанд, И.М., Левитан, Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР, сер. матем. 1951, т. 15, № 4, с. 309-360.
22. Левитан, Б. \!.. Саргсян, И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака // М.: Наука, 1988.
23. Марченко, В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения // Киев «Наукова Думка» 1977.
24. Савчук, A.M., Шкаликов, А. А. О свойствах отображений, связанных с обратными задачами Штурма-Лиувилля // Тр. MIIAII. 2008, Т. 260., с. 227-247. https://doi.org/10.1134/ S0081543808010161
25. Юрко, В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач // М.: Физматлит, 2007, 284 с.
REFERENCES
1. Arutjunjan, T.N. 1994, "Isospectral Dirac operators", Proceedings of the National Academy of Sciences of Armenia. Mathematics, 29, № 2, pp. 4-14.
2. Albeverio, S, Hrvniv, R., Mykvtvuk, Ya. 2005, "Inverse spectral problems for Dirac operators with summable potentials", Russian Journal of Math Physics, 12, pp. 406-423.
3. Etibar S. Panakhov, Tuba Gulsen. 2014, "Isospectralitv problem for Dirac system", National academy of sciences of Azerbaijan, Vol.40, Special issue, pp. 386-392.
4. Ashrafvan, Yu. A., Harutyunvan, T. N. 2016, "Dirac operator with linear potential and its perturbations", Mathematical Inverse Problems, Vol.3, No.l, pp. 12-25.
5. Ashrafvan, Y., Harutyunvan, T. 2017, "Isospectral Dirac operators", Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, № 4, pp. 1-9.
6. Gasvmov, M.G., Dzhabiev, T.T. 1975, "Determination of the system of Dirac differential equations from two spectra", Proceedings of the Summer School on the Spectral Theory of Operators and the Representation of Group Theory - Baku: Elm, pp. 46-71.
7. Gasvmov, M.G., Levitan, B.M. 1966, "Inverse problem for the Dirac system", DAN USSR, v.167, № . 5. pp.967-970.
8. Poschel, J., Trubowitz, E. 1987, "Inverse spectral theory", Academic Press, New York.
9. Jodeit, M., Levitan, B. M. 1997, "The isospectralitv problem for the classical Sturm-Liouville equation", Advances in differential equations, v.2, № 2, pp. 297-318.
10. Jodeit, M., Levitan, B. M. 1999, "The izospectralitv problem for some vector boundary problems", Russian journal of mathematical physics, vol.6, No.4, pp. 375-393.
11. Ashrafvan, Y. A., Harutyunvan, T.N. 2015, "Inverse Sturm-Liouville problems with fixed boundary conditions", Electronic Journal of differential equations, v. 2015, № 27, pp. 1-8.
12. Khasanov, A.B. 1994, "Eigenvalues of the Dirac operator in the continuous spectrum", Theoretical and Mathematical Physics, 99(1), pp. 396-401. https://doi.org/10.1007/ BF01018793
13. Mirzaev, O. E. Khasanov, A. B. 2020, "On families of isospectral Sturm-Liouville boundary value problems", Ufa Mathematical Journal, 12:2, pp. 28-34. https://doi.org/10.13108/2020-12-2-28
14. Mirzaev, O. E., Hasanov, A. B. 2020, "Isospectral Sturm-Liouville operators on the finite interval", DAN RUz., № 3, pp. 3-9.
15. Mirzaev, O.E., Murodov, F.M. 2020, "Isospectral Sturm-Liouville operators on the finite interval", SCIENTIFIC JOURNAL Samarkand State University, 3(121), pp. 50-55. https://doi.org/10.59251/2181-1296.v3.1211.1083
16. Mirzaev, O. E. 2020, "Isospectral Sturm-Liouville operators on the finite interval", SCIENTIFIC JOURNAL Samarkand State University, 5(123), pp. 60-64. https://doi.org/10.59251/2181-1296.v5.1231.1436
17. Mirzaev, O. E. 2023, "Partiallv-isospectral Sturm-Liouville operators on the finite interval", Chebyshevskii Sbornik, Vol. 24, Iss. 1(87), pp. 104-113. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-1-104-113
18. Mirzaev, O. E., Suvonova, M. 2022, "Partiallv-isospectral Sturm-Liouville operators on the finite interval", Mathematical m,et,hods and models in high-tech production. II International Forum. November 9, 2022, pp. 23-27.
19. Ambarzumjan, W. A. 1929, "On a Problem of the Theory of Eigenvalues", Zeitschr, fur Physik. 53, pp. 690-695.
20. Alimov, Sh. A. 1976, "The work of A. N. Tikhonov on inverse problems for the Sturm-Liouville equation", UMH. 31:6(192), pp. 84-88. /Russian Math. Surveys, 31:6, pp. 87-92].
21. Gelfand, I. M.. Levitan, B.M. 1951, "On the determination of a differential equation from its spectral function", Izv. Academy of Sciences of the USSR. Ser. math. 15 :1 , pp. 309-360.
22. Levitan, B.M., Sargsvan, I.S. 1988, "Sturm-Liouville and Dirac operators", Nauka. Moscow, [Kluwer Acad. Puhl. Dordrecht (1990).]
23. Marchenko, V. A. "Sturm-Liouville Operators and Applications", Kiev "Naukova Dumka" 1977. [Birkhauser Verlag (1986).]
24. Savchuk, A. M., Shkalikov, A. A. 2008, "On the properties of maps connected with inverse Sturm-Liouville problems", Trudy MIAN. 260, pp. 227-247 . /Proc. Steklov Inst. Math. 260 , pp. 218 231 (2008).] https://doi.org/10.1134/S0081543808010161
25. Yurko, V. A. 2007, "Introduction into the theory of inverse spectral problems", M.: Fizmatlit, 284 p.
Получено: 08.01.2024 Принято в печать: 04.09.2024
