Исследование затухающих колебаний манометрической трубчатой пружины в вязкой среде Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 534.21

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ МАНОМЕТРИЧЕСКОЙ ТРУБЧАТОЙ ПРУЖИНЫ В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ

STUDY OF DAMPED OSCILLATIONS OF MANOMETER TUBULAR SPRING IN VISCOUS MEDIUM

Д. А. Черенцов, С. П. Пирогов

D. A. Cherentsov, S. P. Pirogov

Тюменский государственный нефтегазовый университет, г. Тюмень

Ключевые слова: затухающие колебания, манометрическая трубчатая пружина, уравнение Лагранжа второго рода, матлаб Key words: Damped oscillations, tubular manometric spring, Lagrange's equation о/ the second order, Matlab

В условиях эксплуатации и управления системой добычи, транспорта, хранения и распределения нефти и газа большое значение приобретают вопросы управления, организации и контроля над технологическим процессом. В этом случае задача становится многоцелевой, ее осуществление возможно только с применением цифровых приборов и ЭВМ. Давление — один из главных параметров, за которым необходимо вести контроль.

Для измерения давления используют манометры; чувствительный элемент в цифровых и деформационных манометрах — манометрическая трубчатая пружина МТП.

Вибрации устройств, на которые они установлены, или пульсация измеряемой среды создают определенные проблемы для точной регистрации давления. Одним из решений данной проблемы является помещение МТП в вязкую среду. Манометры такой конструкции изготавливаются в ОАО «Манотомь», однако расчеты для их проектирования отсутствуют, в связи с чем возникает необходимость описания движения упругого элемента в вязкой среде.

Динамическая модель МТП представлена в виде механической системы с двумя степенями свободы рис. 1.

Рис. 1. Манометрическая трубчатая пружина

Моделирование затухающих колебаний осуществляется с помощью уравнений Лагранжа II рода

а /дТ\ дТ _

где Т — кинетическая энергия, (}г>1— обобщенная сила, соответствующая потенциальным силам; — обобщенная сила сопротивления.

у _ ди

где и — потенциальная энергия.

Количество уравнений равняется числу степеней свободы. За обобщенные коду

ординаты принят относительный угол раскрытия пружины ср = — и величину увеличения малой полуоси поперечного сечения трубки \у.

Выражение для потенциальной энергии приведено в работе [1]:

2Ehay

¿1

К2 п

—-w - 2b — (pw + b А3(р + ——-W тг т 12

где Е — модуль упругости материала МТП, И — толщина стенки МТП, у — угол раскрытия МТП, К — радиус МТП, и — коэффициент Пуассона, а — большая полуось, Ь — малая полуось, коэффициенты А1,А2,А3,п, т и К могут быть вычислены [1], если задана форма поперечного сечения пружины.

Выражение для кинетической энергии было получено в [2]:

Т = 2 phR3 (— - 4 sin у + 2у cosy + 2у )в1ф2 + 2pRhy + 3 ' V тп

В?

з , , , ут2 ■ К2т2

где р — плотность материала МТП, коэффициенты В1,В2,В3,Кд и т,- могут быть вычислены, если задана форма поперечного сечения пружины.

Силы сопротивления, действующие на отдельные точки системы, пропорциональны их скоростям Rj = — puj, где |3 — коэффициент сопротивления. Сила лобового сопротивления [3]:

pv2

Rx ~ Сх F 2 '

где Сх — коэффициент лобового сопротивления, F — площадь миделевого сечения, р — плотность жидкости, v — скорость. Сх описывается формулой Стокса [4]

_ 24

Число Рейнольдса Re характеризует режим движения жидкости, учитывая основные характеристики потока.

R VS

где v — кинематическая вязкость жидкости, s — характерный линейный размер. Подставляя в уравнение для силы лобового сопротивления:

12иж.

r -—t-^Fv.

S

Для МТП характерный линейный размер s = 2а: площадь миделевого сечения F = Rdsd6(рис. 2); цж = vp — динамическая вязкость жидкости. Сила сопротивления для МТП

12 цж Rx = —-—Rdsdd v .

Рис. 2. Площадь миделевого сечения

Так как сила сопротивления приложена по нормали в каждой точке МТП, то следует учесть скорость трубки в радиальном направлении и скорость от увеличения малой оси (рис. 3).

Рис. 3. Распределение скоростей

Радиальное перемещение любой точки криволинейного стержня с углом охвата определяется выражением [5]:

Яр = (pR(9 - sin0).

Получим радиальную скорость, взяв производную по времени от Я:

Ар = <pR(6 - sin0) .

Увеличение малой полуоси[5]:

' _ Wo

т '

Скорость от увеличения малой полуоси:

W = (—) w0 .

МП/

Абсолютная скорость определится как

v = Ар + w .

Сила сопротивления жидкости для МТП в конечном виде

2 a Y 2 а У

Rx = j ~ s™e^dsde + { f^TiROw>odsd0,

0 0 0 0

Яг

/у2 Л

-— ( — + СОБ у ) ф + 12[1жуЯ — IVо ,

а 1 2 ' ' ' ' ' т

где Л = / ^ — величина, зависящая от формы сечения.

Обобщенные силы сопротивления для обобщенных координат с/5 го-

лономной системы определяется следующими выражениями [6]:

71 71

дГ;

\ ' иЧ \ дТ1 ^ = .....^ =

где ть — радиус вектор перемещения, — сила сопротивления. Так как

йп дть дгь дгь

дуь дг^ дЧ] '

Подставляя эти значения в выражения обобщенных сил сопротивления, получаем

п ^ п ^ ^ п

ч д д Руь

/ - дqs оц5' 2 дс/ ' 2

1=1 1=1 1=1

Таким образом для МТП обобщенные силы сопротивления по обобщенным координатам примут вид

дф^ 2 + 2 61ЛЖЯ2 (у2 , , .

~ дм/п' 2 + 2 ' ~

12 ¡лжу И — м>0 .

Система дифференциальных уравнений для системы с двумя степенями свободы, основанная на уравнениях Лагранжа II рода, принимает вид

а (дт) + ди дТ - £

& \дф) д<р дер а /ди\ ди дТ _ дер

да)

(За

Подствляя значения U, T, Q и находя производные, получим систему двух однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

(агф + Ьгф + сгср + с31л/ = 0; 1а2м> + Ь2м/ + с3<р + с2м/ = 0;

где а{ — коэффициенты инерции, — коэффициенты диссипации, асг — коэффициенты жесткости. Решение уравнения представляется в виде

ср = Схе*

После подстановки производных от ср и w и сокращения на ext получим

(Сг{агх2 + Ъгх + сг) + С2с3 = 0; \сгс3 + С2(а2х2 + Ъ2х + с2) = 0,

где Сг и С2 — постоянные (амплитуды колебаний).

Чтобы система имела относительно Сг и С2 отличные от нуля решения, ее определитель должен равняться нулю

I агх2 +Ьгх + сг с3 | о

1 с3 а2х2 + Ъ2х + с2\

Характеристическое уравнение для определения параметров затухания:

ага2х4 + (агЪ2 + а2Ьг)х3 + (агс2 + ЬгЬ2 + а2сг)х2 + (Ьгс2 + с^^х + (схс2 - с3с3) = 0.

Если вязкое сопротивление мало, то могут происходить колебания, тогда все четыре корня окажутся комплексными с отрицательными действительными частями. Данное уравнение решается методом Феррари [7].

хг — —щ + ik±\ х^ — Ti^ i к-l ( х2 = —п2 + ik2(' х2 — Ti2 ik±J

где пг и п2 — коэффициенты затухания (положительные); /сх и к2 — частоты затухающих колебаний; х{ и х^ — числа, сопряженные с соответствующими комплексными числами.

Корню хг соответсвует система частных решений:

Комплексному сопряженному корню соответствует сопряженная система решений

ф — С1геХ1Ь, Щ = C21eXlt.

Из полусуммы этих решений получаем следующее вещественное решение:

Подставляя вместо хг и х{ их значения, получаем (pi i) = le-пг t^c^ik^t + с^е^) =

-■n.t I Сц + Сц = е Ult [---cos k±t + i---sin k±tJ.

Аналогично

m -n,t I + 7 ^ ■ ~~ ■ 7 Л

= e Ult (---cos k^t + i---sin k^t).

Полагая, что

Сц = Ai ^ ~ íB^ ^ С21 ~ ^ — ^ 1

получаем

о)0(1) = е"

^'(л^соэ к^ + В2(1) ьтк^)) Второй паре корней х2 и х^ соответствуют следующие уравнения:

<Р{

,(2) = + в^2)з\пк21)

(О,

.(2)

= е

-n2.tr и С2)

(Л^сов к2г + > эт к2г)

Общий интеграл системы дифференциальных уравнений получаем путем суммирования [8]

(р = <р(1) + (р{2) = /V""1' + аг) + 02е~Пг1 эЩк^ + а2)

<о0 = а>с

(1)

+ Шо(2) = Еге-п^ 5т(к^ + рг) + Е2е~п^ ът{к21 + /?2)

Значения амплитуд В1,02,Е1,Е2 и углов сдвига фазы колебаний зависит от начальных условий — (р0, ф0,0)0, ы0 .

На основании вышеизложенной модели была написана программа на языке МайаЬ [9], поставлен численный эксперемент для МТП с параметрами: II = 45 (мм), у = 270 (град), а = 4 (мм), Ь = 2 (мм), 1г = 1 (мм), р = 7800 (кг/лг3), И-еозоухч = 18 10"6(Пас),11ео0ы = 1 (Па с),И-глщерина = 1,5 (Па с), начальное отклонение конца пружины — 3 (мм). Результаты расчетов приведены на рис. 4 а, б, в.

25 30

:емя с

10

_1_

20

25

Время 1, с б

30

35

Время 1, с в

40

45

50

Рис. 4. Затухание колебаний: а — в воздухе, б — в воде, в — в глицерине

№5, 2014

а

Как видно из рисунков, степень затухания зависит от вязкости жидкости. При увеличении вязкости декремент затухания возрастает.

С помощью данной модели можно подбирать необходимые геометрические параметры МТП и необходимыесвойства жидкости для обеспечения необходимой точности измерений.

Список литературы

1. Андреева Л. Е. Упругие элементы приборов / Л. Е. Андреева. - М. : Машгиз, 1962. - 456 с.

2. Чуба А. Ю. Расчет собственных частот колебаний манометрических трубчатых пружин: дис. ... канд. техн. наук / А. Ю. Чуба - Тюмень, 2007. - 137 с.

3. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. - Москва: наука, 1974. - 712 с.

4. Гиргидов А. Д. Механика жидкости и газа (гидравлика) / А. Д. Гиргидов. - СПб.: Изд-во Политехи. ун-та, 2007. - 545 с.

5. Пирогов С. П. Манометрические трубчатые пружины / С. П. Пирогов. - СПБ: Недра, 2009. -267 с.

6. Яблонский А. А. Курс теоретической механики. - М.: Кнорус, 2011. - 608 с.

7. Бахвалов Н. С. Численные методы. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2011. - 636 с.

8. Бидерман В. Л. Теория механических колебаний / В. Л. Бидерман. - М.: Высшая школа, 1980.

9. Васильев А. Н. Matlab. Самоучитель. Практический подход. - СПб.: Наука и Техника, 2012.

Сведения об авторах

Черенцое Дмитрий Андреевич, ассистент кафедры «Транспорт углеводородных ресурсов», Тюменский государственный нефтегазовый университет, г. Тюмень, тел. 89222652095, е-mail: cherent-sovda@bk. ru

Пирогов Сергей Петрович, д. т. н., профессор кафедры «Прикладная механика», Тюменский государственный нефтегазовый университет, г. Тюмень, тел. 8(3452)905785, е-mail: piro-goweov@yandex. ru

Cherentsov D. A., assistant of the chair «Transport of hydrocarbon Resources», Tyumen State Oil and Gas University, phone: 89222652095, е-mail: cherentsovda@bk. Ru

Pirogov S. P., Doctor of Engineering, professor of the chair «Applied mechanics», Tyumen State Oil and Gas University, phone: 8(3452)905785, е-mail: piro-goweov@yandex.ru