Истокообразная аппроксимация в трехмерных обратных задачах электроразведки Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ГЕОФИЗИКА

УДК 550.837.311.05

ИСТОКООБРАЗНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ В ТРЕХМЕРНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ

© 2014 г. П. Н. Александров1, С. Ю. Монахов2

1 - Центр геоэлектромагнитных исследований ИФЗ РАН

2 - Институт Археологии СГУ

Введение

Интерпретация электроразведочных данных в методе вертикального электрического зондирования (ВЭЗ) сталкивается с серьезной проблемой решения обратных задач в неоднородных анизотропных средах, которая выражается в необходимости выполнения жестких условий, налагаемых на систему наблюдения [1, 2]. Это не позволяет эффективно решать геологические задачи как нефтяной, так и инженерной геологии. Поэтому предлагается использовать истокообразную аппроксимацию для интерпретации данных ВЭЗ, которая не требует определенной системы наблюдения и позволяет определять местоположения неоднородностей в трехмерных анизотропных средах. В статье рассмотрены как теоретические, так и практические аспекты реализации указанного подхода.

Теория

Электрический потенциал ф в неоднородной анизотропной модели геоэлектрической среды подчиняется уравнению

divergradp = -divJext , (1)

где в декартовой системе координат: e = e( x, y, z) - тензор электропроводности как функция пространственных координат; x, y, z - точки наблюдения (ось z - направлена в глубь земли); Jext = J exi (x, y , z , xx , y s, z s ) - вектор плотности стороннего электрического тока, xs , ys , z s - координаты точки источника.

Получим решение этого уравнения в терминах интегрального уравнения. Для этого введем функцию Грина однородного анизотропного полупространства G, которая будет подчинятся уравнению

diver 0gradG = -S(x - x ')S(y - y ')£(z - z') , (2)

er0 - тензор электропроводности вмещающего однородного анизотропного полупространства, ё - дельта-функция Дирака, x ' , y', z ' - координаты местоположения дельта-функции.

Умножим уравнение (1) на G = G( x, y, z , x ', y ' , z ') , уравнение (2) на ф и результаты умножения вычтем

Gdiv&gradp- $div&{)gradG = -GdivJ ext + q>8(x -x ')S(y - y ')£(z - z') .

Учтем, что

ШуОс¡гайр = ¡гайО ■ &¡гайр + Ой1у&¡гайр Шур&0 ¡гайО = ¡гайр^ &0 ¡гайО + рй\у&0 ¡гайО ,

где • - знак скалярного умножения векторов. Тогда получим

Шу[О&¡гайр- р&0 ¡гайО] =

¡гайО ■ &¡гайр- ¡гайр- &0¡гайО - ОШуЗех + р8(х - х ')£(у - у ')£( г - г') = ¡гайО ■ (& - &0Т )¡гайр - ОШуЗех' + р8{х - х ')£(у - у ')£(г - г') ,

где Т - означает знак операции транспонирования.

После интегрирования по всему пространству по координатам х, у, г с учетом убывания поля на бесконечности получим

(р(ху ' , г ') = ¡гайО(сс - с0Т ) ¡гай(рйхйуйг +1 ОШу3ехйхйуйг ,

V V,

где V - объем избыточной электропроводности, V' - объем, занимаемый сторонним электрическим током.

Для аномального поля получим

< (х', у', г') = <( х', у', г') -1 ОйгуЗ йхйуйг =

¡гайО(а - а0Т )¡гай<йхйуйг = ¡гайО\1йхйуйг .

V V

Для реализации способа интерпретации, основанного на истокообразной аппроксимации, решим следующую задачу. Рассмотрим элементарный объем V2 , находящийся в однородном анизотропном полупространстве с тензором электропроводности &0 . На рисунке 1 представлена модель прямой аппроксимирующей задачи для трехмерной модели геологической среды в целях истокообразной аппроксимации.

В этом случае интегральное уравнение для аномального поля будет иметь вид

фа ( х ' , у ' , г ') = ¡гайО(ст2 - сг0 Т ) ¡гайфйх " йу " йг " = ¡гайО\2 йх" йу" йг " ,

^ V2

где &2 = &2( х ", у", г ") - тензор удельной электропроводности элементарного объема V2 с координатой центра элементарного объема хс , ус , ; О = О (х " , у ", г " , х ', у ', г ') - функ-

ция Грина однородного полупространства, совпадающая с функцией Грина, введенной выше; р = р ( х", у " , г " , х ', у ', г ') - поле внутри элементарного объема.

Проведем аппроксимацию аномального поля ра полем фа, заданных на дневной поверхности г = 0. Для этого введем функционал 1

( -Кфа\ = ] ] (а(х',у',г = 0)-К(а(х',у',г = 0)]2йх'йу' = Б2 ,

где К - коэффициент аппроксимации (совпадающий с нормированным коэффициентом корреляции ), Б - дисперсия аппроксимации. Заметим, что коэффициент аппроксимации и дисперсия аппроксимации будут функциями местоположения элементарного объема ^ у ^ ^ : К = К ( х с , у с , г с ) , Б = Б (хс , у с , гс ) .

Рис. 1. Модель, используемая для прямой аппроксимационной задачи

Источники - точки А и В. Приемники - М и N. В проводящем полупространстве, с удельной электропроводностью (Г0, находится элементарный объем с избыточной электропроводностью Б ( х ', у ', г ') = &2 ( х с , ус , гс ) и координатами местоположения центра хс, ус, гс

Примечание. Элементарный объем перемещается внутри геоэлектрической среды и вычисляется поле для каждого местоположения этого элементарного объема

1 В случае рассмотрения векторных полей Ха и функционал будет иметь вид I | Ха - КХ а | | = Б 2 где коэффициент аппроксимации будет квадратной матрицей, например для двухкомпонентных векторов,

к,, к^

К =

"1 1 ' "12

к к

V 21 22

. В этом случае появляется возможность дополнительной оценки точности аппроксима-

ции по недиагональным коэффициентам, которые, при точной аппроксимации, должны быть равны нулю.

Минимизируя этот функционал, т. е. дифференцируя его по К и приравнивая нулю, по-

лучим

| | (Ра (X ', у ', 7 = 0)Фа (X ', у ', 7 = 0)ёх' ёу '

к = ———-=

| | фа (х', у', г = 0)2 ёх' ёу' III ^уаёО'^ёхёуёг | £уаёО\2 ёх" ёу" ёг "ёх' ёу'

||| £уаёО]2ёхёуёг | ^гаёО\2ёх" ёу" ёг "ёх' ёу' .

Из последнего выражения следует, что коэффициент аппроксимации непосредственно связан с избыточными токами.

В практике электроразведки измеряют разность потенциалов Афа и А фа в дискретных точках с номером г, которые могут находится не только на дневной поверхности, но и внутри проводящего нижнего полупространства. В этом случае функционал примет вид

N 2

-КЛф") = Б2 , (3)

где N - количество точек наблюдения, Д^ - измеренное аномальное поле в точке наблюдения с номером г, Ар1* - аппроксимирующее аномальное поле в точке наблюдения с номером г.

Отсюда коэффициент аппроксимации будет равен

N

к =

N 2 а

г=1

Это позволяет найти также и Б, используя выражение (3).

Учитывая, что элементарный объем может быть анизотропным, т. е. удельная электропроводность может иметь вид тензора размерности 3 х 3, то и коэффициент аппроксимации и дисперсия аппроксимации также будут матрицами 3 х 3. В результате можно получить 9 коэффициентов аппроксимации и 9 дисперсий аппроксимаций для каждой точки местоположения элементарного источника.

В качестве удельной электропроводности элементарного объема можно использовать следующие варианты

' 1 0 0л ' 0 1 0л ' 0 0 1л

01 = 0 0 0 02 = 0 0 0 03 = 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0< 0 0 0 0 0 0 <

021 = 1 0 0 022 = 0 1 0 023 = 0 0 1

0 0 0 0 0 0 < 0 0 0 0 0 0 < 0 0 0 0 0 0 <

031 = 0 0 0 032 = 0 0 0 0 = 0 0 0

1 V 0 0 > 0 V 1 0 > 0 V 0 1

(4)

Соответственно для каждого варианта получим следующие коэффициенты аппроксимации и дисперсии аппроксимации

Г К К12 К13 > Г Ви Ва л

К = К 21 К22 К;,3 В = В21 В22 В23

ч К 31 К32 К33 у ч В31 В 32 В33 у

Вычислительный пример

Пусть в проводящем изотропном полупространстве (рис. 2), с удельной электропроводностью 00 , находятся два изотропных объекта с электропроводностью: одного - в десять раз превышающей электропроводность вмещающей среды 1000 (проводник), другого - в десять раз меньше 0.1<г0 (изолятор).

Решение этой прямой задачи использовалось в качестве аппроксимируемого поля Д ра (аналог полевых измерений). Для аппроксимирующего поля Афа , в качестве элементарного объема, использовался объем размером 1 м х 1 м х 1 м и вариантами (4). Результат истокообразной аппроксимации представлен на рисунке 3.

Как следует из этих рисунков, не все коэффициенты аппроксимации и коэффициенты дисперсии отражают строение неоднородной среды. Наибольшей однозначности в отображении строения среды дают коэффициенты К33 и В33 . При этом по знаку коэффициента К33 можно определить изолятор этот объект или проводник.

Анализ результатов вычислительных экспериментов показал, что лучшее отражение

строения среды достигается введением комбинации коэффициентов аппроксимации det К = (Ки+К22) К33 и дисперсии det В = ( В п +В22) -В33. На рисунках 4-7 представлены

Рис. 2. Модель неоднородной среды

По техническим причинам рисунок перевернут, по сравнению с рисунком 1, ось г направлена вверх, вовнутрь проводящего полупространства (синие звездочки, соединенные прямыми линиями - источники; красными и синими точками обозначены приемные электроды, соответственно М и Ы)

результаты вычислений этих комбинаций коэффициентов для разных глубин перемещения элементарного объема: рисунок 4 - для глубин г с = 1,1 м и г с = 2,1 м; рисунок 5 -гс = 3,1 м и г с = 4,1 м; рисунок 6 - гс = 5,1 м и г с = 6,1 м; рисунок 7 - гс = 7,1 м и гс = 8,1 м.

Как следует из этих рисунков, наиболее четкое отображение строения неоднородной среды видно на рисунке 5, т. е. на глубинах, на которых находятся неоднородности. Следовательно, истокообразная аппроксимация позволяет локализовывать неоднородности по глубине.

Опробование предлагаемого алгоритма на экспериментальных данных

Опробование проводилось по данным электроразведки постоянным током, которые были получены при исследовании археологического объекта городища Увек вблизи города Саратова. Для сравнения результатов практического применения указанного подхода была проведена стандартная обработка (рис. 8) с использованием истокообразной аппроксимации (рис. 9).

Как следует из этих рисунков, результаты истокообразной аппроксимации (рис. 9, нижний справа) соответствуют результатам стандартной обработки.

а)

б)

Рис. 3. Изображение результата истокообразной аппроксимации

а) - коэффициент аппроксимации К (синий цвет - отрицательные значения, красный - положительные значения); б) - дисперсия аппроксимации Б за вычетом среднего значения. По оси абсцисс - координата хс, по оси ординат - координата ус. Элементарный объем перемещается на глубине г = 1,1 м. Расположение рисунков соответствует структуре матриц К и Б

Рис. 4. Коэффициенты det К = (Кп+К22)К33 (слева) и det В = (Вп+В22).В33 для глубины г = 1,1 м (вверху) и г = 2,1 м (внизу)

Рис. 5. Коэффициенты det К = (Кп+К22)-К33 (слева) и det В = (В п+В22).В33 для глубины г = 3,1 м (вверху) и г = 4,1 м (внизу)

11 и 00

OJ

\ Л л у -

-

"I m о е s

со

S *

>

Рис. 8. Результаты стандартной обработки данных электроразведки постоянным током

(кажущееся сопротивление)

К г=2.1т

К г=2.1т

К г=2.1т

2 4 6 8 10 К 2=2.1т

10

2 4 6 8 10 К 2=2.1т

2 4 6 8 10 К 2=2.1т

2 4 6 8 10 К г=2.1т

2 4 6 8 10 К г=2.1т

2 4 6 8 10

2 4 6 8 10

2 4 6 8 10

Рис. 9. Результаты обработки по способу истокообразной аппроксимации на глубине 2,1 м

Нижний справа рисунок соответствует результатам стандартной обработки

Выводы

Истокообразная аппроксимация - простой и быстрый алгоритм получения информации о местоположении неоднородностей. Она обладает универсальностью - не накладывает никаких требований к системе наблюдения.

Отметим, что результаты истокообразной аппроксимации не имеют физического смысла, но обладают геометрическим смыслом. Вследствие этого, истокообразная аппроксимация позволяет определить первоначальное приближение при решении некорректной обратной задачи электроразведки постоянным током и, таким образом, снизить ее размерность.

Л и т е р а т у р а

1. Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике. Справочник геофизика /под. ред. В. И. Дмитриева. - М.: Недра, 1982. - 222 с.

2. Светов Б. С., Губатенко В. П. Аналитические решения электродинамических задач. - М.: Наука, 1988. - 344 с.

.Г, Г,.