CC BY
17УДК 681.2.088
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ДАТЧИКОВ, ВХОДЯЩИХ В СОСТАВ СТЕНДОВ ДЛЯ ЗАДАНИЯ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ
Р.В. Ермаков1, Д.М. Калихман2, Д.В. Кондратов3, А.А. Львов4
1АО "Конструкторское бюро промышленной автоматики", Саратов, Россия
2
филиал ФГУП "НПЦАП" - "ПО "Корпус", Саратов, Россия
Поволжский институт управления имени П.А. Столыпина - филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте
Российской Федерации, Саратов, Россия 4ФГБОУ ВО "Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.", Саратов, Россия
ERRORS' DISTRIBUTION LAWS ANALYSIS OF SENSORS FOR THE ROTARY TABLES
R.V. Ermakov1, D.M. Kalikhman2, D.V. Kondratov3, A.A. L'vov4 1SC «Design Bureau of Industrial Automatics», Saratov, Russia Branch of the Federal State Unitary Enterprise "Academician Pilyugin Scientific-production Center of Automatics and Instrument-making" -Production Association "Korpus", Saratov, Russia Stolypin Volga Region Institute of Administration of Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (RANEPA), Russia, Saratov 4Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Saratov, Russia
Аннотация. В работе исследуются погрешности датчиков угла, угловой скорости, тангенциального и центростремительного ускорений, входящих в состав стенда для задания угловых скоростей. Приводятся выражения для оценок угловой скорости по показаниям каждого из датчиков. Показывается несоответствие закона распределения погрешностей различных датчиков, входящих в состав поворотных стендов, нормальному закону распределения. Делается вывод о невозможности оптимального оценивания угловой скорости с помощью метода наименьших квадратов и о целесообразности применения для этого метода максимального правдоподобия.
Ключевые слова: угловые измерения, оптический датчик угла, датчик угловой скорости, датчик линейного ускорения, погрешность, полигауссовская аппроксимация.
Abstract. The paper investigates the estimation of angular velocity errors occurred in rotary tables based on angle sensors, and angular velocity of the tangential as well as centripetal accelerations. Expressions for combined estimator of the angular velocity using readings of all sensors are found. Inconsistency of error distribution for of all considered sensors used in the rotary tables to normal distribution law is revealed. Therefore, it is impossible obtain the optimal estimates of angular velocity using least square technique; as a result, the maximum likelihood estimation procedure is proposed.
Key words: angular measurements, optical angle sensor, angular velocity sensor, linear accelerometer, error, poly-Gaussian approximation
Введение. Построение инерциальных навигационных систем (как платформенных, так и бесплатформенных), которые востребованы в ракетно-космической технике, авиационной промышленности, геодезии, судостроении, других отраслях невозможно без точных измерений угловых скоростей [1]. Уточнению модели вибрационной погрешности приборов навигации, входящих в подобные системы, посвящены, например, работы [2-5]. В данных работах рассмотрено влияние на точность приборов гидроупругих явлений [6,7]. С другой стороны, контроль параметров подобных систем, как правило, проводится с помощью стендов для задания угловых скоростей, состоящих из поворотной платформы, электродвигателя, датчика угла и системы управления. Сейчас различными производителями выпускаются различные варианты подобных стендов, которые позволяют осуществлять сложные движения с управлением углом, угловой скоростью и угловым ускорением. Общим недостатком данных систем является ограничение диапазона задаваемых угловых скоростей в нижней его части значениями 0,1-0,01 °/с, что связано с конечной точностью датчика угла [8].
Для расширения диапазона задаваемых угловых скоростей в конструкцию стенда вводятся инерциальные чувствительные элементы: датчики угловой скорости и линейного ускорения, измеряющие тангенциальную и центростремительную его составляющие на периферии поворотной платформы. Данная концепция рассмотрена в работах [9-15]. Основное преимущество подобного подхода заключается в том, что ввиду различной физической природы используемых датчиков их погрешности измерения становятся некоррелированными. Рассматриваемый стенд представляет собой поворотную платформу, на которой установлены испытуемый прибор, бесконтактный оптический датчик угла и инерциальные чувствительные элементы: датчики угловой скорости, тангенциального и центростремительного ускорений.
Ниже рассматриваются погрешности, которые вносит в измерения каждый из этих первичных преобразователей.
1. Погрешность оценки угловой скорости, полученной при помощи бесконтактного оптического датчика угла. Будем представлять оценку угла поворота платформы стенда, по показаниям датчика угла в форме:
а = а + Аа0 (а) + Аа(,
где а - оценка угла; Аа0(а)- систематическая составляющая погрешности датчика угла; Аа^- случайная составляющая погрешности датчика угла; а- истинное значение угла. Тогда, учитывая что а = dа/ dt, для дискретного случая и с учетом погрешности задающего генератора АЗГ выражение для оценки угловой скорости по показаниям датчика угла может быть записано в виде:
а ~а + л а + (Аар(а[и])-Аар(а[и-1]))^ а т/ = а + АЗГа +--а +--.
ДУ зг Аа Т0
где Т0 - "идеальное" значение периода работы алгоритма оценивания.
Случайная составляющая погрешности современных бесконтактных оптических датчиков угла составляет десятые доли угловой секунды. Следовательно, при периоде алгоритма оценки угловой скорости Т0=1 мс случайная составляющая погрешности будет составлять сотни угловых секунд за секунду (градусов в час); при периоде дискретности Т0=10 мс - десятки градусов в час, что неприемлемо в случае испытаний высокоточных гироскопических приборов.
С целью изучения свойств погрешности оптического датчика угла были проведены экспериментальные исследования с применением общепринятой методики, использующей эталонную многогранную призму и автоколлиматор для определения погрешности датчика угла. Далее было вычислено значение критерия Пирсона (х ) для данных, соответствующих отдельным граням призмы. Видно (рис. 1), что гипотеза о нормальном законе распределения погрешности исследованного образца оптического датчика угла подтверждается для углов 60°-115° и 270°-345°. В остальных угловых положениях значения критерия Пирсона превышают критическое значение.
Поэтому авторы предлагают следующую методику поиска закона распределения ошибок датчика. Методы аппроксимации апостериорной плотности вероятности вектора оцениваемых параметров (вектора состояния) выпуклой комбинацией гауссовских плотностей вероятности известны (например, [16]).
Соответствие распределения критерию Пирсона при уровне значимости 0.05
Угол, °
♦ Исходные данные - -Значение критерия Пирсона при нормальном распределении
- -Критическое значение критерия О Значение критерия Пирсона при полигауссовском распределении
Рисунок 1
Данные методы используют разбиение области изменения исследуемого параметра на ряд непересекающихся подобластей О = О1 и... , внутри каждой из которых сосредоточена «основная масса» г-го (¡=1...п) гауссовского пика:
N
Р X (Х )=Ъа ■ {Кг , 7 г } ,
г=1
где Кх К, У г} = } ехр|х - К]Т ■ Г-1 ■[х - К ]}, а неотрицательные
коэффициенты аг удовлетворяют условию Х^а = 1.
В работе [17] приводится численный алгоритм идентификации параметров полигауссовской аппроксимации. Оценка, полученная в результате применения алгоритма, - взвешенное среднее - является оптимальной в среднеквадратиче-ском смысле:
N N
т = М{х|7 = у}= |х ■ р(х|_у)■ dx = Хиг • |х ■ Ых{¡лi,уг}■ dx = Хui • Д.
г=1 г=1
В рассматриваемом случае N=2, т.е. распределение имеет два ярко выраженных максимума. Построенная с использованием приведенного в [17,18] алгоритма аппроксимация оценена по критерию Пирсона (рис. 1). Видно, что значение критерия Пирсона меньше критического значения во всём интервале 0°...360°, гипотеза о полигауссовском характере распределения ошибки измерения оптическим датчиком угла подтверждается. Помимо этого, значение критерия Пирсона для полигауссовского распределения почти везде меньше его значений для нормального распределения. Полученные результаты доказывают целесообразность использования полигауссовского распределения при аппроксимации закона распределения погрешностей измерения бесконтактного оптического датчика угла.
2. Погрешности датчика угловой скорости. Будем рассматривать статическую передаточную функцию датчика угловой скорости в виде (1) [1]:
аГ = МаГа + СаГ , (1)
где: аГ - оценка угловой скорости от датчика угловой скорости; Маг - масштабный коэффициент датчика угловой скорости; £аг - случайная составляющая сигнала датчика угловой скорости; а - истинное значение угловой скорости. Будем считать математическое ожидание случайной составляющей ^аг
сигнала датчика угловой скорости, называемое также нулевым сигналом датчика а0г, неизменным в течение всего времени измерения (запуска), но меняющимся от измерения к измерению (от запуска к запуску). Несмотря на различную физическую природу датчиков угловой скорости, все они, в первом приближении, могут быть описаны выражением (1). Необходимо отметить, что математическое ожидание случайной составляющей (нулевой сигнал ОТ) изменяется от запуска к запуску случайным образом, т.е. само является случайной величиной, не обязательно имеющей нормальное распределение. Распределение плотности вероятности этой случайной величины обусловлено конструктивными особенностями типов датчиков и различно для каждого из них. В данной работе будем считать, что величина а) распределена равномерно на интервале d]. Учитывая это и применяя формулы для композиции законов распределения [16]:
W(n) = | р(6Жп_£)й6; л = ^ + £,
распределение плотности вероятности погрешности измерения угловой скорости может быть записано в виде:
р(п) = 1Ч" (2)
где о - дисперсия случайной величины ■
Решением уравнения (2) является выражение:
1 %
р(п) = — еИ 4й $
П + й
_ егИ
П - й
Че
(3)
2 х
2 Г
где егИ(х) = -==■ I е Л - интеграл вероятности Лапласа.
3. Погрешность оценки угловой скорости, полученной при помощи тангенциального датчика кажущегося ускорения. Тангенциальное ускоре-
Б • Г
ние, датчиком, равно: ат =-, где ат- тангенциальное ускорение; е - угловое
&
ускорение; г - радиус (расстояние от центра вращения до центра масс чувствительного элемента акселерометра); & - проекция силы тяжести на ось чувствительности акселерометра [1]. Оценка угловой скорости по показаниям датчика тангенциального ускорения:
лг п М* М*А Зг АМ п 1 1 , Л „ . лг п
®Мп ] = + т Зг с +-т-с + с0 +--М* I + сМп-1],
т " Кг Кг Кг т Т0 Кг • г т / а т п1
т т т иг Г"_1
0 &М *а 0
си = ———, т Кг • г
где К - коэффициент, определяющий погрешность установки датчика тангенциального ускорения; = а0 - случайная составляющая погрешности
измерения ускорения; а0 - математическое ожидание случайной составляющей сигнала датчика тангенциального ускорения; Сга - нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием; М т = М* + АМ т -масштабный коэффициент датчика ускорения; М* - «идеальное» значение масштабного коэффициента; АМТ - погрешность масштабного коэффициента; А Зг - погрешность частоты задающего генератора. Так же, как в случае с датчиком угловой скорости будем считать, что а0 неизменно на протяжении всего измерения (запуска), но может изменяться от измерения к измерению (от запуска к запуску). В этом случае распределение плотности вероятности погрешности измерения угловой скорости по показаниям датчика тангенциального ускорения удовлетворяет выражению (3).
го
го
4. Погрешность оценки угловой скорости, полученной при помощи центростремительного датчика линейного ускорения. Выражение для центростремительного ускорения, действующего на расстоянии г от оси вращения [1]:
аи =
й)2г
&
Оценка угловой скорости платформы, полученная по показаниям датчика центростремительного ускорения может быть записана в виде:
С =
аи&
\
М* + АМ и
К г ч
с-
& (С, + а0)
(4)
где ац - измеренное датчиком значение ускорения; ац - истинное значение ускорения; Мц - масштабный коэффициент датчика центростремительного ускорения; М* - идеальное значение масштабного коэффициента датчика центростремительного ускорения; АМи - погрешность масштабного коэффициента датчика центростремительного ускорения; а0 - постоянная составляющая погрешности датчика центростремительного ускорения (нулевой сигнал); ^ - нормаль-
Ц
но распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием. Как и ранее, считаем, что а0 неизменно на протяжении всего измерения (запуска), но может изменяться от измерения к измерению (от запуска к запуску).
Разложим второе слагаемое в скобках в (6) в ряд Тейлора относительно . Получим:
С =
М* +АМ и
К г
ч
с -
1
М* + АМи &
_и_и_—а0 -
К г
ч
г
ч
1
М * +АМи&
1
К г
ч
г 4а0
ч
Сг
Видно, что распределение плотности вероятности погрешности датчика центростремительного ускорения также будет удовлетворять выражению (3).
Как следует из вышесказанного, законы распределения погрешностей различных датчиков, входящих в состав поворотного стенда, не соответствуют нормальному закону распределения. Указанное свойство затрудняет применение метода наименьших квадратов для вычисления оптимальной оценки угловой скорости по совокупности оценок, полученных по данным отдельных датчиков, поскольку. Представляется целесообразным применение для нахождения оптимальной оценки угловой скорости метода максимального правдоподобия. Однако данное исследование выходит за рамки настоящей публикации.
Выводы. Выше было показано, что законы закона распределения погрешностей различных датчиков, входящих в состав поворотных стендов, не обязательно должны удовлетворять нормальному закону распределения. Данный факт затрудняет использование метода наименьших квадратов для определения оптимальной оценки угловой скорости по совокупности показаний различных датчиков, в связи с чем представляется целесообразным использование для нахождения данной оценки метода максимального правдоподобия.
г
г
У
Литература
1. Калихман Д.М. Прецизионные управляемые стенды для динамических испытаний гироскопических приборов / Под общ ред. акад. В.Г.Пешехонова -СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2008. - 296 с. ISBN 5-900780-82-5.
2. Кондратов Д.В., Кондратова Ю.Н., Могилевич Л.И. Вибрационные возмущающие моменты в поплавковом гироскопе с упругим корпусом при несимметричном истечении жидкости в торцы // Авиакосмическое приборостроение. 2008. № 7.С. 2-8
3. Могилевич Л.И., Попов В.С. Исследование возмущающих моментов поплавкового гироскопа с упругим корпусом поплавка, имеющим технологические ребра жесткости, при вибрации ротора гиромотора // Авиакосмическое приборостроение. 2008. № 3. С. 17-24.
4. Могилевич Л.И., Попов B.C. Возмущающие моменты в поплавковом гироскопе с упругим корпусом поплавка, имеющим технологические ребра жесткости, на вибрирующем основании // Авиакосмическое приборостроение. 2006. № 5. С. 612.
5. Анциферов С.А., Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Возмущающий момент в поплавковом маятниковом акселерометре с упругим корпусом прибора при несимметричном истечении жидкости в торцы // Авиакосмическое приборостроение. 2005. № 11. С. 9-13.
6. Бучной Н.В., Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Задача моделирования взаимодействия сдавливаемого слоя вязкого газа с круглой упругой пластиной // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2016. № 1. С. 39-43.
7. Грушенкова Е.Д., Могилевич Л.И., Попов В.С., Скородумов Е.С. Математическое моделирование динамики взаимодействия слоя вязкой жидкости с упругим трехслойным статором и абсолютно твердым вибратором опоры // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2016. № 1. С. 16-23.
8. Угловые энкодеры SiGNUM™ RESM. Технические характеристики: L-9517-9214-02-D // [Электронный ресурс]. - режим доступа: URL: http://resources. renishaw.com/ru/details/signum-resm-16431 (дата обращения 11.03.2016)
9. Евстафьев, Е.Н. Методы и устройства оптической голографии // Е.Н. Ев-стафьев,П. А. Павлов, Д.П. Лукьянов и др.: сб. -Л.: ЛИЯФ, 1984.
10. Bournachev, M.N., Filatov Y.V., Loukianov D.P., Pavlov P.A., Sinelnikov A.E. Reproduction of plane angle unit in dynamic mode by means of ring laser and holographic optical encoder / M.N. Bournachev, Y.V. Filatov, D.P. Loukianov, et.al. // Proceedings of 2-nd EUSPEN internatioinal conference, Turin. May 2001.,
11. Янковский, А.А. Новый эталон единицы плоского угла для области обороны и безопасности государства / А.А. Янковский , А.В. Плотников, К.Б. Сав-кин, И.В. Козак // Вестник метролога, - №3 - 2012, С.33 - 35.
12. Калихман, Д.М. Прецизионный стенд с гироскопическим датчиком угловой скорости в качестве инерциального чувствительного элемента с цифровой системой управления. / Д.М. Калихман, Л.Я. Калихман, Ю.В. Садомцев, et.al. //
XV Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам. - СПб.: ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2008. С. 169-172.
13. Калихман, Д.М. Прецизионный широкодиапазонный стенд с инерциаль-ными чувствительными элементами и цифровой системой управления. / Д.М. Калихман, Л.Я.Калихман, Ю.В. Садомцев, et.al. // XVI Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам. -СПб.: ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2009. С. 48-53.
14. Калихман Д.М. Универсальный стенд с цифровой системой управления для контроля измерителей угловой скорости различного принципа действия./ Д.М. Калихман, Л.Я. Калихман, Ю.В. Садомцев, А.В. Полушкин, Р.В. Ермаков, Е.А. Депутатова, С.Ф. Нахов, Е.А. Измайлов, А.В. Молчанов, М.В. Чиркин // XVII Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам. - СПб.: ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2010. С. 147-154.
15. M.N. Bournashev, M.N. Reproduction of plane angle unit in dynamic mode by means of ring laser and holographic optical encoder / M.N. Bournashev, Y.V. Filatov, D.P. Loukianov et al // Proceeding of the 2-nd international Euspen conference, Turin,Italy, 2001. -Turin, 2001. - P . 322-325.
16. Львов, П.А. Об одном методе решения задачи идентификации / П.А. Львов // Сб. трудов междун. научн. конф. «Проблемы управления, передачи и обработки информации», СГТУ, 2009, С. 83-85.
17. Львов, П.А. Полигауссовская аппроксимация области изменения параметров модели для решения задачи идентификации / П.А. Львов, О.В. Колесникова // Сб. трудов междун. научн. конф. «Проблемы управления, передачи и обработки информации», СГТУ, 2009, С. 85-89.
18. В.И. Тихонов Статистическая радиотехника / М. Советское радио. - 1966. - 679 с.
