CC BY-NC-ND
125
С.В. Запечников
ИЗ ИСТОРИИ КРИПТОГРАФИИ: ВКЛАД ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА В СТАНОВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОСНОВ СОВРЕМЕННОЙ КРИПТОЛОГИИ
Эта статья - одна из серии исторических очерков и одновременно попытка науковедческого анализа одного из самых блестящих периодов отечественной и мировой науки, связанного с жизнью и деятельностью великого математика, механика и физика Леонарда Эйлера. В статье раскрываются научные и творческие методы Л. Эйлера и его роль в становлении теории чисел, анализируются пути использования его результатов современной наукой, рассматриваются некоторые аспекты истории создания отечественной системы математического образования. Особое внимание уделяется значимости трудов Л. Эйлера для современной асимметричной криптографии (криптографии с открытым ключом) и теории криптографических протоколов.
Ключевые слова: история криптографии, теория чисел, простые числа, вычислительно сложные задачи, математическое образование.
Одна из самых ярких страниц истории российской и мировой науки связана с именем Леонарда Эйлера. Универсальный ученый, работавший в самых разных отраслях знания: фундаментальной и прикладной математике, механике, гидродинамике, оптике и многих других - особенно большой вклад внес в развитие теории чисел. Теория чисел стала фундаментом современной криптологии (криптографии и криптоанализа): многие методы теории чисел ныне являются классическими инструментами конструирования и анализа криптографических механизмов защиты информации. В наше время средства криптографической защиты стали традиционными, привычными составляющими
© Запечников С.В., 2012
С.В. Запечников
систем защиты информации. Вместе с тем нередко специалисты в этой области, а тем более пользователи компьютерных систем, имеют слабое представление о том, какой долгий и трудный путь прошли криптология и криптоанализ, прежде чем оформились в виде современных составляющих науки об информационной безопасности, какие фундаментальные открытия в области математики послужили стимулом к разработке на их основе методов защиты информации.
Леонард Эйлер - один из таких людей, без которых не было бы криптологии в ее современном виде. Первое, на что обращает внимание исследователь, пытаясь оценить вклад Л. Эйлера в науку, -исключительно высокое качество его научных результатов. Разумеется, продукт труда любого ученого - это открытые им объективные закономерности реального мира, но форма представления этого продукта, степень его универсальности, даже принятые термины и обозначения, конечно, зависят от того, «из чьих рук они вышли». И в этом смысле плоды научного труда Л. Эйлера отличаются поразительной красотой, цельностью и лаконичностью при одновременной отделанности каждой детали. Конечно, не будь Эйлера, открытые (сформулированные) им объективные законы рано или поздно были бы открыты кем-то другим, но, возможно, они не были бы столь красивыми и совершенными, какими мы их знаем, и математика в целом, а прикладная математика и криптология в частности, не обладали бы значительной долей присущей им красоты.
Эти размышления вызвали у автора сначала желание, а потом все острее сознаваемую необходимость обратиться к изучению научного наследия великого математика, механика и физика Л. Эйлера в рамках цикла исследований по истории криптографии1.
Настоящая статья является второй из серии задуманных автором работ, посвященных наиболее значимым и интересным, а подчас и малоизученным страницам истории отечественной и зарубежной криптографии.
Автор надеется, что материалы его работ по истории криптографии будут содействовать пробуждению интереса учащихся и преподавателей к изучению криптографии не только в теоретическом, но и в историческом аспекте. Это плодотворно для любой науки, но из примеров, которые нам дает история криптографии, есть возможность извлечь особенно много полезного, учитывая ее богатейшее прошлое и «всепроникающий» характер (хотя чаще всего и скрытый от посторонних глаз).
Из истории криптографии...
1. Краткий очерк жизни и деятельности Л. Эйлера
Леонард Эйлер - явление в мировой науке исключительное. Его по праву называют самым великим математиком XVIII в. И мы должны гордиться тем, что этот великий ученый в свое время выбрал Россию, а именно Петербург, императорскую Академию наук как основное место своей профессиональной деятельности. Здесь он проработал почти половину жизни: в общей сложности 31 год из отпущенных ему судьбой 76 лет.
Леонард Эйлер родился в швейцарском городе Базеле 4 апреля 1707 г. в семье пастора Пауля Эйлера. Обучение начинал под руководством отца, который готовил его к духовной карьере, одновременно занимаясь с ним математикой для развития логического мышления. Сам Пауль Эйлер некогда учился математике у знаменитого Якоба Бернулли - одного из основателей теории вероятностей и математического анализа, профессора Базельского университета, учителем которого был Лейбниц. Уже в 13 лет Л. Эйлер также становится студентом Базельского университета. Его научным руководителем был Иоганн Бернулли младший брат Якоба Бернулли. В 1724 г. Л. Эйлер получает ученую степень магистра, а в следующем году пишет диссертацию на замещение вакантной должности профессора физики в этом университете (в то время так было принято), однако в число кандидатов его не включили из-за слишком юного возраста. Число научных вакансий в европейских университетах было невелико, поэтому сыновья Иоганна Бернулли - Даниил и Николай, воспользовавшись выгодным предложением недавно организованной в России императорской Академии наук, уехали в Санкт-Петербург. По их совету и с их помощью после решения многочисленных организационных и финансовых вопросов в 1727 г. Л. Эйлер также прибывает в Санкт-Петербург и приступает к работе в должности адъюнкта кафедры физиологии. По словам М. Кондорсе2, «они употребили столько же усилий для того, чтобы приблизить к себе своего страшного соперника, сколько их употребляют обыкновенные люди для удаления такового».
В 1731 г. Л. Эйлер получает освободившееся место профессора физики в Петербургской академии. Он много и напряженно работает, занимаясь как важными правительственными заданиями, так и рядом инициативных исследований, выступает с лекциями, делает доклады на академических конференциях. До 1741 г. он уже опубликовал более 90 крупных научных работ. После 1736 г.
С.В. Запечников
Эйлер становится широко известен в Европе благодаря своей выдающейся монографии «Механика, или наука о движении в аналитическом изложении».
В 1741 г., после существенного ухудшения положения дел в Российской академии наук, Эйлер подает прошение об отставке, принимает приглашение короля Пруссии Фридриха II и переезжает в Берлин. В Пруссии он также активно занимается наукой и практической деятельностью. С 1748 по 1766 г. выходят в свет его важнейшие монографии: «Введение в анализ бесконечно малых», «Морская наука», «Теория движения Луны», «Наставление по дифференциальному исчислению», «Теория движения твердых тел», «Элементы вариационного исчисления». Начиная с 1759 г. король поручает ему руководство Прусской академией наук, правда, без титула президента.
В 1762 г. на русский престол вступает Екатерина II, проводившая, как известно, политику просвещенного абсолютизма. Она сразу же посылает Эйлеру приглашение вернуться в Российскую академию наук на любых условиях. После многократных ходатайств Екатерины II король Фридрих II в 1766 г. наконец отпускает Эйлера в Петербург. В июле того же года он прибывает в Россию навсегда. По приезде он приобретает дом в Петербурге на Васильевском острове, где проживает до конца жизни (дом сохранился, нынешний его адрес: наб. Лейтенанта Шмидта, 15). За второй период пребывания в России он подготовил более 400 статей и 10 книг. Важнейшие его работы этого периода: «Универсальная арифметика» (2 тома), «Оптика» (3 тома), «Интегральное исчисление» (3 тома), «Новая теория движения Луны», «Всеобщая сферическая тригонометрия». Эйлер активно трудился и сохранял феноменальную память до последних дней. Авторитет его среди российских и европейских ученых был непререкаемым.
Скончался Л. Эйлер 7 сентября 1783 г. от кровоизлияния в мозг. «Он перестал вычислять и жить», - сказал М. Кондорсе на траурном заседании Парижской академии наук. Эйлер был похоронен на Смоленском лютеранском кладбище. В 1955 г. его прах был перенесен в «Некрополь XVIII в.» на кладбище Александро-Невской лавры.
Эйлер завещал публиковать его труды в изданиях Петербургской академии наук в течение 20 лет после его смерти. На деле количество оставленных им и не опубликованных при жизни работ было столь велико, что они печатались в течение 42 лет после его кончины. Жизнь и деятельность Эйлера - замечательный пример
Из истории криптографии...
интернациональности науки как в его время, так и в наши дни, когда учеными разных стран тщательно, по крупицам собирается, систематизируется и обрабатывается его драгоценное научное наследие.
Наследие Эйлера для мировой науки поистине бесценно, ведь по существу он явился основоположником целого ряда математических наук: аналитической теории чисел, вариационного исчисления, теории функций комплексного переменного, дифференциальной геометрии поверхностей, аналитической механики, динамики твердого тела, а также многих разделов теории дифференциальных уравнений, теории алгоритмов, теории эллиптических функций, небесной механики и других отраслей «чистой» и прикладной математики. Ученый обладал энциклопедическими знаниями: его интересы распространялись еще и на многие области астрономии, акустики, оптики, статистики, ботаники, медицины, химии, лингвистики, музыки, инженерного дела.
Только в области «чистой» математики с именем Эйлера связаны: задача Эйлера («задача о кенигсбергских мостах»), метод ломаных Эйлера, подстановка Эйлера, постоянная Эйлера, произведение Эйлера, прямая Эйлера, знаменитая теорема Эйлера о многогранниках, три вида дифференциальных уравнений Эйлера, по крайней мере шесть формул Эйлера, относящихся к разным областям математики (знаменитая тригонометрическая формула eix = cos x + i sin x, разложение функции sin x в бесконечный ряд, тождество о пятиугольных числах, тождество о простых числах, тождество о четырех квадратах, формула о кривизнах), арифметическая функция Эйлера р(n), круги Эйлера (метод решения теоретико-множественных и логических задач), призма Эйлера, числа Эйлера, бета-функция и гамма-функция Эйлера, а также «неберу-щиеся» Эйлеровы интегралы, Эйлеровы углы, Эйлеров сферический треугольник, Эйлерова характеристика. Наконец, в честь ученого, установившего понятие о логарифмировании как действии, обратном возведению в степень, обозначается буквой е + 2,71828. одна из важнейших математических констант - основание натурального логарифма.
Пожалуй, важнейшая черта трудов Эйлера и одновременно важнейшее их значение для науки состоят в том, что вся его деятельность была направлена не просто на установление единичных научных фактов, не просто на решение тех задач, которые у него «хорошо получались», а на построение системы нового научного знания с ядром в виде системы математических инструментов.
С.В. Запечников
Эйлер как никто другой чувствовал и раскрывал в своих научных трудах красоту математики.
2. Творческие и научные методы Л. Эйлера
Представляют несомненный интерес те творческие и научные методы Л. Эйлера, которые позволяли ему добиваться таких выдающихся результатов в столь разных областях научного знания.
Прежде всего обращает на себя внимание поразительная работоспособность великого ученого. За 56 лет его научной деятельности (от первых работ 1726-1727 гг. и вплоть до смерти в 1783 г.) число его научных трудов превысило 860 наименований. Несложный подсчет показывает, что в среднем он создавал по одной научной работе каждые 3-4 недели. А ведь среди них были не только статьи, насыщенные математическими выкладками, но и монографии, и учебники огромного объема, в том числе многотомные. Такая производительность научного труда при таком его качестве почти немыслима даже для современных ученых, обладающих целым арсеналом средств автоматизации научных исследований и офисной работы. К этому следует добавить еще и то обстоятельство, что, выполняя свой долг ученого, он совершил и великий человеческий подвиг: несмотря на то что в возрасте 31 года он потерял зрение на один глаз из-за кровоизлияния, а в возрасте 59 лет его постигла полная слепота, работоспособность Эйлера на протяжении всей жизни практически не снижалась. Таким образом, первый принцип Эйлера заключался в постоянном и неустанном труде, вне зависимости от таких важнейших для каждого человека факторов, как состояние здоровья, материальное благополучие и окружающая политическая обстановка.
Кроме того, выше уже отмечалась редкая разносторонность его научных дарований. Действительно, с трудом можно найти такую отрасль естествознания или прикладной науки, которую он оставил бы без внимания. Выражаясь современным языком, в его «портфолио» входили труды по дифференциальному и интегральному исчислению, теории чисел, вариационному исчислению, теоретической механике, гидродинамике, оптике, баллистике, теории упругости, теории машин, морской науке, судостроению и кораблевождению, страховому делу, теории музыки и многим другим наукам. В связи с этим возникают закономерные вопросы: Как ученый мог «переключаться» с одной задачи на другую? Занимался ли он разными задачами параллельно или последовательно?
Из истории криптографии...
В какой мере решаемые им научные проблемы оказывали влияние друг на друга?
Ключ к разрешению этих вопросов следует искать путем анализа содержания и последовательности созданных Эйлером на протяжении достаточно длительного интервала времени научных трудов. Один из привлекательных примеров для такого анализа -сборник "Lettres à une princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie". Знакомство с этим уникальным письменным памятником (в русском переводе)3 позволяет проследить день за днем ход научного поиска Л. Эйлера на протяжении более чем двух лет. Всего в сборник входит 234 письма, самое раннее из которых датируется 19 апреля 1760 г., самое позднее - концом мая 1762 г. Тематика писем «плавно» меняется, переходя от одной отрасли науки к другой через близкие или связанные друг с другом проблемы. Вот пример: письма с 3 по 8, написанные в период с 26 апреля по 6 мая 1760 г. (то есть в течение 11 дней), посвящены музыке («О звуке и его скорости», «О консонансах и диссонансах», «Об унисоне и октаве», «О других созвучиях», «О двенадцати тонах клавесина», «Об удовольствии, доставляемом хорошей музыкой»), Следующее же, 9-е письмо он начинает словами: «Объяснение природы звука... приводит меня к необходимости рассматривать более подробно свойства воздуха, способного испытывать такие же колебательные движения, как и звучащие тела: струны, колокола и т. п., и передавать эти колебания нашим ушам. Возникает вопрос, что же представляет собой воздух?»4 И следующие письма (с 9-го по 16-е) посвящены преимущественно аэростатике и проблемам атмосферных явлений. Период «увлечения» этой тематикой длится у Эйлера 24 дня, с 10 мая по 3 июня 1760 г. Изучение физики атмосферы логично подводит Эйлера к следующему вопросу, сформулированному в 17-м письме: «После того как я уже столько говорил о солнечных лучах (в атмосфере. - С. З.), этом источнике тепла и света ... без сомнения, возникает вопрос: что представляют собой солнечные лучи? Бесспорно, это одна из наиболее важных проблем физики...»5 Дальнейшие письма (с 17 по 44) представляют собой достаточно глубокое проникновение в задачи оптики. Этот период длился с 7 июня по 21 августа 1760 г., т. е. в течение 76 дней. В последующих письмах Л. Эйлер обращается к проблемам гравитации (письма 45-50, написанные с 23 по 30 августа того же года, период - 9 дней), после чего «незаметно» переходит к проблемам небесной механики (письма 51-68, с 1 сентября по 18 октября, период - 48 дней),
С.В. Запечников
а от них - к физическим основам кинематики и динамики, включая определение понятий движения, силы, веса, инерции и других основополагающих для физики понятий (письма 69-79, с 21 октября по 25 ноября, период - 36 дней). Вторая часть «Писем к немецкой принцессе...» посвящена (последовательно) проблемам религиозной философии, лингвистики, логики, этики, учению об атомах и молекулах, и, наконец, электричеству. Столь же разно-сторонни и письма из третьей части сборника.
Таким образом, на примере анализируемого собрания сочинений Эйлера можно сделать вывод о важнейшем научном и творческом принципе Эйлера - непрерывном и поступательном движении его мысли «по спирали» от одной проблемы к другой с неоднократным возвращением к уже «пройденным» отраслям знания, но на новом качественном уровне с учетом вновь выявленных фактов и обнаруженных закономерностей. Это движение мысли основывалось на ясном видении многогранности и взаимосвязанности всех явлений как окружающего мира, так и внутреннего мира человека. Важнейшим «двигателем» Эйлера по пути научных изысканий была неослабевающая потребность в самообразовании, в чем он видел одну из высших ценностей человеческой жизни.
Характернейшей чертой научных сочинений Эйлера, которая также прекрасно прослеживается в «Письмах к немецкой принцессе... » и которую мы отметим в качестве третьего творческого принципа, является предельная ясность, доступность, логичность и выверенность изложения мыслей. Именно благодаря этому «Письма к немецкой принцессе...» в XVIII-XIX вв. выдержали более 100 изданий на разных языках и служили своего рода энциклопедией естественно-научных и гуманитарных знаний. То же качество характерно практически для всех сочинений Эйлера. В отличие от многих других ученых и естествоиспытателей его (да и нашего) времени, он в своих работах отнюдь не ограничивался изложением готового результата исследований, состоявшегося научного факта. Он старался так изложить ход своих мыслей, чтобы читатель вслед за автором и вместе с ним прошел весь путь научного открытия: от зародившегося вопроса «почему» через анализ и сопоставление фактов, обоснование путей решения проблемы, ряд умозаключений к ответу на вопрос и постановке нового вопроса, опираясь на только что полученный результат. Этим ученый стремился передать свой дух постоянного творческого «горения» читателю и увлечь его самостоятельным исследо-
Из истории криптографии...
ванием новых и новых задач. Вот почему значение работ Эйлера не ограничивается только содержащимися в них научными результатами: они служат своего рода образцовой творческой, учебно-исследовательской лабораторией ученого, в какой бы области знания он ни работал.
Четвертым в перечне научных и творческих принципов Л. Эйлера следовало бы назвать тесную связь, даже «сплав» в его сознании научного и религиозного мировоззрения. Эйлер рассматривал занятия наукой не иначе как приближение человека к Богу, движение по пути постижения замысла Творца, а полученный продукт -научное знание - как добытую человеком частицу бесконечной мудрости Божией. Не останавливаясь подробно на комментировании этого тезиса, процитируем одну, быть может, малоизвестную, но показательную историю6: «Тьебо (ТЫеЬаик) рассказывает, что к Российскому двору был приглашен Дидро, который, будучи атеистом, стал распространять свои идеи. Чтобы заставить его замолчать, был придуман план. Эйлер, истинно верующий христианин, подошел к Дидро и провозгласил по-французски: "(а + Ьп)/п = х, следовательно, Бог существует! Отвечай!" Дидро не знал математики, поэтому молчал. Поднялся хохот, отчего Дидро смутился настолько, что немедленно вернулся во Францию». Живой ум в сочетании с непоколебимой уверенностью в силе физико-математического знания позволяли Эйлеру уверенно браться за решение любых самых сложных научных проблем.
Наконец, важнейшей чертой творческого метода Эйлера была его обращенность не только к прикладным задачам и практическим потребностям. Ни одна из решаемых им научных задач не была оторванной от жизни «наукой ради науки» - напротив, большинство из них было вызвано потребностями общественной жизни. Однако в своих исследованиях Эйлер почти всегда проникал в суть проблемы столь глубоко, что получал фундаментальные научные результаты. Так было и с теорией чисел.
3. Основные результаты исследований Л. Эйлера в области теории чисел
Практически все результаты Л. Эйлера, принадлежащие тем областям математики, которые формируют математические основы современной криптологии, концентрируются вокруг теории чисел. Назовем только самые значительные его заслуги в этой области. Эйлер является основоположником аналитической теории
С.В. Запечников
чисел, он доказал и обобщил малую теорему Ферма, впервые высказал гипотезу о справедливости квадратичного закона взаимности, ввел в рассмотрение ряд арифметических функций, включая знаменитую дзета-функцию (правда, сегодня она известна как дзета-функция Римана), ввел понятие первообразного корня, доказал многочисленные теоремы, леммы, утверждения, вывел формулы, ныне носящие его имя. Всего теории чисел посвящено более 120 работ Эйлера. П.Л. Чебышев писал: «Эйлером было положено начало всех изысканий, составляющих общую теорию чисел». Теоретико-числовые работы Эйлера подробно рассмотрены историками математики7, поэтому далее мы остановимся только на тех работах, которые впоследствии пригодились в криптографии.
Эйлер «заразился» теоретико-числовыми исследованиями от Христиана Гольдбаха, служившего, кстати сказать, криптографом в Министерстве иностранных дел в Москве8 (криптограф-иностранец на службе в дипломатическом ведомстве - ситуация, немыслимая в наше время!). Эйлер начал свою работу в области теории чисел с доказательства ложности утверждения Ферма о том, что все числа вида 22m + 1, m = 1, 2, ... (так называемые числа Ферма) -простые: он нашел делитель такого числа при m = 5. Однако это была единственная найденная им ошибка Ферма, в дальнейшем Эйлер доказал почти все остальные теоретико-числовые предположения Ферма. Впоследствии Эйлер снова возвращался к числам Ферма, работая над проблемой отыскания простых чисел. Он доказал теорему, что не существует такой целой функции, все значения которой при целых значениях аргумента были бы простыми числами. Эйлер исследует на простоту числа вида 22" - 1, n = 1, 2, ... (так называемые числа Мерсенна), находит делители некоторых из них, интуитивно нащупывает (но не доказывает) теорему о том, что разность an - bn всегда делится на n + 1, если n + 1 - простое число, и n + 1 не является делителем a либо b. От этого исследования он переходит к доказательству малой теоремы Ферма9: ap-1 = (mod p). Эйлер дает четыре различных доказательства теоремы Ферма в работах 1741, 1750, 1761, 1764 гг., при этом доказывает более общую теорему, ставшую знаменитой как теорема Эйлера:
av (n) = (mod p) (1)
где p (n) - впервые употребленная Эйлером числовая функция, впоследствии также названная его именем, которая выражает количество чисел, взаимно простых с n и не превосходящих n. Теорема Ферма вытекает из этой теоремы как частный случай.
Из истории криптографии...
Эта теорема стала первой вершиной теоретико-числовых исследований Эйлера.
С доказательства малой теоремы Ферма Эйлер начинает заниматься теорией квадратичных вычетов10. Он рассматривает остатки, получающиеся при делении квадратов на простое число p, -квадратичные вычеты (a е Qp). Он замечает, что помимо этих чисел существуют и другие числа, меньшие p и не попадающиеся среди остатков, - это квадратичные невычеты (а е Qp). Исследования в этой области приводят его в 1750 г. к формулировке важнейшего утверждения, известного теперь как критерий Эйлера:
p-1
(а) - a 2 (mod p), (2)
где p - нечетное простое число, а - целое число, ("0") - символ Ле-жандра, определяемый таким образом:
(0)
0, если p| a,
1, если a е Q p -1, если а е Q—p.
р-1
В частности, (р) = 1 и (-р-) = (-1) 2 . Следовательно, -1е ((р, если р = 1(шоё4), и -1е (Ор, если р = 3(mod4). И это был еще один важнейший для теории чисел результат.
Эйлер исследует в 1742-1749 гг. числа специального вида: дружественные, многоугольные, удобные, обобщенные простые и другие, а также свойства некоторых важных арифметических функций, в частности функции о(п) - суммы делителей числа п. В этот же период он дает эскиз доказательства теоремы о многоугольных числах, рассматривает теорему о двух квадратах и связанные с ней утверждения и теоремы, а затем теорему о четырех квадратах. Таким путем в 1751 г. он приходит к следующей вершине своих изысканий - квадратичному закону взаимности: если ц - нечетное простое число, отличное от р, то
(р-1)(д-1)
ЙН) '(-1) 4 (3)
Одновременно после доказательства малой теоремы Ферма начинаются исследования Эйлера по теории степенных вычетов. В одной из работ 1774 г. он вводит понятие первообразного корня
С.В. Запечников
(radix primitiva), доказывает существование первообразного корня для любого простого числа и определяет количество первообразных корней. Напомним, что показателем, которому принадлежит число a по modm, называется минимальное у: aY= l(modm). Говорят и по-другому: показатель числа a по modm. В частном случае, когда порядок числа a равен р (m), a называется первообразным корнем по modm. По одному и тому же модулю бывают разные первообразные корни. Как состоялось это открытие11? Рассматривая остатки от деления членов геометрической прогрессии 1, a, a2, a3, a4, ... на взаимно простое с a число p, он замечает, что иногда эти остатки совпадают со всеми натуральными числами, меньшими p, а иногда - только с некоторыми из них, и выясняет, что число различных остатков является делителем числа p-1. Число, порождающее полный ряд вычетов, Эйлер и назвал первообразным корнем делителя p, а далее доказал, что если a - первообразный корень, то aP-1 при делении на простое число p дает остаток, равный 1. Главная его теорема о существовании первообразного корня звучала так: «Какое бы простое число ни было взято в качестве делителя p, всегда можно найти такую геометрическую прогрессию 1, a, a2, a3, a4, ... и т. д., из которой будет возникать полный ряд вычетов». Эйлер впервые рассчитывает таблицу первообразных корней для всех p < 37. И это была еще одна теоретико-числовая вершина Эйлера.
Продолжая образные сравнения, можно сказать, что эти результаты сами по себе были вершинами, но они были вершинами высокой горной цепи, так как и другие открытия Эйлера представляют не меньшую ценность (но уже для других разделов прикладной математики, поэтому мы перечислим их совсем кратко). В разные годы Эйлер ведет поиски способов распознавания (отыскания) простых чисел, больших любого заданного, составляет таблицы простых чисел. Еще одно важное направление его исследований - диофантов анализ - решение неопределенных уравнений в целых числах. Наконец, как уже говорилось, важнейшей заслугой Эйлера было создание аналитической теории чисел. Как пример блестящего применения методов математического анализа для доказательства теоретико-числовых утверждений можно указать замечательное тождество Эйлера для дзета-функции12. Дзета-функция определяется рядом
Го Л
Z(s) = Е n (4)
n=1
Из истории криптографии...
Из курса математического анализа известно, что ряд (4) сходится при всех действительных 5 > 1 и расходится при 5 < 1. Такие ряды при различных целых значениях 5 изучал Л. Эйлер. Впоследствии дзета-функция стала рассматриваться обобщенно как функция действительного переменного 5 > 1. Ее свойства тесно связаны со свойствами множества простых чисел, что позволило Эйлеру использовать для исследования простых чисел методы математического анализа и с их помощью доказать следующую теорему: при каждом 5 > 1 справедливо тождество
f(5) = П (1- р)-1,
где р - все последовательно идущие простые числа, р > 2.
4. Применение научных результатов Л. Эйлера в современной криптологии
В предыдущем разделе речь шла о важнейших теоретико-числовых результатах исследований Эйлера из области «чистой» математики. Рассмотрим теперь их с точки зрения приложения в криптографии. Разумеется, сам Леонард Эйлер не мог предвидеть развития тех методов и направлений криптологии, которые стали привычными для нас и изучаются сейчас в университетских курсах как основа этой науки. Тем не менее в целях удобства основные направления использования результатов Эйлера могут быть сгруппированы по четырем категориям.
1. Тестирование чисел на простоту. Самый элементарный тест на простоту - тест Ферма13 - основан на малой теореме Ферма. Тест основан на понятии псевдопростого числа по основанию а: если а и р - взаимно простые числа, такие, что ар-1 -1 делится на р, то число р может быть, а может и не быть простым. В случае, когда р составное, оно называется псевдопростым по основанию а. Первое псевдопростое число по основанию 2 нашел Ф. Саррус в 1820 г. - это было число 341. Если тест Ферма определяет число как составное, то оно точно является составным, но если определяет как простое, то оно может быть не простым, а псевдопростым. В этом смысле тест Ферма не дает надежных гарантий простоты чисел, а потому не очень пригоден для использования в криптографии.
Гораздо лучше вероятностный тест Соловея-Штрассена14 (Solovay-Strassen) - первый тест, который стал использоваться в асимметричной криптографии. Он основан на трех математических
С.В. Запечников
— / \
фактах: 1) на критерии Эйлера a 2 = (a modn, где n - нечетное, a -целое, НОД(а, n) = 1; 2) на понятии свидетеля простоты, или EW-числа (Euler witness) для числа n - такого числа a, удовлетворяющего критерию Эйлера, что либо НОД(п, n) > 1, либо a2 * (a) modn; 3) на понятии псевдопростого числа Эйлера по основанию n -такого числа a, что НОД(a, n) = 1 и одновременно a 2 = (n) modn (т. е. n выглядит как простое число в том смысле, что оно удовлетворяет критерию Эйлера (2) для определенного числа a) - в этом случае a называется EL-числом (Euler liar). Ошибка теста Соло-вея-Штрассена, т. е. вероятность признать составное число n простым, не превышает (1/2)с, где t - параметр, задающий число циклов в тесте.
В настоящее время тест Соловея-Штрассена вытеснен тестом Миллера-Рабина15, который использует усовершенствованный критерий принятия решения, но при этом в нем также используется функция Эйлера (p(n). Ошибка теста Миллера-Рабина не превышает (1/4)t при прочих равных условиях. Тест Миллера-Рабина в свою очередь используется при генерации простых чисел методом случайного поиска или при генерации сильных псевдопростых чисел по алгоритму Гордона.
Тесты на простоту широко используются при генерации параметров асимметричных криптосистем, а, как мы убедились, полученные Эйлером результаты имеют исключительно большое значение для построения алгоритмов тестирования чисел на простоту.
2. Вычислительно сложные задачи теории чисел. Три важнейших направления работ Эйлера: доказательство теоремы (1), исследование свойств квадратичных вычетов, создание теории первообразных корней - оказались тесно связаны с тремя вычислительно сложными задачами теории чисел, которые теперь положены в основу наиболее употребительных асимметричных криптосистем, а именно: с задачей Райвеста-Шамира-Адлемана (RSA), задачей о квадратичных вычетах и задачей дискретного логарифмирования соответственно.
Задача RSA заключается в следующем: по заданному положительному целому числу n, являющемуся произведением двух больших простых чисел q и p, положительному целому числу е, такому, что НОД(е, ( (n)) = 1, и целому числу c найти число m, такое, что me = c (modn). Иными словами, задача RSA заключается в нахождении корня степени е по модулю большого составного
Из истории криптографии...
числа п. Нахождение этого числа возможно путем применения расширенного алгоритма Евклида через нахождение числа d, такого, что ed = 1(modp (п)), где р (n) = (p-1)(q-1).
В силу этого задача RSA легко разрешима, если известно разложение п на простые сомножители, и требует факторизации числа, если это разложение неизвестно. Напомним, что все известные алгоритмы факторизации требуют сверхполиномиального времени, а потому задача RSA становится вычислительно сложной. Таким образом, в основе алгоритма решения задачи RSA лежит все та же теорема Эйлера (1).
Задача о квадратичных вычетах заключается в следующем: по данному нечетному составному числу п и числу аеJn, где Jn - множество всех aeZ* , для которых символ Якоби равен 1, решить,
?
является или нет число а квадратичным вычетом по modn: aéQn. Напомним, что символ Якоби - это обобщение символа Лежандра для любых нечетных п, которые не обязательно являются простыми. Для п > 3, имеющего разложение на простые сомножители
п = pï, p2 ... p\\ он определяется так: (■#■) = (Ще1(Ще2. (Щек.
В частном случае, когда п простое, он совпадает с символом Лежандра.
Решение задачи распознавания квадратичных вычетов возможно при известном разложении п на простые сомножители p и q, поскольку если аеJm то ае Q„ тогда и только тогда, когда (а) = 1,
т. е. в этом случае задача сводится к вычислению символа Якоби (символа Лежандра), для чего используется критерий Эйлера (2) и квадратичный закон взаимности (3).
Задача дискретного логарифмирования заключается в следующем: по заданному простому числу p, образующему элементу а мультипликативной группы Z* и элементу fieZ*p найти целое число x, 0 < x < p-2, такое, что ax = Дшоф). Задача дискретного логарифмирования алгоритмически неразрешима за полиномиальное время в группе Z*p и в подгруппах группы Z*p , поэтому она используется для построения однонаправленных функций в асимметричных криптосистемах.
С задачей дискретного логарифмирования тесно связана задача Диффи-Хеллмана: по заданному простому числу p, образующему элементу мультипликативной группы Z* и элементам aamodp, aémodp найти aaémodp. Известно, что задача Диффи-Хеллмана не более сложна, чем задача дискретного логарифмирования,
С.В. Запечников
но эквивалентность их пока не доказана. Пока эффективных способов решения задачи дискретного логарифмирования не найдено (за исключением особых случаев, которые мы здесь не обсуждаем), задача Диффи-Хеллмана также является вычислительно сложной. Напомним, что понятие первообразного корня впервые ввел Эйлер, он же исследовал его свойства, а именно на этом материале основано определение функции дискретного логарифмирования.
Таким образом, мы убедились, что сформулированные Эйлером результаты являются той теоретической платформой, которая делает возможным практическое использование вычислительно сложных задач и основанных на них однонаправленных функций в криптографии.
3. Криптосистемы, основанные на вычислительно сложных задачах. Задача RSA является основой стойкости схемы открытого шифрования RSA и схемы цифровой подписи RSA. На задаче о квадратичных вычетах базируется стойкость таких криптосхем, как вероятностная схема открытого шифрования Гольдвассера-Микали (Goldwasser-Micali) и псевдослучайного генератора BBS (Blum-Blum-Shub), схемы открытого шифрования Пайе (Pail-lier). На задаче дискретного логарифмирования основана схема открытого шифрования Эль-Гамаля, схема цифровой подписи Эль-Гамаля и ее варианты: DSA (американский стандарт цифровой подписи) и ГОСТ Р 34.10-94 (первый отечественный стандарт цифровой подписи). Задача дискретного логарифмирования в последнее время все чаще стала использоваться не в теоретико-числовой формулировке, а применительно к группам точек эллиптических кривых. И хотя это уже совсем другой раздел математики, но идеология формулирования и использования этой задачи в криптографических применениях берет свое начало в классической задаче дискретного логарифмирования.
4. Криптографические протоколы, в которых используются примитивы на основе рассмотренных вычислительно сложных задач. Помимо использования в криптографических протоколах перечисленных выше готовых криптосхем, в качестве «строительных блоков» в них могут применяться отдельные конструкции, стойкость которых основана на тех же вычислительно сложных задачах.
Самый известный пример - протокол открытого распределения ключей Диффи-Хеллмана, а также многочисленные производные от него протоколы, например MTI, STS и др. Стойкость их
Из истории криптографии.
всех в конечном счете основана на задачах дискретного логарифмирования и Диффи-Хеллмана.
Менее известные примеры - протоколы доказательства с нулевым разглашением знания, которые могут использовать все три рассмотренные выше задачи. Так, к примеру, стойкость протокола аутентификации Шнорра с нулевым разглашением знания базируется на сложности решения задачи дискретного логарифмирования.
Совсем мало известные пока примеры протоколов с использованием таких задач - это протоколы дистанционного контроля целостности баз данных16, в которых используется задача распознавания квадратичных вычетов.
Рассмотренных примеров вполне достаточно для того, чтобы сделать вывод о принципиальной значимости полученных Л. Эйлером результатов для современной криптологической науки. При всем этом история распорядилась таким образом, что важнейшие результаты, казавшиеся многим при жизни Эйлера некоей «игрой в числа», стали востребованы наукой и, более того, составили математическую основу асимметричной криптографии спустя двести лет после смерти Л. Эйлера.
5. Вклад Л. Эйлера в развитие математического образования
в России
Как мы уже убедились, Л. Эйлер был величайшим ученым, homo universalis своего времени, который сумел охватить едва ли не все области современного ему математического и естественнонаучного знания. Но весьма значителен был и масштаб его учебно-методической работы, который базировался на опыте преподавания в академической гимназии при Академии наук в Петербурге и научного руководства своими учениками. Этой сфере деятельности Л. Эйлера также посвящена обширная литература, из которой мы выделим наиболее основательные работы Г.С. Поля-ковой17. Отмечая тот факт, что любые выводы и оценки вклада Л. Эйлера в эту область, в отличие от области «чистой» математики, будут заведомо субъективны, тезисно сформулируем наши выводы о значении деятельности Эйлера для развития математического образования в России.
1). Эйлер сформулировал фундаментальные методические идеи в области математического образования. Основные из них таковы.
С.В. Запечников
Во-первых, это четкая структуризация и комплексирование математических дисциплин в образовательном процессе. Эйлер считал обязательным изучение арифметики, геометрии, тригонометрии и «учения о шаре» - комбинации современных стереометрии и геодезии. Разумеется, этот комплекс лишь приблизительно соответствует содержанию современных дисциплин с теми же названиями. Однако не будем забывать, что Эйлер - первопроходец в этой области: до него в России по большому счету не было регулярного математического образования, а в учебных заведениях Западной Европы эти дисциплины имели далеко не первостепенное значение. Образованию была присуща многопредметность и как следствие фрагментарность получаемых знаний и навыков, разнесенность их по разным дисциплинам и этапам обучения.
Во-вторых, соответствие содержания и процесса преподавания дисциплин основным дидактическим принципам: системности, научности, доступности. Пример такого одновременного присутствия и разумного сочетания всех этих принципов подавал сам Эйлер, как было показано ранее на примере «Писем к немецкой принцессе...».
В-третьих, поддержание системы математического образования в актуальном состоянии. Содержание образования должно откликаться на ход передовой научной мысли, на полученные учеными новые важнейшие результаты. Научный поиск есть непосредственное продолжение «организованного» образования, переходящее преимущественно в форму самообразования. Эйлер прекрасно понимал эти истины и демонстрировал их на своем личном примере. В этом смысле Л. Эйлер был одним из первых ученых, которые осознали, что система образования, в частности математического, должна быть нацелена не просто на подготовку грамотных или «мудрых» людей, но на воспроизводство профессионального слоя ученых. Преподавание математических дисциплин на высоком профессиональном уровне служит необходимым условием достижения этой цели.
В-четвертых, преемственность образования: содержание образования низшей ступени должно служить базисом высшей ступени, недопустимы разрывы в содержании или пропуски отдельных дисциплин.
2). Эйлер разработал содержательное наполнение комплекса учебных дисциплин, который лежит в основе среднего, а отчасти и высшего математического образования вплоть до настоящего времени. С этой целью Эйлер написал учебники: знаменитое двух-
Из истории криптографии...
томное «Руководство к арифметике для употребления в гимназии императорской Академии наук» и «Универсальную арифметику» (по сути учебник алгебры, значительно превосходивший потребности школьного образования того времени). Кроме того, ему приписывается незавершенная рукопись учебника тригонометрии, авторство которого, однако, достоверно не установлено. Эйлером написано множество учебников и учебных руководств по прикладным наукам, в которых активно используется математический аппарат.
3). Наконец, еще одна заслуга Эйлера (может быть, не столь заметная по сравнению с перечисленными выше, но весьма важная именно для образования) состоит в том, что он ввел многие математические символы и обозначения, которые сделали математику «внятной» и доступной для понимания широкому кругу учащихся. Так, например, Эйлер предложил известные всем обозначения тригонометрических функций sin, cos, tg, решил вопрос о знаках тригонометрических функций, ввел для них круг единичного радиуса, а для функций комплексного аргумента ввел обозначение мнимой единицы i = V -1, что существенно упростило многие формулы. Благодаря Эйлеру учебники математики и математическая литература во многом приобрели привычный для нас вид.
6. Наследие Л. Эйлера и русская математическая школа
Л. Эйлер создал свою научную и методическую школу в императорской Петербургской академии наук, которая была по существу первой в России профессиональной математической научной школой. Он не просто создал научную школу, но поставил ее на один уровень с передовыми научно-образовательными школами Европы. К школе Эйлера традиционно относят восьмерых его учеников18: М.Е. Головина, С.К. Котельникова, С.Я. Румов-ского, П.Б. Иноходцева, В.Л. Крафта, А.И. Лекселя, Н.И. Фусса и А. Эйлера. Впоследствии все они стали академиками, хотя и были учеными далеко не первой величины. Их научная деятельность в основном выражалась в завершении тех задач, которые не успел решить Эйлер, а главные их заслуги относятся к области учебно-методической работы. Как преподаватели, методисты и популяризаторы науки они были, безусловно, талантливы и значительно повлияли на дальнейшее развитие математики в России.
Однако наибольшее влияние на дальнейшее развитие математики в России оказали работы самого Эйлера, сохраненные
С.В. Запечников
и опубликованные его научной школой. Выявлению многочисленных «нитей», которыми связаны последующие поколения математиков с идеями Эйлера19, посвящена обширная литература, тем не менее вряд ли эту тему можно считать исчерпанной. Придерживаясь поставленной в статье задачи, отметим здесь только влияние Эйлера на русскую теоретико-числовую школу.
Прежде всего работы Эйлера оказали огромное влияние на деятельность В.Я. Буняковского, который не только развил многие положения Эйлера в области теории сравнений, разложения чисел на множители, приложения теории чисел к другим разделам математики и других разделов математики к теории чисел, доказал ряд высказанных им предположений, но и участвовал в издании и комментировании рукописей Эйлера.
Далее М.В. Остроградский, опираясь на работы Эйлера в области теории первообразных корней, завершил в 1836 г. составление «Таблицы первообразных корней для всех простых чисел <200».
Для П.Л. Чебышёва, который внес большой вклад в теорию сравнений и теорию решения неопределенных уравнений в целых числах, знакомство с теорией чисел также началось с работы по изданию «Собрания арифметических сочинений» Эйлера (совместно с Буняковским). Изучая и комментируя сочинения Эйлера, он пришел к значительным выводам о распределении простых чисел, об арифметических функциях простых чисел и квадратичных формах.
На работах Эйлера были воспитаны и ученики П.Л. Чебышёва, принадлежащие к Петербургской математической школе: А.Н. Кор-кин, Е.И. Золотарев, А.А. Марков, А.В. Васильев, Ю.В. Сохоц-кий. Это примеры прямого влияния работ Эйлера на следующее за ним поколение российских математиков. Разумеется, чем дальше отстояла эпоха от века Эйлера, тем многочисленнее и разветвлен-нее становились прямые и косвенные пути воздействия его работ на ученых, методистов и преподавателей высшей школы. Достаточно сказать, что практически все российские и советские школьные учебники алгебры вплоть до учебника А.П. Киселёва, по которому училась большая часть нынешнего поколения людей среднего и старшего возраста, строились по заложенной Л. Эйлером методической концепции. Таким образом, наследие Эйлера оказывало заметное воздействие на работы русских ученых-математиков в течение нескольких десятилетий, пока разрабатывались поставленные им научные проблемы, а по завершении этого этапа, после стабилизации соответствующей отрасли знания навсегда стало «ядром», фундаментом математического образования.
Из истории криптографии...
7. Изучение наследия Л. Эйлера в наши дни
Известное на сегодняшний день письменное наследие Эйлера составляет 866 работ, включая 12 однотомных книг, 8 многотомных изданий, а также обширные собрания его переписки с видными российскими и зарубежными учеными-современниками: Даниилом и Иоганном Бернулли, Христианом Гольдбахом, Ж.Л. де Лагранжем, К.Г. Разумовским, Г.Н. Тепловым, И.К. Ветт-штейном. В наши дни почти все работы Эйлера (96,3%) доступны в первоисточниках на специально созданном сайте в сети Интернет20. «Архив Эйлера» сопровождается достаточно полными историческими и научными комментариями.
В 2007 г. во всем мире широко отмечалось 300-летие со дня рождения Л. Эйлера. В Швейцарии, Германии и России - странах, с которыми была связана жизнь и деятельность Эйлера, - прошли юбилейные мероприятия.
В наше время, когда актуальность научных исследований Л. Эйлера сменилась осознанием их классичности, изучение наследия Л. Эйлера приобретает совершенно новое значение. Лучше всего, пожалуй, оно выражается девизом основанного в 2002 г. Международного Эйлеровского общества (Euler Society), провозглашенным на его сайте21: «Общество использует жизнь и работы Эйлера как фундамент для попыток выявить более глубокие взаимосвязи между математикой, механикой, астрономией и технологией, начиная с XVIII в. и вплоть до настоящего времени». Для современных ученых и преподавателей Эйлер стал эталоном настоящего ученого и методиста, а его жизнь - образцом беззаветного служения людям и науке.
Работы Эйлера по-прежнему сохраняют основополагающее значение для математического, естественно-научного и технического образования. По неофициальной статистике, которая передается из уст в уста и в наши дни преподавателями высшей школы, имя Леонарда Эйлера - самое часто встречающееся в вузовских учебниках среди всех имен ученых. Действительно, ни один учебник высшей алгебры, аналитической геометрии, дискретной математики, комбинаторики, физики, теоретической механики, кристаллографии, геодезии и картографии, не говоря уже об учебниках теории чисел или математического анализа, не обходится без упоминания имени Леонарда Эйлера в связи с тем или иным впервые полученным им фундаментальным научным результатом важнейшего значения.
С.В. Запечников
В связи с этим сейчас, как и 200 с лишним лет назад, по-прежнему актуальны слова П.-С. Лапласа: "Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous" («Читайте Эйлера, читайте Эйлера: он общий учитель для всех нас»).
Заключение
Проведенное исследование позволяет сделать следующие основные выводы.
1. Леонард Эйлер, по праву называемый самым великим математиком XVIII столетия, внес колоссальный вклад в развитие «чистой» и прикладной математики, механики, физики и многих других отраслей естествознания и технических наук. В частности, он явился основателем тех разделов математики и открывателем тех фундаментальных закономерностей, которые спустя 200 лет составили математические основы асимметричной криптографии (криптографии с открытым ключом).
2. При исключительной значимости математического наследия Л. Эйлера в целом наиболее существенным его научным результатом, представляющим интерес для современной криптологии, явилась системная разработка проблем теории чисел, что сделало возможным формирование теоретической и методологической базы криптологии (тестирование чисел на простоту, теория сравнений, теория квадратичных вычетов, теория первообразных корней и др.) и прикладное использование этих результатов в крипто-схемах и протоколах (формулировка вычислительно сложных задач и построение на их основе однонаправленных функций).
3. Наиболее существенное значение методической деятельности Л. Эйлера заключается в создании оригинальной концепции систематического математического образования и разработке содержательного наполнения основных школьных математических дисциплин, что во многом определило стратегию развития российского математического образования на этапе его становления и задало высокий стандарт качества традиционного отечественного образования.
4. Научные труды Л. Эйлера послужили мощным импульсом развития российской математической, и в особенности теоретико-числовой, школы. Влияние Л. Эйлера на русских математиков было как прямым - через учеников, последователей и издателей научных трудов, так и косвенным - посредством формулировки им в своих научных трудах целого комплекса нерешенных науч-
Из истории криптографии...
ных проблем и запечатленного в его научном наследии личного примера беззаветного служения науке и обществу.
5. Изучение основополагающих элементов научного наследия Л. Эйлера в наше время следует рассматривать как необходимую (или крайне желательную) составляющую школьной и вузовской математической подготовки. По специальностям, связанным с информационной безопасностью, математическое наследие Эйлера составляет фундамент теоретической подготовки, а широкому кругу обучаемых помогает формировать кругозор, развивать эрудицию и воспитывать высокую культуру мышления.
Искренне благодарю моего первого учителя криптографии и научного руководителя учебно-исследовательских работ Александра Алексеевича Варфоломеева, который сразу и на всю жизнь связал в моем сознании криптографию с именем великого Леонарда Эйлера.
Примечания
1 См.: Запечников С.В. Из истории криптографии: тайнопись как явление древне-
русского литературного языка (XII-XVII вв.) // Безопасность информационных технологий. 2011. № 2. С. 116-123.
2 Цит. по: Козлов В.В. Эйлер и математические методы механики (к 300-летию со
дня рождения Леонарда Эйлера) // Успехи математических наук. 2007. Т. 62. Вып. 4 (376). С. 4.
3 См.: Эйлер Л. Письма к немецкой принцессе о разных физических и философ-
ских материях // Л. Эйлер; ред. П.В. Симонов [и др.]; подг. изд. М.А. Бобович [и др.]. СПб.: Наука, 2002. 720 с. (Серия «Классики науки»).
4 Там же. С. 23.
5 Там же. С. 39.
6 Цит. по: Андерсон Дж. Дискретная математика и комбинаторика: пер. с англ. М.:
Вильямс, 2004. С. 438.
7 См., напр.: Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России / Предисл.
и коммент. С.С. Демидова. 4-е изд. М.: Либроком, 2009. С. 72-83 (Физико-математическое наследие: математика (история математики)); Ожигова Е.П. Очерки по истории теории чисел в России / Отв. ред. А.В. Малышев. 3-е изд. М.: Едиториал УРСС, 2011. С. 15-56.
8 Козлов В.В. Указ. соч. С. 4.
9 Все формулы в статье приводятся в современных нам обозначениях. При этом
следует помнить, что ученые XVIII в. пользовались другими, менее удобными
С.В. Запечников
обозначениями или описывали свои результаты словами. В частности, обозначение сравнения = ввел Гаусс в начале XIX в.
10 Дальнейшая интерпретация результатов Эйлера, относящихся к квадратичным
вычетам, дается по работе: Ожигова Е.П. Указ. соч. С. 34.
11 Там же. С. 32-33.
12 См.: Нестеренко Ю.В. Теория чисел: Учеб. для студ. высш. учеб. заведений /
Ю.В. Нестеренко. М.: Академия, 2008. С. 53-54.
13 Menezes A.J. Handbook of Applied Cryptography [Электронный ресурс] /
A.J. Menezes, P.C. vanOorschot, S.A. Vanstone. P. 136-137. URL: www.cacr.math.uwa-terloo.ca/hac (дата обращения: 01.02.2012).
14 Ibid. P. 137-138.
15 Ibid. P. 138-140.
16 См.: Provable data possession at untrusted stores [Электронный ресурс] /
G. Ateniese [at all]. URL: http://eprint.iacr.org/2007/202 (дата обращения: 01.02.2012).
17 См.: Полякова Г.С. Леонард Эйлер и математическое образование в России. М.:
КомКнига, 2007. 184 с.
18 Гнеденко Б.В. Указ. соч. С. 83.
19 См., напр.: История математики (с древнейших времен и до XIX в.): В 3 т. / Ред.
А.П. Юшкевич. М.: Наука, 1970-1972. Т. 3: Математика XVIII столетия. 498 с.; Ожигова Е.П. Указ. соч.
20 См.: сайт «Архив Эйлера». [Электронный ресурс] [М., 2012] URL: www.dart-
mouth.edu/~euler (дата обращения: 01.02.2012).
21 См.: сайт Международного Эйлеровского общества. [Электронный ресурс] [М.,
2012] URL: www.eulersociety.org (дата обращения: 01.02.2012).
