Изгиб и растяжение плиты из повреждающегося материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

Изгиб и растяжение плиты из повреждающегося

материала

Ежов Г.П., Кондауров В.И. fvk@mipt.ru) Московский физико-технический институт

В линейной теории упругости задача об изгибе была рассмотрена Сен-Венаном (1856) в знаменитом мемуаре «Об изгибе призм». При построении решения использовался полуобратный метод, основанный на том, что некоторые деформации «угадываются», а для оставшихся деформаций получаются уравнения, доступные рассмотрению. Этот метод обобщается на случай нелинейного повреждающегося материала [1-3]. В отличие от традиционных подходов к описанию рассеянного разрушения [4-7] используется уравнение кинетики поврежденности, согласованное с ростом эффективной поверхностной энергии микротрещин и диссипацией энергии в процессах рассеянного разрушения. В итоге задача сводится к начальной задаче для двух обыкновенных дифференциальных уравнений, требующих численного решения. Для описания макроразрушения приповерхностного слоя материала использовано условие Адамара [8,9], которое рассматривается как критерий прочности, связанный с реологической неустойчивостью материала, которая проявляется в виде локализации деформаций и поврежденности [10,11]. Показано существенное влияние показателя кинетического уравнения и скорости деформирования на полученное решение, в том числе на прочностные свойства материала и характер разрушения.

1. Постановка задачи. Материал плиты предполагается однородным, изотропным, описывается уравнениями теории рассеянного разрушения, основанной на энергетическом подходе к описанию эволюции поврежденности. Изменением температуры пренебрегается. Скалярный параметр поврежденности р и тензор деформации е предполагаются малыми по сравнению с единицей. Для описания поведения повреждающегося материала применяется модель континуального разрушения [1-3]. В соответствии с этой моделью для упругого потенциала w = w(e, р) используется выражение

w(e, р) = >2 Kl2(e) + /J2(e) - «((e) - apJ(e), Ix = ekk, J(e) = j )1/2 (1.1)

Здесь и далее s = e -131 - девиатор деформаций, K, /- модули объемного сжатия и

сдвига неповрежденного материала, ap, as > 0 - параметры, характеризующие

уменьшение упругой энергии при накоплении поврежденности. Тензор напряжений в материале, соответствующем потенциалу (1.1), записывается в виде

о = dw / de = ( KIX (e) - ар I + ( 2/-ар/ J (e)) s (1.2) Кинетика поврежденности р задается уравнением

р& + рп / т = (а/(e) + aJ(e)-g)/(rb) (1.3) где т> 0 - время релаксации, n >0 - показатель кинетического уравнения, b, g > 0 -

параметры, входящие в выражение для эффективной поверхностной энергии поврежденного материала

puf (р) = gp + bpn+ /(n +1), b, g, n > 0 (1.4)

Условие активного нагружения Uf > 0, при котором деформирование материала

сопровождается накоплением поврежденности, записывается в виде

apI\(e) + asJ(e) - g > 0 (1.5)

Прямая J = (g - ар11)/ ах разбивает плоскость (/х, J) на две области. При ар11 + а^ - g < 0 отклик материала является упругим. При ар/1 + а^ - g > 0 накапливается поврежденность.

Обобщение этой модели континуального разрушения на случай тензорной характеристики поврежденности содержится в работах [12,13].

Будем рассматривать плоскую плиту (полосу) толщиной 2h, шириной

Хр,

£

М

>

о 2 th

У

М .v м

Рнс.1.

бесконечно протяженную в одном направлении. Введем декартовы координаты (x, y, z) так, чтобы координатная плоскость y=0 лежала в срединной плоскости плиты, а плоскости х=0 и x= x0 совпадали с боковыми гранями (рис.1). Все сечения z = const предполагаются

равноправными, вследствие чего зависимость решения от z отсутствует.

Пусть на боковых гранях полосы х=0 и х=х0 действуют нормальные напряжения

°ХХ (0, y, t) = &ХХ (Х0, y, t) = ^(y, t) Касательные напряжения на боковых гранях предполагаются равными нулю

axy(0,yj) = 0, axy(x0,yj) = 0 (1.7)

Интегралы по граням х=0 и х= хп (на единицу длины в направлении z) равны растягивающей силе и моменту относительно оси z:

N(0)(t) = N(1)(t) = jai0)(y, t)dy, Mf(t) = Mz(1)(t) = J ya(:)( y, t )dy (1.8)

- h - h Вследствие независимости напряжений от координаты z моменты сил относительно осиy равны нулю. Нижняя и верхняя поверхности плиты y = ±h считаются свободными

^xy(x, ± h, t) = 0, ayy(x, ± h, t) = 0, 0 < x < Х0, t > 0 (1.9)

Начальное состояние плиты - естественное, то есть ненапряженное и неповрежденное

ay (x, y,0) = 0, ср( x, y, 0) = 0 (1.10)

2. Упругое деформирование. Рассмотрим сначала малые нагрузки, когда условие (1.5) не выполняется и материал находится в упругом состоянии. В этом случае перемещения будем искать в виде

u(x, y, t) = xX(y, t), v(x, y, t) = -ЯЛ-1у (X(y, t) -12yV(t)) - % x2V(t) (2.1)

где X(y, t) = U(t) + yV(t), а U(t), V(t) - функции времени, которые определяют изгибающий момент и растягивающую силу, Я, и - модули упругости, входящие в закон Гука. Здесь и далее величина Л = Я + 2/ . Тогда деформации и напряжения записываются в виде

eyy ( y, t) = -ЯЛ-1Х( y, t), e_. = ez = ey„ = e„ = 0 (2.2)

xy yy yz zz

(2.3)

Из формул (2.3) следует, что все уравнения равновесия удовлетворяются тождественно.

Подчеркнем, что полученное простое распределение деформаций и напряжений справедливо при двух предположениях: отсутствует перерезывающая сила (равны нулю касательные напряжения), а растягивающая сила и изгибающий момент не изменяются вдоль оси х. Действительно, используя (2.3), придем к соотношениям для силы и момента

, 3Я + и -

e-.xx ( у, t) = X (y, t), eyy (y, t) = -ЯЛ-1 X (y, t), &xx (y, t) = 4и(Я + и)Л-1 X (y, t), a = Oyy = Oy„ = a

N (t) =Jaxx (y, t )dy = 8/h Я-ии (t), \ Л

M (t) = J y<Jxx (y, t )dy = V (t)

(2.4)

Из формул (2.2) получаем

= (1 - 23 М-1) X,

^ =- K Л-1 X,

=- 23 мЛ-1X,

** = °>

i * J,

(2.5)

I = 2иХ / Л, 3 = /|Х|, / = у/ 2/3(А2/Л2 + Я/Л +1), К = Я + 2ц/3 Подставляя (2.5) в (1.5), получим условие начала накопления поврежденности

(2М~Ч + /а^Х (у, I) )Х (у, Г) - # = 0 (2.6)

Уравнение (2.6) определяет зависимость от времени t координаты у = ), где достигается пороговая деформация ех (у, t) = X(у, t), при которой начинается процесс рассеянного разрушения. С учетом (2.3) условие (2.6) можно записать в напряжениях

4и(А + и) g

^xx (У,t) ,

= ■

2ßa ± ах1Л

(2.7)

где - «пороговые» значения напряжений, превышение которых (по абсолютной

величине) сопровождается накоплением поврежденности. Знак плюс соответствует случаю Х(у,0>0, когда преобладают растягивающие напряжения, а знак минус реализуется при Х(у,^)<0, когда главную роль играет сжатие. Учитывая, что С- < 0, приходим к ограничению 2/иар < ах/Л на параметры материала.

При изгибе положительным моментом, которому в силу (2.4) соответствует К(0>0, и сжатии, которое реализуется при Ц(У)<0, поврежденность начинает развиваться на нижней поверхности у=-И, если

Лg ТТ = Лapg

U(t) < Uc < 0, hV(t) = U(t) --

Uc=-

2цар - /Лах 4 ¡и1 ар - /2 Л2 а; )

Для доказательства предположим, что сх (+И, t) < <<+, схх (-И, t) = с—. С учетом формулы (2.3) получим тогда

(2.8)

^(h, t) = ^±M)(U + hV) < M + M8

или

Л

U + hV <-

Л8

2ßa +alЛ

U - hV = ■

(-h, t) = Mlt^U - hV) = 4м(А + м)8

Л

2juap - aslЛ

Л8

2 juap + 1Лas 2 ¡uap - 1Лas

Сложив эти соотношения, придем к ограничению на функцию U(t), при котором континуальное разрушение начинается в результате сжатия

U < Uc = 2^ap8/(4м2aР -12Л2a?)

Выражая из второго равенства V(t) через U(t), придем ко второму из соотношений (2.8).

Аналогично можно показать, что при изгибе положительным моментом (V(t)>0) и растяжении (U(t)>0), поврежденность начинает развиваться на поверхности y=+h при условии

U (t) > Uc, hV (t) =-Л8--U (t)

2ßa + 1Лas

момента

Для отрицательного изгибающего ограничения имеют аналогичный вид.

Из (2.8), (2.9) следует, что на плоскости (и,¥) область упругого поведения материала ограничена кусочно-ломаной прямой. Качественный вид границы АВСВСхВх упругой области изображен на рис.2. Характерная особенность этой границы - наличие разрывов ВС и В1С1, которые соответствуют смене характера напряженного состояния.

3. Изгиб и растяжение при наличии поврежденности. Пусть вектор перемещения при наличии в теле области поврежденности заданы выражениями

и(X, У, г) = XX(у, г), у(X, У, г) = Ж(гй - Ж1 у [X(у, г) - >2 у¥(г)] - >2 х2(г) (3.1)

0

Перемещениям (3.1) соответствуют деформации

е« = X (У, г), ^ = -Ж (У, г) - ЛЛ-1 X (У, г), ^ = е* = = егг = 0 (3.2)

Здесь, как и ранее, X(y,г)=U(г)+yV(г).

Пусть область упругости -И < У < у*(г), где у*(г) - неизвестная заранее граница. Тогда напряжения, соответствующие перемещениям (3.1) и деформациям (3.2), имеют вид ахх = 4ц(Л + ц)Л-1 X (У, г) - ЛЖ (У, г), Оуу = -ЛЖ (У, г) = -ЛЖ (у, г) + 2ЛМ-1 X (у, г), ^ху = ахг = Оу2 = 0 Из уравнения равновесия доуу (у, г)/ду = 0 следует дЖ (у, г)/ду = 0. С учетом условия (1.9) отсутствия напряжений на нижней границе плиты получаем Ж(у,г)=0 при - И < у < у*(г). Таким образом, в области упругости

ахх = 4ц(Л + ц)Л-1 X (у, г), огг = 2ЛцЛ- X (у, г)

ауу =^ху = =°уг = 0, - И < у < у*(г), г > 0 .

Поврежденный материал плиты занимает область у* < у < И. Будем считать, что в этой области перемещения и деформации также выражаются формулами (3.1), (3.2), в которых функция Ж (у, г) не равна тождественно нулю. Инварианты 11, 3 и девиатор тензора деформаций вычисляются по формулам

¡1 = 2M~1X(y,г) - Ж(у,г), 32 = [^'(У,г) + 2КЛ-1Ж(у,гЩу,г) + %Ж2(у,г) (3.4) 3Л8хХ = (3Л + 4ц) X (У, г) + ЛЖ (У, г), 3Л8уу = -3Ш (У, г) - 2ЛЖ (У, г) 3Ле22 = -2цX (у, г) + ЛЖ (у, г) .

Из формул (3.4), (3.5) и кинетического уравнения (1.3) следует, что поврежденность р = р( у, г). Напряжения в повреждающемся материале задаются выражениями

ахх = (4ц(Л + ц) - (Л + 43 ц)£)X-(Л + уз£)Ж - а<р

°уу = КЛ£-(Л-%£)Ж - а<р, Оу =(2м-£)ву = 0, £ = ар/3 36

На границе у = у*(г), разделяющей области упругого и поврежденного материала, выполняются условия сопряжения: равен нулю параметр поврежденности и непрерывны перемещение и вектор напряжений. С учетом формул (3.1), (3.3), (3.6) условия сопряжения сводятся к двум соотношениям

X (у*(г), г) = Лg / (2 цар ), Ж (у*(г), г) = 0 (3.7)

Пусть напряжение оуу =0 при всех у*(г) < у < И . Тогда функция Ж(у,г) определяется

равенством, которое следует из второй формулы (3.6)

(Л3 - %а<р)Ж = (аКЛ-1 X - ар3)р (3.8)

где р(у, г) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1.3), а инвариант 3(у,г) задан

выражением (3.4). При таком задании функции Ж(у,г) граничное условие оуу (И, г) = 0 и

условия сопряжения (3.8) выполняются тождественно.

Входящие в выражения (3.1) - (3.8) функции и(г) и У(г) связаны с растягивающей силой и изгибающим моментом соотношениями

Л + ц Л

Ыг (г) = 8цИ3 V (г)-{

N (г) = 8цИ—^~и (г) - Г Л ■(г)

у*(г)

Л+^Ж (у, г) + а<(+£X (у, г)

И ' 1 Аии ч / ч Л + % Ц

у*

Л+3£ IЖ(у, г)+ар((у,г)(у, г)

йу

уф

Таким образом, при заданных функциях и(г) и У{() решение об изгибе и растяжении сводится к совместному решению кинетического уравнения (1.3) с начальными данными (1.10) и конечного нелинейного соотношения (3.8).

Нелинейная краевая задача (1.3), (1.10), (3.8) исследовалась численным образом в безразмерных переменных

г = г/т, у = у/к, х = х/к, с = с /с0, ф = ф/е0, й = и/(ке0), V = у/(ке0),

(3.10)

и = и/е0, V = к¥/е0, Ж = Ж/е0, / = 1, Я=Я//, ар = ар //, а = ав //

где к - полутолщина плиты, е0 = Лg /(2/ар +1Ла!1) - характерная деформация, <с0 = /ле0 -

характерное напряжение, время релаксации т - характерное время. При таком выборе безразмерных величин все они - величины порядка единицы. Для краткости далее черта над безразмерными переменными опущена. Тогда кинетическое уравнение (1.3) и начальное условие (1.10) может быть записано в виде

ф + фп = Н(/)/(Х,Ж), ф(у,0) = 0, -1 < у < 1, г > 0 (3.9)

/ (X, Ж ) = арЪ-1 (2/Л-1 (X -1) - Ж ) + а У ( 3 (X, Ж) -1)

3 (X, Ж ) = ф2 X2 + 2К Л-1ЖХ +2/ Ж2 где Н (/) - функция Хевисайда. Функция X (у, г) = и (г) + yV (г) - заданная «нагрузка».

Уравнение (3.8) при переходе к безразмерным переменным не меняет своей формы. При решении нелинейного уравнения (3.8), которое сводится к алгебраическому уравнению четвертого порядка, возникает проблема отбора вещественных корней. Поэтому удобно использовать вместо (3.8) дифференциальное уравнение с начальным значением Ж(у,0) = 0 . Дифференцирование по времени (3.8) приводит к уравнению

(Л3 - X аф + 3 \уъ Ж + К Л-1 X )(ЛЖ + арф))) =

= ((КЛ-1)X + %аьЖ - ар3)ф + (КЛ-1ф - 3- (12X + КЛ-1Ж)(ЛЖ + арф)))

Таким образом, задача сводится к задаче Коши для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений (3.9) и (3.10).

При численном интегрировании принимались следующие значения параметров материала: / = 1, Я = 2, ар = 1, Ъ = 1, 1 < < 2 . Показатель кинетического уравнения п =1

или п =2. Траектория нагружения задавалась выражением V(г) = гг, г < г0, V(г) = гг0, г > г0,

и (г) = К (г), где г0 - время нарастания нагрузки, г - скорость нагружения, к -

коэффициент пропорциональности между изгибом и растяжением.

На рис.3 приведена зависимость для поверхностного слоя у=к плиты при чистом изгибе (Ц(г)=0) с постоянной скоростью (г=0.3, 1.0, 5.0). Кривые 1,3,5 соответствуют линейной

кинетике (п=1), кривые 2,4,6 соответствуют п=2. Рис.3а соответствует а8 = 1.1, рис.3Ъ -

ас = 1.5. Можно

видеть, что

решение сильно зависит от показателя п и коэффициентов ар, а8, Ъ . При малых значениях

а8, когда положителен длительный модуль сдвига

15

12

Схх У)

/

■ / /

3 1 / /

у Л. ч

С!)

Ь)

Рнс.З,

2ц„ = 2ц - а1 / Ь > 0, рост деформаций приводит к монотонному увеличению напряжений, причем для п=2 этот рост сильнее, чем при п=1. Отмеченная особенность справедлива для любых скоростей деформирования. В случае если длительный модуль отрицателен, равномерное деформирование материала с показателем п=1 приводит при всех скоростях деформации к падающей зависимости <хх (ехх). Более интенсивное падение напряжений

происходит в материале с меньшим показателем кинетики. Причем максимум напряжения при малой скорости достигается в более поздний момент времени (но при меньших значениях деформации) по сравнению с высокоскоростным деформированием. При п=2 зависимость <хх (еххх) остается в целом растущей, но для нее при деформации еххх « 2е0

появляется область смены знака кривизны, которая с уменьшением скорости деформации превращается в «зуб текучести» [6,14]. Особенно ярко этот эффект проявляется при малой скорости деформирования.

На рис.4 представлена зависимость <хх(у, (¿^) для последовательности моментов времени (¿. Кривые 1-4 соответствуют (¿=2, 4, 6, 7.5, 10. На рис. 4а представлены данные

<хх (У, )

< (У, )

2.83

1.67

"0.67

"1.83

2.33

1.67

0.5

"0.67

"1.83

-1 "0.6

-3

3 /

5 4

)> И

Г I

#

/

"-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6

У

для линейной кинетики п=1, на рис.4Ь -для п=2. Скорость деформирования г=0.2.

Параметры материала

ц = 1, Л = 2,

ар = 1, а = 1.5, Ь = 1.0.

Коэффициент к = 0.5 . Видно, что наличие растяжения приводит к сдвигу

нейтральной линии изгиба в область отрицательных

Рис.4. значений у. Эволюция

поврежденности вызывает уменьшение растягивающих напряжений по сравнению с напряжениями в состоянии упругости. В отличие от решения задачи об изгибе плиты из идеального или упрочняющегося упругопластического материала полученное распределение носит немонотонный характер. Для материала с модулем ц* < 0 и параметром п=1 распределение имеет максимум вблизи границы между упругим и поврежденным материалом. При кинетическом параметре п=2 зависимость <гхх (у, (¿^) более сложная. Она характеризуется локальным максимумом и локальным минимумом, координата которого с ростом времени стремиться к координате локального максимума, что приводит к образованию между ними зоны больших градиентов напряжения < хх , соответствующей

«зубу текучести» на диаграмме «напряжение - деформация».

4. Макроразрушение плиты при изгибе и растяжении. С ростом деформаций материала может возникать реологическая неустойчивость, которая сопровождается образованием поверхностей локализации деформаций, являющихся прообразами макроскопических трещин. Найдем условия возникновения и формы этой неустойчивости в рассматриваемой задаче. Будем следовать работам [10,11], в которых реологическая неустойчивость связывается с нарушением условия Адамара [8,9].

В [3,11] показано, что скорости нестационарных характеристик (с Ф 0 ) системы динамических уравнений для рассматриваемого материала определяются формулами

Р42 (е, р, п) = М + Р ± (Р2 - О)

X

рсз2(е,ф) = М

(4.1)

2Р(е, р, п) = Ь + £п • N2(е) • п, 0(е, р, п) = £Ь (п • N2(е) • п - (п • ^е) • п)2)

£ = ар/3, М = ц-£/2, Ь = Х + ц-£/6

где N(e) = s / J - нормированный девиатор тензора деформаций, такой, что N:I=0, N:N=1, вектор n - единичная нормаль к характеристической поверхности. Состояние (е°,р0) определяется как реологически неустойчивое, если существует направление n 0 = п(е0,у0), вдоль которого скорость одной из нестационарных характеристических поверхностей обращается в нуль, то есть с(е0,у0, п0) = 0 для материальной частицы в этом состоянии. Из формул (4.1) следует, что вырождение по скорости с3 наступает при условии £ - ау°/ J (e0) = 2/ (4.2)

Так как условие (4.2) не зависит от нормали п, то поверхность локализации в этом случае может быть ориентирована произвольным образом. Рассматривая характеристическое уравнение, соответствующее скорости с3, можно показать, что на ней локализуется деформация сдвига.

Для определения условий, при которых происходит вырождение по скоростям c12, заметим, что величина рс\ < рс\. Поэтому достаточно рассмотреть вырождение по скорости c2. Единичный вектор п, доставляющий экстремум рс\, определяется уравнением

(I - n ® п) • B • п = 0, B(eyn) - (L +M-pc22)N2(e) - 2L(n • N(e) • n)N(e) (4.3)

представляющим собой необходимое условие экстремума величины рс^^у, п). Уравнение (4.3) при скорости c2 ^ 0 имеет следующие решения:

1) если собственные числа тензора N(e) различны, то различны и собственные числа тензора В. Тогда экстремальная нормаль п - собственный вектор тензора N(e).

2) если два собственных числа тензора В совпадают (например, B1 = B2 Ф B3), то две

плоскости разрыва проходят через главную ось e3 тензора N(e) и делят угол между двумя другими главными осями e1, e2 в соответствии с формулами

2n2 = 1 - MN3 L- /(N1 - N2), n¡ = 1 - n2, n3 = 0 (4.4)

3) если тензор В - шаровой, что возможно только для одноосной деформации, то п -нормаль к поверхности кругового конуса, ось которого совпадает с главной осью тензора деформации. Угол Y полураствора этого конуса определяется выражением

2nf - 2 sin2 Y = (1 + X MIL1)

Не останавливаясь на доказательстве этих утверждений, которые можно найти в книге [3], рассмотрим их приложения к рассматриваемой задаче.

В первом случае, при различных собственных числах тензора В потеря реологической устойчивости материала всегда происходит при £ = £Г = 2у, и проявляется

в виде поверхностей локализации сдвиговой деформации.

Действительно, если нормаль п - собственный вектор тензора N(e), то величина Q=0. Тогда рс\ = M + P - |P|. Пусть, для определенности, п=(1,0,0). Условие P > 0

равносильно неравенству Л + у + y(N2 -%) > 0 . Поскольку реологическая неустойчивость в этом случае наступает при М=0 или £ = £ = 2/, то соотношение P > 0 сводится к неравенству К + 2/N2 > 0 .

При Р<0 скорость c2 обращается в нуль при значении у, которое удовлетворяет уравнению Л + £(^2-23) = 0. Поскольку из уравнений N (e) :N (e) =1, N (e) :I=0 следует, что N2 < 2/3, то рассматриваемый случай может иметь место только при N2 < 2/3. Тогда £ = Л /(23 - N2). Подставляя это значение £ в неравенство Р< 0, приходим к соотношению К + 2/N2 < 0, которое не может выполняться при К > 0, у > 0 .

Во втором случае, когда два собственных числа тензора В совпадают, реологическая неустойчивость наступает при значениях

££2) = 32 Л при -3/7% < ж - 2М-1 X < зл/%

КЗ) = 4Ц(Л + Ц)

р(3) =

Ьог

у3 ц+зт!

(4.5)

(4.6)

На поверхностях локализации деформаций, соответствующих (4.5), (4.6) терпят разрыв как сдвиговая, так и нормальная компоненты тензора деформаций.

2 2 12 Действительно, в силу (4.1) условие рс2 = 0 эквивалентно М + Р = (Р - QУ2.

Используя определения величин Р и Q, получаем отсюда

М(М + Ь) + (М + Ь)£п ■ N2 • п-£Ь(п • N • п)2 = 0 (4.7)

С учетом следующих из (4.4) формул

2п2 -1 =

МЫ3

п ■ N ■ п = -

М + Ь 2Ь

N

3

_Т2 1 ( М-Ь. Г2

п ■ N ■ п = ^ 11+—ь—N3

(4.8)

Ь(N2 - N1)

уравнение (4.7) приводится к форме

(М + Ь) (ц + % £Ь- (М - ЗЬ)N32 ) = 0

Корень уравнения (4.7), который соответствует М+Ь=0, приводит к значению параметра £ = £с(2) . При этом значении £ величины Ь = 3/4К, М = -Ь = -%К, п ■ N ■ п = 0 Исходное уравнение М + Р = (Р2 - Q)12 удовлетворяется при выполнении неравенства М + Р > 0, что дает N3 < 2ц / ЗЛ . Из (3.5) следует, что 3Ж3 = Ж - 2цЛ-1 X . Поэтому эта

форма неустойчивости может реализоваться, если выполняются неравенства (4.5). Другой корень уравнения (4.7) соответствует

4МЬ + £(2Ь + (М + ЬN ) = 0

Подставляя сюда выражения для М, Ь и ^ получим уравнение (4.5) для параметра ££2).

Третье мода реологической неустойчивости не может реализоваться в задаче об изгибе и растяжении плиты, так как для компоненты N нормированного девиатора деформаций справедливо строгое неравенство N < 2/3. Действительно, с учетом формул (3.4), (3.5) неравенство

N2 = 4 / /2 =

1

(( + 4ц) X + ЛЖ )2

2 < —

9 12 Л2 X2 + 2 К ЛЖХ + 2/3 Л Ж2 3 сводится к соотношению -3(ЯX + ЛЖ)2 < 0, справедливому при всех X и Ж. Это значит, что образование конических поверхностей локализации деформаций не может реализоваться в рассматриваемой задаче.

^ «)

РС2,3

1.6

0.5

А

Л 2 1 А

/

з / \ Д

Л"

гх Л V Г \ <ч Ч:

"..б

0.8

1.4 2.5 4.2 5.6 7

Рис. 5.

3 1

\ 2 Л 1

/

6 6

* \

.1 1 4 9

ч \ Л ____§__

0 2 Ь) 8 1

t

t

Какая из форм реологической неустойчивости реализуется в процессе изгиба и растяжения плиты? Аналогично [3] будем считать, что проявляется та форма неустойчивости, которая соответствует наименьшему значению момента времени t,, когда величина ¿(y,t) на заданной траектории деформирования (U(t),V(t)) достигает своего критического значения, определяемого уравнениями (4.5) или (4.7).

На рис. 5 представлена зависимость axx (t) (кривые 1,2,3) и скорости характеристик

pc?,(t) (кривые 4,5,6), рс^(t) (кривые 7,8,9) в поверхностном слое y=h плиты при чистом изгибе (к = 0). Рис. 5a соответствует n=1, рис.5Ь - n=2. Параметры материала / = 1, Х = 1, ap = 1, as = 2, b = 0.5. Скорость деформирования r=0.3, 1.0, 3.0. Результаты

расчета показывают, что при n=1 возможны обе формы потери устойчивости, но более ранней является первая форма (4.2) и соответствует локализации сдвиговой деформации. Об ориентации поверхностей локализации в данном случае ничего сказать нельзя, так как при ¿Г = 2/ возможна любая ориентация. При n=2 величина рс32 = 0 только при умеренной скорости деформирования (кривая 8 на рис.5Ь).

Работа выполнена при поддержке Программы ОЭММПУ РАН «Накопление поврежденности, разрушение, изнашивание и структурные изменения материалов при интенсивных механических, температурных и радиационных воздействиях» и Российского Фонда фундаментальных исследований (№ 03-05-64643).

ЛИТЕРАТУРА

1. Кондауров В.И. Континуальное разрушение нелинейно-упругих тел // ПММ, 1988, Т.52. Вып.2. С. 302-310.

2. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Теоретические основы реологии геоматериалов. М.: Наука. 1990, 207с.

3. Кондауров В.И., Фортов В.Е. Основы термомеханики конденсированных сред. М.: Изд-во МФТИ, 2002. 336с.

4. Ильюшин А.А. Об одной теории длительной прочности // Изв. АН СССР. МТТ. 1967. №3. С. 21-35.

5. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 311с.

6. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744с.

7. Lemaitre J. A course on Damage Mechanics. Springer - Verlag. 1992. 280p.

8. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир. 1975. 592 с.

9. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512с.

10. Rudnicki J.W., Rice J.R. Conditions for the localization of deformation in pressure - sensitive dilatant materials // J. Mech. Phys. Solids. 1975. Vol.23. P.371-394.

11. Кондауров В.И. О реологической неустойчивости упругой повреждающейся среды // ПММ,1991,т.55, вып.1, с.109-117.

12. Кондауров В.И. Тензорная модель континуального разрушения и длительной прочности упругих тел // Изв. РАН. МТТ, 2001, № 5. с.134-151.

13. Ежов Г.П., Кондауров В.И. Модель континуального разрушения термоупругой среды // Сб. "Современные проблемы механики и прикладной математики". Материалы международной школы - семинара. (г. Воронеж, 4-8 июня 2002г.). Часть 1. Воронеж: Изд-во ВГУ. 2003. с. 109-122.

14. Кукуджанов В.Н. Распространение упругопластических волн в стержне с учетом влияния скорости деформации. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1967. 48с.