Исследования динамики механизма параллельной кинематики с новой структурой Текст научной статьи по специальности «Физика»

ДИНАМИКА, ПРОЧНОСТЬ МАШИН, ПРИБОРОВ И АППАРАТУРЫ

УДК 621.9.06:531.3

А. Г. Кольцов, А. Х. Шамутдинов

ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ МЕХАНИЗМА ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ КИНЕМАТИКИ С НОВОЙ СТРУКТУРОЙ

В статье рассмотрено исследование динамических характеристик многофункционального оборудования на основе параллельной кинематики как одного из перспективных видов металлообрабатывающего оборудования. При разработке математической модели динамической системы использованы фундаментальные положения механики, теории колебаний и математики, численные методы анализа и математического программирования. Платформа Стюарта; колебания; параллельная кинематика; жесткость системы; математическая модель

ВВЕДЕНИЕ

Для разработки математической модели динамической системы принимается схематический чертеж моделируемого механизма (рис. 1) [1, 2].

Рис. 1. Механизм со структурой е14

При составлении расчетной схемы динамической системы приняты допущения.

Для разработки расчетной схемы произведено сокращение количества деталей, включаемых в нее, т. е. уменьшение числа степеней свободы. Зазоры в подвижных соединениях не учитываем.

Контактная информация: 8(347)273-05-26

Подвижную и неподвижную платформы считаем недеформируемыми, деформируемыми являются шесть опор (тяг).

Начало координат выбрано в геометрическом центре неподвижной платформы.

Положение центра масс может быть изменено (вылет шпинделя, положение заготовки). Эти изменения учитываем заданием расстояния до цента тяжести подвижной платформы ХМ, УМ, Ш.

За обобщенные координаты принимаются перемещения по осям X, У, Z и малые углы поворота ф, у, 0 подвижной платформы вокруг соответствующих осей. За положительное направление вращения принимается вращение против часовой стрелки, если смотреть из конца соответствующей оси. Платформа нагружается сосредоточенными нагрузками вдоль координатных осей Рх, Ру, Р2 и моментами сил Мх, Му, М.

При вычислении потенциальной энергии системы не учитываем силы веса, т. е. принимаем потенциальную энергию в положении статического равновесия равной нулю.

Неподвижная система координат Х0, У0, Z0 совмещена с геометрическим центром неподвижной платформы в положении ее статического равновесия.

Подвижная система X, У, Z жестко связана с массивом, ее начало во время движения совпадает с центром тяжести.

В математической модели элементы механизма представлены в виде элементарных объемов с определенными инерционными характеристиками.

При этих допущениях рассматриваются колебания по шести координатным направлениям, и расчетная схема динамической системы платформы может быть представлена в следующем виде (рис. 2).

Рис. 2. Расчетная схема

По теореме Кенига, кинетическая энергия подвижной платформы,

T = 0,5

(1)

£ т (х2 + у2 + ¿2) +

1

+£ /«,2

1

где т7 и / - массы и моменты инерции.

Х 2 = 0?! - УМ • Ч 6 + ^М • Ч 5 ) 2 ,

У 2 = (?2 + ХМ • Ч 6 - ^М • Ч 4 ) 2 ,

г2 = (?з- хм • ч5+уМ • ч 4)2,

/Ю2 = JX ■ Ч 3 + Jy " Ч4 + Jz " Ч5 +

, Т 2 2 Т 2 2 т 22

+ Л ХУ • Ч3 • Ч4 + ^ • Ч5 • Ч4 + ' Ч5 • Ч3 .

Так как координатные оси выбраны как главные оси инерции, то все центробежные моменты инерции обращаются в нуль.

Выражение кинетической энергии системы:

(2)

T = 0,5 • (да • (q - 7М • q6 + ZM • q5)2 +

+ (q2 + Хм • q6- Zm • q4)2 +

+ (q3 - XM • q5 + YM • q4 )2 +

(3)

+ ^ ' 44 + /У ' Ч5 + Л ' Ч6 ).

Потенциальная энергия данного механизма определяется, как энергия деформации шести опор и представлена выражением:

6 6 г •Л

Е п, = £ г ЛS

2

(4)

где с - жесткость 7 -го стержня; А - деформация -го стержня, - количество стержней

Деформация ! -го стержня (рис. 3)

AS. = , (5)

! 1, V '

где S^- - длина стержня после деформации, S, -длина стержня до деформации.

По правилам аналитической геометрии / / /

S2 =(Х-Х )2 +(Y -Y)2 +(Z-Z )2,

/ /

S2 =((X+DX -X )2 +(Y + (6)

/

+dy-Y)2 +(Z +DZ,- -Z )2

или раскрывая скобки запишем:

s2=Х -X )2+т -X >лх+лх2+(Y -y)2+

/ / /

+2(Y -Y)^DY+dY +(Z -Z)2 +*(Z -Z >DZi + (7)

+DY2 = S2 +2^ (X -X) • ЛХ +ЛХ2+

/ /

+2-(Y-Y)-DY+Л? +2(Z -Z)^DZ +DY2,

где X, Y,, Z, - координаты закрепления стержня (шарниров) на неподвижном основании, X,,

Y', Z' - координаты закрепления стержня (шарниров) на подвижной платформе. В выражении (7), пренебрегая переменными второго

порядка малости ЛХ,.2, DY-2, DZ,.2, запишем:

/

S,!2 = S,2 + 2• (X- -X,)•ЛХ, +

/ /

+ 2 • (Y - Y) ^Y- + 2 • (Z, - Z,) bZt

или

S, 2 -S2 = 2• (X . -X .)•ЛХ . +

1

/ /

+ 2 • (Y - Y) •ЛІІ + 2 • (Z. - Zt) Л2І

Принимая во внимание, что S, = S, + Л9,

2

! = 1

! = 1

(8)

я 1,2 - Я,2 = (5„ - ) • (5„ - ) =

= (2 5,. + А 5,.) •А 5,.,

/

25,. • А5,. + А5" = 2 • (X,. - X,.) • АХ,. +

/ /

+ 2 • (У, - У,) •А У, + 2 • (I, - I,) АХ,

Преобразуя выражение (8) и пренебрегая переменными второго порядка малости А52, получим:

/ / /

^ = (X, - X, )АХ, + (У - У )АУ + (I, -1 )АХ

С=

5,.

5,.

Заменяя в выражении /1 =

5

(9)

/

(X, - X,)

5,. ’

(У, - У) (I , -1 ,)

т, = —,-----------—, п, = —,----—, получим

5 5

А5, = /г • АX, + т, • АУ + п, • АХ, (10)

Тогда для стержня изменения положения координат верхнего шарнира на подвижной платформе (при I = 0, шарниры лежат в плоскости XOZ) опишутся зависимостями:

АX, = д, - У, • д6,

АУ, = д2 + X , • д6, (11)

АХ, = дз + д4 •У,- д5 • X,,

где X, У, I - координаты закрепления опор (шарниров) на подвижной платформе. Исходя из выше изложенного, составим матрицу инерции

и=

т оо о -У^т

0 т 0 - 0 XMm

0 0 т У^т -XMm 0

(I 2 + у 2)х

0 - гт Ут м У) - xмy1m - xмzмm

хт+Jx

(ZM2 + Xм2) х

- 1мп 0 -Xмm xJмm к м м> -Ум!мт

хт+

(Ум2 + Xм2) х

-Умт Xмm 0 -XмZмm -УмZмm

и матрицу жесткости

мм

хт+^

(12)

¿а 1 ¿6 С/т 1 ¿С/п 1 ¿С/пУ 1 1

¿Зщ 1 ¿Ст 1 ¿Стп 1 ¿СтХ 1 ¿-C¡щnX, 1

¿Сп 1 ¿6 Стп 1 ¿Сп 1 ¿С пУ 1 ¿-Сп^ 1

¿С /х ¿хпУ щ х ¿1 хпУ ¿С пУ 1 ¿СпУ 1 ¿-Сп rX¥lXl

.¿-С/х 'гЧnX ‘-Сщ х ¿XnXl 6 -С х ¿хn2X ¿-Сп1 х ¿х¥Л ¿С п^,2 1

С/ х ¿XщX -1 -/ У) Сщ х ¿XщX -1 -/ У) Сп х ¿хmx - 1 -/ У) СпУ х ¿XщX,- 1 -/ У) -CnX х ¿хщx,- 1 -/ У)

±С, /х

'гX(mX -/У: Сщ х

¿Ч'^ -

1 -/У)

Сп х

¿<(щX -

1 -/ У) СпУ х ¿ЧщX -

1 -/ У)

-СnX х

-/У)

-С х

-/ У)

(13)

КОЛЕБАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОМ СИСТЕМЫ МЕХАНИЗМА

Для удобства решения дифференциальные уравнения колебаний системы запишем в матричном виде:

И • {?,}+1Н1 • {д,} = {р (0>, (14)

где И - матрица коэффициентов инерции; ||с|| - матрица коэффициентов жесткости;

{р (?)} - матрица обобщенных возмущающих сил.

Решение системы неоднородных дифференциальных уравнений (14) нужно искать в виде:

дон = до.о + дч.н, (15)

где доо - общее решение системы однородных дифференциальных уравнений, дчн - частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений. Общее решение системы однородных дифференциальных уравнений до.н . описывает свободные колебания системы и представляет интерес при исследовании резонансных явлений в системе. С помощью данной системы уравнений можно исследовать зависимость собственных частот системы от различных ее параметров.

Решение системы частных неоднородных дифференциальных уравнений позволяет определить амплитуды вынужденных колебаний элементов расчетной схемы по обобщенным координатам. Решение данной системы может представлять интерес при исследовании колеба-

/

нии элементов расчетной схемы в результате действия периодической вынуждающей силы.

Решение системы общих однородных дифференциальных уравнений и определение собственных частот. Данная система в матричной записи имеет вид:

q \ = -|И|{ q}; {q} =-Іп і q г =

= - с а і q г = - а а і q

(16)

или

{д} = -15|||д

где |в|| = ||а||| |а||, ||а|| = ||с|| 1

Представим частные решения этих уравнений в виде гармоничной функции: д, =

= А вт(к + Р), тогда д,. = —к2Л18т(к? + в) =

= —к 2д, обозначив

У — 1

А — к2 , получим

44} =| и |{q}.

(17)

Система алгебраических уравнений имеет следующий вид:

=0. (18)

Приравнивая нулю, определитель матрицы, входящий в уравнение (18), получаем:

(и-А) и12 и.з . .. 4б V

и21 (Я*2-А) и23 . .. и26 q2

и» и32 и-А) . . иЪб X 4з

иб2 Яб3 . 66и( . -. ) 9б.

и - А)

И21

и,

и,

и

и

(В22 - А) В2

и

и

Фз - А)

и

*16

и2б

и

... и - А)

=0 (19)

и раскрывая его, получим частотное уравнение:

X6 — /1Х5 + 12Х4 — /3А,3 + /4Л,2 — /5Х+16 = 0. (20)

Решая полином путем разложения, в программном пакете МЛТЬЛБ можно легко найти

все значения X, а значит и собственные частоты k =^'

ИССЛЕДОВАНИЯ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Целью данного этапа исследований является определение собственных частот и их зависимость от различных параметров системы. В основу исследований положено решение системы общих однородных уравнений при помощи пакета MATLAB для определения собственных частот системы, определяются корни полинома с помощью встроенной функции MATLAB X = = roots(poly(B)), где POLY - вычисление характеристического полинома; ROOTS - вычисление корней полинома.

В качестве исходных данных при математическом моделировании используются результаты экспериментов (данные по жесткости опор, геометрические размеры, масса) [3].

Для исследования системы на возможность появления резонансных явлений при различных видах и режимах обработки, а также различных параметрах системы, осуществляем определение зависимостей собственных частот от различных параметров системы (массы, жесткости опор, вылета подвижной платформы, диаметра опор).

Для этого осуществляется построение графиков при многократном определении корней полинома описанным выше способом при изменении одного из входных параметров системы (масса, жесткость, вылет).

В пакете MATLAB данные действия выполняются командой построения графика Plot.

Результаты исследований представлены на графиках рис. 4-8.

ИССЛЕДОВАНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Исследование вынужденных колебаний осуществляется решением системы неоднородных алгебраических уравнений. Данная система имеет вид:

[c -w2 a] • [Bt ] = [Q ], (21)

где B - амплитуды вынужденных колебаний элементов расчетной схемы; Q - внешняя сила на соответствующие элементы.

а

0.25 0.3 0.35 0.Д 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.25 0.3 0 35 0 4 0 45 0 5 0 55 0 6 0 65

I. I-

Рис. 4. Зависимость собственных частот системы от высоты подвижной платформы по оси 7

Р.тт й.тт

Рис. 6. Зависимость собственных частот системы от диаметра опор при Н = 0,5 м

Рис. 7. Зависимость собственных частот системы от положения подвижной платформы по оси X

при Н = 0,5 м, Б = 20 мм

Рис. 8. Зависимость собственных частот системы от положения подвижной платформы по оси У

при Н = 0,5 м, Б = 20 мм

Для решения данной системы использовался МЛТЬЛБ. Результаты исследований представлены на графиках рис. 9-22.

Рис. 9. Зависимость амплитуд вынужденных колебаний «А» от жесткости опор «С» при следующих параметрах системы:

(/ = 10 Гц, Рг = Ру = Рх = 300 Н, М2 = 10 Н/м)

ю'3

3.5 3 2.5 5 = 1.5 0.5 0.012 0.01

/

Е <

0.004 пт?

С, Н/т х 107 2 3 4 5 С.НЛп х107

Рис. 10. Зависимость амплитуд вынужденных колебаний «А» от жесткости опор «С» при следующих параметрах системы:

(/ = 50 Гц, Р, = Ру = Рх = 300 Н, М, = 10 Н/м)

вынужденных колебаний «А» от жесткости опор «С» при следующих параметрах системы:

(/ = 100 Гц, Рг = Ру = Рх = 300 Н, М, = 10 Н/м)

Рис. 12. Зависимость амплитуд вынужденных колебаний «А» от жесткости опор «С» при следующих параметрах системы а = 150 Гц, Р, = Ру = Рх = 300 Н, М2 = 10 Н/м)

0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 2 0.1 < ( 0.08 0.06 0.04 0.02

0.18 0.16 0.Н

<

0.0?

10 15 20 25 30 10 15 20 25 30 с1, тт с), тт

Рис. 13. Зависимость амплитуд вынужденных колебаний «А» от диаметра опор «В» при следующих параметрах системы:

(/ = 10 Гц, Рг = Ру = Рх = 300 Н, М, = 10 Н/м

Рис. 14. Зависимость амплитуд вынужденных колебаний «А» от диаметра опор «В» при следующих параметрах системы:

(/ = 50 Гц, Рг = Ру = Рх = 300 Н, М, = 10 Н/м)

Рис. 16. Зависимость амплитуд вынужденных колебаний «А» от диаметра опор «В» при следующих параметрах системы:

(/ = 150 Гц, Рг = Ру = Рх = 300 Н, М2 = 10 Н/м)

О А О А О

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Рис. 17. Зависимость амплитуд вынужденных колебаний «А» от вылета подвижной опоры по оси 2 при следующих параметрах системы:

(/ = 10 Гц, Рг = Ру = Рх = 300 Н, М, = 10 Н/м)

Рис. 15. Зависимость амплитуд вынужденных колебаний «А» от диаметра опор «В» при следующих параметрах системы:

(/ = 100 Гц, Рг = Ру = Рх = 300 Н, Мг = 10 Н/м)

Рис. 18. Зависимость амплитуд вынужденных колебаний «А» от вылета подвижной опоры по оси 2 при следующих параметрах системы:

(/= 50 Гц, Р, = Ру = Рх = 300 Н, М, = 10 Н/м)

Рис. 19. Зависимость амплитуд вынужденных колебаний «А» от вылета подвижной опоры по оси 2 при следующих параметрах системы (/= 100 Гц, Р, = Ру = Рх = 300 Н, М2 = 10 Н/м)

о—^ іЬ <Ь (Ь <Ь £=Ф— []І і і і 1 І

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Рис. 20. Зависимость амплитуд вынужденных колебаний «А» от вылета подвижной опоры по оси 2 при следующих параметрах системы:

(/ = 150 Гц, Рг = Ру = Рх = 300 Н, М, = 10 Н/м)

*10'* 0.015

0.01

5

Є 4 -О

< <

0.005

0.2 0 3 0.4 0.5 0.6 0 7 0 2 0.3 0 4 0.5 0 0.7

Рис. 21. Зависимость амплитуд вынужденных колебаний «А» от вылета подвижной опоры по оси 2 при следующих параметрах системы:

(/ = 100 Гц, Рг = Ру = Рх = 100 Н, Мг = 10 Н/м)

Рис. 22.Зависимость амплитуд вынужденных колебаний «А» от вылета подвижной опоры по оси 2 при следующих параметрах системы:

(/ = 100 Гц, Рг = Ру = Рх = 400 Н, М2 = 10 Н/м)

ВЫВОДЫ

При увеличении высоты механизма (по оси 2) собственные частоты уменьшаются, что снижает жесткость механизма.

При увеличении собственных частот и диаметра опор жесткость механизма увеличивается.

Резонансная зона возникает: при частоте к3 = 155 Гц и X = 0,2 м, к4 = 480 Гц и X = 0,1 м, к5 = 650 Гц и X = 0,2, к6 = 690 Гц и X = 0,1 м, что говорит о нежелательном перемещении механизма по оси X на интервал X = 0,1... 0,2 м.

Резонансная зона возникает: при частоте к4 = 430 Гц и У = 0,1 м, к5 = 620 Гц и У = -0,1 м, к6 = 720 Гц и У = -0,2 м, что говорит о нежелательном перемещении механизма по оси У на интервал X = —0,2 .0,1 м.

Анализ результатов исследований вынужденных колебаний показывает, что наименьшая амплитуда имеет место вдоль оси 2 на рассмотренном диапазоне жесткости (диаметров) и при частотах вынуждающей силы равной 10, 50, 100, 150 Гц.

Амплитуда колебаний по осям X, У (горизонтальные оси) находятся в интервале от 0,1.1 мм и в зависимости от частоты вынуждающей силы имеет различный характер: при частоте 10 Гц с увеличением жесткости резко убывает, а при частотах 100, 150 Гц амплитуда минимальная 0,1.0,3 мм и изменяется незначительно в пределах 0,02 мм. Амплитуды крутильных колебаний относительно осей X, У, 2 имеют зависимости аналогичные линейным и находятся в диапазоне от 6-10"5 до 0,01 рад. При изменении вылета подвижной платформы по оси 2 наименьшая амплитуда имеет место по оси X, 2 (при частотах 50.150 Гц). Амплитуды

колебаний по осям X, У (при частоте 10 Гц) изменяются в интервале от 0,5 до 20 мм.

При увеличении возмущающих сил до 400 Н амплитуда по оси У носит резонансный характер.

Таким образом, рассмотренное оборудование имеет наибольшую виброустойчивость и наименьшую погрешность от вибросмещений по оси 2. Колебания по осям X, У и крутильные колебания требуют тщательного расчета конструкторско-технологических параметров.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шамутдинов А. Х. Исследование классификации многоповодковых механизмов параллельной кинематики // Омский научный вестник. 2011. № 2(100). С. 85-90.

2. Гаврилов В. А., Кольцов А. Г., Шамутдинов А. Х. Классификация механизмов для техноло-

гических машин с параллельной кинематикой // СТИН. 2005. № 9. С. 28-31.

3. Гаврилов В. А., Кольцов А. Г. Многофункциональное оборудование на основе параллельной кинематики // Деп. в ВИНИТИ 29.11.2006, №1481-В2006 ОмГТУ. Омск., 2006. 131 с.

ОБ АВТОРАХ

Кольцов Александр Германович, доц. каф. металлорежущих станков и инструментов. Дипл. инж. по металлорежущим станкам и инструментам (ОмГТУ 1997). Канд. техн. наук по динамике и прочности (ОмГТУ, 2002). Иссл. динамики и точности технологического оборудования.

Шамутдинов Айдар Харисович, ст. преп. каф. гидромеханики и транспортных машин. Дипл. инж. по металлорежущим станкам и инструментам (ОмГТУ 1994). Иссл. в области кинематики механизмов.