CC BY
15
VeAtnik of Geosciences, February, 2021, No. 2
УДК 548.121 DOI: 10.19110/geov.2021.2.4
ИЗ ОПЫТА ПРЕПОДАВАНИЯ. VII. СОПОДЧИНЕНИЕ ГРУПП СИММЕТРИИ И КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ ГАРМОНИИ
Памяти профессора А. Г. Буша
Ю. Л. Войтеховский
Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург; Voytekhovskiy_YuL@pers.spmi.ru Геологический институт ФИЦ КНЦ РАН, Апатиты; woyt@geoksc.apatity.ru
На примере решеток Санкт-Петербурга показано, что в них по-разному сочетаются бордюры всех семи групп симметрии. Предложен критерий: решетка гармонична, если группы симметрии бордюров соподчинены; иначе она эклектична. По нашему опыту, такой подход на границе кристаллографии и архитектуры облегчает восприятие темы о соподчинении 32 точечных групп симметрии в университетском курсе кристаллографии. Статья посвящена памяти выдающегося ученого и популяризатора минералогии профессора А. Г. Булаха.
Ключевые слова: точечные группы симметрии, группы симметрии бордюров, соподчинение групп, решетки.
FROM TEACHING EXPERIENCE. VII. SUBORDINATION OF SYMMETRY GROUPS AND CRYSTALLOGRAPHIC CRITERION OF HARMONY
Dedicated to the memory of Professor A. G. Bulakh
Yu. L. Voytekhovsky
St. Petersburg Mining University, St. Petersburg Geological Institute of FRC KSC RAS, Apatity
It is shown by the example of the fences of Saint Petersburg that they combine the borders of all seven symmetry groups in different ways. A criterion is proposed: a lattice is harmonious if the symmetry groups of the borders are subordinate, otherwise it is eclectic. According to the author's experience, such an approach on the border of crystallography and architecture facilitates the perception of the topic on the subordination of 32 point symmetry groups in the university course of crystallography. The article is dedicated to the memory of the outstanding scientist and popularizer of mineralogy Professor A. G. Bulakh.
Keywords: point symmetry groups, border symmetry groups, subordination of groups, lattices.
Введение
Статья посвящена памяти выдающегося минералога, почетного члена Российского минералогического общества профессора А. Г. Булаха (1933—2020), оставившего яркий след в популяризации науки. Если стиль А. Е. Ферсмана — путешествия в мир минералов с посещением уникальныж месторождений, музейныгх коллекций и попутными экскурсами в историю, стиль И. И. Шафрановского — походы в мир живого и косного за образцами классической (в основном) симметрии с глубокими историческими исследованиями, стиль А. В. Шуб-никова — интеллектуальные приключения в мире классической и неклассической симметрии с иллюстрация-
ми из мира искусства, то стиль А. Г. Булаха [1—3] — гимн минералам и горныгм породам в архитектурныж творениях Санкт-Петербурга, которыш он любил и знал. Как и у предшественников, популяризация науки в его исполнении — всегда точное и доступное изложение предмета на основе высокого профессионализма.
Статья продолжает публикацию [4], в которой дан вывод семи групп симметрии бордюров (г. с. б.) и показаны их образцы из архитектурныж объектов Санкт-Петербурга. Напомним, что бордюры — односторонние полосы с рисунками, ритмически повторяющимися вдоль оси трансляции*. Далее показано, сколь разно-
* Здесь и далее мы следуем определениям, принятым в кристаллографии [5]. Но заметим, что в искусствоведении бордюр — это кайма или полоса, обрамляющая край декоративной композиции. То есть в нашем изложении каждый бордюр сам является целостной композицией, составленной из раппортов — элементов, традиционно изображаемых асимметричными треугольниками и размноженных в бордюр той или иной группой симметрии.
Для цитирования: Войтеховский Ю. Л. Из опыта преподавания. VII. Соподчинение групп симметрии и кристаллографический критерий гармонии. Памяти профессора А. Г. Булаха // Вестник геонаук. 2021. № 2 (314). С. 19—22. DOI: 10.19110/geov.2021.2.4
For citation: Voytekhovsky Yu. L. From teaching experience. VII. Subordination of symmetry groups and crystallographic criterion of harmony. Dedicated to the memory of Professor A. G. Bulakh. Vestnik of Geosciences, 2021, 2 (314), pp. 19—22, doi: 10.19110/geov.2021.2.4
^еакНмс teoHaqtc. февраль, 2021 г., № 2
образно они сочетаются в решетках. Обычно это именно решетки, но замечательные примеры сочетаний бордюров дают и лепные украшения на стенах зданий и другие архитектурные объекты. Соотнесение г. с. б. в них облегчает освоение иерархии 32 точечных групп симметрии (т. г. с.) в университетском курсе кристаллографии. Нами предложен заведомо провокационный критерий гармоничной решетки, побуждающий студентов анализировать соподчинения г. с. б., дискутировать о результатах и самом критерии. Это именно то, что нужно на практическом занятии по указанной теме.
Проблема
Общая схема соподчинения 32 т. г. с. (рис. 1) пугает студентов. Тут и встает педагогическая проблема ее ясного изложения. Нам ближе алгебраический метод, быстрее ведущий к цели. Но в Санкт-Петербургском горном университете принят геометрический подход, идущий от Е. С. Федорова и требующий богатого пространственного воображения. (Опрос показал, что две трети нынешних студентов тоже предпочитают геометрию.) Вхождению в тему может помочь анализ г. с. б. в решетках. Их иерархия относительно проста (рис. 1), а вложения элементов симметрии в 2Б наглядны.
более сильно выражает вращение; 4) г. с. б. Т и СТ не сочетаются с группами, содержащими П (перпендикулярные к Т) и вызывающими ощущение равновесия, покоя; 5) г. с. б. РПТ, старшая в иерархии, совместима с любой другой и играет роль фона, на котором сочетаются (или нет) подчиненные ей г. с. б.; 6) г. с. б. Т, младшая в иерархии, согласуется с любой другой, но не везде уместна по указанной далее причине; 7) архитектурный замысел решетки — акцент на движении (поступательном или вращательном) или покое — должен отвечать месту; это замечание за пределами кристаллографии, но уместно ввиду ее приложений.
Примеры
1. Очень гармонична решетка из пяти бордюров на рис. 2. Г. с. б. ПТ 1-го (пики с волютами) входит в г. с. б. ПТ* (ближайшая надгруппа) 2-го бордюра (меандр), а та (с 4-м и 5-м нижними меандрами) — в г. с. б. РПТ (снова ближайшая надгруппа) 3-го бордюра. Последний вытянут в высоту и визуально распадается на две части, обе с г. с. б. ПТ, входящей в г. с. б. ПТ* соседних меандров. Как ни посмотри — гармоничная решетка!
2. Гармонична архитектурная решетка на рис. 3, состоящая из бордюров с г. с. б. СТ (вверху) и ПТ* (бли-
тЗт
т 2 1 1
Рис. 1. Иерархия 32 т. г. с. (слева) и 7 г. с. б. (справа). Обозначения [5]: РПТ (a : 2m), РТ (a : m), ПТ* (a': 2), Т* (a )
СТ (a : 2), ПТ (a : m), Т (a)
Fig. 1. Hierarchy of 32 point symmetry groups (left) and 7 border symmetry groups (right). Notations [5]: РПТ (a : 2m), РТ (a : m), ПТ* (a' : 2), Т* (a), СТ (a : 2), ПТ (a : m), Т (a)
Критерий
Не все решетки одинаково гармоничны. Мы имеем в виду не мастерство изготовления, а сочетаемость г. с. б. в них. Согласно предложенному нами критерию, решетка гармонична, если г. с. б. в ней соподчинены (или совпадают); иначе она эклектична. При этом: 1) чем ближе соподчиненные г. с. б. в иерархии, тем гармоничнее решетка; 2) все г. с. б. содержат трансляцию, но группа Т выражает поступательное движение в чистом виде; 3) три г. с. б. содержат центр инверсии, но группа СТ наи-
жайшая надгруппа, внизу). Возможно, мотивом вращения в обоих бордюрах архитектор намекнул на близость здания к Зимнему дворцу, вокруг которого вращалась жизнь Санкт-Петербурга и всей империи, или на сплетение струй текущей параллельно Невы.
3. Гармонично сочетание двух бордюров на рис. 4. Г. с. б. Т нижнего вкладывается в г. с. б. ПТ (ближайшая надгруппа) верхнего. Бордюр Т выбран архитектором удачно. Он подчеркивает бег волн соседней Фонтанки и, может быть, быстротечность жизни правящего императора.
Vestnik of Geosciences, February, 2021, No. 2
Рис. 2. Ограда на углу Большого пр. В. О. и 6-й линии. Здесь и далее фото автора
Fig. 2. The fence at the corner of Bolshoy av. V. O. and 6th Line. Hereinafter author's photo
Рис. 5. Ограда перед домом (Большой пр. В. О., 49) Fig. 5. Fence in front of the house (49 Bolshoy av. V. O.)
Рис. 3. Архитектурный декор на здании (ул. Миллионная, 20)
Fig. 3. Architectural decor on the building (20 Millionnaya st.)
Рис. 6. Ограда мемориального Смоленского кладбища, набережная р. Смоленки
Fig. 6. The fence of the memorial Smolensk cemetery, the River Smolenka Embankment
Рис. 4. Архитектурный декор на флигеле Михайловского замка (ул. Инженерная, 8)
Fig. 4. Architectural decor on the wing of the Mikhailovsky Castle (8 Inzhenernaya st.)
дизайнера с учетом того, что это ограда кладбища? Если показать, что коловращение жизни заключено между периодами небыггия (покоя), то она достигнута. В искусстве и эклектика бытает талантливой...
6. Эклектична решетка на рис. 7. Г. с. б. ПТ верхнего (пики) и Т* нижнего (волюты) бордюров не вкладываются друг в друга. Нижний, плоскостью скользящего отражения намекающий на поступательное движение, можно оправдать здесь тем, что за оградой располагается Land Rover Service.
4. Менее гармонична решетка из пяти бордюров на рис. 5. Здесь четыре верхних бордюра (пики, подковы, петли и волюты) имеют г. с. б. ПТ (как будто дизайнер хотел показать обилие возможностей в рамках канона), входящую в г. с. б. РПТ (неближайшая надгруппа) нижнего бордюра (кольца). Некоторое разнообразие в верхнюю часть решетки внесено тем, что шаги трансляции в
1-м и 4-м бордюрах вдвое больше, чем во 2-м и 3-м. Есть решетки, в которых они вообще несоразмерны.
5. Эклектична решетка на рис. 6. Ее верхняя часть состоит из трех бордюров, г. с. б. СТ (с осью вращения)
2-го и г. с. б. ПТ (с вертикальными плоскостями П) 1 -го и 3-го не вкладываются друг в друга. Какова была цель
Рис. 7. Современная ограда перед Land Rover Service (ул. Ремесленная, 7)
Fig. 7. Modern fence in front of the Land Rover Service (7 Remeslennaya st.)
^еаиНии teoHaqtc, февраль, 2021 г., № 2
Заключение
Примеры решеток можно приводить долго — коллекция автора велика, а Санкт-Петербург просто неисчерпаем. Число возможныж сочетаний г. с. б. конечно, но иногда они маскируются художественными решениями столь замысловато, что прочтение решетки становится задачей. Эклектичные решетки рождают вопрос: перед нами безвкусица или замысел? Он выжодит за рамки статьи. Но здесь легко перебросить мост в минералогию, заметив, что и в кристаллах часты сочетания раз-ныж структурныж мотивов, нарушения периодичности (политипия), несоразмерность трансляций и т. д.
Кем-то справедливо сказано: чем сложнее предмет, тем доступнее и образнее его надо преподавать. Кристаллография — сложная дисциплина, особенно для студентов с гуманитарным складом ума, преобладающим среди геологов. Это школа строгого мышления с определениями, теоремами, доказательствами. В ее преподавании хороши любые средства, кроме скучныж. И уже давно доказано, что обсуждение трудной темы среди ландшафта действует на студентов ободряюще, ибо опускает ее с абстрактных высот на уровень перипатетиков — гуляющих по саду...
Автор благодарит своих студентов С. И. Азаренко, А. А. Дирксен, А. С. Иванову, К. П. Мальцеву, Е. А. Потанину, С. В. Шовкун за обсуждение темы во время прогулок по Санкт-Петербургу, а также рецензентов за профессиональные замечания, способствовавшие более понятному изложению материала.
Литература
1. Булах А. Г., Абакумова Н. Б. Каменное убранство центра Ленинграда. Л.: ЛГУ, 1987. 296 с.
2. Булах А. Г., Попов Г. Н, Янсон С. Ю, Гаврилен-ко В. В., Иванов М. А., Платонова Н. В. Минеральный со-
став и архитектоника пыедестала «Медного всадника» в Санкт-Петербурге // Зап. РМО. 2017. № 6. С. 111-125.
3. Булах А. Г., Попов Г. П., Иванов М. А. Блочное строение гранитного постамента «Медного всадника» и его моделы // Музей под открыпыш небом. Стратегия сохранения скулыптуры в городской среде. СПб.: Знакъ, 2018. С. 23-26.
4. Войтеховский Ю. Л. Из опыта преподавания. VI. Симметрия бордюров // Вестник геонаук. 2020. № 8(308). С. 28-31. doi:10.19110/geov.2020.8.4
5. Шубников А. В. Симметрия. М.—Л.: Изд-во АН СССР, 1940. 176 с.
References
1. Bulakh A. G., Adakumova N. B. Kamennoye ubranstvo centra Leningrada (Stone decoration of the centre of Leningrad). Leningrad: State University, 1987, 296 pp.
2. Bulakh A. G., Popov G. N., Yanson S. Yu., Gavrilenko V. V., Ivanov M. A., Platonova N. V. Mineralny sostav i arkhitektonikapyedestala «Mednogo vsadnika» v Sankt-Peterburge (Mineral composition and architectonics of the «Medny vsadnik» pedestal in Saint Petersburg). Proc. Rus. Miner. Soc., 2017, 6, pp. 111—125.
3. Bulakh A. G., Popov G. N., Ivanov M. A. Blochnoye stroyeniye granitnogopostamenta «Mednogo vsadnika» i ego model (Block structure of the «Medny vsadnik» granite pedestal and its model). Open-air museum. Strategy for the conservation of sculpture in an urban environment. Saint Petersburg: Znak, 2018, pp. 23—26.
4. Voytekhovsky Yu. L. Iz opyta prepodavaniya. VI. Simmetriya bordyurov (From teaching experience. VI. Symmetry of borders). Vestnik of Geosciences, 2020, 8(308), pp. 28—31. doi:10.19110/geov.2020.8.4
5. Shubnikov A. V. Simmetriya (Symmetry). Moscow— Leningrad: Acad. Sci. USSR, 1940, 176 pp.
Поступила в редакцию / Received 15.12.2020
