CC BY
332
ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ
МЕТОДА ИЗОКЛИН И МЕТОДА ЭЙЛЕРА
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
А. С. Безручко
Аннотация. В статье представлены история развития метода изоклин и метода Эйлера для решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Исследованы работы математиков, занимавшихся этим вопросом.
Ключевые слова: история, метод изоклин, метод Эйлера.
Summary. The article describes the history of development of the method of isoclines and Euler's method for solving ordinary differential equations of the first order. The author examines the works of mathematicians who worked at these subjects.
Keywords: history, method of isoclines, Euler's method.
Обыкновенные дифференциальные уравнения являются важным математическим аппаратом, широко применяемым для решения различных научных и технических задач. Особенно эффективными оказались приближенные методы, которые формировались и совершенствовались под непосредственным влиянием прикладных задач механики, астрономии, баллистики, физики и других наук.
Приближенные методы решения дифференциальных уравнений делятся на аналитические методы, представляющие решение в виде аналитического выражения, численные методы, позволяющие найти искомое решение лишь в отдельных точках, то есть в виде таблицы, и графические методы, использующие геометрические построения. К графическим методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, широко использующихся в наше время, можно отнести метод изоклин и метод ломаных.
Считается, что с задачами, в той или иной степени связанными с дифференциальными уравнениями, математики впервые встретились в начале XVIII века, когда при создании таблиц логарифмов Дж. Непер положил в основу кинематическое представление о двух связанных между собой непрерывных прямолинейных движениях. Чуть позднее задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, появились и в области математического естествознания. Здесь можно отметить проблему падения тела в среде без сопротивления, решенную Г. Галилеем, а также «обратную задачу на касательные», поставленную и решенную Р. Декартом после открытия в оптике закона преломления света. Сам термин впервые употребил Лейбниц в письме к Ньютону (1676), а затем он появился и в печати (с 1684) [1].
2 / гон Преподаватель |_
199
200
Однако сами создатели математического анализа - Ньютон, Лейбниц и их последователи - столкнулись с ограничениями в области применения аналитических методов к решению ряда фундаментальных и прикладных задач. В частности, многие дифференциальные уравнения, важные для практики, не решались в квадратурах, то есть не интегрировались аналитически. Попытки выразить аналитически корни алгебраических уравнений выше четвертой степени также оставались безуспешными. Поэтому параллельно с развитием аналитических методов математики разрабатывают методы приближенных вычислений для решения неотложных прикладных задач [2].
Первое упоминание о графическом решении обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка встречается в 1694 г. у И. Бернулли, когда он опубликовал в «Acta Eruditorum» статью «Общий способ построения всех дифференциальных уравнений первого порядка». Здесь появились выражения «порядок» уравнения и «разделение» переменных - последним термином И. Бернулли пользовался еще в своих «Лекциях». Выражая сомнение в сводимости любого уравнения к виду с разделяющимися переменными, И. Бернулли предлагает для уравнений первого порядка
f (у di) = о
dx
общий прием построения всех интегральных кривых при помощи изоклин в определяемом уравнением поле направлений. Изоклины (И. Бернулли называет их директрисами) вводятся как линии f (x, у, к) = 0, в точках которых искомые интегральные кривые имеют касательные с одним и тем же наклоном k. Каждая интегральная кривая образуется из смыкающихся бесконечно малых прямых отрезков, проводимых соответственно наклону в данной точке от одной изоклины к другой, соседней. Из самого характера построения делается заключение о существовании бесконечного множества интегральных кривых. Особо рассмотрен вопрос об уравнении кривой точек перегиба интегральных кривых. В заключение автор писал, что предложенная идея может быть распространена на уравнения второго и высших порядков.
Рассуждения И. Бернулли в данной статье напоминают своего рода геометрическое доказательство существования непрерывных интегральных кривых данного дифференциального уравнения, возникающих, когда сомкнутся стягивающиеся в точки отрезки прямых. Но Бернулли имел в виду и приближенное вычерчивание интегральных кривых, как это видно из его письма к Лопиталю в декабре 1694 г., где он приводит и чертеж, на котором для уравнения x2dx + y^dx = a2dy изображены изоклины х2 + у2 = к2, несколько интегральных кривых и пересекающая их линия точек перегиба AN с уравнением у3 + x2y = a2x (рис. 1). Разобрав этот пример, И. Бернулли здесь писал: «Таков мой метод, найденный мною для общего построения дифференциальных уравнений; он может быть широко применен на практике, если довольствоваться механическим построением, ибо, чем больше нанести близких друг к другу директрис, тем более подойдут к истинной искомой кривой». Одним из достоинств такого геометрического построения Бернулли считал и то обстоятельство, что он позволяет обойтись не только без разделения переменных, что чаще всего невозможного, но также в тех случаях,
Я
Рис. 1. Приближенное решение дифференциального уравнения И. Бернулли
когда разделение возможно, без квадратур, из-за которых аналитическое решение нередко бывает практически неосуществимым [3].
В последующем для приближенного решения дифференциальных уравнений долгое время применялись исключительно аналитические методы. Например, метод Эйлера, или, как его часто называют, метод ломаных. Свой метод Эйлер описывает с аналитической точки зрения, не акцентируя внимания на графическом построении, но метод ломаных, который является геометрической интерпретацией метода Эйлера, относится к графическим методам.
Основной результат Эйлера, касающийся этого метода, содержится в первом томе «Интегрального исчисления» (1768). Задача ставится сразу же в большой общности: для заданного уравнения йу/йх = V, где V- некоторая функция х и у, найти приближенно полный интеграл. Возникает вопрос: почему речь идет о полном, а не о частном интеграле? Последующее замечание Эйлера показывает, что имеется в виду задача с начальными условиями. Действительно, то, что теперь ищется полный, а не частный интеграл, указывает Эйлер, следует понимать в том смысле, что переменная у должна принимать некоторое заданное значение у = Ь, если другая переменная х принимает определенное значение х = а. Эйлер отдает дань традиционной постановке задачи решения уравнения как задачи нахождения полного интеграла. Основание для такой постановки вопроса он видит в том, что начальные данные задаются в общей форме, а не в виде конкретных численных значений, как было в задачах, рассмотренных ранее.
Ставя вопрос о нахождении общего метода, дающего приближенное решение задачи с произвольными начальными условиями, Эйлер предвосхитил постановку Коши задачи с начальными данными как одной из центральных в теории дифференциальных уравнений.
Решение дается методом ломаных. Однако вопрос трактуется при этом, как упоминалось ранее, чисто аналитически. Не довольствуясь изложением метода ломаных, Эйлер стремится сразу же его усовершенствовать с тем, чтобы резуль-
201
2 / 2011
Преподаватель
202
тат был ближе к истинному. Решение этой задачи имело принципиальное значение: здесь Эйлер фактически предложил второй метод, а именно тот, с помощью которого Коши впервые доказал существование решения дифференциального уравнения с аналитической правой частью. Чтобы учесть изменение правой части уравнения на малом интервале х - а, Эйлер поступает следующим образом: написав разложение в ряд Тейлора неизвестного решения, он показывает, как должны быть вычислены коэффициенты этого ряда, записанного в следующей своеобразной форме:
(х - a)db (х - a)2 d2b
y = b + ---— + ----+ •••
da 1 • 2 • da2
Коэффициенты вычисляются при помощи последовательного дифференцирования данного уравнения. В несколько измененной записи Эйлеровские формулы выглядят так:
db = V
da
d 2b dV rrdV
—7 = — + V—
da дх dy
d3b д2v „„ д2V „2 д2V dV ГdV dV'
—г = —r + 2V-+ V —r +--+ V—
da3 дх2 дхду ду2 ду _ дх ду
Правые части этих равенств должны быть вычислены, конечно, при х = а, у = b.
Относительно самого разложения у Эйлер отмечает, что при х, близком к а, ряд сходится очень быстро и поэтому достаточно хорошо представляет у(х). Этот метод он предлагает для того, чтобы точнее определить значение у = b' в точке а' = а + m и таким же образом продолжать процесс дальше, отправляясь от уже известных x = а', у' =b'. Вполне очевидно, что Эйлер для малой окрестности начальной точки а рассматривал именно тот ряд, сходимость которого при определенных условиях была строго доказана Коши.
Также Эйлер отмечает: «Чем меньшими берутся промежутки, через которые возрастают значения х, тем с большей точностью находятся значения, соответствующие каждому из них. Тем не менее погрешности, допущенные в каждом отдельном случае, хотя они были и очень малы, все же накопляются вследствие их многочисленности. Ошибки, получающиеся при этом вычислении, проистекают из того, что на отдельных промежутках мы рассматриваем оба количества х и у как постоянные, и таким образом функция V принимается за постоянную. Значит, чем более меняется значение количества V при переходе от какого-либо промежутка к следующему, тем больших ошибок следует опасаться» [4].
Метод построения, описанный Бернулли, получил свое прикладное значение лишь в последней четверти XIX в., благодаря профессору Гентского университета Жюниусу Массо и его работе "Mémoire sur l'intégration graphique et
ses applications" (Мемуары о графическом интегрировании и его применении) (1878-1887). В шестой главе этой книги, которая называется «Applications а l'hydraulique» (Применения в гидравлике), изложен графический метод решения дифференциальных уравнений первого порядка.
В данной главе изучаются движения жидкостей в трубах, водосливах, каналах. В ходе рассуждений описан метод о графическом интегрировании уравнений дифференциалов первого порядка. У Массо построения каждой интегральной кривой дифференциального уравнения F(x, y, dy/dx) основываются на построении кривых F(x, y, а), где а это константа. Такие кривые в каждой точке имеют одинаковый наклон, определяемый уравнением, и Массо называет их изоклинами. Именно он вводит это название.
В начале решения необходимо было построить достаточно большое количество изоклин и для каждой определить направления. На рис. 2 каждая изоклина определена номером, слева приводятся линейные элементы, соответствующие наклону, под которым интегральные кривые будут пересекать эти изоклины. Построение следовало вести из заданной точки А. Так как данная точка принадлежит изоклине 1, то необходимо было построить прямую параллельную линейному элементу 1. Данную прямую необходимо было продлить до середины интервала отделяющего изоклины 1 и 2. Из получившейся точки следовало провести прямую, параллельную линейному элементу второй изоклины, и продлить эту прямую до середины интервала между изоклинами 2 и 3 и т.д. Точку пересечения со второй изоклиной обозначить за В. В итоге получалась ломаная ABCD, которая и служила приблизительным изображением интегральной кривой.
Также Массо отмечает, что построения можно вести не только из точки принадлежащей изоклине, но и из точки, лежащей на середине интервала между изоклинами. Тогда следует в точке, лежащей в середине интервала между 1 и 2 изоклинами, построить прямую параллельную линейному элементу первой изоклины и продлить ее до пересечения со второй изоклиной, таким образом
203
Рис. 2. Графическое интегрирование дифференциального уравнения Ж. Массо
2 / гон Преподаватель |_
204
получить точку В. На получившейся прямой от точки В отложить отрезок, равный отрезку, заключенному между точкой В и серединой интервала, между первой и второй изоклиной. Таким образом, получить точку между второй и третьей изоклиной. Из получившейся точки провести прямую параллельную линейному элементу второй изоклины и т. д.
Достижения Массо заключались в том, что его построения относятся к методам точности второго порядка. В то время построения велись исключительно только при помощи метода Эйлера, а он относится к методам точности первого порядка [5].
Таким образом, основы геометрических методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены еще в XVII-XIX вв. В последующие годы получили большое развитие численные методы. Хотя они и требовали больших расчетов, но не нуждались, в отличие от графических, в построениях многочисленных кривых и линейных элементов.
Графические методы долгое время были не востребованы. С развитием ЭВМ реализация данных методов значительно упростилась.
Изначально ЭВМ и компьютеры разных классов создавались для конкретных и практически полезных математических расчетов и вычислений. Это ясно видно уже из перевода англоязычного слова computer — «вычислитель». Для таких вычислений и поныне используются программируемые микрокалькуляторы и персональные компьютеры (ПК) с наборами математических программ на различных языках программирования. Затем появились специальные программные средства для численных расчетов, такие как Eureka, PC-MATLAB, Mathcad и др. В наши дни бурное развитие получили системы компьютерной математики (СКМ) для персональных компьютеров. Они интегрируют в себе современный интерфейс пользователя, решатели математических задач - как численных, так и аналитических (символьных) - и мощные средства графики. Такие системы стали называть интегрированными, или универсальными, СКМ. Они вторглись в наиболее интеллектуальную сферу деятельности математиков-аналитиков и ученых-теоретиков, традиционно относящихся к элите научных работников, занятой решением особо сложных и каверзных математических и научно-технических задач.
Эру создания компьютерной символьной математики принято отсчитывать с начала 60-х гг. Именно тогда в вычислительной технике возникла новая ветвь компьютерной математики, названная компьютерной алгеброй. Речь шла о возможности создания компьютерных систем, способных осуществлять типовые алгебраические преобразования: подстановки в выражениях, упрощение выражений, операции со степенными многочленами (полиномами), решение линейных и нелинейных уравнений и их систем, вычисление их корней и т.д. При этом предполагалась возможность получения аналитических (символьных) результатов везде, где это только возможно.
Первые системы компьютерной математики появились на рынке программных продуктов в 80-е гг. прошлого столетия. Наиболее бурным периодом их развития стали 1990-е гг. В настоящее время они имеют высочайший математический уровень как по объему, реализованных в них математических методов, так
и по самим реализациям. Обновления их продолжаются, каждая следующая версия расширяет возможности предыдущей, но основы уже не меняются.
Список систем компьютерной математики достаточно обширный, наиболее известные Derive, MuPAD, Mathcad, Maple, Mathematica, MATLAB.
В настоящее время в вузе широко используются средства компьютерной математики для решения дифференциальных уравнений, которые позволяют расширить возможности изучения данного раздела. Теперь мы решаем эти уравнения не только аналитически, но и графически, не затрачивая на это много времени. Это дает возможность расширить класс решаемых задач и акцентировать внимание студентов не только на способах решения, но и на анализе свойств полученного решения дифференциального уравнения, которое описывает тот или иной процесс; рассмотреть графическое решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые не решаются аналитическими методами.
Современные средства компьютерной математики без труда строят изоклины, линейные элементы, соответствующие интегральные кривые, вычисляют значения методом Эйлера и строят соответствующую кривую методом ломаных. В связи с этим расширился и класс задач. Теперь можно без труда составить математическую модель процесса или явления с помощью дифференциального уравнения, построить семейство интегральных кривых для уравнения, не решаемого в квадратурах, и проанализировать свойства решения. Именно поэтому в наше время эти методы востребованы.
Ф Ф
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Асланов Р. М., Матросов В. Л., Топунов М. В. Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными. Учебник для высших учебных заведений. - М.: Владос, 2011.
2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: ИЛ, 1963.
3. Юшкеич А. П. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. - Т. 2. -
М.: Наука, 1970. 205
4. Юшкеич А. П. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. - Т. 3. -М.: Наука, 1972.
5. Revue d'histoire des mathématiques. - 2003. - № 9. - P. 181-252. ■
2 / 2011 Преподаватель |_
