CC BY
23
Монахов В.М.1, Фирстов В.Е.2
1 ФГБНУ "Институт стратегии развития образования РАО", главный научный сотрудник Центра
теории и методики обучения математике и информатике, доктор педагогических наук, действительный член Академии естественных наук Республики Казахстан, член-корреспондент
РАО, E-mail: Monakhovvm @mail . ru
2 ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», профессор кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук,E-mail: firstov 1951@ gmail . com
ИЗ ОПЫТА ПОСТРОЕНИЯ ПРОГНОСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РАЗВИТИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ КОМПОНЕНТОВ ДИДАКТИКИ
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Система образования, дидактика, модернизация, информационная энтропия, кибернетическая концепция, принципы синергетики, толерантное пространство, обратная связь, оптимизация процесса обучения, модели управления учебным процессом, групповое сотрудничество, метод бинарной проекции, социометрическая матрица, фрактальные и нечеткие меры.
АННОТАЦИЯ
Рассмотрены информационные компоненты модернизации в системе образования и дидактике. Показано, что кибернетический принцип обратной связи в этом случае действует неординарно и содержит два внешних контура управления, реализующие прогнозирование и планирование в системе образования. В целом, поведение системы образования (как открытой системы) следует принципам синергетики, т.е. при адаптации с внешней средой происходит ее самоорганизация, в ходе которой данная система принимает некое самоподобное состояние, представляющее некий консенсус с
внешней средой. Для оценки качества образовательных процессов используется
концепция толерантного пространства. Рассмотрено несколько подходов к процессу оптимизации управления дидактическим процессом, которые проводятся на основе количественных мер информации, как детерминированных, так и стохастических. Среди них оптимизация группового сотрудничества в учебном процессе, которое методом бинарной проекции с уровня ВПО транслируется на уровень школьного обучения. Особое внимание уделено моделированию и управлению учебными процессами на основе фрактальных и нечетких мер.
Введение
Мы живем в эпоху такого взаимодействия между природой и обществом, при котором интеллектуальная человеческая деятельность становится определяющим фактором общественного развития, формирующего то, что в 20 — 30-х гг. XX в. у П. Тейяра де Шардена, Э. Леруа и В.И. Вернадского названо ноосферой [1;2]. Ее материализация произошла в середине XX в. в рамках теории информации К. Шеннона [3] на основе кибернетических принципов, сформулированных Н. Винером [4] в виде фундаментального положения о том, что всякий процесс управления в природе универсален и его реализация сводится к некоторому преобразованию информации по принципу обратной связи. В 60-х гг. это положение получило методологическое обоснование в работах советского философа В.А. Штоффа [5], что позволило установить отношение между моделью и объектом в кибернетических системах, где, как выяснилось, метод моделирования приобретает еще более общий характер, чем это может дать математическое моделирование. Тем самым, реализуется оптимальное управление объектами любой природы в рамках принципа обратной связи, которое проводится посредством минимизации информационной энтропии в процессе управления объектом [3-6], обеспечивая функцию предсказания (прогноза) результатов управления рассматриваемым объектом.
Поскольку замкнутые системы в природе представляют, скорее, исключение, то обычно имеют дело с открытыми системами, к которым относится система образования, и сценарий
управления в этом случае связан с реализацией синергетических представлений о необратимых процессах, восходящих к И.Р. Пригожину [7]. Поведение таких объектов характерно тем [8], что при адаптации с внешней средой открытая система надлежащим образом структурируется (самоорганизация), принимая динамически оптимальное состояние, фазовая конфигурация которого представляет некий консенсус между внешней средой и данной системой (самоподобие); изменение внешних условий дает новую конфигурацию рассматриваемой системы. Такое поведение открытой системы определенно перекликается с действием дидактических принципов системности (самоорганизация) и последовательности (самоподобие) в учебном процессе.
Эпоха рубежа ХХ-ХХ1 вв. знаменует глобализацию общественных отношений, ядром которой выступают информационные процессы, расширяющие возможности процесса обучения и являющиеся приоритетом концепции модернизации российского образования. Однако при этом возникают проблемы в области дидактики, связанные с созданием обновленной коммуникационной среды обучения, адаптированной к усвоению больших массивов знаний и формированию необходимых компетенций. Разрешение возникающей проблематики в рамках традиционной педагогики затруднено, на что указывает наличие кризисных областей в отечественном образовании [9]. Для ее разрешения требуется модернизация российского образования путем расширения методологического арсенала педагогической науки до уровня, отвечающего реалиям современной России. Такой методологией в данной работе выступает кибернетическая концепция, в рамках которой информационные принципы кибернетики проникают в систему образования в виде информационных моделей [10;11]. Данная работа продолжает методологи-ческую линию докладов [12;13], несколько сместив акценты в область моделирования и управления педагогическими процессами, реализуя информационные закономерности кибернетики.
1. Роль внешних контуров управления в системе образования. С точки зрения кибернетики, управление открытой системой — это управление с внешним и внутренним каналами обратной связи; оптимальное управление в данном случае сводится к эффективному согласованному взаимодействию этих каналов. Через внешние контуры управления открытой системой происходит разрешение вопросов прогнозирования и планирования, которые рассмотрены в докладе [12], а также некоторые внешние измерения при управлении системой образования:
• Концепция толерантного пространства при оценке качества образовательных процессов. В середине XX в. объем экспериментальных знаний о деятельности мозга достиг величины, позволяющей проводить адекватную систематизацию этих знаний в рамках формализованных моделей [14-16], т.е. способности к распознаванию образов реального мира по неполной информации. Одной из таких моделей является концепция толерантного пространства, которая впервые появилось в работе О. Бьюнемана и Э. Зимана ([17], 1970), и была распространена в область дидактики М.М. Бонгардом [18].
Толерантное пространство вводится путем определения нормы в пространстве образов X, так, что, если существует определенное значение £ >0, для которого
[Хо-^в, ^ (1)
то представленный образ х£X можно идентифицировать с эталонным образом Х0£ X , хранящимся в памяти пространства X. Неравенство (1) в пространстве Х определяет некоторое бинарное отношение тс X XX , которое рефлексивно и симметрично, и называется отношением толерантности так, что пара (X, т) в этом случае образует толерантное пространство. Представление о толерантном пространстве реализуется при оценке качества образовательного процесса и, в частности, в рамках ЕГЭ.
• Концепция корпоративного (непрерывного) образования. Сейчас процесс информатизации происходит настолько интенсивно, что многие процессы передачи информации сильно ускорились, и в только начавшийся XXI век сменилось четыре поколения Windows. Это создает проблемы в системе образования, где период переформатирования составляет 3-5 лет. Выход усматривается на пути корпоративного (непрерывного) образования, при котором корпорации, принимая работников на службу, берут на себя затраты на их доучивание и дальнейшую регулярную переподготовку. Цель образования в этом случае — подготовка человека к будущей деятельности в обществе, а содержанием образования — освоение общих методов и форм человеческой деятельности [9].
• Интеграция наук и междисциплинарная дидактика. Такой подход является
распространенным методом решения сложных проблем за счет оптимальной организации взаимодействия между несколькими научными дисциплинами. В этом случае используется общая модель эволюционной динамики открытых систем на основе кинетического уравнения М. Эйгена (Нобелевская премия по химии, 1967) [7;19], описывающего процесс самоорганизации в процессе эволюции открытой системы:
¿х _
=( F-Я^ х1+Ефл,;=1 ;п (2)
Ш ¡Ф1
где X/ — концентрация /-го носителя информации; Fi; Ri — соответственно, скорости образования и убыли X/; Ф» — скорость образования X/ по другим каналам передачи информации в
рассматриваемой системе. Дидактический инструментарий реализации междисциплинарного обучения подробно рассмотрен в монографии [10] и докторской диссертации [11], а также в нашей недавней работе [20].
2. Меры информации и оптимизация процесса обучения. Приведем конкретные примеры оптимизации управления параметрами учебного процесса на основе количественных мер информации.
• Оптимизация управления по критерию минимума информационной энтропии в учебном процессе (4),(5).
Пример 2.1.Распределение образовательного контента по траектории учебного процесса [10;11]. Определим процесс обучения следующим рекуррентным уравнением:
I,+1=I + (3)
где I, — количество информации, отвечающее актуальному уровню знаний обучаемого субъекта на /-ом шаге обучения; АI, — знания, которые активируются путем целенаправленного учебного воздействия на зону ближайшего развития уровня I, данного субъекта. и, по мере наполнения уровня I,+1 в процессе ' 1,+1, реализуется /+1-й шаг обучения. т.е. области АI, развиваются на основе имеющегося опыта I, посредством создания и разрешения проблемных ситуаций в учебном процессе [21-23].
Определим информационные характеристики учебного процесса, моделируемого процедурой (3). В этом случае информационная энтропия в процессе развивающего обучения (3) составит:
п п
Н = !А I .р .=-£ р, ^ р, (4)
1 = 0 1=0
где р, — вероятность усвоения совокупности знаний области АI,, для определения которых используем дидактические закономерности [24] и экспериментальные данные по кривым научения [25]. Оптимум в учебном процессе (3) достигается, если информационная энтропия (4) минимальна. Модель (3;4) дает оптимальное распределение образовательного контента по траектории учебного процесса.
В случае блочно-модульного обучения программный материал АI, включающий ,= 1 ;п шагов обучения, разбит на к модулей ( Кк<п) в виде семантически завершенных
информационных массивов, в которых обучение строится в рамках модели (3). Тогда
к
АI = £А I. (5)
3=
и, предполагая общее сохранение учебного регламента, имеем разбиение
П1+ П2+...+ Пк=П + 1, (6)
где ц — количество шагов обучения в рамках модуля .= 1 ;к при изучении материала АI. в рамках модели (3). Для вычисления энтропии Нбл при блочно-модульном обучении можно привлечь те же соображения, что и в примере 2.1. В результате имеем:
к
Нбл = -X Р. ^ р. . (7)
]=1
Соображения [10;11] показывают, что разность Н — Нбл > 0, т.е. Нбл<Н и информационная неопределенность при блочно-модульном обучении ниже, чем при пошаговом учебном процессе, что означает более эффективную организацию потоков учебной информации в процессе блочно-
модульного обучения. Поэтому блочно-модульное обучение довольно распространено в высшей школе [26]; в средней школе преимущества блочно-модульного обучения не столь очевидны.
Пример 2.2. Оптимизация группового сотрудничества в учебном процессе. Рассмотрим следующую задачу по организации коммуникативного общения в учебном процессе, в котором перед обучаемым контингентом ставится некоторая проблема, для решения которой данный контингент разбивается на подгруппы (кластеризуется). Здесь возникает следующая дидактическая задача: «Как следует разбить контингент на подгруппы, чтобы, не выходя за пределы фиксированного времени, поставленная проблема была решена при оптимальном директивном качестве?»
Для решения этой задачи используется следующая информационная модель [10;11]. Пусть А={аъа2;...;ат) — конечное множество (обучаемый контингент), кластеризованное посредством разбиения:
А = А 1и А2и...и АП,Ар Ак=0 ,]Фк,];к =1п ,п^т (8)
В рамках разбиения (8) оптимизация группового сотрудничества строится по критерию минимума информационной энтропии, который формируется по двум информационным каналам [27]:
1).По результатам предметного тестирования контингента, для которого устанавливается цепочка неравенств 0<t<Т , где и — общее время выполнения задания /-м учащимся с учетом качества; 1 = 1 ;т ; Т — временной регламент, определяемый параметрами теста. На основе данного измерения определяются вероятности а1 = 1- ti/Т , характеризующие уровень обученности /-го учащегося. По найденному распределению вероятностей а1 строится распределение нормированных вероятностей: р(а)=а1/а = а1/(а1 + ... +ат),1 = 1,т , образующих полную систему, характеризующую рейтинги отдельных учащихся при выполнении данного задания. Для проведения процедуры оптимизации в рамках излагаемой модели определяются групповые вероятности р■ = ^ р (а), Va¡ЕА ■, где р] — вероятность того, что некоторый элемент из А входит в класс Aj. Тогда критерий оптимизации разбиения обучаемого контингента на подгруппы сводится к минимизации групповой информационной энтропии:
п
н(р)=-Х Р]р]■* тт (9)
3=1
Таблица 1. Результаты индивидуального интеллектуального тестирования
/ Ф.И.О. и , мин. Кол-во прав.ответов Оценка
1 Маринина 34 (32) 9 (8) 4 (4)
2 Оханин 55 (40) 7 (8) 3 (4)
3 Муллаев 42 (32) 9 (9) 4 (4)
4 Кирин 36 (30) 10 (9) 5 (4)
5 Родин 40 (27) 8 (11) 4 (5)
6 Макаров 40 (24) 7 (12) 3 (5)
7 Егоров 34 (28) 9 (9) 4 (4)
8 Баранов 42 (36) 7 (8) 3 (4)
9 Зайцев 34 (34) 9 (8) 4 (4)
10 Красиков 34 (34) 9 (8) 4 (4)
Е 391 (309) 84 (100) Ср. балл: 3,8 (4,2)
В таблице 1 представлены результаты индивидуального интеллектуального тестирования в 431 гр. мех.-мата СГУ по дисциплине «Компьютерная алгебра» специальности ВПО 010901 «Механика» при изучении темы «Элементы теории множеств, отношений и комбинаторики», в начале эксперимента и на этапе закрепления (числа в скобках). Видна положи-тельная динамика процесса: общее время выполнения тестов уменьшилось с 391 до 309 мин. (на 26,5%); количество правильных ответов и оценка увеличились с 84 до 100 (на 16%) и с 3,8 до 4,2 балла (на 10,5%).
В таблице 2 приведены результаты при оптимальном разбиении контингента на подгруппы, откуда видно, что показатели академической успешности и данные хронометража
значительно лучше, чем при индивидуальном выполнении тестовых заданий. Как видим, положительный эффект данной ИКТ довольно существенный.
Таблица 2. Результаты тестирования при оптимальном варианте разбиения
j Состав подгрупп tj Кол-во прав. ответов Оценка
мин.
I {1;6;7} 18 11 5
II {2;3;8} 22 10 5
III {4;5;9;10} 15 10 5
Х=55 31 Ср.балл:5
Эксперименты на школьном уровне обучения математике (МОУ «Гимназия №5», г. Саратов, 2004-2008 гг.) показали повышение показателей академической успешности: на 27,5% — в 4-м классе; на 25% — в 9-м классе и на 20-25% — в 10-11-х классах [10;11].
2). По данным социометрии, когда для контингента A={ai;a2;...;am) — определяется функция A2(s), задающая паре (a;, a j) ^ A ,i; j = 1 ;m j уровень симпатии s = 0;1;2;...;smax обучаемого ai к aj (обычно 3<=smax<=10) и с помощью процедуры тестирования контингента А устанавливается социометрическая матрица A2(s) размера mxm, определяющая уровни симпатий sij£s между обучаемыми контингента А. Тогда величина s = smax-s определяет уровень антипатии между
m m
обучаемыми контингента А. При этом, величина суммы 0<S = sij^m(m— l) smax,iФ j ,
i=1 j=1
отражает общий уровень симпатии в рассматриваемом контингенте А и, если S > m (m — 1) smax/2 ,то микроклимат такого социума является позитивным (толерантным). Критерий оптимизации управления процессом кластеризации обучаемого контингента в данном случае определяется следующим образом:
k
X S(Ai)^max (10)
i=1
где S(Ai)- суммарный уровень симпатий по блоку A,2(s) социометрической матрицы. Максимизация уровня симпатий Ф равносильна минимизации уровня антипатий в данном обучаемом контингенте, что, в терминах кибернетики, равносильно минимизации информационной
k
энтропии по Шеннону: H (р ) = —^ pilog2 р^ min . Таким образом, критерий (10) получает
i=1
объяснение в рамках теории информации.
Таблица 3. Социометрическая матрица Таблица 4. Оптимальная кластеризация
симпатий в гр.431. в 431 группе.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 • 2 3 2 2 3 3 3 2 2
2 1 • 3 1 1 1 1 2 1 1
3 1 3 • 2 1 1 1 2 1 1
4 2 2 2 • 3 1 1 2 3 3
5 2 2 2 3 • 1 1 2 3 3
6 3 2 3 1 1 • 3 2 2 1
1 3 2 3 0 2 3 • 2 2 2
S 2 2 2 1 2 2 3 • 1 2
9 1 2 2 1 3 0 0 3 • 3
10 2 2 2 3 3 1 1 2 3 •
17 19 22 14 18 13 14 20 18 18
i 1 6 7 2 3 S 4 5 9 10
1 • 3 3 2 3 3 2 2 2 2
б 3 • 3 2 3 2 1 1 2 1
7 3 3 • 2 3 2 2 2 2
2 1 1 1 » 3 2 1 1 1 1
3 1 1 1 3 • 2 2 1 1 1
S 2 2 3 2 2 • 1 2 1 2
4 2 1 1 2 2 2 • 3 3 3
5 2 1 1 2 2 2 3 • 3 3
9 1 2 2 3 1 3 • 3
10 2 1 1 2 2 2 3 3 3 •
1S (100%) 14 (78 Ч'о) 34 (94°/»)
В таблице 3 представлена матрица симпатий, измеренная в 431 гр. СГУ, в которой номера i соответствуют фамилиям студентов в таблице 1 (в нижней строке приведены значения уровней популярностей студентов при s=0;1;2;3~). Как видно из таблицы 3, в гр. 431 имеется неформальный лидер (студент №3). В таблице 4 представлено оптимальное разбиение на под-группы в гр.431. Цифры в нижней строке таблицы 4 показывают индекс симпатии в подгруппах (100% на максимуме уровне симпатий в подгруппе).
Оптимальные варианты разбиений в табл. 2;4 получены посредством двухканальной поисковой программы [28]. Хотя оптимальные варианты кластеризации по данным интеллектуального тестирования (таблица 2) и по данным социометрии (таблица 4) совпадают, делать выводы пока рано.
3. Дидактические объекты с неординарной метрикой. На протяжении XIX — ХХ вв. обнаружились объекты, измерения которых не укладывались в рамки стандартных метрических процедур, т.е. объект, либо обладал оригинальной мерой, либо она отсутствовала вовсе. В первом случае речь идет о фракталах, для которых, например, замкнутая кривая может иметь бесконечную длину и дробную размерность (звезда Х. Коха [29]). Парадоксы такого рода связаны с теоремой С. Банаха — С. Мазуркевича (1930) [30], по которой класс объектов, измерение которых укладывается в рамки стандартных метрических процедур, очень мал, и большинство объектов природы при измерении требуют оригинальных метрических процедур. Для таких объектов вводится фрактальная размерность D по Ф. Хаусдорфу:
D=lim (-ln N (r)/ln r) (10)
где N(r) — мощность минимального покрытия данного множества подмножествами с характерным размером r. Для кривой Коха получается D= ln4/ln3^1,262 , т.е. фрактальная размерность оказывается дробной величиной, большей топологической размерности этой линии, равной d=1. В этом примере получается неравенство d<D, которое является формальным определением фрактала. [31].
• Фрактальные меры в учебном процессе.
Пример 3.1.Ранговые корреляции профессиональной направленности ЕГЭ-респондентов. В таблице 5 приведены данные по профессиональной направленности ЕГЭ-респондентов по измерениям в Саратовской области в 2009-2013 гг. [31], ранжированные по числу ЕГЭ-респондентов, избравших данный профильный предмет (в скобках % от общего количества выпускников).
Таблица 5. Данные о профессиональной направленности ЕГЭ-респондентов
Ран г i 1 Кол-во респонд. Предмет Кол-во респонд. Предмет Кол-во респонд. Предмет Кол-во респонд Предмет Кол-во респонд Предмет
2009 2010 2011 2012 2013
9041 (48,8%) Обще-ствозн 8032 (57,1%) Обще-ствозн. 9313 (66,02%) Обще-ствозн. 8078 (65,7%) Обще-ствозн 9931 (78,2%) Обще-ствозн.
2 5120 (27,6%) История 3757 (26,7%) История 3764 (26,68%) История 3066 (24,9%) Физика 3666 (28,9%) Физика
3 3869 (20,9%) Физика 2776 (19,7%) Физика 3631 (25,74%) Физика 2852 (23,2%) Биология 3250 (25,6%) История
4 2513 (13,6%) Биологи я 2462 (17,5%0 Биологи я 3131 (22,19%) Биологи я 2794 (22,7%) История 3181 (25,0%) Биология
5 1834 (9,9%) Химия 1410 (10,0%) Химия 1735 (12,29%) Химия 1527 (12,4%) Химия 1761 (13,9%) Химия
6 968 (5,2%) Инф-ка и ИКТ 775 (5,5%) Инф-ка и ИКТ 785 (5,56%) Литература 647 (5,2%) Инф-ка и ИКТ 931 (7,3%) Инф-ка и ИКТ
7 850 (4,6%) Литература 612 (4,4%) Литература 763 (5,40%) Инф-ка и ИКТ 497 (4%) Литература 600 (4,7%) Литература
8 742 (4,0%) Англ. язык 589 (4,2%) Англ. язык 536 (3,79%) Англ. язык 394 (3,2%) Англ. язык 600 (4,7%) Англ. язык
9 564 (3,1%) География 151 (1,1%) География 486 (3,44%) География 346 (2,8%) География 515 (4,1%) География
10 144 (0,8%) Нем. язык 80 (0,6%) Нем. язык 80 (0,56%) Нем. язык 40 (0,3%) Нем. язык 49 (0,4%) Нем. язык
11 30 (0,16%) Франц. язык 18 (0,13%) Франц. язык 21 (0,148%) Франц. язык 7 (0,05%) Франц. язык 25 (0,2%) Франц. язык
Результаты ЕГЭ, представленные в таблице 5, обнаруживают ранговые корреляции с
количеством ЕГЭ-респондентов по профильным предметам, представленные столбцами диаграммы на рис.1.
Из рис.1 видно, что ранговые корреляции аппроксимируются степенной функцией вида:
р (/)= А / Г (11)
показанной пунктирными линиями, где р(/) — количество ЕГЭ-респондентов, избравших предмет /-го ранга; А, а — константы, определяемые по экспериментальным данным следующим образом. Функция (11) в логарифмических координатах представляет прямую:
1п р(0=1п А-а 1п I, (12)
которая проводится методом наименьших квадратов по данным таблицы 5, откуда определяются постоянные А, а (рис.2).
Рис. 1 Ранговые корреляции ЕГЭ-респондентов по профильным предметам
Рис.2. Соответствие между данными таблицы 5 и формулы (21)
Характер зависимостей р(/) обладает подобием в том смысле, что имеет протяженный линейный участок, завершающийся быстрым спадом. По углу наклона линейного участка определяется фрактальная размерность данных объектов. Соотношение (11) совпадает с законом Ципфа-Мандельброта [29], так, что фрактальная размерность D=1+ а и на рис.2: а = 1,309 —1,461.
• Нечеткие меры в учебном процессе. Методы управления на основе нечеткой логики возникли в виде концепции лингвистической переменной у Л.Заде [32] и в эквивалентной форме нечетких множеств у А. Кофмана [33].
Согласно [32;33], нечеткое множество А определяется на некоторой числовой предметной области Хв виде множества пар ( Ца (X) > х£X ), где Ца (х) — степень принадлежности элемента X£X , представляющая функцию Ца (х): X "К0; 1 ] , которая задается графически, аналитически или таблично.
Пример 3.2. Подготовка КИМ для тестовой оценки качества учебного процесса. Речь идет о выборе оптимального уровня сложности и трудности тестовых заданий. При решении локальных дидактических задач для тестовой оценки качества учебного процесса, вполне приемлема, процедура нечеткого управления, параметрами которого выступают количества тестовых заданий «высокого», «среднего» и «низкого» уровня сложности, реализуемых с надлежащим уровнем
качества. Эти параметры представляют нечеткие величины, реализующие сценарий нечеткого управления.
Заключение. Появление кризисных областей в отечественном образовании ставит вопрос о концепции его модернизации путем расширения методологического арсенала педагогики до уровня, отвечающего реалиям развития современной России. Этот уровень должен обеспечить необходимое качество образования и, в этой связи, изложенные соображения касаются информационных аспектов модернизации системы образования и теории обучения, а также затрагивают семантические аспекты качества образования. Помимо этого, следует также учитывать аксиологический аспект качества образования и здесь возникает прямой вопрос: «Почему педагогический корпус РФ, выполняя важнейшую государственную задачу, имеет весьма скромный социальный статус?»
Литература
1. Пьер Тейяр де Шарден. Феномен человека. — М.: Наука, 1987. — 240 с.
2. Вернадский В.И. Биосфера и ноосфера. М.: Айрис-пресс, 2009. — 576 с.
3. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. — М.: ИЛ, 1963.- 829 с.
4. Винер Н. Кибернетика или управление и связь в животном и машине. — М.: Советское радио, 1968. — 326 с.
5. Штофф В.А. Моделирование и философия. — М.-Л.: Наука, 1966. — 301 с.
6. Глушков В.М. Кибернетика. Вопросы теории и практики.- М.: Наука, 1986. — 488 с.
7. Пригожин И., Николис Г. Самоорганизация в неравновесных системах. — М.: Мир, 1979. — 512с.
8. Хакен Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980. — 404 с.
9. Боровских А.В., Розов Н.Х. Деятельностные принципы в педагогике и педагогическая логика. — М.: МАКС Пресс, 2010. — 80 с.
10. Фирстов В.Е. Кибернетическая концепция и математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в школе и вузе. — Саратов: Издательский Центр «Наука», 2010. — 511 с.
11. Фирстов В.Е. Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода: автореф. дисс. ... д-ра пед. наук: 13.00.02 — Ярославль, 2010.
— 48 с.
12. Монахов В.М., Фирстов В.Е. Дидактический потенциал синергетического подхода к формированию общенаучного, методологического основания модернизации образования // Современные информационные технологии и ИТ-образование / Сб. избр. трудов VIII Международной научно-практической конференции. Под ред. проф. В.А. Сухомлина. — М.: ИНТУИТ.РУ 2013. — СС.108-123.
13. Монахов В.М., Фирстов В.Е. Синергетические принципы формирования параметров управления реализацией процесса модернизации системы образования // Управление качеством образования в вузе: проблемы, перспективные идеи и технологии / Материалы Междунар. научн. конференции (15-16 ноября, 2013 г.). Часть 2. Под ред. С.К. Исламгуловой. — Алмааты, Казахстан: Университет «Туран», 2013. — С.120 — 137.
14. Коган А.Б., Наумов Н.П., Режабек В.Г., Чораян О.Ф. Биологическая кибернетика. — М.: Высшая школа, 1972. — 384 с.
15. Интеллектуальные процессы и их моделирование / Под ред. Е.П. Велихова и А.В. Чернавского. — М.: Наука, 1987.
— 397 с.
16. Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики: Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — 312 с.
17. Зиман Э., Бьюнеман О. Толерантные пространства и мозг // В кн. На пути к теоретической биологии. Под ред. Б. Л. Астаурова. — М.: Мир, 1970. — С. 134-144.
18. Бонгард М.М. Проблема узнавания. — М.: Наука, 1967. — 320 с.
19. Эйген М. Самоорганизация материи и эволюция биологических макромолекул. — М.: Мир, 1973. — 214 с.
20. Фирстов В.Е., Амелина Ю.В. Пифагорейская концепция гармонии в преподавании математики на гуманитарных направлениях ВПО // Перспективы Науки и Образования, 2015, №3(15). — С.104-110.
21. Выготский Л.С. Педагогическая психология / Под ред. В.В. Давыдова. — М.: АСТ: Астрель: Люкс, 2005. — 671 с.
22. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии.- СПб.: Питер, 2005. — 713 с.
23. Леонтьев А.Н. Проблемы развития психики.- М.: Мысль,1965. — 572 с.
24. Подласый И.П. Педагогика. Новый курс. В 2 кн. Кн. 1: Общие основы. Процесс обучения.- М.: ВЛАДОС, 2002.- 576 с.
25. Нурминский И.И., Гладышева Н.К. Статистические закономерности формирования знаний и умений учащихся.-М.: Педагогика, 1991.- 224 с.
26. Смирнов С.Д. Педагогика и психология высшего образования: От деятельности к личности.- М.: Издательский центр «Академия», 2005. — 400 с.
27. Фирстов В.Е. Социометрические и информационные аспекты кластеризации обучаемого контингента при организации и оптимизации группового сотрудничества в учебном процессе в школе и вузе // Известия Саратовского ун-та. Новая серия. Серия. Философия. Психология. Педагогика., 2014, том 14, выпуск 1.- С.110--118.
28. Иванов Р.А. Синергетические принципы управления образовательной деятельностью при подготовке учителей информатики в системе ВО: дисс. ... кандидата пед. наук: 13.00.08 — Саратов, 2015. — 215 с.
29. Мандельброт Б.Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 666 с.
30. Медведев Ф.А. Очерки истории теории функций действительного переменного. — М.: Наука, 1975. — с. 219.
31. Фирстов В.Е., Иванов Р.А. Статистические закономерности и ранговые корреляции профессиональной направленности результатов ЕГЭ в Саратовской области (2009-2012 гг.) // Изв. Саратов. ун-та. Новая сер. Сер. Философия. Психология. Педагогика. 2013. Т. 13, №4. — С. 98 — 109.
32. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений.-М.:Мир,1976.-165 с.
33. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. — М.: Радио и связь, 1982. — 432с.
