CC BY
23
Литература
1. Федорец, А. А. Определение коэффициента гидравлического трения в трубопроводах при отсоединении расхода [Текст] / А. А. Федорец, З. Р. Маланчук // Гидравлика и гидротехника. - 1980. - Вып. 31. - С. 58-62.
2. Кравчук, А. М. Движение жидкости в трубопроводах с отсоединенным расходом вдоль пути [Текст] : автор. ... кандид. техн. Наук / А. М. Кравчук. - К., 1985. - 23 с.
3. Животовский, Б. А. К вопросу о расчете трубопроводов с непрерывно меняющимся расходом по длине [Текст] / Б. А. Живо-товский // Труды университета Дружбы народов им. П. Лумумбы. - 1973. - Вып. 65. - С. 132-137.
4. Мещерский, И. В. Уравнение движения точки переменной массы в общем случае [Текст] / И. В. Мещерский. - М.: Государственное издательство по строительству и архитектуре, 1952. - С. 125-130.
5. Henruk, Waiden Mechenika ciecry i garow b inrynierii sanitarnej [Text] / Henruk, Waiden, Jezzy, Stsiak. - Arkdy, Warsrawa, 1971. - 554 p.
6. Яхно, О. М. Гидродинамический начальный участок [Текст] / О. М. Яхно, В. С. Кривошеев, В. М. Матиега // Черновщ, «Зелена Буковина», 2004. - 200 с.
7. Повх, И. Л. Техническая гидромеханика [Текст] / И. Л. Повх. - М.: Машиностроение, 1976. - 504 с.
8. Каминер, А. А. Гидромеханика в инженерной практике [Текст] / А. А. Каминер, О. М. Яхно. - Техника, 1987. - 175 с.
9. Яхно, О. М. Основы реологии полимеров [Текст] / О. М. Яхно, В. Ф. Дубовицкий. - Издательское объединение «Вища школа», 1976. - 188 с.
10. Торнер, Р. В. Основные процессы переработки полимеров (теория и методы расчета) [Текст] / Р. В. Торнер. - М.: Химия, 1972. - 456 с.
11. Яхно, О. М. О возможности применения уравнения Мищерского для описания движения неньютоновской жидкости по туд бам с изменяющимся рас ходом [Текст] / О. М. Яхно, Д. В. Колесшков, Н. В. Семинская // Восточно-Европейский Журнал передовых технологий. - 2013. - Т. 3, № 7 (63). - С. 28-32.
12. Бенин, Д. М. Влияние формы элементов проточной части на регулирующую способность гидродинамических стабилизаторов расхода [Текст] / Д. М. Бенин // Перспективы науки. - 2010. - № 11 (13). - С. 59-63.
Представлено аналтичне ршення рiвнянь руху в'язкогри)ини,що дозволяв враховувати вплив гидро-динамiчних умов входу в канал на процес розвитку поля швидкостей на початковш дшянщ. Визначен граничн умови, властивi течiям робочих середо-вищ як найбшьш часто зустрiчаeться у техноло-гiчних процесах. Отримаш теоретичн результати процесу течи при рiзних умовах входу досить точно узгоджуються з експериментальними даними
Ключовi слова:ршеннярiвнянь руху, умови входу
в гiдродинамiчний початковий дтянку
□-□
Представлено аналитическое решение уравнений движения вязкой жидкости, позволяющее учитывать влияние гидродинамических условий входа в канал на процесс развития поля скоростей на начальном участке. Определены граничные условия, присущие течениям рабочих сред наиболее часто встречающихся в технологических процессах. Полученные теоретические результаты процесса течения при различных условиях входа достаточно точно согласуются с экспериментальными данными
Ключевые слова: решение уравнений движения, условия входа в гидродинамический начальный участок
УДК 532.556
ИССЛЕДОВАНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ ВХОДА В КАНАЛАХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ
С. В. Носко
Кандидат технических наук, доцент Кафедра прикладной гидроаэромеханики и
механотроники
Национальный технический университет Украины "Киевский политехнический институт" пр. Победы, 37, г. Киев, Украина, 03056 E-mail: noskosv@ukr.net
1. Введение
В настоящее время, требования по увеличению производительности, качеству получаемых промышленных изделий и их себестоимости во многом зависят
от характера и особенностей течения рабочих сред в процессе технологии.
Дестабилизирующие действия, приводящие к инерционности потока с последующей деформаци-
ей поля скорости и напряжения, могут оказывать ряд факторов, характерных для каждого конкретного технологического процесса, а в некоторых случаях и их сочетание. К этим факторам можно отнести разнообразные местные сопротивления, применяемые в инженерной практике в виде регулирующей и перекрывающей арматуры, изменения формы поперечного сечения и площади каналов, изменяющие в процессе течения физико-механические параметры материала (плотности, вязкости), неизотермичность потока.
Все эти факторы неотделимо связаны с технологическими процессами во многих областях промышленности. В металлургической промышленности при проектировании литниковых систем и разработке ряда задач литья под давлением [1], в химической технологии при переработке полимеров в изделия, экструзии [2]. В связи с этим, совершенствованием вышеприведенных технологических процессов, выбор рациональных конструктивных предложений для разработки и расчета узлов аппаратов неразрывно связано с детальным исследованием гидродинамических особенностей течения рабочих сред на начальном участке, определением его длины и дополнительных потерь давления, вызванных проявлением сил инерции в потоке в геометрически-неоднородных каналах разнообразного технологического оборудования.
2. Анализ литературных данных и постановка проблемы
Как правило, при описании указанных процессов, считая поток стационарным и ламинарным, используются уравнения движения, неразрывности и баланса энергии [3, 4].
Однако, в этих случаях вязкость является величиной переменной и зависит от температуры рабочего материала v=v(TF) и координат v = v(X,Y,Z) . Влияние температуры на ньютоновскую вязкость может быть выражено уравнением Аррениуса [5, 6]:
ц = AeE/RT, (1)
где A - const; E - энергия активации; R - газовая постоянная; T - абсолютная температура жидкости.
Таким образом, в уравнениях движения, в особенности при исследовании течения высоковязких жидкостей, должна учитываться зависимость вязкости от температуры, а, следовательно, вязкость не может быть вынесена из под знака производной.
Теоретический анализ течения ньютоновских и неньютоновских жидкостей с вязкостью, зависящей от температуры, проведен в работах [7, 8]. В данной постановке аналитическое исследование системы диффее ренциальных уравнений существенно затрудняется. В связи с нелинейностью данных уравнений матема-н тические расчеты проведены только для некоторых частных случаев, при упрощающих допущениях. Одно из которых заключается в следующем - в уравнениях движения пренебрегают членами, характеризующими силы инерции, а эпюру скоростей на входе в исследуемый канал считают параболической.
В перечисленных выше факторах, приводящих к инерционному течению вязкой и аномально-вязкой
жидкости в каналах, особое место занимают местные сопротивления, как наиболее часто встречающиеся в инженерной практике и имеющие характерные, присущие только им гидродинамические особенности течения. Размеры участков инерционного течения зависят от дестабилизирующего действия местного сопротивления, связанного с деформацией поля скоростей, возникновением сил инерции, перераспределением напряжений в потоке влияющих на поле давлений.
Аналитическому исследованию развития течения вязких и аномально-вязких жидкостей на гидродинамическом начальном участке посвящены работы многих авторов [9-15]. В работах [9, 10] применим метод линеаризации инерционных участков для получения приближенных решений уравнений движения. Авторы работ [11, 13] совместили решение для пограничного слоя с решением для возмущений полностью развитого течения Пуазейля, которые строятся на участке, расположенном ниже по течению. В исследованиях [14, 15] применен вариационный метод решения уравнений пограничного слоя для неньютоновских жидкостей, подчиняющихся реологическому закону Освальда де Виля и закону Бингама, соответственно.
За основу приведенных выше теоретических иссе ледований принимают не всегда справедливые допущения о прямоугольности эпюры скоростей на входе в гидродинамический начальный участок, намного упрощающие аналитический подход. Данные допущения недостаточно обоснованы, что приводит к существенным количественным расхождениям с экспериментальными данными.
3. Цель и задачи исследования
Исходя из анализа результатов работ по исследованию течения ньютоновских и неньютоновских сред в области местных сопротивлений и учитывая их прикладную значимость, целью настоящей работы является:
1. Разработка аналитического метода решения уравнений, описывающих нестабилизированное течение на начальном гидродинамическом участке с учетом реальных условий входа.
2. Экспериментальное исследование течения вязких и аномально-вязких жидкостей в области местных сопротивлений методом визуализации потока и сопоставление аналитических и опытных результатов.
В связи с тем, что в работе изучаются нестабили-зированное течение жидкости в прямоугольном канале, для дальнейших аналитических исследований подобного течения целесообразно привести уравнения движения к условиям данной задачи. Для этого введем следующие предположения:
- течение жидкости в канале стационарное: члены, содержащие производные равны нулю;
- считаем движение двумерным (пренебрегаем влиянием боковых стенок канала на процесс течения): опускаем члены, содержащие составляющую скорости иг и ее производных;
- течение изотермическое.
Воспользовавшись методикой, в основе которой лежит сравнение различных членов уравнений движе-
ния по их относительной величине при выводе уравнений Прандтля [16] и пренебрегая массовыми силами, получим уравнение движения и уравнение неразрывности в следующем виде:
U-
dUx
: эх
U
dUx ' 3Y
1 iP
рЭХ"
э2их
;-х
9Y2
эи эиУ
ЭХ 9Y
= 0,
UY = +9Y,
Y J„ ЭХ '
Ux dUx-Uy
x эх Y
JdUx dY = -1ЭР + J dx p эх
9UV
9Y { ЭХ
92UX
;-x
9Y2
Развитие течения (пограничного слоя) на исследуемом участке канала и асимптотический переход на некоторой длине в параболический профиль Хагена-Пу-азейля зависит от гидродинамических условий входа, т. е. от формы эпюры скоростей во входном сечении.
В связи с этим, в качестве граничных условий принимаем:
1. Условие, состоящее в задании закона распределения скорости во входном сечении канала при Х=0
Ux (y) = П1+1 U n1
Xcp.
1 -Y
при котором образуется тонкий неподвижный слой жидкости у стенки (слой прилипания)
Ux (Y) = 0.
(8)
(2) (3)
Решение дифференциального уравнения (5) относительно функции скорости для начального участка их можно получить, если предположить, что
Ux (Y) = Ux (Y) + ffl(x,Y),
(9)
где их - составляющая скорости; X, Y - продольная и поперечная координаты канала соответственно; р - плотность жидкости; р - давление; V - кинематическая вязкость.
Интегрируя уравнение (3) по высоте каналам Н:
(4)
где иХ - функция скорости для участка со стабилизированным течением; ю(ХД) - так называемый "дефицит" скорости, принимающий максимальное значение на входе в гидродинамический начальный участок (Х=0) и близкий к нулю в конце участка инерционного течения (X = LH ).
Для дальнейшего решения введем следующие безразмерные переменные:
и подставляя (4) в (2) окончательно получаем одно дифференциальное уравнение относительно их :
y2
(10)
(11)
(5)
После подстановки новых переменных (10) и (11) дифференциальное уравнение (5) можно привести к виду:
з ReH21 ч5 aw5 _a2w5
8 D„p ax a^2
(12)
Данное дифференциальное уравнение имеет решение:
(6)
Ws= ce8mxDnp/3ReH2
где V5 (^ ) = - A2^2 - A3^3 - +...
(13)
(14)
где - безразмерная постоянная, зависящая от геометрии входного сечения, реологических свойств жидкости и принимающая значение от 1 до 105.
Выражением (6) можно описать различные формы эпюр скоростей во входящем сечении участка нестаби-лизированного течения, расположенного за местными сопротивлениями всевозможных видов.
2. Условие в конце участка гидродинамической стабилизации при X = LH (длина участка стабилизации потока)
Ux (Y)= 3Uxcp.
' - Y
(7)
Выражение (7) получено из уравнения (6) для плоского течения ньютоновской жидкости при п1 = 2 и описывает эпюру скоростей, характерную для полностью развитого, стабилизированного потока.
3. Условие полного прилипания жидкости к ограничивающим канал стенками, при Y=0, т. е. течение,
c - const.
Коэффициенты A1,A2,^Ai являются функциями величины m в уравнении (13) и определяются из соответствующих алгебраических выражений.
После определения коэффициентов ряда (14) и соответствующего анализа получим следующее уравнения для определения m:
1 -0.25m + 0.022222m2 -
-0.0010217m3 - 0.0000287m4 = 0. (15)
Действительные корни этого уравнения будут
m1 = 8.625; m2 = 11,0625.
Значение коэффициентов , соответствующие и m2, представлены в табл. 1.
Интегрируя уравнение (12), определяем величину ю :
= W^5 = -Ick
-8mxDnp/3ReH2
(16)
Таблица 1
Значений коэффициентов А6—А9 приведены приближено
Л, Л1 Л2 Л3 Л4 Л5 Л6 Л7 Л8 Л9
т1 1 4.3125 7.6367 8.5885 6.9971 3.9284 1.3229 0.2301 0.0152
т2 1 5.5312 12.042 16.2003 15.6215 9.8167 3.5043 0.6226 0.0413
1 Vк8 (^б) Величина Рк = I--—^
дующие значения:
5 может принимать сле-
+0.6547£,5 - 0.1890^5 + 0.0288^8 - 0.0017^9;
1 2
min| [С1Р1+ С2Р2 + ю0 (х)] d£,5.
С1е
-8mxD /3ReH2
8mxD] 3ЯеН
Р1 (У + С2е 3ЯеН -Р2 (^15) + Шс (У
их (Y) = const
■ -н
Следовательно, определение параметров С1 и С2 из выражения (20) сводится к решению системы линейных уравнений. В табл. 2 приведены значения С1 и С2 для различных величин т.
Таблица 2
Значения параметров С1 и С2 для различных значений т
т! С1 С2
1 1.712 -5.334
2 1.225 -0.048
3 3.154 -1.753
Таким образом, определив параметры С1 и С2, можно рассчитать и построить картину развития профиля скорости на гидродинамическом начальном участке исследуемого канала. В качестве примера на рис. 1, а, б, как результат подобного расчета, представлена картина распределения скоростей по длине и сечению прямоугольного канала (после внезапного
S
— = 2 ) при
сужения с отношением площадей
Р1 = 0.1489 -£6 + 2.1563^2 - 2.5456^3 + 2.1471^ -1.3994^5 +
(17)
Яе = 1500, для ньютоновской жидкости (воды). Это видно из приведенных эпюр - деформация поля скоростей на гидродинамическом начальном участке происходит по всему сечению канала.
У
н
р2 = 1.1137 - + 2.7656^2 - 4.014^3 + 0.0501^4 - 3.1243^5 + +1.6361^5 - 0.5006^5 + 0.0778^8 - 0.0046^9; (18)
Постоянные С1 и С2 определяются из условий на входе в гидродинамический начальный участок
(19)
где ю0 (х) - "дефицит" скорости на входе в гидродинамический начальный участок.
Учитывая, что определение параметров С1 и С2, характеризующих условия на входе, из формулы (19) приводит к громоздким выражениям, для практического решения соотношения (19) представлялось в следующем виде:
075 05 0.25 0
У
н
075 05 025 0
1 2 3
/ 1 4 5 1 /
0.5
15
1 2 3
^ 4 5
0.5
15
(20)
где ю0 (£,й) - значение "дефицита" скорости на входе в гидродинамический начальный участок, при X = определяемое из выражений (9) и соотношения
Рис. 1. Профили скоростей на входе и гидродинамический начальный участок: а — при т=1 (1 — квадратичная парабола; 2 — теоретическая парабола; 3 — аппроксимация кривой 2;
4, 5 — развитие профиля скоростей, Х=0,105 м и Х=0,279 м); б — при т=4 (1 — квадратичная парабола; 2 — теоретическая парабола; 3 — аппроксимация кривой 2; 4, 5 — развитие профиля скоростей, Х=0,219 м и Х=0,495 м)
Длина участка гидродинамической стабилизации в рассмотренном случае является величиной переменной и зависит от условий входа. На рис. 2 показана зависимость длины участка инерционного течения Lн от гидродинамических условий во входном сечении канала.
Длина участка инерционного течения определяется зависимостью:
Ьн = Сн ■ Яе ■ Н,
(21)
где Сн - постоянная, зависящая от условий входа в канал и реологических свойств жидкости (по данным [12], для ньютоновской жидкости с равномерным распределением скорости на входе, Сн = 0,16 ).
Указанное значение Сн получено из составления эпюры скоростей для полностью развитого течения Хагена-Пуазейля с эпюры инерционного течения
жидкости на начальном участке в таком сечении Х! , где различие с параболической кривой составляет не более 1 %. Для исследуемого случая (форма эпюры скорости отличается от прямоугольной) значение констант Сн может быть изучено следующим образом: уравнение (16) и значение параметров С1 и С2 позволяют определить соотношение, связывающее значение длины участка инерционного течения LH, число Рейнольдса, (С1, С2) и необходимую степень развития профиля скоростей (99 %):
|[их (^+ш(хд)]-их (^1
иХ №
100% < 1%,
1,5иср (1Ч5)
100% < 1%.
(22)
(23)
Выставляя соотношение, при X = 0 имеем
С1е- 3м2 ■р1 (0) + С2е- 3ЯеН2 -р2 (0)
1,5
< 1%.
(24)
В опытах использовались вязкие и аномально вязкие среды различной концентрации. Индекс течения при этом изменялся в пределах 1<п<0,386. Комбинация экспериментальных каналов, после их соединения, позволяла получить местные сопротивления с различной площадью поперечного сечения - внезапное сужение (75х25 мм; 50х25 мм).
Конструкция данных каналов предусматривала установку в области местных сопротивлений набора вставок, позволяющих получить и другие соотношения площадей поперечных сечений, а также конфузоры с углами раскрытия 10°; 15°; 30°; 45°; 60° и переходы в виде радиусов (вогнутого, выпуклого, по отношению к потоку) и лемнискаты. При этом можно было получить различные гидродинамические входные условия потока.
Сравнение полученных экспериментальных данных с аналитическими результатами процесса течения при различных условия входа дало хорошее согласование, погрешность формулы (21) для определения длины гидродинамического начального участка составляет не более 12 %. Данное расхождение можно объяснить отличием формы эпюр скоростей на входе полученных в опытах (при помощи вставок) и аппроксимированных полиномов (6).
Решая выражение (24) относительно при различных С1, С2 и Яе , получим значение длины гидродинамического начального участка и зависимости от условий входа и числа Рейнольдса.
¡-нм 2
15
1
0.5 0
4. Выводы
1
2
3
> ...............
10
15
20 30
&х,102
Рис. 2. Зависимость длины гидродинамического начального участка от числа Рейнольдса: 1^=4; 2^=3;
3^=1
Экспериментальные исследования кинематических характеристик потока при различных условиях входа в гидродинамический начальный участок, следующий за местным сопротивлением, методами визуализации проводились согласно методике, приведенной в работе [17] (рис. 3).
/ / /
-н
>
>
л 1
а '
, >
Рис. 3. Экспериментальный канал обеспечивающий различные условия входа в гидродинамический начальный участок
1. Полученное аналитическое решение уравнений движения вязкой жидкости в безразмерной форме учитывает гидродинамические условия входа в канал и объясняет процесс развития поля скоростей на начальном участке.
2. Принятые граничные условия течения адаптированы к реальной картине течения рабочих сред в каналах технологического оборудования.
3. Показано, что длина участка гидродинамической стабилизации потока и дополнительные потери на нем связаны с проявлением сил инерции, зависят от условий входа и числа Рейнольдса.
4. Результаты исследования могут быть основой для разработки методики гидродинамического расчета, направленной на конструктивно-эксплуатационное совершенствование существующего и проектируемого технологического оборудования.
Литература
1. Белопухов, А. К. Технологические режимы литья под давлением [Текст] / А. К. Белопухов. - М. : Машиностроение, 1987. - 240 с.
2. Калинчев, Э. Л. Оборудование для литья пластмасс под давлением [Текст] / Э. Л. Калинчев, Э. И. Калинчева, М. Б. Саковцева. - М.: Машиностроение, 1985. - 256 с.
3. Торнер, Р. В. Основы процессов переработки полимеров [Текст] / Р. В. Торнер. - М. : Химия, 1977. - 462 с.
4. Бернхардт, Э. Переработка термопластичных материалов [Текст] / Э. Бернхардт. - М. : Химия, 1965. - 747 с.
5. Мак-Келви, Д. М. Переработка полимеров [Текст] / Д. М. Мак-Келви. - М. : Химия, 1965. - 442 с.
6. Яхно, О. М. Основы реологии полимеров [Текст] / О. М. Яхно, В. Ф. Дубовицкий. - Киев. : Вища школа, 1976. - 185 с.
7. Бостанджиян, С. А. Неизотермическое течение вязко-пластичной жидкости между двумя параллельными пластинами [Текст] / С. А. Бостанджиян, А. И. Столин / Тепло - и массоперенос. - 1968. - Т. 3. - С. 32-36.
8. Петухов, Б. С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах [Текст] / Б. С. Петухов. - М. : Энергия, 1967. - 411 с.
9. Sparrow, E. M. Flow Development in the Hydrodynamic Entrance Region of Tubes and lucts [Text] / E. M. Sparrow, S. H. Lin, T. S. Lundgren // The Physics of Fluids. - 1974. - Vol. 7, № 3. - P. 338-347.
10. Tарг, C. М. Основные задачи теории ламинарных течений [Текст] / С. М. Тарчг. - М. : Наука, 1961. - 370 с.
11. Atkison, B. Measurements of Profiles in Developing Liguid Flows [Text] / B. Atkison, Z. Kemblowski, I. M. Smith // AIChEJour-nol. - 1972. - Vol. 13, № 1.- P. 17-20.
12. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя [Текст] / Г. Шлихтинг. - М. : Наука, 1974. - 712 с.
13. Motoyshi, T. Steady laminar flowin the inlet region of reetangular duets [Text] / T. Motoyshi, I. Yoshiyuki // Bull JSME. - 1981. -Vol. 24, № 193. - P. 1151-1158.
14. Tomita, Y. Velocity Profile in Viscoelastic Flow of a Tube [Text] / Y. Tomita // Journal of Chem. Enginering of Japan. - 1961. -Vol. 4, № 7. - P. 115-118.
15. Michiyoshi, L. Non-Newtonion Flow in non-circular ducts [Text] / L. Michiyoshi, K. Miruna, Y. Hoskinai // Intern. Chem. Eng. -1976. - Vol. 6, № 2. - P. 373-380.
16. Кочин, Н. Е. Теоретическая гидромеханика [Текст] / Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, Н. Б. Розс. - М. : Физматгиз, 1963. - 727 с.
17. Носко, С. В. Исследование кинематических характеристик потока в каналах литниковой системы, методами визуализации [Текст] / С. В. Носко, В. А. Мосийчук // Вестник Киевского политехнического института. Машиностроение. - 2011. -№ 63. - С. 79-82.
