Исследование явления резонанса в цепной RC-линии Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Исследование явления резонанса в цепной ^-линии

Зельманов С.С., ВВФ МТУСИ, г. Нижний Новгород

ёп-11

аі--------г

1 dtn-1

с11 . „ . .

• + ап -137 + ап1 = Е(1> dt

В данной системе на величину потерь энергии не накладывается каких-либо ограничений. Если на вход системы подать одиночный 5-импульс, то после окончания его действия уравнение системы будет иметь вид

dtn

*4

dtn-1

d1 с„ ■ п

*1 -1 ~~Г~ + ап1 о = 0. dt

(1)

Любое решение I (|) уравнения (1) является свободным процессом системы. Итак, свободный процесс — это реакция линейной стационарной системы на входной 5-импульс. Уравнению (1) соответствует характеристическое уравнение

В зависимости от вида корней характеристического уравнения, имеем различные решения этого уравнения и соответствующие им следующие виды свободных процессов

При определении понятия резонанса в линейных стационарных системах очень часто отождествляются понятия свободных и собственных колебаний системы. Более того, эти понятия приравниваются к определению нормальных колебаний. Однако это справедливо лишь для системы с одной степенью свободы, к которой относится колебательный контур. Применительно к нему классическая теория резонанса дает следующее его определение: "Резонанс — резкое возрастание амплитуд установившихся вынужденных колебаний, наступающее при приближении частоты р гармоничного внешнего воздействия к частоте I одного из нормальных колебаний, свойственных данной колебательной системе". Нормальные колебания — гармонические собственные колебания, которые могли бы существовать в линейных колебательных системах, если бы в них не происходило рассеяние энергии.

Приведенное определение резонанса относится к одиночному резонатору с пренебрежимо малыми потерями. Что касается систем с несколькими степенями свободы и систем, в которых потери играют конструктивную роль, то для таких систем теория резонанса отсутствует. Существует лишь критерий максимума АЧХ. К системам с экспоненциальными собственными процессами относятся ^-системы, корни характеристического уравнения которых являются отрицательными действительными числами, а не комплексно-сопряженными, что характерно для резонансных систем. Однако резонанс в таких системах имеет место в подчас весьма острой форме. Поэтому представляет интерес рассмотрение общего критерия существования резонанса в линейной стационарной системе и его определения с уточнением понятий свободных и собственных колебаний.

Рассмотрим линейную стационарную систему, дифференциальное уравнение которой с постоянными коэффициентами имеет вид

ІС (?)= СіЄ-“1‘

ісе (і )= С1Є-а 11 + С 2е-а 2‘ + ••• + С пе-С (і) = С^Г.. + Спі11 -1е-а

ісе ()= X Се-Кк1 *1пак1 + Ске-“к‘ СО8Юк1) к=1

т

ісв () = X (Ск811 Ю + ск СО8 Ю?)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

к=1

При этом, как следует из выражений (2) — (6), каждый свободный процесс представляет собой сумму собственных процессов. Собственные процессы — это составляющие свободного процесса системы. Вид собственных процессов определяется свойствами системы. Представленные 7 видов свободных процессов относятся к достаточно широкому классу линейных стационарных систем с произвольным числом степеней свободы. Решения (2) и (6) относятся соответственно к апериодическим и колебательным системам, решение (5) представляет собой сумму нормальных колебаний для идеальной системы. Решения (3) и (4) относятся в том числе и к ^-системам, возможность резонанса в которых нам предстоит обсудить. Резонанс в них, даже если он существует, не может быть объяснен с позиций его классического определения. Причина состоит в том, что классическое определение резонанса не предполагает учета потерь в резонаторе, а напротив обращает эти потери в ноль и приводит колебания в резонаторе к нормальным колебаниям, частота которых считается резонансной. При действии гармонического сигнала на входе линейной системы с постоянными параметрами на выходе ее появляется напряжение, начиная с момента \=^ Это напряжение можно определить с помощью интеграла Дюамеля:

(7)

п 11 " 2 + ••• + ап-1у + ап = 0 , где п = 1, 2, 3 ... .

У + + а2 І

где Ь(| - £) — реакция системы на 5-импульс, представляющая собой свободное колебание, т. е. сумму затухающих апериодических и колебательных собственных процессов. При \ > £ эта реакция имеет вид

к(?-£)=Х{аке-“к(‘-^)+ V(‘-^)со8 [ю(?-!)+Рк]} (8)

к=1

а при \ < £ Ь (I - £) = 0 .

В выражении (8) ак, Рк и Юк — положительные величины, а ак, Ьк и фк — вещественные постоянные числа. Иначе говоря, функция (8) изображает свободное колебание, возникающее на выходе системы в результате подачи на ее вход 5-импульса в момент

Выражение (7) определяет выходное колебание как в процесе

установления амплитуды, так и в моменты времени, когда его амплитуда уже установилась. Из выражения (7) следует, что выходное колебание зависит от входного колебания и свободного колебания особым образом. Выходное колебание появляется только в том случае, когда существуют одновременно входное и свободное колебания. Амплитуда выходного колебания имеет тем большую величину, чем меньше свободное колебание отличается от входного по форме. Точнее говоря, чем больше спектральная плотность свободного колебания на частоте входного колебания, тем больше амплитуда установившегося выходного колебания. Поэтому, если на частоте входного гармонического напряжения спектральная плотность свободного колебания имеет максимум, то на этой же частоте имеет максимум и амплитуда выход-ного гармонического напряжения. Поэтому имеется полное основание считать, что выходное колебание появляется в результате взаимодействия входного и свободного колебаний.

Итак, наличие экстремумов модуля спектра свободного процесса свидетельствует о возможности резонансов в системе. При этом их количество будет соответствовать количеству экстремумов. Частоты, на которых имеют место экстремумы огибающей модуля спектра свободного процесса, являются резонансными частотами системы. В этом и состоит смысл предлагаемого спектрального критерия резонанса.

В работе [1] было показано, что в линейной системе, в которой все собственные процессы — апериодические, в соответствии со спектральным критерием и при определенных условиях возможен сколь угодно резко выраженный резонанс на заранее заданных частотах. Теперь можно сформулировать определение резонанса с учетом спектрального критерия.

Резонанс — это явление возрастания амплитуды вышужденных колебаний в линейной стационарной системе до величины относительного максимума при прибли-жении частоты гармонического внешнего воздействия к значению, соответствующему любому экстремуму огибающей модуля спектра свободного процесса этой системы.

Система, на примере которой может быть подтверждена справедливость применимости этого определения к системам с экспоненциальными собственными процессами, имеет вид цепной 1^С-линии (рис.1). Полностью линейная система в виде цепной линии имеет передаточную функцию

k (І а)п = [(2іот)/(1 + і от )2] “ Модуль выражения (9) будет: к(а)п = [(2от )/(1 + (ат)2)]п

(9)

(10)

симости полосы пропускания системы от числа каскадов. Путем несложных преобразований выражение (10) можно привести к виду

к (а)п = і

- 2п(1"®/®р

(11)

Если п достаточно велико, то при Дю <<юр погрешность вычисления модуля по сравнению с истинной величиной к(ю)п будет сколь угодно мала.

На рис.2. изображена резонансная кривая, построенная с помощью выражения (11). Эта кривая имеет так называемую "колокольную" форму. Исследование свободного процесса цепной 1^С-линии показало, что это процесс является суммой экспонент. В частности, если ограничится пятью звеньями линии, то можно показать, что выражение для напряжения на выходе 5-го звена будет иметь вид

и5 (аі ) = 32

-]— (аі )7-^044 '

—(аі )4-—(аі )5 +—(а )6 -24 24 72

і

8064

(аі )8 -

і

(12)

362880

(аі) е

Колебание на выходе любого звена линии является результатом неполной компенсации экспонент. Нескомпенсированный остаток при суммировании экспонент на выходе 5-го звена (12) будет представлять собой гармоническое затухающее колебание, график которого приведен на рис. 3. Можно показать, что выражение свободного колебания на выходе многокаскадной цепной линии будет иметь вид:

Максимум модуля (10) имеет место на частоте Ор = 1/т. Выражение (10) определяет резонансную кривую исследуемой цепной линии. Однако в таком виде выражение не дает возможности составить представление о форме резонансной кривой и о зави-

хо=

і

2л/п

С08 (Орї

(13)

График выражения (13) представлен на рис. 4.

и

Рис. 1. Цепная ІкС-линия из п звеньев

С1

Q'BHrt' РА1К5ВЗУД2

R1 1с 0.1

[>

-К7

-ЇЇ

1_=г

С315нЛ

Н=Н

R4 11 -ВсОї

РА2К553УД2

п

РЗ С233п> Р2 ЮкОм ЮсОн

R5

-ОсОл

>

+І7

-V

FS

ЮЮм

С433п>

-0-------P"-J

-0-----------?-

I

pH

1-я

1 звено

2зве»ю

,+18*

'-«в

N5

1Э«8«Н0

Рис. 5. Экспериментальная схема цепной RC-линии

Из (13) следует, что под действием входного дельта-импульса на выходе цепи возникает свободное колебание, "частота" которого равна юр, а огибающая амплитуды имеет "колокольную" форму. Для подтверждения полученных теоретических результатов была произведена экспериментальная запись свободного колебания, возникающего на выходе п-го звена цепной линии после окончания действия входного дельта-импульса. Экспериментальная схема цепной линии представлена на рис. 5.

Фотоснимки осциллограмм свободных колебаний, возникающих на выходе цепной линии при п =1, 2, 4, 5, приведены на рис.6. Слева направо в верхнем ряду представлены колебания на выходе 1 -го и 2-го звена. Колебание на выходе 1 -го звена имеет один нулевой переход, а на выходе 2-го звена имеем два нулевых перехода. Это колебание два раза пересекает ось времени. В нижнем ряду представлены колебания на выходе 4-го и 5-го звена. Здесь, соответственно, 4 нулевых перехода на выходе 4-го звена и 5 нулевых переходов на выходе 5-го звена. Эти фотоснимки осциллограмм свободных колебаний экспериментально подтверждают сделанное ранее теоретическое заключе-

ние о том, что чем больше звеньев в цепной линии, тем ярче выражен колебательный характер свободного колебания на ее выходе. При подаче 5-импульса на вход цепной линии компенсация между экспоненциальными процессами вида с e- аkг происходит в каждом звене линии, и поэтому на выходе звена с любым номером действует только сравнительно малый нескомпенсированный остаток. При достаточно большом числе звеньев n и соответствующем выборе коэффициентов Ck это остаточное напряжение имеет вид узкополосного колебания [2].

Заключение

В соответствии со спектральным критерием в линейных стационарных системах явление резонанса возможно при наличии как собственных колебательных, так и собственных экспоненциальных процессов.

Рис. 6. Колебание на выходах экспериментальной цепной линии

Литература ной радиосвязи и оповещения". — Нижний Новгород-Москва, 2006. —

С. 75-77.

1. Зельманов С.С. Резонанс в линейной системе с собственными 2 ЗаііАИікж СС Ражжие теорж ретшсига в линейны1х спационар-

экспоненциальными процессами//14-я Межрегиональная НТК ных и упраишюиых ^стешх Лэтекгор^^е обобщенн^іх АМ и ЧМ-коле-

МНТОРЭС им. А.С. Попова "Обработка сигналов в системах назем- баний/МТусИ (Волго-Вята<ий филиал), НГТУ — Нижний НЪвгород 2007.