CC BY
38
УДК 528.4
Ашраф Абдель Ванис Бешр СГГ А, Новосибирск
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ЛИНЕЙНОГО ПОЛИНОМИАЛЬНОГО УРАВНИВАНИЯ ДЛЯ МОНИТОРИНГА ДЕФОРМАЦИЙ ИНЖЕНЕРНЫХ СООРУЖЕНИЙ
Ashraf Abd El-Wanis Abd El-Mawla Beshr Siberian State Academy of Geodesy (SSGA)
10 Plakhotnogo Ul., Novosibirsk, 630108, Russian Federation
STUDY THE POSSIBILITY OF APPLICATION OF LINEAR POLYNOMIAL ADJUSTMENT TECHNIQUE IN MONITORING THE STRUCTURAL DEFORMATION
Monitoring and analyzing deformations of engineering structures such as high-rise buildings, dams, bridges, industrial complexes are one of the main research fields in geodesy. Deformation analysis process comprises measurements and analysis phases. Measurements can be collected using several techniques. The output of the evaluation of the measurements is mainly point positions. Several models or approaches can be employed for the analysis. Polynomial surfaces are a very useful tool in order to represent the geomagnetic field over small area of the earth’s surface. Nevertheless, the method has not always been applied with enough precision. This paper investigates the applicability of the linear polynomial adjustment technique to the data array from monitoring the structural deformation by determining the accuracy of unknown point coordinates on the monitoring structure from measured points. The comparison study between the resulted accuracy from polynomial technique and measured values for computation the structural deformations is introduced and discussed. The results of the practical measurements, calculations and analysis of these results using least squares theory and computer programs are presented.
1. Введение
При эксплуатации инженерных сооружений они подвергаются влиянию внешних нагрузок, которые вызывают деформацию самого сооружения, и их фундаментов. Любая из указанных причин может поставить под угрозу безопасность эксплуатации сооружений. Постоянный мониторинг нагрузок на основание может помочь определить характер деформаций инженерных сооружений [1,2]. Для этого может быть применен метод полиномиального уравнения. Этот метод используется в бизнесе и экономике, но также он может быть использован для решения некоторых технических проблем [3], таких, как анализ деформаций инженерных сооружений. В математике полином является простым выражением, так как он построен из одного или более переменных и констант, и при этом используются только операции сложения, вычитания, умножения.
Система полиномиальных уравнений представляет собой систему уравнений, в которой заданные переменные должны обозначать одинаковые величины во всех уравнениях. В алгебре применяются методы для решения систем линейных уравнений с несколькими неизвестными.
Чтобы получить единственное решение, число уравнений должно равняться числу неизвестных. Эта важная тема подробно изучается в области математики, известной как линейная алгебра [3].
2. Предварительный анализ используемых геодезических методов измерений
Предварительный анализ геодезических методов наблюдений заключается в разработке и выборе программы наблюдений до начала строительства [2]. Основные моменты, которые необходимо учитывать при предварительном анализе исследования следующие: выбор геодезических методов, средств измерений, применение соответствующих математических моделей.
2.1. Метод электронного тахеометра
Это метод реализует локальную трехмерную систему координат для определения пространственных координат любой точки объекта. Ось Y выбирается произвольно как горизонтальная линия в направлении фундамента наблюдаемого здания, ось X - это горизонтальная линия, перпендикулярная направлению фундамента здания и направленная прямо к наблюдаемому объекту, и ось Ъ - вертикальная линия, которая совпадает с вертикальной осью прибора. Из известной точки мы можем наблюдать за движениями любой точки в пространстве с целью определения её локальных координат и точности.
2.2. Метод двух электронных тахеометров
Эта схема также применяется в процессе определения трех измерений для определения пространственных координат любой точки объекта. Это метод также реализует локальную трехмерную систему координат, на которой показано расположение двух тахеометров. Пусть известные координаты точек А и С, которые равны (ХА, УА, Ъа) и (Хс, Ус, Ъс). Из этих двух известных точек (А и С) можно определить координаты неизвестной точки (В). Три параметра (Хв, Ув, Ъв) точки В и шесть наблюдений (вертикальные углы уь у2, горизонтальные углы аь а2 и расстояния Sl, Бг). Тогда метод наименьших квадратов будет использоваться для определения координат точки (В) и ее точности.
3. Математическая модель линейного полиномиального метода
Математическая формула полиномиальной модели для данного случая представляется уравнением (1) следующим образом:
= Ао + АХ + Л2У> + Аз 2^ (1)
где а! - среднее квадратичное отклонение положения точки (^, А (од,2,з) параметры, (Х!, У!, координаты точки (^. Используя общий метод
наименьших квадратов для решения этой системы для каждой точки, отметим, что координаты (X, Y, 7), будут рассматриваться в качестве точек наблюдения, неизвестными точками будут считаться (А0, А1, А2, А3). Таким
образом, система уравнений может быть записана для каждой точки, и мы будем иметь п уравнений для п точек.
При использовании общего метода наименьших квадратов системы могут быть записаны в матричном виде следующим образом:
А(п,п) V'п,1)+В(п,т)^(т,1) ^(п,1) (2)
где А - коэффициент матрицы остатков, V - вектор разницы, В -матрица параметрических уравнений поправок, А - вектор параметров, F -вектор постоянных, п- число наблюдений, равное числу уравнений, м- число параметров, равное числу неизвестных. Матрица (А) представляет собой дифференциацию уравнений для п наблюдаемых точек. В этом случае матрица (А) равна единой матрице как следует ниже: А(П,П) = -[I]. Матрица (В) представляет собой дифференциацию неизвестных параметров для п точек. Решение будет выполняться пошагово, как показано на схеме рис. 1.
Рис. 1. Схема пошагового решения при помощи полиномиального метода и
теории наименьших квадратов
4. Программа эксперимента
При выполнении эксперимента нами были получены результаты измерений за наблюдением «твердых» точек с помощью предлагаемых методов. На плоскости строящегося фасада была установлена сетка размером 7.7м х 3.0м, на которой было 12 точек (рис. 2). Для расчета пространственных координат любой точки на сетке была использована местная трехмерная прямоугольная система координат. Для ориентирования недалеко от стены были выбраны две «твердые» точки. При выполнении исследований использовались два тахеометра фТМ 850-№коп и SET300-Sokkia) и призма в
виде зеркала диаметром 1 см. При выполнении измерений учитывалось влияние внешних условий, которые могут иметь систематический характер. Координаты всех 12 точек известны. Рассмотрим методику выполнения измерений.
Рис. 2. Расположение точек на вертикальной плоскости
1.1. Выполнение измерений одним электронным тахеометром
Тестовый полигон на стене был измерен пять раз. Каждый раз были получены разные расстояния: 3,85 м, 5,775 м, 7,70 м, 9,625 м и 11,55 м. На каждом расстоянии измерение выполнялось посредством наблюдения двенадцати точек. Эксперимент проводился в дневное время при естественном освещении и температуре (+250С). Координаты всех точек были определены с помощью тахеометра SOKKIA SET 300, паспортная точность измерения расстояний которых равно mS = 3мм и mT=1,07/
1.2. Выполнение измерений двумя электронными тахеометрами
Тестовые измерения проводятся на стене с целью:
- Исследования точности измерения расстояния от тахеометра до стены.
- Исследования точности измерения расстояния между двумя тахеометрами.
Тестовый полигон на стене был измерен девять раз. Каждый раз были получены разные расстояния между двумя тахеометрами: 2,969 м, 3,98м и 5,97м, на трех расстояниях 4,01 м, 5,769 м и 7,753 м. На каждом расстоянии измерение выполнялось посредством наблюдения двенадцати точек. Эксперимент проводился в дневное время при естественном освещении и температуре (+250С).
2. Применение метода линейного полиномиального уравнения
Вычисленные координаты и определение их точность каждой из двенадцати наблюдаемых точек производилось с помощью программы ЫмМаЪ и линейного полиномиального метода. При этом применялись разные варианты (комбинации) наблюдений. Были получены следующие результаты:
1. Измерение одним тахеометром
Для нахождения наилучшего результата полиномиальный метод использовался четыре варианта. Итоговые результаты приведены в табл. 1.
Таблица 1. Сравнение между результатами наблюдений и вычислений с помощью полиномиального метода из одного тахеометра для всех вариантов
Точка Первый вариант: Точки (1,9,12,4) твердые Точки. Остаточные точности (мм) Второй вариант: Точки (1,4,9,12,6,7) твердые Точки. Остаточные точности (мм) Третий вариант: Точки (1, 4,9,12,5,8) твердые Точки. Остаточные точности (мм) Четвёртый вариант: Точки (1,2,3,4,9,10, 11, 12) твердые точки. Остаточные точности (мм)
Ух Уу Уг Ух Уу Уг Ух Уу Уг Ух Уу Уг
1
2 -0.6505 0.32 0.1035 -0.422 0.222 0.0369 -0.740 0.2124 -0.145
3 -0.7929 0.3261 0.1267 -0.583 0.257 0.0716 -0.713 0.4956 0.1948
4
5 0.0146 0.0147 0.0324 0.237 -0.084 -0.033 0.3149 -0.107 -0.033
6 -0.6097 0.2617 0.18793 -0.655 0.2236 0.1018 -0.283 0.137 0.1205
7 -0.7414 0.2693 0.195 -0.760 0.2779 0.2084 -0.392 0.1431 0.1256
8 0.0109 0.0097 0.0426 0.239 -0.071 -0.019 0.381 -0.119 -0.028
9
10 -0.5802 0.1818 0.1551 -0.353 -0.095 0.09 -0.592 0.1968 0.194
11 -0.6967 0.1813 0.162 -0.466 0.222 0.097 -0.723 0.1767 0.1468
12
Как видно из табл. 1, разница стандартных отклонений между этими двумя методами из одного тахеометра для всех вариантов сравнительно небольшая. Лучшее расположение точек на этой стене из одного тахеометра и линейного полиномиального метода - это второй вариант, где точки (1,4,9,12,6 и 7) являются твердыми точками. Максимальная разница УХ равна 0,58 мм, а минимальная - 0,23 мм. Но для Уу - 0,26 мм является максимальной, а минимальной является 0,07 мм. Для Уг - максимальное значение стандартного отклонения равно - 0,097 мм, а минимальное - 0,019 мм.
2. Измерение двумя тахеометрами
Для нахождения наилучшего метода оценки результатов измерений использовался полиномиальный метод. Были вычисление и варианта оценки разницы. В табл. 3 и на рисунках 11, 12 и 13 приведены и итоговые
результаты определения точности положения точек путем наблюдений и моделирования с помощью линейного программирования.
Как видно из табл. 2, разница стандартных отклонений между этими двумя методами сравнительно из двух тахеометров для всех вариантов небольшая. Лучшее расположение точек на этой стене из двух тахометров и линейного полиномиального метода - это второй вариант, где точки (1,4,9,12,6 и 7) являются твердыми точками. Максимальная разница УХ равна 0,53 мм, а минимальная - 0,03 мм. Но для Уу - 0,33 мм является максимальной, а минимальной является 0,04 мм. Для У2 - максимальное значение стандартного отклонения равно - 0,28 мм, а минимальное - 0,013 мм.
Таблица 2. Сравнение между результатами наблюдений и вычислений с помощью полиномиального метода из двух тахеометров для всех вариантов
Точка Первый вариант: Точки (1,9,12,4) твердые Точки. Остаточные точности (мм) Второй случай: Точки (1,4,9,12,6,7) твердые Точки. Остаточные точности (мм) Третий случай: Точки (1, 4,9,12,5,8) твердые Точки. Остаточные точности (мм) Четвёртый случай: Точки (1,2,3,4,9,10, 11,12) твердые Точки. Остаточные точности (мм)
Ух Уу Уг Ух Уу Уг Ух Уу Уг Ух Уу Уг
1
2 -0.348 0.288 -0.183 -0.313 -0.333 -0.153 -0.349 -0.363 -0.168
3 -0.519 1.262 -0.289 -0.532 -0.148 -0.279 -0.533 -0.120 -0.293
4
5 -0.022 0.560 -0.092 0.033 0.121 -0.050 0.219 0.194 0.047
6 -0.288 -0.100 -0.189 -0.281 -0.151 -0.165 -0.139 -0.144 -0.099
7 -0.150 -2.099 -0.072 -0.121 -0.261 -0.031 -0.437 -0.699 -0.214
8 -0.039 -2.480 -0.054 0.113 0.042 0.013 -0.443 -0.675 -0.259
9
10 -0.332 0.337 -0.214 -0.276 0.173 -0.175 -0.328 0.121 -0.192
11 -0.339 -0.452 -0.223 -0.259 0.190 -0.179 -0.326 0.125 -0.200
12
3. Выводы
Из предыдущего анализа и результатов можно сделать следующие выводы:
1. Применение двух способов измерений (один тахеометр и два тахеометра) могут дать ценную информацию о деформации инженерных сооружений и осадках зданий.
2. Линейный полиномиальный метод может быть использован для определения координат точек и определения их точность путами использования координат известных точек. Точность определения координат между результатами наблюдений и вычисления с помощью полиномиального метода одинаково. Поэтому этот метод может быть использован при мониторинге деформаций инженерных сооружений и оборудований. Если
необходимо выполнять наблюдения за инженерным сооружением, то необходимо наблюдать за некоторыми точками (координатами и точностью) здания, а затем посредством этого метода можно определить координаты нескольких точек и их точность.
3. Наиболее точные результаты измерений получаются, тогда когда определяемые точки находится внутри периметра твердых точек.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Уставич, Г.А. Мониторинг технического состояния промышленных объектов и высотных зданий [Текст] / Г.А. Уставич, К.Н. Мамилин, Ю.С. Обидин // Материалы III Международного научного конгресса «ГЕО-Сибирь-2007», 25-27 апреля 2007 г., Новосибирск. - Новосибирск, 2007. - Т. 1. - С. 97-98.
2. Ashraf A.A. Beshr. Accurate surveying measurements for monitoring the structural deformation [Текст] / Ashraf A.A. Beshr // The third international exhibition and scientific congress “GE0-SIBERIA-2007”, 25-27 April 2007 - Novosibirsk, Russia - Vol.1 - p.112-117
3. Ardizone J. Application of the polynomial adjustment to the aeromagnetic survey of the Spanish Mainland; Requirements and shortcomings [Текст] / J. Ardizone, M. Herraiz // Earth Planets Space, 2000, 52, p.183-196.
© Ашраф Абдель Ванис Бешр, 2008
