CC BY-NC
5
DOI: 10.24937/2542-2324-2023-1-S-I-108-117 УДК 621.313+681.537 EDN: JGMKNP
Б.В. Бруслиновский1,2, О.В. Мохова1
'ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия
2ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия
ИТЕРАТИВНЫЙ СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ИМПУЛЬСНЫМ ИСТОЧНИКОМ ТОКА БОЛЬШОЙ МОЩНОСТИ
Рассмотрены вопросы разработок импульсных источников тока большой мощности на основе электромеханических преобразователей энергии, предназначенных для формирования в обмотках индукторов сильных знакопеременных импульсных полей.
Качественное формирование импульсов тока по заданной временной программе должна обеспечивать высокоточная система управления электромеханическим агрегатом. Для обеспечения высокой точности необходимо учитывать нелинейность характеристик электрических машин, в т.ч. явление магнитного гистерезиса. При таком учете математическая модель объекта представляет собой систему неоднозначных нелинейных дифференциальных уравнений. Авторы предлагают итеративный синтез нелинейной системы управления электромеханическим импульсным источником тока большой мощности, что позволит решить обозначенную задачу.
Ключевые слова: импульсный источник тока большой мощности, синхронный двигатель, генератор постоянного тока, нелинейная система управления, бэкстеппинг.
Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.
DOI: 10.24937/2542-2324-2023-1-S-I-108-117 UDC 621.313+681.537 EDN: JGMKNP
B.V. Bruslinovskii1,2, O.V. Mokhova1
1 KSRC, St. Petersburg, Russia
2 St. Petersburg State Electrotechnical University (LETI), Russia
ITERATIVE SYNTHESIS OF NON-LINEAR CONTROL SYSTEM FOR PULSE SOURCE OF HIGH CURRENT
This paper discusses development of pulse sources of high current based on electromechanical power converters intended to form strong alternating-sign pulse fields in inductor windings.
High-quality generation of current pulses as per pre-defined time program must be ensured by a very accurate control system for the electromechanical assembly. To attain required accuracy, it is necessary to take into account non-linearity of electric machine parameters, like magnetic hysteresis. Therefore, mathematical model of the object will become a system of ambiguous non-linear differential equations.
To overcome this challenge, the authors suggest iterative synthesis of non-linear control system for pulse source of high current. Keywords: pulse source of high current, synchronous motor, DC generator, of non-linear control system, backstepping The authors declare no conflicts of interest.
Для цитирования: Бруслиновский Б.В., Мохова О.В. Итеративный синтез нелинейной системы управления импульсным источником тока большой мощности. Труды Крыловского государственного научного центра. 2023; Специальный выпуск 1: 108-117.
For citations: Bruslinovskii B.V., Mokhova O.V. Iterative synthesis of non-linear control system for pulse source of high current. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2023; Special Issue 1: 108-117 (in Russian).
Введение
Introduction
В данной работе рассматривается импульсный источник тока (ИИТ), позволяющий создавать в обмотках индукторов сильные знакопеременные импульсные магнитные поля с убывающей амплитудой. Элементная база ИИТ может быть разной: электрические машины, полупроводниковые преобразователи, аккумуляторные батареи, магнитные индукторы, неразрушаемые магниты. В настоящей статье рассматривается ИИТ, состоящий из механически связанных приводного синхронного двигателя (СД) и генератора постоянного тока с независимым возбуждением (ГПТ НВ).
Выходной ток ГПТ НВ характеризуется следующими параметрами: в нагрузке ИИТ большой мощности должна быть сформирована знакопеременная импульсная последовательность тока трапецеидальной формы с длительностью импульсов порядка десятков секунд и убывающей по заданному закону амплитудой, которая для первого импульса может составлять несколько килоампер. При этом точность воспроизведения входного сигнала должна соответствовать долям процента от амплитуды текущей пары импульсов.
Исследование работы ИИТ производится путем математического моделирования. Следовательно, математическая модель электромагнитных процессов объекта должна содержать минимум допущений и учитывать различного рода нелинейности. Кчислу таких относится явление магнитного гистерезиса, которое, как показали результаты испытаний, оказывает негативное влияние на точность воспроизведения входного сигнала. Поэтому для управления электромеханическим агрегатом предлагается нелинейная система, полученная методом итеративного синтеза.
Математическая модель
импульсного источника тока
большой мощности
Pulse source of high current: mathematical model
Исследуемый ИИТ большой мощности, функциональная схема которого приведена на рис. 1, включает первичный источник питания (ПИП), приводной СД, ГПТ НВ и индуктор (И). В качестве ПИП выступает сеть бесконечной мощности. Данные с датчиков положения ротора (ДПР) и то-
ка (ДТ) передаются на систему управления двигателем (СУд) и микропроцессорную систему управления (МСУ) генератором, преобразовываются (в случае с ГПТ сравниваются с задающим сигналом (ЗС)) и через устройство согласования (УС) и автономный инвертор напряжения (АИН) в виде напряжения питания поступают на СД и ГПТ соответственно.
В рамках исследования рассматривается импульсный режим работы ИИТ большой мощности, поэтому допускается, что СД приведен во вращение с помощью разгонного асинхронного двигателя, вошел в синхронизм и работает на номинальной скорости.
Математическая модель ИИТ большой мощности основана на уравнениях электромагнитных процессов СД в связанной с ротором и вращающейся вместе с ним d-q - системе координат [14] и ГПТ НВ [12]. Следовательно, при выборе в качестве переменных состояния проекций тока статора СД на оси d id и q id, тока возбуждения СД ij, угловой нагрузки СД 6, угловой скорости вращения системы ю, тока возбуждения ГПТ ie, тока якоря ГПТ ia она может быть представлена в виде следующей системы дифференциальных уравнений:
did ■ . ■ л ,
— = -aii'd + a12®0ellq +a13lf -a14udm sm 6-b12u f
di„
dt di
= -«21Ю0elid - a22iq - a23u3if + a24udm C0S Q
— = ®0el - a45®'
= c51idiq + c52iqif c53
f dt dQ dt d ю dt
die dt
da dt
= a31id - a32ю0eliq - a33if + a34udm sln Q +
32 f
(1)
fg (ie ) '
Le + c61
fg1 (ie )
ue a66le + c61"
fg (ie ) dЮ
dt
= c71fg (ie )- a77ia
Здесь:
1) кривая намагничивания (КН) генератора /¡(1е), математическое описание которой основано на ТХх)-функции Такача [4], имеет кусочно-заданный неоднозначный характер и может быть определена через его характеристику холостого хода (ХХХ) /1С(1е):
ю
1
ю
Рис. 1. Функциональная схема электромеханического импульсного источника тока большой мощности
Fig. 1. Electromechanical pulse source of high current: functional diagram
fg (e) =
f01 = fic (ie ), j = 1 f1 = fic (xmax11e max )> (xs — xmax01 )
j > 1, t < Тф
фт
( xmax1 xmax01 )
/2,3 = (2)
tanh (xs - Sign (xmax 2,3 ) a0 ) + +Sign (xmax2,3 ) b
_ E
— a max
Тф} < t < Tj ,
при этом переменные а0 и Ь отражают сдвиг нуля КН в сторону значений коэрцитивной силы ас по оси тока возбуждения и остаточной намагниченности Ьг по оси электродвижущей силы (ЭДС) для каждой пары импульсов амплитудой А/.
b = -
xmax 2,3 xs
max 02,3 "vmax2,3
•Sign (xmax 2,3 )>
< [es + bsr - tanh (xmax02,3 - Sign (xmax2,3 ) a0 )] "
1 —
xmax2,3 xs
max02,3 max2,3
Sign (xmax2,3 )>
> [es + bsr - tanh (xmax2,3 - Sign (xmax2,3 ) a0 )];
xs =—; es = ;
s I s E
emax amax
fc = a1ie + a3i3 + a5ie + a7iJ + a/e';
A,
aj =
a0 = aca};
Amax1
bsr = 0,5slgn (xmax02,3 )[a; - abs(xs)]br
(3)
2) функция (1е) является частной производной КН (2) по току возбуждения;
3) постоянные параметры СД: активное сопротивление обмотки статора Яя индуктивности обмотки статора по осям ё Ьё и q Ьё, индуктивность обмотки возбуждения Ьу , взаимные индуктивности обмотки статора относительно обмотки возбуждения Му и наоборот Му число пар полюсов рет;
4) постоянные параметры ГПТ НВ: число пар полюсов рг, механическая постоянная ст, электрическая постоянная се, активное сопротивление Яе и индуктивность Ье обмотки возбуждения, активное сопротивление Яа и индуктивность Ьа обмотки якоря, активное сопротивление Я1 и индуктивность Ь1 нагрузки; момент инерции трехмашинного агрегата 3, включающий сумму моментов инерции разгонного асинхронного двигателя, СД и ГПТ НВ; введены коэффициенты:
b12 =
24
Rs Lq , MdfRf , 1
Т; a12 kd = 7-; a13 kd , r ; a14 kdLf = kd '
Mdf Ld . Rs M
Lfkd ' a21 = ~; Lq a22 =~T~; a23 = Lq Lq
1 MfdRs . „ MfdLq.
Lfkd
32
Lfkd
M,
= Rfkf . = Mfd . b = f = . a33 ~J ; a34 = J , ; b32 ~J ; a45 = Pem; Lf Lfkd Lf
(4)
2ncmk„
rem dft """^m'^e
c51 = ; c52 = ; c53 =
51 2 J 52 2 J 53 J
, r MfdMdf , . MfdMdf kd = Ld —; kf =1+ ; f; c61 = ke^e;
f
Lfkd
xmax01 ac; xmax1 aj; xmax02 aj; xmax2 = -aj ; xmax 03 = -aj ; xmax03 = aj ■
к =-
30c,
; c71 = "
La +Li
a66 = Re ; a77 =
R + R
La +Li
1
Синтез базовых линейных регуляторов осуществлен в ходе предварительного математического моделирования, которое продемонстрировало несоответствие поставленному требованию в вопросе обеспечения точности воспроизведения программно заданной импульсной последовательности тока. Наличие множественных нели-нейностей, часть из которых носят неоднозначный характер, изменение в широких пределах параметров выходного тока генератора, обусловленных законом убывания амплитуды импульсов, подводит к рассмотрению класса систем управления, использующего второй метод Ляпунова [10], который позволяет производить синтез без наложения на систему дополнительных ограничений.
Синтез системы управления импульсным источником тока большой мощности
Control system synthesis for pulse source of high current
Ключевым элементом этого подхода является функция Ляпунова [6], одним из условий существования которой является непрерывная диффе-ренцируемость исследуемой системы. Кусочно заданный неоднозначный характер уравнений системы (1) влечет за собой нарушение этого условия, которое, как предложено в [8] и [3], может быть легитимировано применением математического аппарата производных Дини [1].
Пример расчета производных Дини для каждой точки разрыва первого импульса выходного тока генератора приведен ниже:
h -^emaxl' fg (h) Eamaxl •
D+fg (h)= lim Eamax1 - Eamax1 = 0;
g W x—h+0 I .—1 , e maxl e maxl
E — E
D = lim amaxl amaxl
x Ie maxl Ie maxl
= 0;
D— = Jim tanh (X + ao ) — Ь — Eamaxl = k . x—h—0 X — / 11'
e maxl
D— = lim
fic (X) Eamaxl
x——0 X — I
=k
l2'
e maxl
h Iemaxl,./g (h) Eamaxl •
D+ = —k2l; D+ =k22; D—= 0; D—= 0;
h = Iecl, fg (h) = 0:
D+= k3l; D+=k32;
D" = —k33; D— =k34; h = Ie max2, fg(h) = Ea max2 •
(6)
D+=—k4i; D+=— t
Ml
D"=—k43; D—=k
42;
44.
Процедура расчетов (5)-(6) аналогична для каждой пары импульса с учетом закона изменения амплитуды выходного тока генератора. На основании полученных данных можно сделать вывод, что зна-коопределенная производная Дини существует и свидетельствует о выполнении достаточного условия непрерывной дифференцируемости системы (1).
В качестве рассогласования входного и выходного сигналов вводится ошибка по току якоря:
e¡ = ia — ia
(7)
(5)
Таким образом, при наличии функции Ляпунова ¥ИИТ структурная схема системы управления ИИТ большой мощности (1) с нелинейным регулятором НР будет иметь вид, представленный на рис. 2.
Одним из вариантов синтеза нелинейной системы управления является итеративный синтез, который встречается в литературе еще как попятный синтез, обход интегратора, пошаговый синтез или метод бэкстеппинга [2], [5], [11]. Он допустим к применению в двух случаях: при возможности представления системы в виде каскадного соединения нескольких подсистем и при наличии параметрической неопределенности, для которой нарушено условие согласованности.
Процедуру бэкстеппинга можно разбить на следующие шаги:
l)
2)
3)
4)
введение переменной, выступающей в роли ошибки между входными и выходными сигналами;
определение виртуального управления, как правило, содержащего производную от новой переменной;
задание функции Ляпунова;
выбор функции стабилизации исходя из усло-
вия обеспечения отрицательной определенности полной производной функции Ляпунова, при замене виртуального управления на функцию стабилизации;
5) введение новой переменной в виде ошибки между виртуальным управлением и функцией стабилизации;
6) выполнение третьего и четвертого шагов до тех пор, пока из рассматриваемого уравнения не удастся определить искомое управляющее воздействие.
В силу того, что ИИТ большой мощности в импульсном режиме работы (1) можно представить в виде каскадного соединения двух подсистем (СД и ГПТ НВ), рассматривается возможность применения итеративного синтеза системы управления исследуемым объектом.
Если в качестве кандидата на функцию Ляпунова для случая системы СД - ГПТ НВ (1) выбрать функцию Киигио:
КИИТис = 0,5 zx2 + 0,5 z 2 + 0,5 Z32 + + ln(cosh(-k4 z4 + z5)) + ln(cosh(-k5k|6 z5)),
(8)
(9)
dz-[ - z^ + z2 ;
dz 2 — z^ k 2 z2 + z^;
dz3 — z2 k^ z3 ;
dz4 — k4 z4 + z5 ;
dz5 — k5 k56 'z 5 .
(10)
в,е,
HP иа ИИТ со, ia
Рис. 2. Структурная схема системы управления импульсным источником тока большой мощности
Fig. 2. Control system for pulse source of high current: structural layout
При этом для выполнения условия отрицательной определенности производной функции Ляпунова (8) должно выполняться неравенство:
|k5k561 > |tanh(-k4z4 + z5 )| > 1,
(11)
а искомые управляющие воздействия, в качестве которых выступают напряжения возбуждения СД и ГПТ НВ, с положительным коэффициентами к, будут определяться выражениями:
Uf = Ufa =
где к5б = с1х!&х(1е)/[Ье +СбХ!&1(1еУга^ а новые переменные, виртуальные функции управления и функции стабилизации обозначить через 2, ф,, ф, соответственно (/' = 1:5), тогда указанные выше итерации обратного обхода интегратора могут быть схематично проиллюстрированы, как показано на рис. 3.
Согласно процедуре бэкстеппинга функции стабилизации импульсного режима работы трехмашин-ного агрегата могут быть заданы следующим образом:
ф* = —к1 г!;ф2 -кх ]21 — [к1 + к2]22;
ф3 = - ^ кх3 - 2кх - к2 ^ 2х -
- ^2 - кх2 - кхк2 - к2 ^ 22 - [кх + к2 + к3 ] 23;
Ф4 = -к424; ф5 = к4 24 - [к4 + к5к56 ] 25.
В результате итеративного синтеза математическая модель ИИТ большой мощности (1) преобразуется к приведенной системе дифференциальных уравнений вида:
a45lq
did dif C51 + С52 dt dt
di
+a45 dtq [C51ld + C52lf ]"
45 53
dl dl
1—^ + -a-
dt dt
2 - k12
3 -
_ — k1k2
2kj k2] Zj
/ [[-a45lq ][c52b32 - C51 b12 ]] ;
(12)
56
k4 Z4 k4 Z5 + a77
dt
, . fg (ie) d Ю
—k5 + a66le — C61
5T "66'e Ь6Г 2 ^
где
dif dt df dt
= -a11ld + a12ro0ell'q + a13lf - a14Udm Sln ^
= a31 ld - a32® 0ellq - a33lf + a34udrn Sin t
(13)
Рис. 3. Схема итеративного синтеза импульсного источника тока большой мощности
Fig. 3. Pulse source of high current: layout of iterative synthesis
А dldt ф1 *(
22 , dldt ф2 « С
dldt Фз
) *
Фз
z4 dldt ф4 w
<p4
«)
h о
-i.
ГТГТГТГТШш
ULiiLliUAil
0 20 40 60 80 100 /,
1,0015юо
0,9985юе
я/50
-я/50
25 , dldt ф5 *
*
б) ш
ф5
0 20 40 60 80 100 t, с
100 t, с
Рис. 4. Графики переходных процессов в синхронном двигателе в импульсном режиме работы Fig. 4. Plots of transitory processes in a synchronous motor (pulse operation scenario)
отражают уравнения тока статора по оси d и тока возбуждения СД из (1) без учета управляющего воздействия Uj.
С помощью компьютерного моделирования при задании в (12) параметров
кх = 2,8648 -10-8 юс; к2 = 2,8648 -10-8 юс; кз = 9,5742юс; к4 = 0,0036/атах; (14)
k5 = 0,0013/а max,
получены следующие графики электромагнитных процессов ИИТ большой мощности в импульсном режиме работы: ток статора, ток возбуждения, ско-
рость вращения и угла нагрузки СД, представленные на рис. 4; рабочая область кривой намагничивания и ток якоря ГПТ НВ, приведенные на рис. 5; управляющие воздействия СД и ГПТ НВ и ошибка по току якоря, изображенные на рис. 6.
График переходных процессов СД показывает, что амплитудные значения тока статора (рис. 4а), тока возбуждения (рис. 4е), скорости вращения (рис. 46) и угла нагрузки (рис. 4г) не превышают номинальных.
КН ГПТ НВ (рис. 5а) на основании ее взаимосвязи с ХХХ (2) приведена в осях тока возбуждения и ЭДС и получена при нормированных значениях
б)
-I,
н
1
1
о
20
40
60
80
100 t, с
Рис. 5. Графики переходных процессов в генераторе постоянного тока с независимым возбуждением в импульсном режиме работы
Fig. 5. Plots of transitory processes in a separately excited DC generator (pulse operation scenario)
a) uf
0 20 40 60 80 100 t, с в) A
б) К
- L1 1. 1 [
I1 —п rh 11 11
0 20 40 60 80 100 t, с
Imax _ ■ I_____1___
2max ] A i F i I i ~F~ l I - I F~ 1.1 . . .— I
3max
0 20 40 60 80 100 t, с
Рис. 6. Управляющие воздействия и модуль ошибки по току якоря Fig. 6. Controlling actions and error modulus for armature current
коэрцитивной силы ас и остаточной намагниченности Ьг, равных 0,3. График выходного тока генератора (рис. 56) свидетельствует о том, что форма и параметры импульсов, а также закон убывания их амплитуд, соответствуют заданным.
Значение напряжение возбуждения СД (рис. 6а) не превышает базового, при этом требует высокого уровня напряжения ОВ генератора (рис. 66).
Стоит отметить, что уровни рассогласований входного и выходного сигналов (рис. 6в) указаны с учетом применения в качестве программно за-
данной импульсной последовательности разложения первых трехсот гармоник трапецеидального сигнала в ряд Фурье. График модуля ошибки выходного тока генератора имеет три пика, соответствующих началу каждой новой пары импульсов и равных 7,142Дхтах, 3,6237Д2тах и 3,6369Дзтах. Данные значения могут рассматриваться как настройка регулятора и не учитываться, т.к. с момента формирования вершины и до конца периода импульса ошибка не выходит за допустимые пределы.
Исследования показали, что параметры КН сказываются на точности воспроизведения программно заданной импульсной последовательности тока и при ac, br > 0,4 при неизменных коэффициентах регулятора (14) их увеличение приводит к нарушению требуемого уровня рассогласования входного и выходного сигналов.
Исследование устойчивости импульсного режима работы системы СД - ГПТ НВ проведено на основании прямого метода Ляпунова [7], [9] с использованием скалярной, вещественной, непрерывной по времени и аргументу, равной нулю при нулевых значениях аргумента функции Ляпунова.
Согласно теореме Н.Н. Красовского [13], если функции Ляпунова (8), помимо выполнения указанных выше условий, удовлетворяют оценкам-неравенствам:
rmz ||Z||2 - ^ИИТис - rbz
NI2>° < rmz- rbz;
d¥í
ИИТис
dt
- qmz ||ХИИТ ¡2 , qmz > 0;
dV
ИИТис
dx
- %,
z У АИИТ ||2 ;
> 0,
удовлетворяют неравенствам:
Nz
экспоненциальным
||z(t)||2 - Nz I|z(to)|2 (t-t0), Nz = .
, a x =
2
qmz
2rh,
(17)
то тривиальные решения этих систем можно считать экспоненциально устойчивыми.
Полная производная функции Ляпунова (8) вычисляется по формуле:
dV.
ИИТис dt
dV
ИИТис
dt
+1
j=i
5^ИИТис dZJ
dz,.
dt
(18)
При начальных условиях системы (10) и коэффициентах, используемых в неравенствах-оценках (15):
(15)
z10 = 6,37-10~4юс; z20 = 0,003юс;
z3o = -0,01®с; z40 =0; z50 =0;
rmz = 1,11'10 1 a\max ;
rbz = 0,002/almax;
(19)
qmz = 4,44 '10 ^a1max; qbx = 11111a1max,
а также все решения системы (10) внутри области экспоненциального притяжения
к
<8г,8,(*0) ),к2 <И2, (16)
оценкам-
графики функции Ляпунова (8) и ее производной (18) приведены на рис. 7.
Полученные графики (рис. 7) при (19) иллюстрируют выполнение всех условий (15)—(17), что свидетельствует об экспоненциальной устойчивости тривиального решения (10), полученного в результате итеративного синтеза.
0
i L i L
100 t, с
Щ\хШе
0 20 40 60 80 100 /, с Рис. 7. Исследование устойчивости импульсного источника тока Fig. 7. Pulse source of high current: operational stability study
Заключение
Conclution
Разработка нелинейной системы управления, полученной в результате обратного обхода интегратора, обеспечивает устойчивое функционирование ИИТ большой мощности и позволяет производить высокоточную отработку программно заданной импульсной последовательности тока, необходимой для создания применяемого при проведении процесса размагничивания сильного импульсного магнитного поля.
Список использованной литературы
1. Dini U. Fondamenti per la teoria delle funzioni di varia-bili reali. Pisa : Tip. T. Nistri, 1878. VIII, 407 p.
2. AC electric motors control. Advanced design techniques and applications / [compil. F. Giri]. Chichester : Wiley, 2013. XXII, 555 p.
3. Marinosson S.F. Stability analysis of nonlinear systems with linear programming: A Lyapunov functions based approach : doctoral thesis / S.F. Marinisson ; Gerhard-Mercator University. Duisburg, 2002. 110 p.
4. Takàcs J. Mathematics of hysteresis phenomena. The T(x) Model for the Description of Hysteresis. Weinhem : Wiley, 2003. XIII, 175 p.
5. Андриевский Б.Р., Бобцов Е.А. Фрадков А.Л. Методы анализа и синтеза нелинейных систем управления. Москва ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2018. 336 с.
6. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. Москва : Наука, 1970. 240 с.
7. Зубов В.И. Устойчивость движения : (Методы Ляпунова и их применение): учеб. пособие. 2-е изд-е, пе-рераб. и доп. Москва : Высш. школа, 1984. 232 с.
8. Канатиков А.Н. Производная Дини и обобщение прямого метода Ляпунова // Математика и математическое моделирование. 2017. № 4. С. 18-27
9. Ла-СалльЖ., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова / Перевод с англ. Н. Х. Розова. Москва : Мир, 1964. 168 с.
10. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Москва ; Ленинград : Гостехиздат, 1950. 473 с. (Классики естествознания. Математика. Механика. Физика. Астрономия).
11. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. Санкт-Петербург : Наука, 2000. 548, [1] с.
12. Мирошников А.Н., Румянцев С.Н. Моделирование систем управления технических средств транспорта. Санкт-Петербург : Элмор, 1999. 221, [1] с.
13. Путов В.В., Шелудько В.Н. Адаптивные и модальные системы управления многомассовыми нелинейными упругими механическими объектами. Санкт-Петербург : Элмор, 2007. 244 с.
14. Соколовский Г.Г. Электроприводы переменного тока с частотным регулированием. Москва : Академия, 2006. 265 с.
References
1. Dlnl U. Fondamenti per la teoria delle funzioni di varia-bili reali. Pisa : Tip. T. Nistri, 1878. VIII, 407 p.
2. AC electric motors control. Advanced design techniques and applications / [compll. F. От]. Chichester : Wiley, 2013. XXII, 555 p.
3. Marlnosson S.F. Stability analysis of nonlinear systems with linear programming: A Lyapunov functions based approach : doctoral thesis / S.F. Marinisson ; Gerhard-Mercator University. Duisburg, 2002. 110 p.
4. Takacs J. Mathematics of hysteresis phenomena. The T(x) Model for the Description of Hysteresis. Weinhem : Wiley, 2003. XIII, 175 p.
5. B. Andrlevsky, Ye. Bobtsov, A. Fradkov. Analysis and synthesis methods for non-linear control systems. Moscow, Izhevsk, Institute of Computing Studies, 2018, 336 pp. (ln Russlan).
6. Ye. Barbashln. Liapunov functions. Moscow, Nauka, 1970, 240 pp. (ln Russlan).
7. V. Zubov. Movement stability. Liapunov methods and their applications. Student's Guide. 2nd ed., rev. and enl. Moscow, Vysshaya Shkola, 1984, 232 pp. (ln Russlan).
8. A. Kanatnlkov. Dini derivative and generalization of Liapunov's direct method // Mathematics and Mathematical Modeling, 2017, No. 4, pp. 18-27 (ln Russlan).
9. J. La Salle, S. Lefschetz. Stability by Liapunov's Direct Method with Applications (Russian translation by N. Rozov). Moscow, Mir, 1964, 168 pp.
10. A. Llapunov. General problem of movement stability. Moscow, Leningrad, Gostekhizdat, 1950, 473 pp. (Classics of Natural Sciences: Mathematics, Mechanics, Physics, Astronomy) (ln Russlan).
11. I. Mlroshnlk, V. Nlklforov, A. Fradkov. Non-linear and adaptive control over complex dynamic systems. St. Petersburg, Nauka, 2000, 548 [1] pp. (ln Russlan).
12. A. Mlroshnlkov, S. Rumyantsev. Simulation of control system for transport equipment. St. Petersburg, Elmor, 1999, 221, [1] pp. (ln Russlan).
13. V. Putov, V. Sheludko. Adaptive and modal control systems for multi-mass non-linear elastic mechanical objects. St. Petersburg, Elmor, 2007, 244 pp. (ln Russlan).
14. О. Sokolovsky. AC drives with frequency control. Moscow, Akademiya, 2006, 265 pp. (ln Russlan).
Сведения об авторах
Бруслиновский Борис Васильевич, к.т.н., доцент кафедры «Системы автоматического управления» ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ„», начальник отдела - главный конструктор электроэнергетических систем и электрооборудования филиала «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Кры-ловский государственный научный центр». Адрес: 196128, Россия, Санкт-Петербург, Благодатная ул., д. 6. E-mail: brborvas@list.ru.
Мохова Ольга Васильевна, инженер 1-й категории филиала «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196128, Россия, Санкт-Петербург, Благодатная ул., д. 6. E-mail: mkhvov@gmail. com.
About the authors
Boris V. Bruslinovskii, Cand. Sci. (Eng.), Ass. Prof., Department of Automatic Control Systems, St. Petersburg Electrotechnical University (LETI) - Head of Department & Chief Designer of electric power systems and equipment, SET Branch of Krylov State Research Centre. Address: 6, Blagodatnaya st., St. Petersburg, Russia, post code 196128. E-mail: brborvas@list.ru.
Olga V. Mokhova, 1st Category Engineer, SET Branch of Krylov State Research Centre. Address: 6, Blagodatnaya st., St. Petersburg, Russia, post code 196128. E-mail: mkhvov@gmail.com.
Поступила / Received: 14.07.23 Принята в печать / Accepted: 01.08.23 © Бруслиновский Б.В., Мохова О.В., 2023
