Изменения функции распределения расстояний между частицами Леннард-Джонса в двумерной системе при плавлении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.421

С. О. Юрченко, Н. П. Крючков

ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ ЧАСТИЦАМИ ЛЕННАРД-ДЖОНСА В ДВУМЕРНОЙ СИСТЕМЕ ПРИ ПЛАВЛЕНИИ

Исследован переход порядок — беспорядок в двумерной решетке атомов, взаимодействие между которыми описывается потенциалом Леннард-Джонса. Вычислительные эксперименты проводились методом молекулярной динамики. Показано, что функции парного распределения могут быть построены при помощи приближенного метода s-функций. Установлено, что в области перехода порядок — беспорядок температурная зависимость неупорядоченности структур не имеет скачка, в отличии от трехмерного случая.

E-mail: st.yurchenko@mail.ru

Ключевые слова: конденсированное состояние, неупорядоченные структуры, фазовый переход, молекулярная динамика.

Актуальными задачами современной физики конденсированного состояния, важность которых трудно переоценить, являются разработка новых методов описания конденсированных структур и установление закономерностей их превращений, в том числе, переходов типа порядок — беспорядок. В отличие от кристаллических систем, свойства которых изучены достаточно, область исследования неупорядоченных структур далека от логического завершения. Интерес к неупорядоченному состоянию связан с тем, что в частных случаях неупорядоченные структуры представляют собой аморфные твердые тела и жидкости, различия между которыми до сих пор остаются неясными.

Прогнозирование временной эволюции неупорядоченных структур в жидкости и твердых телах может найти широкое практическое применение при создании новых технологий управления аморфными структурами конденсированных сред, а также при объяснении явлений разрушения, кавитации, локальных структурных переходов, самосборки в конденсированных средах и т. д.

Одна из сложностей на пути построения теории эволюции неупорядоченных структур (их появления и превращений) заключается в отсутствии даже приближенных методов их описания (например, при помощи функции парного распределения (ФПР) расстояний между частицами), в особенности вблизи точки перехода порядок — беспорядок. Ввиду сложности описаной задачи, основная работа на протяжении долгого времени выполняется лишь при помощи вычислительных

экспериментов (например, методом Монте-Карло или методом молекулярной динамики (МД)) с различными потенциалами взаимодействия.

В работах [1-3] был предложен новый способ приближенного построения функции парного распределения расстояний, в котором фигурирует функция плотности вероятности пребывания некоторого ближайшего узла (з-функция). Зная эту функцию и группу симмет-рий кристалла, можно построить ФПР расстояний между частицами, а в низкотемпературном и высокотемпературном пределе можно указать простые асимптотические зависимости параметра неупорядоченности п (степень делокализации ближайшего узла).

В настоящей работе численно (методом МД) и теоретически (методом ^-функции) строится ФПР расстояний конденсированных структур в упорядоченном и неупорядоченном состоянии. О переходе свидетельствует существенное изменение подвижности узлов.

Для анализа данного вопроса была рассмотрена простейшая двумерная (2П) система при плавлении. Для такой системы произведена проверка применимости метода ^-функций к построению ФПР расстояний частиц в 2Д-системах.

В качестве модели была выбрана 2Д-система частиц (~ 25 • 103 атомов), исходная конфигурация которых соответствует гексагональной решетке с плотностью р = 1. Взаимодействие между частицами задавалось в виде потенциала Леннард-Джонса:

где г — расстояние между частицами; Ь, £ — параметры, связанные с равновесным расстоянием и минимальным значением потенциала Леннард-Джонса.

Моделирование выполнялось в системе единиц Леннард-Джонса, в силу чего £ и Ь принимались равными единице. Температура системы изменялась от 0,3 до 3,1 в энергетических единицах Леннард-Джонса с шагом 0,1. Для идентификации момента плавления системы на каждом шаге рассчитывалось среднеквадратичное (за время моделирования) смещение частицы из исходного положения:

Выполнялось моделирование методом МД в пакете ЬАММРБ.

Для построения ФПР расстояний между узлами методом, описанным в работе [1], необходимо выбрать некоторую аппроксимацию реальной ^-функции. В данной работе ^-функция была взята в гауссовом

виде:

s(r, п, A)

\r - A\2 2п2

r < A;

r > A,

где п — параметр неупорядоченности (характеризует степень делока-лизации ближайших узлов), А — параметр обрезки.

Построение ФПР расстояний между узлами методом ^-функций ра = ра(г, п), выполнялись для наборов параметров п = 0,01 • • • 0,21 с шагом 0,001, параметр А принимался равным 1,07. Функции ра нормировались на единицу:

Верхняя граница интегрирования была принята 4,0 и обусловлена тем, что построение ра(г, п) выполнялось в интервале г от 0 до 4,0 относительных единиц расстояния. Сопоставление ра(г, п) и р(г, Т) (ФПР расстояний, полученной в вычислительном эксперименте методом МД), нормированной на единицу, позволяет найти температурную зависимость параметра неупорядоченности п:

Сопоставление выполнялось численно посредством минимизации функционала ошибки:

Результаты вычислительных экспериментов. Сравнение 20-ФПР расстояний. На рис. 1 изображена зависимость a(T), излом на графике соответствует плавлению системы переходу в неупорядоченное состояние. Таким образом, температура перехода в неупорядоченное состояние (плавления) системы при заданном объеме T & 2,5. На рис. 2, а представлена совокупность ФПР расстояний между узлами, полученных в вычислительных экпериментах методом МД. Видно, что с изменением температуры ФПР не претерпевает скачкообразных изменений. На рис. 2, б представлена совокупность ФПР, полученных методом s-функций (теоретические интерполяционные зависимости). Сравнение экспериментальной и теоретической ФПР расстояний указывает на полное согласие между ними.

/

ps(r, п) dr = 1.

п = П(т).

Из рис. 2, а видно, что в области как упорядоченной, так и неупорядоченной фазы ФПР расстояний системы непрерывно меняется с ростом температуры. При плавлении системы ФПР расстояний претерпевает незначительные изменения, ощутимые только на дальних пиках (начиная с четвертого пика).

Последний результат сильно отличается от ситуации в 3Д-систе-мах, где в подобных вычислительных экспериментах наблюдается скачок, заметный уже на втором пике [4]. Подобное поведение ФПР расстояний при плавлении может быть обусловлено фундаментальными отличиями между двумерным и трехмерным фазовыми переходами.

Отсутствие скачкообразного поведения в 2Д-системах говорит, также о несущественном изменении структуры по сравнению с 3Д-системами. Так как принципиальное значение для описания свойств системы имеют только ближние пики (взаимодействие с ними вносит наибольший вклад в термодинамический потенциал системы), то можно считать, что при плавлении 2Д-систем, ФПР расстояний меняется непрерывно. Таким образом можно пренебречь незначительными несовпадениями в области дальних пиков.

На рис. 3 изображены результаты построения ФПР расстояний между частицами методом ^-функций. ФПР частиц в этом случае представляет собой двумерную функцию, зависящую только от координат частиц в плоскости. Видно, что с увеличением расстояния делокализация частиц растет. Следует отметить, что такое построение справедливо только для слабонеупорядоченных кристаллических структур.

При переходе в сильнонеупорядоченное (жидкое) состояние построенное таким образом распределение будет обладать симметриями

б

Рис. 2. ФПР расстояний, полученные соответственно методом МД и методом 8-функций. ФПР соответствуют температурам от 0,3 до 3,1 с шагом 0,1 (а), ФПР соответствуют значениям п от 0,041 до 0,1 с шагом 0,001 (б)

д е

Рис. 3. Двумерные ФПР расстояний, построеные методом s-функций:

а — п = 0,042; б — п = 0,062; в — п = 0,082; г — п = 0,0102; д — п = 0,0122; е — п = 0,0142

исходной кристаллической конфигурации. Однако, существенным является не все простраственное распределение, а только радиальная функция парного распределения (плотность вероятности пребывания на определенном расстоянии), которая определяет полную энергию взаимодействия частицы с остальной конфигурацией.

На рис. 4 изображена полученная зависимость параметра в-функ-ции г/2 от температуры. В области упорядоченной фазы, зависимость п2(Т) изменяется практически линейно. В окрестности области плавления п2(Т), вероятно, претерпевает некоторый излом, однако не наблюдается существенных скачков, в отличии от 3Д-систем. Также стоит отметить, что температурам Т = 2,7 ...3,0 соответствует одно и то же значение п2. То есть степень неупорядоченности в высокотемпературном пределе слабо зависит от температуры, а в основном определяется плотностью.

Рис. 4. Температурная зависимость щ2

На рис. 5 приведены сравнения ФПР, полученных экспериментально вычислительным методом МД и теоретические интерполяционные кривые, найденные методом в-функций. Видно, что экспериментальные и теоретические зависимости практически совпадают. Имеющиеся расхождения могут быть обусловлены выбором приближения реальной в-функции.

Выводы. В ходе моделирования 2Д-системы методом МД установлено, что метод в-функций, как и в 3Д-системах, применим для

Рис. 5. Сравнение ФПР расстояний, найденных из вычислительных экспериментов методом МД (сплошные линии) и теоретические интерполяционные кривые, построенные методом з-функции (пунктирные линии):

а — Т = 0,5, п = 0,046; б — Т = 1,0, п = 0,06; в — Т = 1,5, п = 0,071; г — Т = 2,0, ц = 0,083; д — Т = 2,5, п = 0,09; е — Т = 3,0, п = 0,099

построения ФПР межчастичных расстояний. Однако из сравнения экспериментальных и теоретических интерполяционных кривых следует, что неупорядоченность в 2_0-системах не претерпевает скачкообразного изменения при переходе порядок — беспорядок. Также следует отметить важную особенность: после плавления системы rf(T) слабо зависит от температуры, принимая почти постоянное значение. Все результаты проведенного моделирования полностью совпадают с ожиданиями [3].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 12-08- 31104 мол_а, 12-08-33112 мол_а_вед).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bunkin N. F., Yurchenko S. О., Suyazov N. V. et al. Structure of the nanobubble clusters of dissolved air in liquid media // J. of biological physics. — 2012. -Vol. 38. -№ 1,- P. 121-152.

2. Bunkin N. F., Yurchenko S. O., Suyazov N. V. et a 1. Modeling the cluster structure of dissolved air nanobubbles in liquid media // Classification and Application of Fractals. — New York: Nova Science Publishers Inc., 2011.

3. Юрченко С. О. Новый метод построения функции парного распределения расстояний между частицами в неупорядоченных структурах // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки. Спец. вып. Необратимые процессы в природе и технике. — 2012.

4. Юрченко С. О., Крючков Н. П. Неупорядоченные состояния и функции парного распределения расстояний в Леннард-Джонсовской системе // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Естественные науки. Спец. вып. Необратимые процессы в природе и технике. — 2012.

Статья поступила в редакцию 30.05.2012