CC BY
15
УДК 621.384
ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ СГУСТКОВ ЭЛЕКТРОНОВ В КРУГЛОМ ДИАФРАГМИРОВАННОМ
ВОЛНОВОДЕ
А. П. Кулаго, И. С. Щедрин
Рассмотрен круглый диафрагмированный волновод (КДВ), однородный по длине. Получены выражения для, определения, нагруженной добротности ячейки с потерями ^т), без потерь 1) и нагруженной добротности Qн секции дли ной I. Получено выражение для определения, электрической амплитуды, поля, излучения, создаваемое релятивистским сгустком с зарядом д, движущимся по оси КДВ с последовательным, сопротивлением Яп. Проведен расчет энергии, мощности излучения пучка электронов и электронного КПД.
Ключевые слова: круглый диафрагмированный волновод, последовательное сопротивление КДВ. ускорение (ГЭС) сгустков релятивистских электронов, электронный
кпд.
1. Традиционно расчет линейных ускорителей электронов (ЛУЭ) основан на уравнении распространения мощности в круглом диафрагмированном волноводе (кдв). в предлагаемой работе расчет ЛУЭ впервые выполнен, исходя из уравнения суммы полей: ускоряющего поля СВЧ-генератора и суммарного поля излучения всех сгустков пучка.
Несколько слов о черенковском излучении в круглом диафрагмированном волноводе. В гладком круглом волноводе фазовая скорость электромагнитной волны всегда больше скорости света, ^ > с. В КДВ фазовая скорость равна скорости ускоряемого электрона, и в релятивистском случае ^ = с. Однако сдвиг фазы поля по длине КДВ
Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ".
носит переменный характер (рис. 1):
2п
Дф =
иф =
Л3ф
2пс (г
Дг^е 3ф = =
(г
2п (г \ (ф
\ (ф (ф
(1)
(2)
Фазовая скорость волны иф > с для середины кольца КДВ и иф < с для середины диафрагмы, так что условие для возникновения излучения П. А. Черенкова выполняется только в районе каждой диафрагмы. Для основной гармоники электромагнитного
поля условие для возникновения черенковского излучения не выполняется, т.к. тогда иф = с
Рис. 1: Сдвиг фазы поля на оси КДВ в зависимости от г.
2. Рассмотрим иной подход к описанию излучения релятивистских сгустков в КДВ.
Релятивистский сгусток электронов с зарядом д, движущийся по оси КДВ со скоростью,
близкой к скорости света, 3 = 1 (3 = и/с). Согласно теореме Вильсона [1, 2], энергия,
теряемая движущимся сгустком с зарядом д, равна половине произведения заряда на
наведенное им напряжение: № = - ди. Будем считать, что прирост Ди напряжения
2
на длине Дх равен произведению наведенного зарядом д тока I на последовательное сопротивление отрезка КДВ, Ди = IДЯ. Согласно теореме Рамо [3], наведенный ток равен I = дс/Дх. Будем определять сопротивление отрезка КДВ длины Дх через последовательное сопротивление КДВ Яп: ДЯ = Яп(Дх)2 = (Е2/2Р)(Дх)2. Здесь Е -напряженность электрической составляющей поля на оси КДВ, Р - мощность.
Используя соотношения для Ш, I и АЯ, получим прирост теряемой сгустком энергии:
АЖ = 1 д Аи =2 д2сЯп Ах. (3)
Мощность, излучаемая сгустком, равна
„ АЖ 1 2 Ах
р = — = -д сЯп—. (4)
АЬ 2 АЬ 1 ;
Т.к. Ах/АЬ = с, в результате получаем
Р = 1 д2с2Яп = или Е = дсЯц. (5)
2 2Яп
Ед
зарядом, скоростью и последовательным сопротивлением КДВ. Данное представление справедливо и для скорости сгустка V < с. В общем виде
Е = дvЯъ. (6)
Отметим, что аналогичное соотношение получено в работе [11].
3. Волновое сопротивление КДВ Z0 рассчитано для центра кольца между двумя диафрагмами [4]. Рассмотрим отрезок Б КДВ (рис. 1) в виде двух половин колец и с диафрагмой посредине - одну ячейку КДВ. На виде колебаний 9 = п/2 это будет четвертьволновый резонатор, а на виде колебаний 9 = 2п/3 - третьволновый резонатор. Таким образом, КДВ на виде колебаний 9 = п/2 и р 6ДС ТЭ^В Л Я6 т собой цепочку четвертьволновых проходных резонаторов, а КДВ на виде колебаний 9 = 2п/3 - цепочку треть-волновых проходных резонаторов. Нагруженная добротность подобного резонатора с двумя связями будет равна Qн 1 = Qo/(1 + в1 + ¡32), оде в1 = (32 = Z0/rD - коэффициенты связи с КДВ слева и справа, гв - эквивалентное омическое сопротивление резонатора длины Б, Q0 собственная добротность КДВ. Нагруженная добротность резонатора с длиной 11 = А равна QH\ = QH1(2п/9).
Секция длинои I будет представлять собой проходной резонатор с нагруженной добротностью Qн = QH\l/А = QH1 (2п/9)1/А, оде А - рабочая длина волны. По определению собственная добротность КДВ равна Q0 = шЬ/гв, поэтому Qн 1 = шЬ/(гв + 2Z0), где Ь - индуктивность резонатора. Если потерь нет или они чрезвычайно малы (сверхпроводящий вариант), то гв = 0 и Q0H1 = шЬ/2Z0. Сравнивая выражения для QH1 и Q0H1, получим соотношение (гв + 2Z0)QH 1 = 2Z0Q0H1. Отметим, что на практике КДВ изготавливают из меди, и величина гв ^ 2Z0; таким образ ом, Q0H1 секции слабо отличается от Qн 1 с потерями в случае использования меди.
Рис. 2: Зависимость электронного КПД от длины секции КДВ.
4. Определим эквивалентное сопротивление гв Оно состоит из сопротивления торцевой поверхности диафрагмы, сопротивления гЬ поверхности отрезка круглого волновода радиуса Ь и сопротивления га цилиндрической поверхности отверстия в диафрагме радиуса а. Сопротивление г^ состоит из сопротивлений двух стенок радиуса от а до Ь а сопротивление одной стенки равно где
га = 2г&1 = 2
Р
2пЬ
гЬ
(1г р Л Ь г 2по а
ГЬ =
р d
2п8 Ь
Т, Га =
р г
2п6 а
и
Гв
р
2п5
Ь
0 86Г оззз (в г ^ а/ь г/х
а \2ж X/а/Х а/Х
(7)
Собственная добротность ^^ ^ ^^^^^^^^ ^^^отпвленпе КДВ Z0 даны в справочнике [4]. Нагруженная добротность ячейки может быть определена по формуле, приведенной выше. Например, для секции КДВ длиной I = 2 м с 9 = п/2, X = 16 . 5 см, а/Х = 0 . 20, а/Ь = 0 . 47 получаем Qн 1 = 0 . 792, а нагруженная добротность равна Qн = 38.
5. Релятивистский электронный сгусток излучает поле с амплитудой электрической составляющей, определенной по формуле (5). Амплитуда поля Е за движущимся релятивистским сгустком электронов будет спадать по экспоненциальному закону, Е = Ед ехр(—шt/2QH)• Здесь ш = 2п/ - круговая частота, г - текущее время. Выберем
произвольное начальное сечение в КДВ. Поле от пролета первого сгустка на рабочей частоте f = 1/T СВЧ-колебаний в КДВ уменьшится к моменту прилета второго сгустка как E = Eq exp(-uT/2QH) = Eq exp(-п/QH)• При влете N-ro сгустка в выбранном сечении КДВ суммарное поле будет определяться выражением
En = Eq[1 - exp(-Nn/Qn)]/[1 - exp(-n/Qn)]• (8)
Для стационарного режима, когда N ^ ж, это выражение принимает вид
E^ = Eq/[1 - exp(-n/QH)]• (9)
Отметим, что для однородного КДВ суммарное поле излучения релятивистских сгустков после завершения переходного процесса будет постоянным по величине и не зависеть от продольной координаты г, т.к. выражение (9) получено для произвольно выбранного сечения.
6. Электромагнитные ПОЛЯ в КДВ создаются двумя источниками. СВЧ-генератор, питающий ускоряющую секцию, создает электромагнитное поле с напряженностью электрической составляющей на оси КДВ Er = Eroe-az [6, 7], где Ero - напряженность ускоряющего поля на входе ускоряющей секции, а - коэффициент затухания КДВ, г - продольная координата. Вторым источником излучения является ускоряемый электронный пучок. Суммарное поле En, излучаемое последовательной цепочкой точечных сгустков, имеющих заряд q, после окончания переходного процесса будет равно
En = Eq/[1 - exp(-n/QH)]• (10)
Каждый сгусток находится в максимуме суммарного поля торможения всех сгустков и максимуме ускоряющего поля генератора:
E = Eroe-az - Eq/[1 - exp(-n/QH)]• (11)
Энергия, приобретаемая каждым сгустком электронов на выходе ускоряющей секции длинои равна в вольтах
U = Erol [1 - exp(-al)]/(al) - Eql/[1 - exp(-n/QH)]• (12)
Поскольку импульсный ток пучка можно записать в виде I = qc/A, выражение для Eq принимает вид Eq = IRnA. Мощность пучка ускоренных электронов равна P = IU. Электронный КПД ускоряющей секции соответственно равен
П = (1/Po) [lErol [1 - exp(-al)]/(al) - I2RnAl/[1 - exp(-n/QH)]1 • (13)
7. Определим значение ускоряемого тока, при котором Р = Ртах, приравнивая
к нулю производную мощности по току: I = - (ЕГо/ЛпА) [1 — ехр(—а/)]/(а1) • [1 —
2
exp(—п/QH)]• Соответственно значение максимального электронного КПД равно
Птах = 1 (//А) ([1 — ехр(—а/)]/(а/)) [1 — ехр(—п^н)]
(14)
На рис. 2 приведены графики зависимости максимального КПД для секции с параметрами: 0 = п/2, диафрагмы без скруглений, А = 16.5 см, а/А = 0.20, а = 0.01492 м (медь), QH\ = 3.1672, 1/А = 0.0382. Отметим, что для выбранных параметров волновода для достижения максимального КПД секцию не следует выбирать больше I = 1 м, т.к. при такой длине п = 0.45, тогда как максимальное значение п = 0.46 достигается при длине 3 м. Кроме того заметим, что если потерь в стенках КДВ нет, то КПД с увеличением длины секции плавно стремится к птах = 0.50. Выигрыш, однако, не велик: при I = 1 м п = 0.456, а при I ^ ос п = 0.50.
Рис. 3: Зависимость электронного КПД от коэффициента связи для бипериодической замедляющей системы.
8. Представляет интерес оценка электронного КПД для секций ускорителей, работающих на стоячей волне с бипериодическими структурами [5]. Используем данные из
работ [4. 5]:
P = IU = 1/(1 + ßo)(Iy/8PrßoRy/(Ny(1 + ßo)) - 12R^. (15)
Здесь Pr - мощность СВЧ-генератора, Ry - шунтовое сопротивление ячейки, Ny -число ускоряющих ячеек в секции, ß0 - коэффициент связи секции с подводящим
I=
\JZPrß0/(NyRy(1 + ß0)). Соответственно максимальное значение КПД для бипериоди-ческой структуры равно
Птах = Zßo/(l+ ßo)2. (16)
Если секция согласована с подводящим прямоугольным волноводом, то ß0 = 1 и nmax = 0.5G. Если секция пересвязана до коэффициента связи ß0 = 1.5, то nmax = 0.48 (см. рис. 3).
Работа выполнена при поддержке грантов Рособразования в рамках ФЦП "Кадры инновационной России на 2009-2013 гг.", мероприятие 1.2.2, ГК П433 и АВЦП "Потенциал высшей школы 2009-2010"; НИР 1.49.09.
ЛИТЕРАТУРА
[1] J. W. Wang, Dissertation (Stauford University, 1989); SLAC-Report-39 (1989).
[2] Э. С. Масунов, Электронная, нагрузка, пыжом в ускорителях заряженных частиц (М., МИФИ, 1999), с. 16.
[3] S. Ramo, Currents Induced by Electron Motion. In: Proc. IRE 27, 584 (1939).
[4] О. А. Вальднер, H. П. Собенин, Б. В. Зверев, И. С. Щедрин, Диафрагмированные волноводы. Справочник 3-е издание, переработанное и доп. (М., ЭАИ, 1991).
[5] В. В. Степнов, Диссертация, к.т.н. (М., МИФИ, 1986).
[6] А. Н. Лебедев, А. В. Шальнов, Основы, физики и техники ускорителей. Учебное пособие для вузов. 2-ое издание (М., Энергоатомиздат, 1991).
[7] О. А. Вальднер, А. Н. Дпденко, А. В. Шальнов, Ускоряющие волноводы, (М., Атом-издат, 1973).
[8] И. С. Щедрин, Поле излучения релятивистского сгустка электронов в КДВ. В: Аннотации докладов НС-МИФИ-2009, т. 1, (М., МИФИ, 2009), с. 205.
[9] М. С. Нейман, Обобщение теории цепей на вол,новые системы, (М., Госэнергонздат, 1955).
[10] А. П. Кулаго, И. С. Щедрин. Энергия, мощность пучка электронов и электронный КПД. В: Аннотации докладов НС-МИФИ-2009, т. 1, (М., МИФИ, 2009), с. 206.
[11] В. А. Буц. А. Н. Лебедев. Когерентное излучение интенсивных электронных пучков (М., ФИАН, 2006), с. 48.
Печатается по материалам конференции "II Черенковсковские чтения: Новые методы в экспериментальной ядерной физике и физике элементарных частиц" (Москва, ФИАН, 14 апреля 2009 г.).
Поступила в редакцию 4 ноября 2009 г.
