Исследование возможности использования кватернионов для определения параметров внешнего ориентирования в фотограмметрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КВАТЕРНИОНОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВНЕШНЕГО ОРИЕНТИРОВАНИЯ В ФОТОГРАММЕТРИИ Ким Хон Ир1, Рю Чхоль Бом2, Ким Жун Хян3, Жен Чхол4

1КимХон Ир — кандидат географических наук, преподаватель, кафедра геодезической информационной техники, факультет зондирования ресурсов, Политехнический университет им. Ким Чака;

2Рю Чхоль Бом - кандидат технических наук, научный сотрудник, кафедра управления, факультет электронной науки, Институт естественных наук; 3Ким Жун Хян — доктор географических наук, преподаватель;

4Жен Чхол - доктор географических наук, преподаватель, кафедра геодезической информационной техники, факультет зондирования ресурсов, Политехнический университет им. Ким Чака, г. Пхеньян, Корейская Народно-Демократическая Республика

Аннотация: элементы внешнего ориентирования аэросъемки играют важную роль при определении положения и ориентации камеры во время съемки. В последнее время широкое распространение получила съёмка с низколетящих летательных аппаратов, особенностью которой является проблема стабилизации положения и ориентации съёмочной аппаратуры. В этих условиях проблему определения параметров внешнего ориентирования невозможно решить традиционными методами фотограметрии. В работе представлены алгоритм решения уравнения коллинеарности на основе аппарата алгебры кватернионов и метод определения параметров внешнего ориентирования независимо от начального значения и угла наклона. Кроме того, определены элементы ориентации в различных условиях, таких как начальное значение лежит в диапазоне 0°~40°, и подтверждено то, что элементы ориентации определяются независимо от начального значения. Ключевые слова: фотограмметрия, внешняя ориентация, кватернион.

УДК 528.74

Введение

Элементы внешнего ориентирования аэрофотоснимка играют важную роль в производстве ортофотопланов, а также определении положения и угловой ориентации съёмочной системы в момент получения снимка.

Существуют много методов определения элементов внешнего ориентирования аэрофотосъемки, но обычно используется строгий метод, основанный на решении уравнения колинеарности. Однако этот метод используется для съёмки профессиональными топографическими аэрофотокамерами, угол отклонения от надира которых, как правило, не превышает 3 В последнее время широкое распространение получила съёмка с беспилотных летательных аппаратов, особенностью которой является слабая стабилизации положения и ориентации съёмочной аппаратуры, в результате чего углы отклонения съёмочной аппаратуры от надира могут достигать 10 В этих условиях традиционные методы анализа фотограмметрии не могут точно определить внешний элемент ориентации.

В данной работе представлен алгоритм решения уравнения колинеарности условного на основе аппарата алгебры кватернионов, установлен метод определения элементов внешнего ориентирования независимо от начального значения и угла наклона в соответствии с последней тенденцией развития и подтверждена его точность путем экспериментальных расчетов.

1. Представление матрицы вращения через нормированные кватернионы

Любой кватернион Q может быть представлен в следующем виде [2]:

0 = П + + Бву + Се2

где Б - скалярный компонент; А, В, С - направляющие косинусы (координаты) векторного компонента; ех, е , в2 - ортонормирований базис.

В кватернионной алгебре базисные единицы обладают следующими свойствами:

e2 = e2 = e2 =—1, e e = —ee = e ,

x y z ' x y y x z ?

e e = —e e = e , e e = —e e = e

y z z y x? x z z x y

Нормированный кватернион q опредляется следующим образом:

q = — (D + Ae +Be, + Ce ) = d + ae + be, + ce (1)

j. x y z s x y z

где * = cos ec 0 = V D 2 + A2 + B 2 + C 2

2

0 - угол поворота-пространства вокруг оси вращения кватерниона Для нормированных кватернионов справедливо следующее условие:

d2 + a2 + b2 + c2 = 1 (2)

Элементы матрицы вращения могут быть выражены через элементы нормированного кватерниона с нормой равной единице следующим образом:

' d2 + a2 — b2 — c2 2(ab — ad) 2(ac + bd) ^

R = 2(ab + cd) d2 — a2 + b2 — c2 2(bc — ad) (3)

^ 2(ac — bd) 2(bc + ad) d2 — a2 — b2 + c2 ^

На основании выражения (3) эйлеровы углы можно представить как функции параметров вращения:

р = arctan(—R13 / R33) со = arcsin(—R23) f (4) ^ = arctan(R21 / R22)

2. Линеаризация уравнения коллинеарности путем нормироанного кватерниона

Фундаментальное уравнение космической фотограмметрии, представленное в форме уравнения коллинеарности, выглядит следующим образом [1]:

fau(X — X,) + ai2(Y — Ys) + ai3(Z — ) _ U

x — x 0 = — J - = — J —

a31 (X — Xs) + a32 (Y — Ys) + a33 (Z — Zs) Ж

^a21( X — Xs ) + a22 (Y — YS ) + a23(Z — ZS ) rV

y — y о = —J —~—TTT"-~r—^TT"—~—^TT = — J

a31(X — XS ) + a32(Y — YS ) + a33(Z — ZS )

w

(5)

где

и = а„(X - X,) + а12(7 - ¥3) + ап (г - г,)" V = а21(X -X,) + а22(У - У3) + а2з(г - г,)

Ж = аз^ - X,) + аз2(7 - ¥3) + азз(г - г,) В уравнении (5), элементы матрицы вращения выражаются следующим образом: ап = ^2 + а2 + Ь2 + с2, а12 = 2(аЬ - с^), а13 = 2(ас + bd)

a2l = 2(ab + cd), a22 = d2 — a2 + b2 — c2

a23 = 2(ac — bd)

a = 2(ac — bd),

= 2(bc + ad), a33 = d2 — a2 — b2 + c2

Из четырех компонентов нормированного кватерниона три компонента а, 6, и с являются независимыми, а << определяется из условия (2).

Линеаризованное уравнение (5) принимает следующий вид:

, Йгл Йгл, Йгл З^АТЛ cx ^ 0 x + v — x„ = —Aa + — Ab + — Ac +-AX,. +-AY, +-AZ. + x

5a

5b

5c

5Y.

5Z,

yx + v — y„ = — Aa + — Ab + 5yAc + AX. + An + -5y-AZ. + yо

y 0 5a 5b 5c 5XS S 5YS S 5ZS S

(6)

о ,.0

где, x , y - измеренное значение; x , y - приближенное значение.

a

32

ими ммм м ХММ1 у-поправки Частные производные в уравнении (6) имеют следующий вид:

— = —1 {2/(а • ёХ + Ь • ёУ + с • ё2) + 2(х' - х0 )(с • ёХ + ё • ёУ - а • ё2) } да Ж

— = -—{2/(-Ь • ёХ + а • ёУ + ё • ё2)+ 2(X - х0)(-ё • ёХ + с • ёУ -Ь • ё2) } дЬ Ж

— = - — {2/(-с • ёХ - ё • ёУ + а • ё2)+ 2(X- х0)(а • ёХ + Ь • ёУ + с • ё2) } да Ж

дХя Ж

= ^[аи • ^^ + аз1 •(х'-ха)]

дх

\а

дх

= -1 [а12 • f + а32 • (х'- х0)]

дУ Ж дх

+ а.

= Ь[а13 •f + азз • (х'- х0)]

д^ Ж1 13 " 33

ду = -— {2f(Ь • ёХ - а • ёУ - ё • ё2) + 2( у'- у0 )(с • ёХ + ё • ёУ - а • ё2) } да Ж

ду = -1 {2Да • ёХ + Ь • ёУ + с • ё2) + 2(у'- у0 )(-ё • ёХ + с • ёУ - Ь • ё2) }

ду = -1 {2f(d • ёХ - с • ёУ + Ь • ё2) + 2(у - у0 )(а • ёХ + Ь • ёУ + с • ё2) }

ду

7 - * + а,

= -1 [а21 • + а31 • (У' - У0)]

дХ3 Ж ду _ _

дУ Ж 32

= 71 [«22 • f + а32 • (у ' - Уо)]

= ^ [а 23 \/ + а33 • ( у ' - Уо)]

ду

д28 Ж

ёХ = Х - Х5, ёУ = У - У, ё2 = 2 - 23

Подставляя частные производные значения в уравнение (6), уравнение поправочного значения в соответствии с п колинеарностными условными уравнениями получается следующим образом:

V = АХ + Ь (7)

где,

V = (V V —V V V —V )г

' V Х1УХ 2 у Хпу У1у У 2 у Уп ) Ь = (ЬХ1ЬХ 2 — ЬХп ЬУ1ЬУ 2 — ЬУп )

ЬХг = х0 - х'г + х0 , ЬУг = у ^ - Уг + уо Х = (Да АЬ Ас АХ^ А^ )т

А =

( дх1 дх1 дх1 дх1 дХ ^

да дЬ дс дXs д^

дХп дхп дхп дХп дхп дХп

да да дс дXs дг^ д^я

дУ: дУ1 дУ1 дУ1 дУ1 дУ1

да дЬ дс дXs дг^ д^

дУп дУп дУп дУп дУп дУп

да да дс дXs дУ8

3. Алгоритм определения внешних элементов ориентации на основе стандартизированного кватерниона

Применяя принцип наименьших квадратов в уравнение (7), стандартное уравнение получается следующим образом:

АТАХ + АТЬ = 0 (8)

От уравнения (8) поправочные значения внешних элементов ориентации определяются следующим образом:

" <т лV1 лТ

X = -

(ата)-1 АТЬ

(9)

Внешние элементы ориентация определяются посредством итеративного процесса решения уравнения (9).

Итеративный процесс:

(1) Начальные значения для неизвестных параметров берутся X 0 = 0, г; = о = о

и а0 = 0 , Ь0 = 0, с0 = 0 , d0 = 1 и поправочные значения неизвестных параметров рассчитываются в уравнении (9)

(2) Исправляются начальные значения неизвестных параметров следующим образом:

х5 = х0 + дх5, г = г0 + аг , ^ = г0° +

а = а0 + Аа, Ь = Ь0 + АЬ, с = с0 + Ас d = d0 - (а • Аа + Ь • АЬ + с -Ас)/d

(3) Подставляя исправленные неизвестные параметры в уравнение (9), пересчитывается неизвестные параметры.

Итеративный процесс вычисления продолжается до тех пор, что следующее условие удовлетворено.

X (к+1) - X(К)

<5

(10)

где, 5 = 10 8 4. Пример расчета

Для практической проверки предложенных алгоритмов рассчитаны координаты точек изображения, используя внешние элементы ориентации и опорные точки, установленные для шести моделированных фотографий с внутренними элементами ориентации: / = 153.24 тт, х0 = 0 и у0 = 0.

В таблице 1 представлен набор внешних элементов ориентации и в таблице 2 показаны координаты опорных точек.

N0 Zs,m <Р,° К,°

1 39795 27477 7573 0 3 1

2 39795 27477 7573 3 4 10

3 39795 27477 7573 10 40 20

4 39795 27477 7573 30 20 40

5 39795 27477 7573 -30 20 40

6 39795 27477 7573 40 20 30

Таблица 2. Координаты опорных точек

N0 Х,т У,т ^т

1 40589 26273 2195

2 38589 26273 728

3 38589 28273 757

4 40589 28273 2386

В таблице 3 показаны результаты расчета координат изображения, используя данные в таблице 1 и таблице 2.

Таблица 3. Координаты точек изображения

N0 изображение 1 N0 изображение 2

х,тт у,тт х,тт У,тт

1 34.2984 -34.3533 1 39.2070 -21.9382

2 -15.6197 -27.1594 2 -10.8830 -22.7871

3 -16.4799 17.2468 3 -19.0072 20.8065

4 34.1176 24.2354 4 30.2029 35.9975

N0 изображение 3 N0 изображение 4

х,тт у,тт х,тт У,тт

1 196.1673 3.8951 1 110.7835 87.2238

2 103.8410 -8.7165 2 51.9659 46.6074

3 81.7302 38.6623 3 17.4961 81.8059

4 155.8787 84.0479 4 60.0759 149.1278

N0 изображение 5 N0 изображение 6

х,тт у,тт х,тт У,тт

1 116.5226 -125.7925 1 110.8246 118.8240

2 50.7065 -155.4141 2 43.8940 79.2154

3 16.4977 -91.3067 3 11.7885 127.4426

4 59.1156 -52.7686 4 71.6313 214.3453

С использованием данных в таблице 2 и таблице 3, результаты определения внешних элементов ориентации являются такими же, как внешними элементами ориентации, изложенных в таблице 1, независимо от выбора угла наклона и начального значения. Выводы

В данной работе предложен алгоритм для определения внешних элементов ориентации от единичных кватернионов независимо от величины угла наклона и начальное значение неизвестного параметра в соответствии с аналитической обработкой аэрофотоснимков, сделанных небольшими самолетами или беспилотными летательными аппаратами или дирижаблями и т.д., и обоснована его справедливость путем экспериментальных расчетов.

Список литературы

1. УрмаевМ.С. Космическая фотограмметрия: Учебник для вузов. М.: Недра, 1089. 279 с.

2. ттФ. #1. 2010.1.44-47.