CC BY
35ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Ефимова Я.А.
ФГБОУ ВО «Кубанский государственный университет», г. Краснодар
Аннотация
В статье анализируются геометрические свойства пространства-времени с помощью совокупности методов качественного описания законов. Показано, что при анализе сложной системы, исходя из свойств пространства-времени, можно определить сохраняющиеся величины, что сильно упрощает последующее решение задач.
Ключевые слова: пространство-время, Риманова геометрия, геометрия Лобачевского, космология, черные дыры.
Впервые понятие времени в человеческой истории появляется в ходе наблюдения за естественными периодическими процессами. По-видимому, наблюдая за природными циклами и изменением физических состояний объектов, уже Homo ergaster (лат. «Человек работающий») 1 млн. лет назад начинает активно использовать представление о времени в своей жизни.
На данный момент, самыми известными из древних представлений о пространстве-времени являются учения античных философов.
В классической физике сохраняется представление о пространстве и времени как о внешних условиях для существования материи. Модель абсолютного пространства, впервые подробно описывается в работе И. Ньютона "Математические начала". В нем были описаны основные законы движения и сформулировано определение пространства, времени, места и движения для них.
Для Ньютона понятие абсолютного времени или продолжительности (англ. duration) означает, что время течет равномерно и не имеет отношения ни
к чему внешнему. То есть временной интервал между событиями можно измерить однозначно.
С точки зрения Ньютона, античных и средневековых философов, материя, пространство и время являются вторичными субстанциями, созданными Богом, в данном случае, существом идеальным, а значит неизменным и потому вечным, следовательно, вне пространства и времени. Он создал материю из ничего, поместив ее в пространство и время [1].
Дальнейшее развитие представления о пространстве и времени получили в философии Лейбница. Он рассматривал пространство как последовательность существования тел, а время - как последовательность событий. Позже эта идея будет развита А. Эйнштейном.
Современное понимание пространства и времени было сформулировано в общей теории относительности. Эта концепция рассматривает пространство и время как формы существования материи. Время - это форма существования материи, которая выражает продолжительность существования тел и последовательность событий. Пространство - это форма существования материи, которая характеризует взаимодействие частей внутри тела и взаимодействие тел между собой. Теория относительности А. Эйнштейна показывает прямую связь между материей, пространством и временем.
При описания искривлённого пространства используются геометрии Лобачевского и Римана. Теория относительности установила не только искривление пространства под действием полей тяготения, но и замедление хода времени в сильных гравитационных полях.
В работе "Относительность и проблема пространства" Эйнштейн подробно рассматривает специфику понятия пространства в общей теории относительности. Согласно этой теории "Пустое пространство, т.е. пространство без поля не существует. Пространство-время существует не само по себе, а только как структурное свойство поля". Пространство-время выражается в совместном изменении характеристик в зависимости от массы-энергии.
Однако в 1925 году А. Фридман показал, что в рамках теории относительности в случае однородности и изотропности единое «пространство-время» поддается расщеплению на «однородное пространство» и универсальное «мировое время» [2].
Сейчас научные данные свидетельствуют о том, что видимая часть Вселенной однородна на больших масштабах. Это позволяет упростить рассмотрение геометрии Вселенной и свойств, следующих из этого.
Под описание изотропной и однородной Вселенной подходит три типа геометрии пространства: плоская, сферическая и гиперболическая.
Так как во всех случаях Вселенная однородная и изотропная, то во всех трех типах геометрии будут выполняться законы сохранения и другие законы, являющиеся следствием данных свойств пространства.
Каждому типу симметрии соответствует закон сохранения. Симметрии относительно сдвига времени, то есть однородности времени соответствует закон сохранения энергии; для преобразований, допустимых при изотропности времени - закон сохранения четности; симметрии относительно сдвига в пространстве - закон сохранения импульса; симметрии по отношению к повороту пространства - закон сохранения углового момента.
Из свойств пространства следуют и другие законы физики. Например, закон Хаббла при изотропности пространства; и второй закон термодинамики из однонаправленности времени.
К законам сохранения, демонстрирующими геометрические свойства пространства-времени можно прийти разными путями. Самыми простыми являются уравнения Ньютона и уравнения Лагранжа.
У уравнений Лагранжа есть несколько преимуществ перед уравнениями Ньютона. Для описания системы через уравнения Лагранжа требуется меньшее количество уравнений. Ими можно описать системы с бесконечным числом степеней свободы. Они ковариантны, то есть при переходе от декартовых координат к любым обобщенным координатам они сохраняют
свою форму. И их удобнее использовать в координатах, обладающих симметрией.
Покажем, например, что независимо от выбранного типа геометрии, будь то сферическая, гиперболическая или плоская; в однородной и изотропной Вселенной будет выполняться закон Хаббла.
В однородных изотропных моделях Вселенной элемент четырехмерного интервала s можно записать в виде:
йя2 = с2^2 — а(^2й/2, где Ш2 — квадрат элемента длинны; (1)
Пространственная часть выражения а(^2Ш2 равна квадрату дифференциала собственного расстояния ЙД2.
^а(02Ш2 = ^Д2 ^ = ^Д. (2)
Тогда элемент расстояния
д = а(0/ Ш = а/, (3)
и скорость
^а /1 „ _ (л\
^ = — = —7 = I--)«Х = ЯПД. (4)
То есть
V = Я0Д, где^ — скорость удаления, (5)
#0(0 — постоянная Хаббла; современное значение 72 ± , Я —
собственное расстояние до космического обьекта, по определениюравно Д = а/, где -сопутствующее расстояние (не зависит от времени) и где а — масштабный фактор, выражающий темп расширения Вселенной.
Таким образом, из изотропности Вселенной следует закон Хаббла. Теперь рассмотрим каждый тип геометрии.
Плоская геометрия или евклидова геометрия является основным кандидатом на геометрию изотропной и однородной Вселенной. Это, знакомый нам из школьного курса, тип геометрии. В ней выполняются все пять
постулатов Евклида. Сумма углов треугольника равна 180 градусам, а площадь круга равна пг2.
Существуют разные плоские формы, но простейшим примером плоской трехмерной формы является бесконечное евклидово пространство. Другим примером плоской формы является цилиндр, полученный путем вырезания куска плоскости и склеивания двух его краев вместе.
Продолжая аналогию и склеивая два оставшихся края, получим плоский трехмерный тор. В отличие от цилиндра, на торе будет происходить искажение длин и углов. Прямые в плоском торе будут всегда возвращаться в свое начало, а значит и свет, распространяясь, вернется когда-нибудь к наблюдателю.
Стоит отметить, что существуют несколько проблем, связанных с определением типа геометрии Вселенной.
Во-первых, если бы мы наблюдали свою копию по Вселенной, то эта копия изображала бы наше далекое прошлое, так как при наблюдении космоса, мы видим не только в пространстве, но и во времени.
И второй основной проблемой является то, что, так как эти копии будут находиться на разном расстоянии, то большинство из них будут отличаться друг от друга.
Для решения этих задач, астрономы используют разные методы. Например, они ищут повторяющиеся особенности на космическом микроволновом излучении. То есть астрономы ведут поиск пар кругов, в которых существуют похожие образцы точек разной температуры, рассчитывая на то, что это один и тот же круг, наблюдаемый с разных направлений.
В 2015 году было проведено исследование, в ходе которого ученые пытались найти круги, характерные геометрии плоского трехмерного тора, но их не удалось обнаружить. Возможно, зона повторяющихся узоров лежит за пределами наблюдаемой нами Вселенной.
Другой вариант - сферическая геометрия. Так же называется геометрией Римана. В ней последний, пятый постулат Евклида нарушается и,
две параллельные прямые пересекаются.
В сферической Вселенной свет движется по большим кругам. Большими кругами называются такие круги, центр которых расположен в центре сферы. При наблюдении за траекторией света обнаружится, что в близи от источника объекты будут не сильно искажены, но объекты на другом конце сферы или наблюдаемой Вселенной будут выглядеть увеличенными. Этот эффект можно было бы наблюдать как увеличенные изображения космоса по мере отдаления в прошлое.
В отличие от плоских форм, сферическая геометрия Вселенной может быть обнаружена с помощью локальных измерений.
Одним из способов изучения искривления Вселенной является измерение космических треугольников. Суть в том, что для каждого пятна космического микрофонного излучения вычислены его диаметр и расстояния до Земли. Таким образом образуются три стороны треугольника. Измеряется угол, под которым наблюдается пятно на космическом микроволновом фоне и, полученный треугольник сопоставляется типу геометрии.
И последний возможный вариант для однородной и изотропной Вселенной - гиперболическая геометрия или геометрия Лобачевского. Примерами гиперболической геометрии являются коралловые рифы, седлообразные и псевдосферические поверхности.
В гиперболической геометрии пятый постулат Евклида также нарушается. Но, в отличие от сферической геометрии, в гиперболической геометрии для любой прямой существует по крайней мере две параллельные ей и пересекающиеся между собой прямые.
Геометрия Лобачевского довольно сильно распространена и применяется в таких сферах познания как теория чисел, теория функций комплексного переменного, в астрономии и географии, в релятивистской физике и физике высоких энергий.
Интересным и показательным примером гиперболической плоскости является диск Пуанкаре (рис 1).
Рисунок 1 . Диск Пуанкаре
Допустим, что диск полностью покрыт множеством треугольников. В евклидовом пространстве, эти треугольники на границе круга выглядят намного меньше, чем в центре, но с точки зрения гиперболической геометрии все треугольники одинаковые, так как его поверхность искривлена. Поверхности геометрии Лобачевского не уместить на Евклидовом пространстве.
Граница диска в евклидовом пространстве бесконечно удалена от центра, так как, чтобы попасть на границу, необходимо преодолеть бесконечное множество треугольников.
На сегодня, исследования приводят к тому, что Вселенная плоская с погрешностью 1± 0.004 [2]. Но также известно то, что геометрия мира тесно связана с материей и энергией, которые в нее включены. Если бы их было немного больше, то геометрия имела бы положительную кривизну, а если бы меньше, то отрицательную.
Стоит отметить, что реальная Вселенная, все же, сложнее, чем однородная и изотропная модель. Пространство может менять свои свойства под влиянием материи и энергии, рябить из-за гравитационных волн и расширяться. На локальном уровне она перестает быть плоской.
Идея искривленного пространства рождает идею черных дыр. Они
образуются, когда звезды с определенными характеристиками достигают конца своей эволюции и коллапсируют, оставляя после себя черные дыры [3].
£=1ШР2 — С^=0, (6)
2 К '
где Е - полная энергия тела, т и М - массы двух тел, V - скорость, G - гравитационная постоянная и R - расстояние между телами.
Чтобы преодолеть притяжение черной дыры полная энергия Е, состоящая из кинетической и потенциальной энергий, должна быть больше или равна 0. Если она отрицательна, то тело окажется в гравитационной ловушке.
2 2 СМ (7) р2 =- 4 7
Я
Выразив из уравнения V, мы найдем, какая скорость необходима для преодоления гравитации любого физического тела. Эта скорость называется скоростью убегания.
с2 = 2СМВН (8)
я ,
где с - скорость света, Мвн - масса черной дыры.
При подстановке в последнее выражение скорости света, получится ситуация, при которой даже свет не может преодолеть гравитацию.
Отсюда следует соотношение массы и размеров для черной дыры.
2СМВЯ (9)
Я =
с2
Например, для тела солнечной массы критический радиус или так называемый радиус Шварцшильда равен чуть меньше 3 километров. То есть, если сжать Солнце до 6 километров в диаметре, оно станет черной дырой. В нашей Вселенной существует множество черных дыр. Черная дыра в центре нашей галактики весит в 4 миллиона раз больше Солнца [4].
Но, изучая Вселенную, ученые также обнаружили, что даже такие массивные тела как чёрные дыры не в состоянии удержать Солнечную систему внутри Млечного Пути. Для этого требуются ещё большие массы.
Представление о том, что во Вселенной может существовать не только, доступная для наблюдений, материя, зародилось давно, но только в наше время оно получило научное обоснование. Речь идет о небарионном веществе.
Известно, что 74% Вселенной занимает темная энергия. Это такой тип энергии, который был введен исследователями для объяснения расширения с ускорением, которая свойственна нашей Вселенной. Остальную часть составляет темная материя или небарионная материя и барионная привычная нам материя. Причем 22% материи является небарионной, и только 4%-барионной. К барионной материи относятся межгалактический газ, звезды и остальное, что состоит из протонов, нейтронов, античастиц и электронов.
Последние исследования, проведенные рентгеновской обсерваторией Чандра подтверждают, что баритонное вещество находится в основном в волокнах горячего газа или галактических нитях суперкластеров, то есть в сверхскоплениях галактик. Таким образом наблюдается особая закономерность в расположении материи во Вселенной и, как следствие, существуют закономерные области ее искривления.
Исследование темной энергии и темной материи так же играет большую роль в изучении искривления пространства-времени.
Таким образом, даже с точки зрения теории относительности, понятие бесконечности и искривлённость Вселенной значительно сложнее, чем это представлялось раньше.
Следовательно, есть все основания полагать, что следующая теория, которая придет на смену общей теории относительности, будет еще сложнее описывать геометрию Вселенной.
Библиографический список
1. Ахундов М. Пространство и время в физическом познании. / М. Ахундов — Москва: УРСС 2016. — c.224.
2. Erica Klarreich. What Is the Geometry of the Universe? / Erica Klarreich. // Quantamagazine - URL: https://www.quantamagazine.org/what-is-the-geometry-of-the-universe-20200316 - Дата публикации: 16.03.2020.
3. Visualization Probes the Doubly Warped World of Binary Black Holes / Schnittman and Brian P. Powell. // NASA's Goddard Space Flight Center -2021. - URL: https://svs.gsfc.nasa.gov/13831 - Дата публикации: 15.04.2021.
4. Black Hole Accretion Disk Visualization / Jeremy Schnittman. // NASA's Goddard Space Flight Center - 2019. - URL: https://svs.gsfc.nasa.gov/13326 - Дата публикации: 25.09.2019.
