Изменение локальной структуры и деформация магниточувствительных эластомеров под воздействием магнитного поля Текст научной статьи по специальности «Технологии материалов»

Изменение локальной структуры и деформация магниточувствительных эластомеров под воздействием магнитного поля

Тощевиков Владимир Петрович

канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, Институт высокомолекулярных соединений Российской академии наук

Магниточувствительные эластомеры представляют собой сетчатые полимерные материалы с внедренными намагничивающимися металлическими частицами. Эти полимеры относятся к классу стимул-чувствительных полимеров и способны деформироваться, а также изменять свои упругие свойства под воздействием магнитного поля. В настоящей работе предложена теоретическая модель для исследования деформации магниточувствительных эластомеров под воздействием магнитного поля при учете изменений локальной структуры этих композиционных материалов. Показано, что влияние магнитного поля приводит к появлению упорядоченных цепных структур, сформированных намагничивающимися частицами. Для магниточувствитель-ных эластомеров с изотропным распределением магнитных частиц этот эффект вызывает растяжение полимера вдоль магнитного поля в соответствии с экспериментальными данными. Влияние эффекта локальных перестроек намагничивающихся частиц усиливает деформацию магниточувствительных эластомеров под воздействием магнитного поля по сравнению с предсказаниями теории сплошной среды. Результаты работы могут быть полезны для практических приложений, где требуется управление механическими свойствами эластичных элементов с помощью магнитных полей. Ключевые слова: магниточувствительные эластомеры; композиционные материалы; стимул-чувствительные полимеры; магнитоиндуци-рованная деформация

Введение

Создание материалов с управляемыми свойствами под влиянием внешних воздействий является одной из важных задач современной науки о материалах. Магниточувствительные эластомеры относятся к классу так называемых стимул-чувствительных материалов, способных изменять свою форму и упругие свойства под воздействием внешнего магнитного поля. Эти материалы состоят из сшитой полимерной матрицы с внедренными намагничивающимися частицами. Под воздействием внешнего магнитного поля внедренные металлические частицы намагничиваются, и их взаимодействие приводит к деформации магниточувствительных эластомеров, а также к изменению их упругих свойств. Возможность регулирования свойств магниточувствительных эластомеров с помощью магнитного поля открывает возможности их использования в практических приложениях [1-6]: магниточувствительные датчики, контролируемые мембраны, настраиваемые амортизаторы, муфты сцепления и активные системы торможения для автомобилестроения, устройства для сглаживание сейсмических колебаний и другие.

Рисунок 1. Магниточувствительный эластомер, имеющий форму эллипсоида вращения, во внешнем магнитном поле

ю Из-за своего нетривиального поведения магниточувстви-

© тельные эластомеры являлись предметом активных исследо-

ваний на протяжении последних двух десятилетий [7-17]. В частности, в экспериментальных работах было показано, что магниточувствительные эластомеры с изотропным распределением намагничивающихся частиц проявляют растяжение вдоль направления магнитного поля [9, 12]. С другой стороны, теоретические работы предсказывают как растяжение, так и сжатие этих материалов вдоль магнитного поля в зависимости от взаимосвязи смещений частиц с деформацией образца [14-^ 17]. В этих теоретических работах предполагалось, что смеще-

со ние частиц обусловлено только макроскопической деформа-

1 цией полимера. Однако, вполне можно допустить, что намаг-

ничивающиеся частицы способны перестраиваться в полимерной матрице за счет магнитных взаимодействий даже при отсутствии макроскопической деформации образца.

В данной теоретической работе основное внимание уде-

СО лено исследованию эффекта локальных пространственных

О X

перестроек намагничивающихся частиц под воздействием

X магнитного поля и влияния этого эффекта на механическую

деформацию магниточувствительных эластомеров. Показано, что под воздействием магнитного поля намагничивающиеся частицы формируют упорядоченные цепные структуры вдоль направления магнитного поля. Этот эффект приводит к растяжению магниточувствительных эластомеров вдоль направления магнитного поля в соответствии с экспериментальными данными.

Модель и основные уравнения

Как было показано в предыдущих работах, механический отклик магниточувствительных эластомеров под воздействием магнитного поля зависит от формы образцы [12, 16, 17]. Это обусловлено наличием дальнодействующих взаимодействий между намагничивающимися частицами. В настоящей работе исследовалось поведение образца, имеющего форму эллипсоида вращения, когда магнитное поле H направлено вдоль оси симметрии Ох (Рисунок 1). Для образца такой формы имеется возможность получить аналитическое выражение для энергии магниточувствительного эластомера во внешнем магнитном поле и исследовать магнитоиндуцирован-ную деформацию в зависимости от аспектного отношения

главных осей эллипсоида, у

V

(a)

(б)

U = -

magn

2 х- +1/3-ф-(f + f . )

™ г \j macro J micro '

(1)

где M0 - магнитная постоянная, ф - объемная доля внедренных частиц, % - магнитная восприимчивость частиц. При выводе соотношения (1) предполагалось, что частицы имеют шарообразную форму. Факторы f и f в со-

г rj-rrj г j micro J macro

отношении (1) определяются диполь-дипольными взаимодействиями между намагничивающимися частицами. Макроскопический фактор f macro определяется вкладами от частиц, находящихся на достаточно больших расстояниях: rij > 10a , где rij - расстояние между /-ой иу-ой частицами

(Рисунок 1), a - среднее расстояние между ближайшими ча-

-1/3

стицами: a = С , здесь с - число частиц в единице объема. Ранее была получена зависимость f от аспектного

1 J macro

отношения у = L|| / L± в следующем виде [16]: 1 i

Lcro. (у) = - 2 J [3x2 - 1]ln[x2 + у2(1 - x2)]dx . 2 0

(2)

Макроскопический фактор зависит от формы образца, но не зависит от локального распределения частиц. Напротив,

микроскопический фактор f сильно зависит от локаль-

micro

ного распределения частиц [16]:

= h 3cos2 0ц-1 .

f mim 4ж h r3

(3)

Рисунок 2. Магниточувствительный эластомер с изотропным пространственным распределением частиц (а) и при наличии цепных структур, сформированных намагничивающимися частицами (б). Рядом с каждой структурой приведена модель регулярной полимерной сетки для расчета магнитной и механической энергии.

В области магнитных полей, при которых намагниченность частиц линейно зависит от напряженности магнитного поля, было получено выражение для энергии магниточувствитель-ного эластомера, имеющего форму эллипсоида вращения, в магнитном поле [16]. При пересчете на единицу объема образца эта энергия записывается в следующем виде [16]:

фИ2

Здесь 0.. - угол между направлением внешнего магнитного поля и радиус-вектором Г., соединяющим центры частиц. Суммирование в соотношении (3) ведется по всем парам частиц / и у, находящимся внутри сферы c радиусом

r0 = 10 a .

Для изотропного пространственного распределения частиц (Рисунок 2a) выполняется соотношение

<cos2 0.> = 1/3 , поэтому f micro= 0. Для распределений, при которых частицы формируют цепные структуры вдоль оси симметрии (Рисунок 2б), имеем (cos2 0.>> 1/3 и

f micr> 0. Если частицы формируют плоскости перпендикулярно оси симметрии Ох, то (cos2 0 > < 1/3 и f micro< 0

. Таким образом, величина и знак параметра f micro определяют характерные структуры пространственного распределения частиц.

В предыдущих теоретических работах [15-17] предполагалось, что изменение величины f определяется только

' J micro г "

макроскопической деформацией эластомера за счет изменения Г.. при деформации образца. В настоящей работе используется подход, в котором изменение величины f micro

может происходить независимо от деформации образца за счет возможных локальных пространственных перестроек

X X

о

го А с.

X

го m

о

м о м

CJ

fO CS

о

CS

о ш m

X

<

m О X X

намагничивающихся частиц. Из соотношения (1) можно увидеть, что магнитная энергия уменьшается при увеличении

фактора f :

~ г J micro

dU

Mo

ф2 H2

df

J mi

2 [г1 +1/3-ф-(f + f . )]2

L/l t \J macro J micro /J

< 0

(4)

Это означает, что энергетически выгодно формирование намагничивающимися частицами упорядоченных цепных

структур с / тссг> 0. С другой стороны, смещения частиц

изменяют механическую энергию эластомера за счет деформации фрагментов сетчатой полимерной матрицы.

Для расчета изменения механической энергии эластомера

при варьировании параметра / тссго была предложена следующая модель. Для магниточувствительного эластомера с изотропным распределением частиц (/ тссг = 0) вводится

кубическая модель полимерной сетки (Рисунок 2а). Регулярная кубическая модель сетки широко использовалась для описания механических свойств сетчатых полимеров [18-20]. Среднее расстояние между ближайшими частицами, а , связано с объемной долей частиц: ф = V/ а3, где V - объем частицы. Коэффициент упругости К в модели характеризует упругие свойства фрагментов полимерной сетки между частицами и связан с модулем упругости магниточувствительного

эластомера, Е [20]: К = Еа /3 .

При перемещении частиц под воздействием магнитного поля возникает анизотропная структура магниточувствитель-ного эластомера, свойства которого описываются регулярной моделью сетки, в которой расстояние между частицами вдоль и поперек магнитного поля различаются: а^ Ф а± (Рисунок

2б). Поскольку общее число частиц в единице объема остается неизменным, то выполняется соотношение:

2 3

ауа± = а . В области линейной упругости коэффициент К

остается постоянным [21, 22]. Механическая энергия анизотропного эластомера в рамках предложенной модели сетки вычисляется следующим образом при пересчете на единицу объема материала:

Umech =JL K [a, 2 + 2al ]■

(5)

2a

2 3

С учетом соотношений K = Ea /3 и a^a ± = a уравнение (5) может быть переписано в виде:

U . =1E W + 2/1 1,- (6)

mech у V 'Л

6

где вводится безразмерный параметр / = a^ / a, характеризующий структуру распределения частиц в эластомере: / = 1 для изотропного распределения; / < 1 и / > 1 для распределений частиц, формирующих цепные структуры и плоскости, соответственно. В рамках предложенной регулярной модели сетки величина / однозначно связана с параметром f : f = f (3), Рисунок 3а.

г г J micro J micro J micro-f / 1

Эта функция монотонно убывает: 8fmiroo /8/ < 0.

(a)

(б)

Рисунок 3. Зависимость фактора fm

F(ß) = ß - ß2 (б).

j от параметра □ (а). Функция

Изменение локальной структуры и возникающее механическое напряжение, приводящее к деформации магниточувствительного эластомера, определяются суммарной энергией, которая содержит два вклада: U = U + U , ■ В следую-

mag mech

щем разделе представлены результаты исследования изменения локальной структуры и деформации магниточувстви-тельных эластомеров на основе анализа их энергии в магнитном поле при учете пространственных перестроек намагничивающихся частиц.

Результаты и их обсуждение

Равновесное значение параметра ß , характеризующего пространственное распределение частиц, определяется из минимума энергии магниточувствительного эластомера: dU / dß = 0 ■ Последнее уравнение с учетом соотношений (1) и (6) может быть переписано в виде:

3 E\ß-ß-2 ]=&___dfmco. ■

2 [у +1/3-ф-(f + f. )]2 dß

L/u r \J macro J micro s J >

(7)

Из этого уравнения можно увидеть общую закономерность. Функция Е= ¡ — в левой части уравнения (7) монотонно возрастает (Рисунок 3б), а величина в правой части этого уравнения отрицательная, поскольку д[тСсоо / др < 0, как было отмечено выше. Таким образом, решение уравнения (7) всегда находится в области р(¡) < о, то есть р < 1 , что соответствует формированию цепных структур ( /тссг> 0). Поделив обе части уравнения (7) на величину Е, можно увидеть, что зависимость р от напряженности магнитного поля определяется безразмерной комбинацией параметров: Моф2 Н2/ Е.

(a)

(б)

Рисунок 4. Зависимости равновесных значений параметра /3 (а) и фактора / тссго (б) от квадрата напряженности магнитного поля. у0 = 1, ф = 0.05, % = 100.

образца вдоль оси симметрии Ох. Знак величины С определяет направление деформации: растяжение (С > 0 ), либо

одноосное сжатие (С < 0) вдоль магнитного поля. Отметим, что изменение энергии в правой части уравнения (8) связано с изменением параметра 3 за счет смещения частиц

при деформации, а также с изменением фактора /тасго (у)

из-за изменения формы образца. Этот результат можно переписать в виде:

ди й/ ди_ . (9)

о = —

dX

д/ йЯ д/

/ </ тс

Однако, в этом соотношении первое слагаемое в правой части равно нулю, поскольку ди / д/ = 0, как было указано ранее. Таким образом, величина и знак деформации определяется вторым слагаемым в правой части уравнения (9). Из условия постоянства объема эластомера имеем: ц = Ц(0)Я и

Цх = Ц^/л/Я. Отсюда следует, что параметр

у = Ц | / Ц, изменяется при деформации следующим об-

уХ , где У0 = L(0) /L0)

аспектное от-

разом: у- ' -X

ношение исходного (недеформированного) образца. С учетом изложенного и при использовании соотношения (1) уравнение (9) перепишется в виде:

ф2 И2 /

т(3у0 /2)

о =-

2 + 1/3 -ф - (f + f . )]2

L/U т \j macro J micro s J

(10)

В качестве примера на Рисунке 4а приведены результаты расчета зависимости равновесного значения параметра ft от

параметра /иаф2H2 /E путем численного решения уравнения (7). На Рисунке 4б приведена соответствующая зависимость для фактора f micro . Видно, что влияние магнитного

поля приводит к изменению параметров ft и f micro в область значений ft < 1 и f micr> 0 , что означает формирование цепных структур. Чем сильнее магнитное поле, тем значительнее возникающая анизотропия цепных структур, характеризующаяся более высокими значениями параметра

f micro . Фактор по горизонтальной оси на Рисунке 4а содержит модуль упругости E в знаменателе. Это означает, что для более мягких эластомеров возникающая анизотропия цепных структур выше. Этот результат обсуждался в экспериментальных работах [8, 13].

Взаимодействие между намагничивающимися частицами приводит к возникновению механического напряжения, вызывающего деформацию магниточувствительного эластомера. Величина механического напряжения, О , может быть вычислена из следующего соотношения [21]: dU

(a)

о =--'

dX

где X= L,,/ L(0)

(8)

относительное удлинение образца.

(б)

сг

уУ

Т< юр1 1Я

С реды

Здесь L(0) и L, - размеры исходного и деформированного

цйф2Н2!Е

Рисунок 5. Зависимость коэффициента А от у (а). Зависимость маг-нито-индуцированного механического напряжения от квадрата напряженности магнитного поля (б). у = 1, ф = 0.05, % = 100.

X X

о

го А с.

X

го m

о

ю О

ю

CJ

На Рисунке 5а приведена зависимость коэффициента

A =

df

J ma

CO CS

о

CS

о ш m

X

<

m О X X

"(3Го/2)

от величины уо. Видно, что параметр A -

положительный при любых значениях уо. Из этого следует вывод, что согласно соотношению (10) механическое напряжение имеет положительное значение С > 0 , что приводит к растяжению магниточувствительного эластомера вдоль магнитного поля. Этот результат находится в согласии с экспериментальными данными [9, 12]. Кроме того, величина механического напряжения зависит от формы образца (от параметра

уо ). Этот результат также находит подтверждение в эксперименте [12]. Увеличение фактора f > 0 за счет локальных

J micro

перестроек намагничивающихся частиц приводит к увеличению механического напряжения, как можно увидеть из соотношения (10).

В качестве примера на Рисунке 5б приведена зависимость магнито-индуцированного механического напряжения С от квадрата напряженности магнитного поля при выбранных структурных параметрах. При увеличении магнитного поля величина механического напряжения растет, с > 0, и вызывает растяжение образца вдоль вектора магнитного поля. Локальные перестройки намагничивающихся частиц приводят к усилению механического отклика по сравнению с предсказаниями теории сплошной среды, в которой предполагается, что f = 0 [23]. Этот эффект необходимо учитывать в дальнейшем при изучении упругих свойств магниточувствительных эластомеров под воздействием магнитного поля.

Заключение

Предложена теоретическая модель для исследования эффекта локальных пространственных перестроек намагничивающихся частиц и влияния этого эффекта на деформацию маг-ниточувствительных эластомеров в магнитном поле. Показано, что приложение магнитного поля вызывает формирование упорядоченных цепных структур намагничивающихся частиц. Учет этого эффекта приводит к растяжению магниточув-ствительного эластомера вдоль направления магнитного поля, что находится в согласии с экспериментальными данными. Наиболее значительный вклад этого эффекта в величину деформации имеет место для более мягких материалов с низкими значениями их модуля упругости. Результаты работы могут быть полезны для прогнозирования упругих свойств магниточувствительных эластомеров при применении их в практических приложениях, где требуется управление свойствами эластичных элементов с помощью магнитных полей.

Литература

1. S. Kashima, F. Miyasaka, K. Hirata. IEEE Transactions on Magnetics. 2012, 48, 1649-1652.

2. H. Böse, R. Rabindranath, J. Ehrlich. Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 2012, 23, 989-994.

3. Ubaidillah, J. Sutrisno, A. Purwanto, S.A. Mazlan. Advanced Engineering Materials. 2015, 17, 563-597.

4.J. Maas, D. Uhlenbusch. Smart Materials and Structures. 2016, 25, 104002.

5. R. Elhajjar, C.-T. Law, A. Pegoretti. Progress in Materials Science. 2018, 97, 204-229.

6. P. Boyraz, G. Runge, A. Raatz. Actuators 2018, 7, 48.

7.Z. Varga, G. Filipcsei, M. Zrinyi. Polymer. 2006, 47, 227-233.

8.G. V. Stepanov, S. S. Abramchuk, D. A. Grishin, L. V. Nikitin, E. Yu. Kramarenko and A. R. Khokhlov. Polymer. 2007, 48, 488495.

9.G. Filipcsei, M. Zrinyi. Journal of Physics: Condensed Matter. 2010, 22, 276001.

10. G. Stepanov, A. V. Chertovich, E. Yu. Kramarenko. Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2012, 324, 3448-3451.

11. V. V. Sorokin, G. V. Stepanov, M. Shamonin, G. J. Monkman, A. R. Khokhlov, E. Yu. Kramarenko. Polymer. 2015, 76, 191-202.

12. D. Romeis, S. A. Kostrov, E. Yu. Kramarenko, G. V. Stepanov, M. Shamonin, M. Saphiannikova. Soft Matter. 2020, 16, 9047.

13. С.А. Костров, В.В. Городов, А.М. Музафаров, Е.Ю. Кра-маренко. Высокомолекулярные соединения, Серия Б. 2022, 62, 471-480.

14. K. Morozov, M. Shliomis, H. Yamaguchi. Physical Review E. 2009, 79, 040801.

15. D. Ivaneyko, V. Toshchevikov, M. Saphiannikova, G. Heinrich. Macromolecular Theory and Simulations. 2011, 20, 411424.

16. D. Ivaneyko, V. Toshchevikov, M. Saphiannikova, G. Heinrich. Soft Matter. 2014, 10, 2213-2225.

17. D. Romeis, V. Toshchevikov, M. Saphiannikova. Soft Matter. 2019, 15, 3552-3564.

18. A.A. Gurtovenko, Yu.Ya. Gotlib. Macromolecules. 2000, 33, 6578-6587.

19. V.P. Toshchevikov, Yu.Ya. Gotlib. Macromolecules. 2009, 42, 3417-3429.

20. D. Ivaneyko, V. Toshchevikov, M. Saphiannikova. Soft Matter. 2015, 11, 7627-7638.

21. M. Doi, S.F. Edwards. The Theory of Polymer Dynamics. Oxford: Clarendon Press, 1986.

22. Ю.Я. Готлиб, А.А. Даринский, Ю.Е. Светлов. Физическая кинетика макромолекул. Л.: Химия 1986.

23. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука. 2-е изд. 1982 -621 с.

Changes in the local structure and deformation of magnetically sensitive

elastomers under the influence of a magnetic field Toshchevikov V.P.

Institute of Macromolecular Compounds of the Russian Academy of Sciences JEL classification: C10, C50, C60, C61, C80, C87, C90_

Magnetosensitive elastomers are network-like polymer materials embedded with magnetizable metal particles. These polymers belong to the class of stimulussensitive polymers and are capable of deformation and also change their elastic properties under the influence of a magnetic field. This paper proposes a theoretical model for studying the deformation of magnetically sensitive elastomers under the influence of a magnetic field, taking into account changes in the local structure of these composite materials. It is shown that the influence of a magnetic field leads to the appearance of ordered chain structures formed by magnetizable particles. For magnetically sensitive elastomers with an isotropic distribution of magnetic particles, this effect causes the polymer to stretch along the magnetic field in accordance with experimental data. The influence of the effect of local rearrangements of magnetized particles increases the deformation of magnetically sensitive elastomers under the influence of a magnetic field in comparison with the predictions of the continuum theory. The results of the work can be useful for practical applications where it is necessary to control the mechanical properties of elastic elements using magnetic fields. Keywords: magnetically sensitive elastomers; composite materials; stimulus-

responsive polymers; magnetically induced deformation References

1. S. Kashima, F. Miyasaka, K. Hirata. IEEE Transactions on Magnetics. 2012, 48,

1649-1652.

2. H. Bose, R. Rabindranath, J. Ehrlich. Journal of Intelligent Material Systems and

Structures. 2012, 23, 989-994.

3. Ubaidillah, J. Sutrisno, A. Purwanto, S.A. Mazlan. Advanced Engineering Materials.

2015, 17, 563-597.

4. J. Maas, D. Uhlenbusch. Smart Materials and Structures. 2016, 25, 104002.

5. R. Elhajjar, C.-T. Law, A. Pegoretti. Progress in Materials Science. 2018, 97, 204-

229.

6. P. Boyraz, G. Runge, A. Raatz. Actuators 2018, 7, 48.

7. Z. Varga, G. Filipcsei, M. Zrinyi. Polymer. 2006, 47, 227-233.

8. G. V. Stepanov, S. S. Abramchuk, D. A. Grishin, L. V. Nikitin, E. Yu. Kramarenko

and A. R. Khokhlov. Polymer. 2007, 48, 488-495.

9. G. Filipcsei, M. Zrinyi. Journal of Physics: Condensed Matter. 2010, 22, 276001.

10. G. Stepanov, A. V. Chertovich, E. Yu. Kramarenko. Journal of Magnetism and

Magnetic Materials. 2012, 324, 3448-3451.

11. V. V. Sorokin, G. V. Stepanov, M. Shamonin, G. J. Monkman, A. R. Khokhlov, E.

Yu. Kramarenko. Polymer. 2015, 76, 191-202.

12. D. Romeis, S. A. Kostrov, E. Yu. Kramarenko, G. V. Stepanov, M. Shamonin, M.

Saphiannikova. Soft Matter. 2020, 16, 9047.

13. S.A. Kostrov, V.V. Gorodov, A.M. Muzafarov, E.Yu. Kramarenko. Macromolecular

compounds, Series B. 2022, 62, 471-480.

14. K. Morozov, M. Shliomis, H. Yamaguchi. Physical Review E. 2009, 79, 040801.

15. D. Ivaneyko, V. Toshchevikov, M. Saphiannikova, G. Heinrich. Macromolecular

Theory and Simulations. 2011, 20, 411-424.

16. D. Ivaneyko, V. Toshchevikov, M. Saphiannikova, G. Heinrich. Soft Matter. 2014,

10, 2213-2225.

17. D. Romeis, V. Toshchevikov, M. Saphiannikova. Soft Matter. 2019, 15, 35523564.

18. A.A. Gurtovenko, Yu.Ya. Gotlib. Macromolecules. 2000, 33, 6578-6587.

19. V.P. Toshchevikov, Yu.Ya. Gotlib. Macromolecules. 2009, 42, 3417-3429.

20. D. Ivaneyko, V. Toshchevikov, M. Saphiannikova. Soft Matter. 2015, 11, 7627-

7638.

21. M. Doi, S.F. Edwards. The Theory of Polymer Dynamics. Oxford: Clarendon Press,

1986.

22. Yu.Ya. Gottlieb, A.A. Darinsky, Yu.E. Svetlov. Physical kinetics of macromolecules. L.: Chemistry 1986.

23. L.D. Landau, E.M. Lifshits. Theoretical physics. Electrodynamics of continuous

media. M.: Science. 2nd ed. 1982 - 621 p.

X X

o

0D A C.

X

0D m

o

ho o ho CJ