CC BY
14ФИЗИКА K.M. Рашидханов: ЗА. Исаев, ГА Абдусаламов, ХМ. Абдулпаев. М.К. Гусейханов. Измерение гравитационной постоянной
ВЕСТНИК
ДАГЕСТАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. Вып. 4. 2004
ФИЗИКА
УДК 531.5.08Гб
Измерение гравитационной постоянной
K.M. Рашидханов, З.А. Исаев. ГА Абдусаламов, Х.М. Абдуллаев, М.К. Гусейханов
Широко известный классический метод измерения гравитационной постоянной, осуществленный Кавендишем в 1798 году, имеет, как известно, большой недостаток: т, к. в закон всемирного тяготения
ГПлГП?
г - / —~ R
(1)
расстояние К входит в квадрате, то по теории ошибок неточность в определении Р увеличивает неточность в определении у в2 раза.
Известная в электростатике теорема Гаусса - Остроградского натолкнула Ри-харца на мысль измерять силу тяготения к плоской массивной плите.
mi
nii
м
t
Рис. 1
Эта сила определяется следующей формулой
Р = , (2)
5
где т = 2т1 - масса шаров: М - масса плиты; Б - площадь поверхности плиты, / - гравитационная постоянная.
Основной недостаток метода Рихарца заключается в необходимости изначального строгого сбалансирования весов без наличия плиты и последующего подведения ее под весы. К самим весам этот метод предъявляет противоречивые требования: весы должны выдерживать вес двух достаточно массивных шаров и к тому же быть очень чувствительными.
Это обстоятельство вынудило Рихарца работать с массами порядка 100 тонн. Главным преимуществом этого метода является отсутствие в формуле (2) расстояния между плитой и шарами. Как известно, это соотношение соблюдается до тех пор, пока размеры плиты намного превышают расстояние от шаров до плиты.
ФИЗИКА K.M. Рашидханов. З.А. Исаев, Г.А. Абдусаламов, Х М Абоуллаев: М.К. Гусейханов. Измерение гравитационной постоянной
Кавендиш использовал массу 158 кг, потому что работал с намного более чувствительными крутильными весами. Поиск компромисса приводит к методу, использующему достоинства обеих установок [1-4].
L _
Рис. 2
Установка представляет собой, как в опыте Кавендиша: крутильные ве:.ы. грузы подвешены вдоль плиты примерно к ее середине Плитд вначале устанавливается в положение АА . Отклоняя коромысла от положения равновесия, находим период свободных колебаний Т0 подвеса.
Решая простое дифференциальное уравнение
, d2V
- кх¥ = J -----dt2
(3)
определяем упругую постоянную подвеса к. Далее установим плиту в положение ВВ1. Учитываем, что закручивающий механический момент М- - Р ■ компенсируется моментом силы упругости М = кш. Здесь J - момент инерции подвеса с грузами, к - коэффициент упругости нити подвеса, Ч' - угол поворота, / - плечо коромысла весов.
Опуская промежуточные вычисления для определения к, получаем выражение ^тг
— ¥ t 1 I
(4)
2МТ0-
где То - период свободных колебаний крутильных весов.
Мы видим, что в эту формулу не входит расстояние между шарами и плитой, что, естественно, увеличивает точность измерений.
Кроме того, нужно обратить внимание на тот факт, что в (4) не входит масса грузов т. Этот факт объясняется взаимозависимостью угла поворота^, увеличивающегося с увеличением т, и квадрата периода Т, также возрастающего с увеличением т.
Вторым вариантом определения гравитационной постоянной является метод, при котором не нужно определять угол поворота. Но в этом случае надо использовать две плиты. Помещаем весы с известным коэффициентом упругости нити подвеса с соответствующим периодом колебаний Т0 в пространство между плитами (рис. 3).
ФИЗИКА K.M. Рашидханов. З.А. Исаев, ГА. Абдусапамов, Х.М. Абдулпаев, М.К. Гусейханов. Измерение гравитаиионной постоянной
Отклоняем их от положения равновесия, на коромысло действует дополнительный момент силы М1 = -2Ff • sin4' , при малых углах М1 = ~2Fí ■ ХР1. Уравнение (3) принимает следующий вид:
dt
(5)
(6)
Соответствующим образом изменится и период колебаний подвеса.
Найдя из (3) и (4) выражения для периодов колебаний Тс и Т. затем решая их совместно, получим выражение для постоянной
ту • 7* т М •
Таким образом, в последнем методе для определения у достаточно измерить период свободных колебаний весов Т0 и период колебаний Тпри наличии плит.
Эффективность работы установки зависит от свойств нити подвеса. К ней тоже предъявляются противоречивые требования: чтобы силы тяготения были достаточно велики, грузы m1 должны быть тяжелыми, диаметр нити должен быть большим. Чтобы весы реагировали на малые механические моменты, диаметр нити нужно уменьшать. Однако прочность нити пропорциональна площади сечения, то есть с/2, а модуль кручения пропорционален (f. Из этого следует, что массу груза можно сделать достаточно малой. Но как бы не уменьшали грузы mv. коромысло имеет минимальную массу. Расчеты показывают, что измерения нужно проводить на вольфрамовой нити диаметром 15 микрон.
Литература
1. Спиридонов О.П. Фундаментальные физические постоянные. - М.: Высшая школа, 1991. - С, 50.
Мимоков В.К., Сашпов М.У. Гравитационная постоянная в астрономии. - М., 1985. Милюков В.К. Экспериментальная проверка закона тяготения для лабораторных расстояний//ЖЭТФ. 1985, Т. 82. Вып. 2.
Рашидханов K.M. и др. К вопросу об определении гравитационной постоянной // Вестник ДГУ. Естественные науки. 2003. Вып. 1.
2.
3.
