CC BY
25А.С. Кондратьев
Истечение жидкости
из наружных цилиндрических насадков
Определена зависимость величин коэффициента скорости и совпадающего с ним коэффициента расхода наружного цилиндрического насадка при безотрывном режиме истечения путем суммирования потерь напора внутри насадка. Результаты расчета сопоставляются с опытными данными.
Ключевые слова: наружные насадки; коэффициент скорости; коэффициент расхода.
Как показывает опыт, при истечении жидкости из наружных цилиндрических насадков (насадок Вентури) в газовую среду возможны два режима истечения [1, 2, 3].
При первом, отрывном режиме истечения, после сжатия струя почти не расширяется и сохраняет при перемещении по всей длине внутри насадка форму, близкую к цилиндрической. Поток жидкости не касается стенок насадка даже на выходе из него. В этом случае процесс истечения становится точно таким же, как и при истечении из отверстия в тонкой стенку с теми же коэффициентами истечения (коэффициентами скорости и расхода и степенью сжатия потока).
При втором, безотрывном, режиме истечения струя жидкости после входа в насадок сжимается примерно также, как и при истечении через отверстие в тонкой стенке. При этом сжатая часть струи окружена вихревой зоной, которая расположена между струей и внутренней поверхностью насадка. Затем струя постепенно расширяется до размера отверстия и из насадка выходит полным сечением. Так как на выходе из насадка диаметр струи равен диаметру насадка, то степень сжатия ен = 1, и, следовательно, коэффициенты скорости и расхода равны, то есть фн = р При рассмотрении процесса истечения жидкости из наружных цилиндрических насадков, при относительной длине насадка I / d = 3 ^ 4 (где I — длина насадка, d — внутренний диаметр насадка, равный диаметру отверстия) коэффициент расхода насадка р равен [1, 2, 3]: рн = 0,80 - 0,82. (1)
В работе [1] показано, что если число Фруда Fr равно 2Н / d > 10, а число Вебера We равно 2 g Нр d/ о > 250 ^ 2 500 (здесь Н — действующий напор, р — плотность жидкости, V — кинематическая вязкость жидкости, о — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, g — ускорение свободного падения) причем число We, равное 250, относится к малым числам Рейнольдса (Явн < 1 000), а число We, равное 2 500, относится к большим числам Рейнольдса (Явн > 5 000), то величина коэффициента расхода зависит от числа Рейнольдса [Явн = (2 g Н)1/2 d / V, и = (2 g Н)1/2 — теоретическая скорость истечения] и относительной длины насадка величины I / d.
Как отмечается в работе [1], из экспериментальных данных следует, что для одинаковых значений чисел Рейнольдса Яв увеличение безразмерной длины насадка I / d приводит к уменьшению отношения коэффициентов расхода рн / р < 1, вследствие увеличения потерь на трение. При малых числах Рейнольдса насадок уменьшает расход жидкости по сравнению с отверстием в тонкой стенке. При больших числах Рейнольдса в результате образования разряжения в вихревой зоне коэффициент расхода насадка становится больше коэффициента расхода отверстия в тонкой стенке, то есть рн / р > 1.
На основании обработки опытных данных для определения коэффициента расхода насадков в диапазоне чисел Рейнольдса 102 < Reн < 1,5 • 105 и относительных длин насадка I / d =2 ^ 5 рекомендуется эмпирическая формула [1, 2, 3]:
В таблице 1 приведены опытные значения коэффициентов расхода рно, которые определены по опытным данным, приведенным в [1], и рассчитаны по формуле (2) для различных значений относительной длины насадков I / d. Отметим, что максимальное опытное значение величины рно = 0,81 получено для I / d = 2.
Сравнение опытных значений величин рно со значениями р, рассчитанными по (2) показывает, что даже в диапазоне чисел Рейнольдса 102 < Явн < 1,5 • 105 расхождение между ними возрастает с увеличением относительной длины насадка и, например, при I / d = 50 достигает 25%, что представляется неприемлемым для аппроксимирующей зависимости.
Определим зависимость величин коэффициента скорости и совпадающего с ним коэффициента расхода наружного насадка при безотрывном режиме истечения путем суммирования потерь напора внутри насадка. Запишем уравнение Бернулли для потока жидкости, истекающей из резервуара, в котором поддерживается постоянный уровень жидкости, горизонтального сечения 1 - 1 и вертикального сечения 2 - 2 на выходе из насадка, относительно горизонтальной плоскости оси насадка - сечения 0 - 0:
где Р1 и Р2 — давление в сечениях 1 - 1 и 2 - 2, соответственно; и2 и юс — скорости жидкости в сечениях 2 - 2 и с - с, соответственно; Н — высота уровня жидкости в сечении 1 - 1; £с — коэффициент местного сопротивления при сужении потока от входа в насадок до места максимального сужения потока (сечения с - с), определенного по скорости и; £р — коэффициент местного сопротивления при расширении потока от места максимального сужения потока сечения до внутреннего диаметра насадка, определенного по скорости ис; hmр — потери напора на трение от входа в насадок до выходного сечения 2 - 2.
При принятой записи уравнения Бернулли коэффициент Кориолиса в сечении 2 - 2 принят равным единице, а потери давления на трение в вихревой области течения между струей истекающей жидкости и внутренней поверхностью насадка на участке сужения и расширения струи, включены в общие потери на трение hmр . Отметим, что в работе [5] при записи подобного соотношения не учитывался последний член в выражении (3) hmр , дополнительно принималось, что £с = 0,025, а степень сжатия потока принята равной е = 0,6,
рнр = 1 / [1,23 + 58 (I / ф /Reн].
(2)
что в совокупности позволило определить единственное значение /Лн = 0,81, соответствующее значению коэффициента расхода при I / d = 0.
Таблица 1
Сравнение опытных рнд и расчетных коэффициентов
расхода наружных насадок в зависимости от числа Рейнольдса Еен и относительной длины насадка (I / £)
Ее н 10 102 103 3 • 103 103 3 • 103 104 105 2 • 105
и г но 0,12 0,52 0,75 О, 0, 0,75 0, 0,81* 0,81* 0,81*
- Инр (2) 0,14 0,55 0,78 Ь\ О, 0, 0,78 Ь\ 0, 0,81* 0,81* 0,81*
Ир(14) 0,13 0,55 0,75 V о, 0, 0,75 0,80* 0,81* 0,80* 0,80*
и но - 0,15 0,55 0,70 0,56 0,70 0,75 0,77 0,77
о инр (2) 0,017 0,14 0,55 0,70 0,55 0,70 0,78 0,81 0,81
Ир(14) 0,016 0,15 0,60 0,70 0,65 0,72 0,74 0,76 0,76
и но - 0,033 0,26 0,47 0,26 0,47 0,58 0,63 0,63
о Ир (2) 0,0034 0,033 0,24 0,46 0,24 0,46 0,66 0,79 0,79
/%(14) 0,0031 0,031 0,27 0,51 0,44 0,50 0,55 0,63 0,65
* — при I / d = 2.
Расчет коэффициента сопротивления проведем в предположении, что он совпадает с коэффициентом сопротивления при истечении из отверстия в тонкой стенке:
£ = 1/ф2 - 1, (4)
где ф — коэффициент скорости при истечении из отверстия в тонкой стенке, а коэффициент Кориолиса, определенный по скорости в сечении с - с, принимается равным 1.
Как будет показано в дальнейшем, принятое значение числа Кориолиса оказывается приемлемым как для турбулентного, так и для ламинарного режимов течения. В обоснование возможности использования этого численного значения при ламинарном режиме течения укажем, что при течении жидкости в области сжатия и последующего расширения потока, вокруг зоны течения возникает вначале расширяющаяся, а затем сужающаяся кольцевая вихревая зона. В результате этого истекающая струя жидкости соприкасается с подвижной жидкой границей, движущейся в том же направлении, что и струя жидкости, а не с неподвижной поверхностью насадка. Вследствие этого, при ламинарном режиме течения профиль скорости будет более наполненным, наподобие профиля скорости в цилиндрической трубе с подвижной стенкой,
в результате чего значение коэффициент Кориолиса должно уменьшаться, приближаясь к турбулентному значению — единице.
Коэффициент сопротивления £ определим по формуле Борда:
{р = (1 - е)2, Р (5)
где е — степень сжатия потока при истечении из отверстия в тонкой стенке.
В работе [5] получены эмпирические зависимости, которые позволяют с погрешностью не более ± 4% аппроксимировать опытные данные для ф и е, приведенные в [1]. Для диапазона 10 < Reн < 103 получено, что
ф = 1 - ехр (-0,635 ^Reн) - 1,5 / (2,5 + Явн), (6)
е = 0,6 + 0,4 ехр (-3,81 £Яе) - 330 / (835 + Reн), а для диапазона 103 < Яв < 106:
ф = 1 - ехр (-0,77 ^ Reн) - 51 / (7,26 + Яв) (7)
е = 0,6 + 0,4 ехр (-2,17 ^ Reн) - 1 260 / (6 020 + Явн).
Скорости и2 и ис связаны соотношением неразрывности
ис = и2 / £ (8)
Величину потерь на трение рассчитаем по формуле:
Итр = А (I / d) «22 / (2£), (9)
где А — коэффициент гидравлического сопротивления, который, в зависимости от области течения 10 < Reн < 103 или 103 < Reн < 106 рассчитывается по одной из формул:
А = 64 (Ин Reн) 1 (10)
А = 0,3164 (рн Reн) 1 / 4, (11)
которые соответствуют ламинарному и турбулентному режимам течения жидкости в насадке соответственно.
При записи последних соотношений учтено, что фактическое число Рейнольдса Яв, определенное по скорости и2, связано с числом Рейнольдса, определенным по величине теоретической скорости и = (2 g Н) 1 / 2, соотношением [1]:
Re = /лн Reн. (12)
Подставляя (8) и (9) в (3) получим:
о2 = (2 g Н 1 / 2 [1 + (£ + £р) / е2 + А (I / d)] 1 / 2 = (2 g Н 1 / 2 фр, (13)
где Н = (Р - Р2) / р g + Н — полный напор, с учетом того, что при ен = 1,
коэффициенты скорости и расхода насадка равны ф = инр-Исходя из этого,
Инр = [1 + (£ + £р) / е2 + А (I / d)] 1 / 2. (14)
При использовании турбулентных зависимостей для коэффициента гидравлического сопротивления А величина инр определяется по формулам (11) и
(14) с помощью итераций. В случае если применимы ламинарные выражения для коэффициента гидравлического сопротивления А, подставляя (10) в (14), получим
Инр = {[322 (I /с)2 / Яв;2 + [1 + (£ + £ / е2] ] 1 / 2 -
- 32 (1/4) / Яен } / [1+ (£ + р / е2]. (15)
В таблице 1 приведены значения /инр, рассчитанные по формулам (14) и (15). Из данных, приведенных в таблице, следует, что с погрешностью, не превышающей 10%, расчетные значения коэффициента расхода насадка по формулам (14) и
(15) согласуются с опытными данными во всем диапазоне изменения чисел Рейнольдса Яв = 10 ^ 2 • 105 и относительной длины насадка I / d = 1 ^ 50.
В таблице 1 для чисел Рейнольдса от 103 и 3 • 103 приведены результаты расчетов для ламинарного режима течения в насадке с использованием формул (6) и (10) (столбцы 4 и 5) и турбулентного режима течения с использованием формул (7) и (11) (столбцы 7 и 8). Как следует из приведенных результатов расчетов, значения величин /лнр , определенных с использованием обоих пар зависимостей для (I / 4) = 2 совпадают при числе Рейнольдса Явн = 103 (инр = 0,75 и инр = 0,75, соответственно). Примерно аналогичное положение имеет место для (I / 4) = 10 при числе Рейнольдса Явн = 2 • 103 (инр = 0,67 и /лнр = 0,70, соответственно), и для (I / 4) = 50 при числе Рейнольдса Явн = 3 • 103 (инр = 0,50 и /инр = 0,51, соответственно). Эти числа Рейнольдса Явн определяют границы использования по числу Рейнольдса для каждой из пар зависимостей коэффициента гидравлического сопротивления А.
Для чисел Рейнольдса Явн < 10, в [1] для расчета коэффициента местного сопротивления отверстия £с рекомендуется зависимость
£с = 25,2 / Яе. (16)
Используя эту зависимость, с учетом формул (10), (16) и того, что при е = 1, £ = 0, и = ф из формулы (14) получим:
Инр = [(25,2 + 64 (I / 4))2 / (2 Явн)2 + 1] 1 / 2 - (25,2 + 64 (I / 4)) / (2 Явн). (17)
Расчеты по формуле (17) дают следующие значения коэффициентов расхода: при (I / 4) = 1 и Явн = 10 инр = 0,11, а при Явн = 3 инр = 0,03; при (I / 4) = 5 и Явн = 10 инр = 0,03, что также достаточно удовлетворительно согласуется с опытными данными, приведенными в работе [1].
Найдем давление в месте максимального сужения струи в насадке и условие, при котором возможен безотрывный режим истечения.
Запишем уравнение Бернулли для сечений с - с и 2 - 2 относительно горизонтальной плоскости 0 - 0, проходящей через ось насадка:
Рс/ рg + / (2£) = Р2 / рg + и22 / (2£) + £р и с / (2£) + Ьтр* (18)
где Итр* = А (I /4)* и22 / (2g) — потери напора на трение на относительной длине (I /4)* между сечениями с - с и 2 - 2.
Можно показать, что исходя из геометрического подобия течения при разной степени сжатия струи и условия, что при Яв —— да безотрывный режим течения может быть реализован при (I / 4) = 1, при котором степень сужения потока максимальна и равна е = 0,6, величина (I / 4) определяется выражением (I / 4)* = (I/4) - (1 - е1 /2) / (1 - ем1 7 2) / 2. (19)
Подставляя (5) и (8) в (18) с учетом выражения (13) и того, что при безотрывном режиме течения жидкости в насадке фн = ин, получим, что падение давления (разряжение) в насадке равно:
Р2 - РС = 2 Н р g фн2 [1 / е -1 - А (I / 4)* / 2] =
= 2 Н р g и2 [1 / е - 1 - А (I / 4)*/2]. (20)
Полученное выражение отличается от подобных выражений, приведенных в работах [2, 5] последним членом в квадратных скобках, учитывающим наличие сил трения. Если для оценок использовать расчетные значения величин /лн , то, например, если Явн = 2 • 105, при котором е = 0,606, то для (I / 4), равного 2, 10 и 50, получим, что разряжение в насадке (Р2 - Рс) составляет 0,83 (0,85) Н р g,
0,68 (0,78) Н р g и 0,20 (0,55) Н р g соответственно. В скобках приведены численные значения, рассчитанные без последнего члена в квадратных скобках в формуле (20). Если Явн = 3,6 • 104, при котором е = 0,63, то для (I / 4), равного 2 и 10, получим, что разряжение в насадке (Р2 - Р) составляет 0,73 (0,75) Н р g,
0,67 (0,54) Н р g соответственно. Для тех же исходных данных в [2, 5] приводится величина (Р2 - Рс) = 0,75 Нр g. При (I / 4) = 50 разряжение в насадке исчезает и в сечении с - с возникает повышенное давление (Р2 - Рс) = - 0,45 Н р g, а при неучете последнего члена в квадратных скобках по прежнему должен быть вакуум (Р2 - Рс) = 0,42 Н р g. Если Явн = 3 • 103, при котором е = 0,74, то для (I / 4), равного 2 и 10, получим, что разряжение в насадке (Р2 - Р) составляет 0,40 (0,46) Нр g, 0,13 (0,36) Нр g соответственно. При (I / 4) = 50 в сечении с - с возникает повышенное давление (Р2 - Рс) = - 0,45 Нр g, а при неучете потерь на трение по прежнему должно иметь место разряжение (Р2 - Рс) = = 0,17 Н р g. Проведенные расчетные оценки показывают, что пренебрежение потерями напора на трение при увеличении относительной длины насадка, не позволяет достоверно определить не только степень разряжения, но и может приводить к качественно противоположному результату.
Если принять, что давление в сечении с - с насадка Рс приближается к давлению насыщенного пара жидкости Рнп, то при таком давлении струя будет иметь возможность отрываться от стенок насадка, в результате чего в сжатое сечение струи начнет проникать газ извне, превращая насадок в обычное отверстие. Подставляя в (20) вместо Рс величину Рнп определим величину предельного вакуума:
НПр = (Р2 - Рнп) / {2 рg фн2 [1 / е^ 1 - А (I / 4)*/ 2]}. (21)
Если Н > Н , то из формул (20) и (21) можно получить, что Р < Р (22)
с нп
то есть давление в жидкости должно стать меньше давления насыщенного пара, чего в устойчивом состоянии в жидкости практически не бывает и что должно приводить к кавитации в потоке жидкости внутри насадка, сопровождающейся встречным проникновением газа извне вдоль стенки в насадок. Поэтому при Н ~ Нпр происходит внезапное изменение режима истечения, а именно, происходит скачкообразный переход к первому, отрывному режиму истечения [2].
Литература
1. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления / А.Д. Альтшуль. - М.: Недра, 1970. - 216 с.
2. Башта Т.М. Гидравлика, гидравлические машины и гидравлические приводы / Т.М. Башта, С.С. Руднев, Б.Б. Некрасов и др. - М.: Машиностроение, 1970. - 504 с.
3. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика / Б.Т. Емцев. - М.: Машиностроение, 1970. - 500 с.
4. Кондратьев А.С. Эмпирические зависимости для коэффициентов истечения из отверстия в тонкой стенке / А.С. Кондратьев // Гидравлика и гидравлические машины: сб. статей. - М.: МГОУ, 2010. - С. 9-12.
5. Нигматулин /^.Гидромеханика / Р.И. Нигматулин, А.А. Соловьев. - М.: ГЭОТАР, 2005. - 512 с.
Literatura
1. Al'tshul'A.D. Gidravlicheskie soprotivleniya / A.D. Al'tshul'. - M.: Nedra, 1970. - 216 s.
2. Bashta T.M. Gidravlika, gidravlicheskie mashiny' i gidravlicheskie privody' / T.M. Bashta, S.S. Rudnev, B.B. Nekrasov i dr. - M.: Mashinostroenie, 1970. - 504 s.
3. Emcev B.T. Texnicheskaya gidromexanika / B.T. Emcev. - M.: Mashinostroenie, 1970. - 500 s.
4. Kondrat'ev A.S. E'mpiricheskie zavisimosti dlya koe'fficientov istecheniya iz otverstiya v tonkoj stenke / A.S. Kondrat'ev // Gidravlika i gidravlicheskie mashiny': sb. statej. - M.: MGOU, 2010. - S. 9-12.
5. Nigmatulin R.I. Gidromexanika / R.I. Nigmatulin, A.A. Solov'ev. - M.: GE'OTAR, 2005. - 512 s.
Kondratiev, Alexandr S.
Leaking of Liquid form Outer Cylinder Nozzles
In the article, the dependency of the values of speed factor and the corresponding factor of the output of the outer cylinder nozzle at the contact mode of leaking is determined by way of summing losses of pressure inside the nozzle. The results of the calculation are compared with the experimental data.
Key-words: outer nozzles, speed factor, output factor.
