CC BY
9
УДК 622.253.3 DOI 10.46689/2218-5194-2021-4-1-453-463
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ УПРОЩЕНИЯ СОПРЯЖЕННОЙ ТЕРМОГИДРОМЕХАНИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИСКУССТВЕННОГО ЗАМОРАЖИВАНИЯ ПОРОД ПРИ СТРОИТЕЛЬСТВЕ СТВОЛОВ ШАХТ
М. А. Семин
Показано, что важным этапом разработки проектов по замораживанию грунтов и пород при строительстве шахтных стволов (и других подземных сооружений) является математическое моделирование процессов деформирования и теплопереноса в замораживаемых средах. Это необходимо для расчета требуемых толщин ледопород-ных ограждений, времени их формирования и параметров замораживающих станций. Выбор обоснованной математической модели невозможен без проведения анализа значимости и взаимосвязанности различных физических процессов, протекающих при замораживании пород. Такой анализ позволяет выбрать разумную степень детализации физических процессов в модели: учесть все важные факторы и пренебречь остальными. Предложена методика анализа значимости и взаимосвязанности таких физических процессов. Для этого сформулирована общая термогидромеханическая модель замораживания пород, выделен и классифицирован набор безразмерных комплексов, обуславливающих взаимосвязи между различными физическими процессами. Переход от общей термогидромеханической модели к более простым моделям возможен только при условии малости соответствующих безразмерных комплексов.
Ключевые слова: искусственное замораживание пород, ледопородное ограждение, численное моделирование, термогидромеханическая модель, упрощение модели.
Введение
Строительство шахтных стволов во влажных грунтах и породах осуществляется с использованием специальных способов. Одним из наиболее распространенных специальных способов является искусственное замораживание грунтов. В рамках данного способа вокруг проектируемого ствола бурится контур из замораживающих скважин, в них устанавливаются замораживающие колонки. Колонки оборудуются питающей трубой, после чего становится возможной циркуляция рассола по ним. В результате окружающий колонки влажный породный массив постепенно охлаждается и замораживается - сформированная область замороженных пород имеет форму полого цилиндра и называется ледопородным ограждением (ЛПО) [1, 2].
При формировании ЛПО во влажных породах протекает множество различных взаимосвязанных термогидромеханических процессов [3 - 7]. Так, например, замерзание воды в порах грунта сопровождается ее расширением, что, с одной стороны, приводит к изменению напряженно-деформированного состояния (НДС) в породе, а с другой - к миграции по-ровой влаги. Движение поровой влаги в незамороженных породах возникает как вследствие наличия градиентов температуры (термодиффузия, криоген-
ные течения), так и вследствие внешних факторов: перепада гидростатического давления (вынужденная конвекция) и поля силы тяжести (естественная конвекция, обусловленная разницей плотностей воды), геологических условий и пр. Вынужденная конвекция в виде горизонтального потока по-ровых вод в слое пород может оказывать очень сильное влияние на состояние ЛПО [8 - 10] вплоть до невозможности его формирования. Естественная конвекция влияет на формирование ЛПО в меньшей степени [11]. В свою очередь, из-за проявления криогенных течений и сопутствующего им морозного пучения пористость замороженных пород в отдельных зонах ЛПО может возрастать более чем на 30 %, а льдистость может меняться более чем на 50 % [12]. Это неминуемо приводит к изменению теплофизических, физико-механических и прочностных свойств пород. При замораживании засоленных пород ситуация еще сильнее усложняется ввиду миграции соли, влияющей на температуру фазового перехода влаги и прочие теплофизиче-ские и физико-механические свойства пород [7].
Сказанное выше не отражает всех возможных взаимосвязей тепловой, гидравлической и механической моделей в задачах об искусственном замораживании пород. Но из сказанного выше уже следует важность учета связанных термогидромеханических процессов для достоверного моделирования искусственного замораживания пород. Тем не менее, на практике инженерный расчет параметров замораживания пород чаще всего осуществляется с применением не связанных термогидромеханических (ТГМ) моделей, а более простых моделей: сначала с помощью механической (статической) модели рассчитывается требуемая толщина ЛПО по условиям прочности и ползучести, а после этого с помощью термодинамической (теплофизиче-ской) модели рассчитывается время достижения ЛПО требуемых толщины и средней температуры. Механическая и термодинамическая модели в данном случая не зависят друг от друга. Чисто механическим расчетам состояния ЛПО посвящены работы [13 - 15], исследованию чисто термодинамических процессов при формировании ЛПО - работы [16 - 19].
Применение простых моделей обусловлено как минимум тремя соображениями:
1) нормативными документами, разработанными несколько десятков лет назад и обязывающими применять упрощенные подходы к анализу состояния ЛПО;
2) необходимостью проведения расчетов замораживания пород в короткие временные сроки;
3) ограниченностью и неточностью исходных данных для параметризации математических моделей.
Так, например, действующие на территории России нормативные документы [20] и инструкции, на которые они ссылаются [21], включают формулы Вялова для расчета толщины ЛПО по условиям прочности и ползучести. Расчет времени достижения требуемой по прочности и ползучести
толщины ЛПО предлагается проводить либо с использованием упрощенных теоретико-эмпирических формул, либо путем проведения моделирования тепловых процессов в замораживаемом массиве пород.
Чаще всего разработка проектов по замораживанию пород осуществляется в сжатые временные сроки [22, 23], в то время как проведение многопараметрического 3-0 моделирования на ТГМ-модели с целью определения оптимальных параметров системы замораживания по условиям энергоэффективности и безопасности может занимать месяцы. При этом проект по замораживанию пород включает в себя множество других разделов, также требующих времени.
Ограниченность и неточность исходных данных, используемых для параметризации математических моделей замораживаемого породного массива, связана, в первую очередь, с экономией финансовых средств на этапе проведения инженерно-геологических изысканий на промплощадке строящегося рудника. Объем кернового материала из геологоразведочных скважин зачастую оказывается недостаточным для того, чтобы далее, в ходе лабораторных тестов, измерить с достаточной достоверностью все требуемые параметры пород для параметризации детализированных моделей с целью проведения статического и термодинамического расчетов [17].
Три указанных соображения еще не достаточны для обоснования возможности упрощения исходной ТГМ-модели и перехода к рассмотрению термодинамических и механических процессов по отдельности. Последнее может быть осуществлено только в результате анализа выраженности всех возможных физических процессов при замораживании пород, анализа корректности всех гипотез, вводимых для упрощения наиболее полной ТГМ -модели и перехода к более простым моделям. Такой анализ чаще всего не проводится исследователями и инженерами при формулировке математических моделей замораживаемых пород. А полный перечень сделанных при этом допущений при формулировке математических моделей остается не оговоренным.
Цель настоящего исследования - укрупненный анализ условий, при которых возможен обоснованный переход от связанной ТГМ-модели искусственного замораживания пород к механической и термодинамической моделям, не зависящим друг от друга.
Сопряженная ТГМ-модель замораживания пород в общем виде основана на следующих балансовых соотношениях [3, 4]:
Структура ТГМ-модели и ее декомпозиция
(1)
СН
—^ + у, •УИ! = у.(л(р)уг);
(2) (3)
V-о = р%,
3 3
где р1 - плотность поровых вод, кг/м ; р - плотность льда, кг/м ; р - льди-
3 3
стость (объемное содержание льда в порах), м /м ; п - пористость массива; г - переменная времени, с; V - набла-оператор, 1/м; \1 - вектор скорости течения (по Дарси) поровых вод, м/с; Иш - удельная энтальпия обводненного породного массива (порода + вода + лед), Дж/м ; И1 - удельная энтальпия поровых вод, Дж/м ; X - теплопроводность обводненной породы, Вт/(м-°С); Т - температура обводненной породы, °С; о - тензор напряжений Коши, Па; g - ускорение свободного падения, м/с ; р - плотность влажного породного массива, кг/м3.
Система уравнений (1) - (3) дополняется определяющими соотношениями, уравнениями состояния, условиями потери прочности, граничными и начальными условиями, которые не будут конкретизироваться в данной статье. Из системы (1) - (3) видно, что в данной модели присутствует как минимум 21 неизвестная функция: Т, Н, р, три компоненты вектора V1, шесть компонент тензора о, шесть компонент тензора с, три компоненты вектора и.
В случае, если к рассмотрению добавляется тепломассоперенос в воздушной среде шахтного ствола, система уравнений (1) - (3) дополняется еще тремя балансовыми уравнениями:
дра
—t
+ V-(paVa) = 0, (4)
—
-T-(paVa ) + Va-V-(paVa ) = -Vpa + V-Ta + pag, (5)
dt
д
—(p E ) + V-(p V E + p V ) = V-(hVT + t -V ) (6)
\r^a a) \r a a a г a a ) \ a a a a) V /
—t
с соответствующими замыкающими уравнениями для тензора турбулентных напряжений, уравнениями состояния, начальными и граничными условиями.
Здесь pa - плотность воздуха, кг/м ; Va - вектор скорости воздуха, м/с; pa -давление воздуха, Па; Ea - удельная энергия (внутренняя + кинетическая) воздуха, Дж/кг; Ха - теплопроводность воздуха, Вт/(м-°С); та - тензор сдвиговых напряжений, Па.
Целесообразно выделить в полной математической модели (1) - (6) четыре субмодели:
1) термодинамическая;
2) гидравлическая;
3) механическая;
4) аэрологическая.
На рисунке представлена схема, на которой показано возможное влияние различных субмоделей друг на друга. Как видно из рисунка, стрел-
ки, указывающие на наличие влияния одних субмоделей на другие, не соединяют попарно все блоки. Более того, для некоторых пар блоков связь является по большому счету односторонней.
Влияние различных субмоделей друг на друга
Влияние термодинамической субмодели на механическую является чаще всего односторонним: нестационарное поле температур существенным образом влияет на напряженно-деформированное состояние (НДС) пород ввиду теплового расширения и сжатия пород, ввиду зависимости физико -механических и прочностных свойств пород от температуры. В свою очередь, НДС массива, полученное из механической субмодели в рамках линейной теории упругости, может влиять на термодинамические процессы только опосредованно через гидравлическую модель - посредством изменения пористости массива вследствие его объемного деформирования. Изменение пористости породного массива приводит к увеличению влажности пород, которая является одним из наиболее значимых параметров при теп-лофизическом расчете, к повышению гидростатического давления поровых вод и их последующей фильтрации, к изменению температуры фазового перехода поровой влаги. Следует отметить, что в случае, если рассматриваются процессы пластического деформирования и разрушения ЛПО (например, при авариях, затоплении строящегося ствола), изменение НДС может непосредственно и существенно влиять не только на фильтрацию поровых вод, но и на поле температуры в породном массиве.
Влияние термодинамической и гидравлической субмоделей друг на друга является двусторонним и наиболее ярко выраженным. Термодинамическая субмодель влияет на процессы фильтрации в следствие вариации относительной гидравлической проницаемости пород при фазовом превращении воды в лед, за счет создания движущих сил для криогенных течений, для естественной конвекции влаги, для термодиффузии влаги и пр. Гидравлическая субмодель влияет на поле температур в породном массиве за счет дополнительного конвективного слагаемого в уравнении переноса теплоты
(2), а также в меньшей степени за счет изменения температуры фазового перехода поровой воды при изменении гидростатического давления.
Отсутствие прямых зависимостей между аэрологической субмоделью и механической и гидравлической субмоделями логична. Единственно здесь следует отметить, что крепь шахтного ствола принимается герметичной и не способной пропускать через себя фильтрационные потоки поровых вод, которые могли бы участвовать в тепломассообмене с шахтным воздухом. В аварийных ситуациях это может быть не так. При этом аэрологическая субмодель сильно связана с термодинамической моделью. Связующим звеном выступает закон теплообмена воздуха с массивом через крепь ствола. При малых скоростях воздуха в стволе коэффициент теплоотдачи на границе «крепь-воздух» мал и влияние воздушного потока на температурное поле массива пренебрежимо мало - такая ситуация имеет место на большинстве шахтных стволов на этапе их строительства. Однако в случае, когда расход воздуха в стволе достаточно большой, а температура воздуха существенно выше нуля, тепловое влияние воздуха на замороженный массив может быть значимым - так, к примеру, обстояло дело на стволах рудника Гремячинского ГОКа.
Условия, при которых возможна декомпозиция полной ТГМ-модели и отдельное рассмотрение каждой из четырех субмоделей, а также групп из двух или трех субмоделей, зависят от конкретных условий строительства подземных сооружений. Математически эти условия целесообразно определять набором безразмерных комплексов, по которым можно количественно оценить соотношение различных физических процессов. В таблице представлены основные безразмерные комплексы, через которые осуществляется связь между субмоделями. Возможность отдельного рассмотрения субмоделей при решении задачи о формировании ЛПО определяется тем, насколько малы соответствующие комплексы, связывающие эти субмодели. Если все такие комплексы существенно меньше единицы, то становится возможной декомпозиция модели.
Комплекс ПТГ1 (число Пекле Pe) характеризует влияние конвективного переноса теплоты из-за фильтрации вод на поле температур, комплекс ПТГ2 характеризует увеличение пористости (и вместе с ней влажности пород) при повышении гидростатического давления вод (Ы - танценциальный модуль Био), комплекс ПТМ1 характеризует соотношение максимальных перемещений пород мтах при заморозке и расширении по отношению к характерному размеру области - диаметру ствола й 3, комплексы ПТМ2 и ПГМ характеризуют изменение пористости вследствие объемной деформации скелета пород ет1, комплекс ПТА (число Био Bi) характеризует теплоприто-
ки от воздуха в стволе, комплекс ПГТ1 характеризует относительное изменение относительной проницаемости кг при замораживании породы, комплекс ПГТ2 (произведение чисел Рэлея Ra и Дарси Da) характеризует
вариацию плотности поровои воды в замораживаемых породах в плане возможности естественной конвекции, комплекс ПМТ характеризует изменение НДС вследствие температурных деформаций скелета sT = KasAT пород по отношению к максимальным упругим напряжениям ае1т!К в породах (К -объемный модуль упругости, as - коэффициент теплового расширение скелета пород), комплекс ПМГ характеризует величину неупругих деформаций sin , вызванную увеличением порового давления вод, по отношению к суммарным деформациям |s| в скелете породы (здесь AT - характерный перепад температур в задаче, °С), комплекс ПАТ характеризует влияние теплоот-тока к породам по сравнению с конвективным переносом теплоты в воздушном пространстве ствола (Pea - число Пекле воздушного потока).
Связующие безразмерные комплексы в задаче
Теплофизиче-ская Гидравлическая Механическая Аэрологическая
Теплофизиче-ская - ПГГ1 = Pe П = P П ТГ 2 N u тг _ max ПТМ1 = j ds ПТМ 2 = aBSvol Пта =Bi
Гидравлическая П ГТ1 = Пп,2 = Ra • Da - ПГМ = aBSvol -
Механическая Ka„AT П = S ПМТ ^el.max sin Пмг= — s - -
Аэрологическая П = 4BÍ П- Pea - - -
Из таблицы видно, что одни и те же субмодели могут быть связаны друг с другом посредством сразу нескольких безразмерных комплексов, в случае если присутствуют несколько принципиально разных физических процессов, обуславливающих их связь. Представленные в таблице комплексы описывают не весь спектр возможных взаимосвязей четырех рассматриваемых субмоделей, но наиболее распространенные из них. Возможность отдельного рассмотрения субмоделей при решении задачи о формировании ЛПО определяется тем, насколько малы соответствующие комплексы, связывающие эти субмодели. Если все такие комплексы существенно меньше единицы, то становится возможна декомпозиция модели.
Заключение
При строительстве стволов в сложных гидрогеологических условиях особую важность приобретает математическое моделирование процесса искусственного замораживания. Формулировка обоснованной математической
модели невозможна без проведения анализа значимости и взаимосвязанности различных физических процессов, протекающих при замораживании пород. Основным результатом проведенного исследования является предложенная методика анализа значимости и взаимосвязанности таких физических процессов. Методика основана на формулировке общей термогидромеханической модели замораживания пород, выборе и классификации набора безразмерных комплексов, обуславливающих взаимосвязи между различными физическими процессами в этой модели, и последующей количественной оценке величин данных безразмерных комплексов.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РНФ в рамках проекта № 17-11-01204.
Список литературы
1. Трупак Н. Г. Замораживание пород при строительстве вертикальных шахтных стволов. М.: Недра, 1983. 270 с.
2. Насонов И. Д., Шуплик М. Н. Закономерности формирования ле-допородных ограждений при сооружении стволов шахт. М.: Недра, 1976. 237 с.
3. Nishimura S., Gens A., Olivella S., Jardine R. J. THM-coupled finite element analysis of frozen soil: formulation and application // Geotechnique, 2009. 59(3). P. 159-171.
4. Zhou M. M., Meschke G. A. three-phase thermo-hydro-mechanical finite element model for freezing soils // International journal for numerical and analytical methods in geomechanics. 2013. V. 37. №. 18. P. 3173-3193.
5. Artificial ground freezing: A review of thermal and hydraulic aspects / M. A. Alzoubi [et al.] // Tunnelling and Underground Space Technology. 2020. V. 104. art. no. 103534.
6. Isogeometric analysis of THM coupled processes in ground freezing / Y. W. Bekele [et al.] // Computers and Geotechnics. 2017. V. 88. P. 129-145.
7. Tounsi H., Rouabhi A., Jahangir E. Thermo-hydro-mechanical modeling of artificial ground freezing taking into account the salinity of the saturating fluid // Computers and Geotechnics. 2020. V. 119. art. no. 103382.
8. Thermo-hydraulic modeling of artificial ground freezing: Application to an underground mine in fractured sandstone / M. Vitel, A. Rouabhi, M. Tijani, F. Guerin // Computers and geotechnics. 2016. V. 75. P. 80-92.
9. Heat transfer analysis in artificial ground freezing under high seepage: Validation and heatlines visualization / M. A. Alzoubi, A. Madiseh, F. P. Hassani, A. P. Sasmito // International Journal of Thermal Sciences. 2019. V. 139. P. 232245.
10. Semin M., Levin L. Numerical simulation of frozen wall formation in water-saturated rock mass by solving the Darcy-Stefan problem // Frattura ed Integrity Strutturale. 2019. V. 13, № 49. P. 167-176.
11. Natural Convection in Water-Saturated Rock Mass under Artificial Freezing / M. A. Semin, L.Y. Levin, M.S. Zhelnin, O.A. Plekhov // Journal of Mining Science. 2020. V. 56. №. 2. P. 297-308.
12. Numerical simulation of vertical shaft sinking using artificial ground freezing / M. S. Zhelnin, A.A. Kostina, O.A. Plekhov, L.Y. Levin // E3S Web of Conferences. - EDP Sciences, 2021. V. 266. art. no. 03008.
13. Elastic design theory of frozen soil wall based on interaction between frozen soil wall and surrounding rock / W. H. Yang [and others] // Chinese Journal of Geotechnical Engineering. 2012. V. 34. № 3. Р. 516-519.
14. Zhang B., Yang W., Wang B. Plastic Design Theory of Frozen Wall Thickness in an Ultradeep Soil Layer Considering Large Deformation Characteristics // Mathematical Problems in Engineering. 2018. Р. 10 - 19.
15. Технология устройства ледопородного ограждения при проходке шахтных стволов на примере объектов Петриковского ГОКа / П. А. Витязь, И. И. Головатый, В. Я. Прушак, Д. А. Диулин // Известия Национальной академии наук Беларуси. Сер. физико-технических наук. 2019. Т. 64. №. 3. С. 366-377.
16. Finite element analysis on 3D freezing temperature field in metro cross passage construction / H. Song [et al.] // Procedia Engineering. 2016. V. 165. P. 528-539.
17. Levin L. Y., Semin M. A., Zaitsev A. V. Adjustment of Thermophysi-cal Rock Mass Properties in Modeling Frozen Wall Formation in Mine Shafts under Construction // Journal of Mining Science. 2019. V. 55, № 1. p. 157-168.
18. Fu Y., Hu J., Wu Y. Finite element study on temperature field of subway connection aisle construction via artificial ground freezing method // Cold Regions Science and Technology. 2021. V. 189. art. no. 103327.
19. Development of conjugate reduced-order models for selective artificial ground freezing: Thermal and computational analysis / A. F. Zueter, M. Xu, M. A. Alzoubi, A. P. Sasmito // Applied Thermal Engineering. 2021. V. 190. art. no. 116782.
20. СП 45.13330.2017 Земляные сооружения, основания и фундаменты. Актуализированная редакция СНиП 3.02.01-87.
21. ВСН 189-78 Инструкция по проектированию и производству работ по искусственному замораживанию грунтов при строительстве метрополитенов и тоннелей.
22. Метод решения обратной задачи Стефана для контроля состояния ледопородного ограждения при проходке шахтных стволов / Л. Ю. Левин, М.А. Семин, О.С. Паршаков, Е.В. Колесов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Геология, нефтегазовое и горное дело. 2017. Т. 16. №. 3.
23. Levin L. Y., Semin M. A., Parshakov O. S. Improving methods of frozen wall state prediction for mine shafts under construction using distributed temperature measurements in test wells // Journal of Mining Institute. 2019. V. 237. Р. 268-274.
Семин Михаил Александрович, канд. техн. наук, науч. сотр. отдела аэрологии и теплофизики, seminma@inbox.ru, Россия, Пермь, Горный институт УрО РАН
SIMPLIFICATION POSSIBILITIES FOR COUPLED THM MODELS OF ARTIFICIAL GROUND FREEZING IN THE CONSTRUCTION OF MINE SHAFTS
M. A. Semin
An important stage in the design of the artificial ground freezing during the construction of mine shafts (and other underground structures) is the simulation of deformation and heat transfer in the media to be frozen. This is necessary to calculate the required thicknesses offrozen wall, the time of its formation and the parameters offreezing stations. The choice of an adequate mathematical model is impossible without analyzing the significance and coupling of various physical processes occurring during the freezing of soil. Such an analysis allows selecting a reasonable degree of detailing of physical processes in the model: take into account all important factors and neglect the rest. This article proposes a methodology for analyzing the significance and coupling of such physical processes. For this, a general thermo-hydro-mechanical model of soil freezing has been formulated, a set of dimensionless complexes has been identified and classified, which determine the relationship between various physical processes. The transition from the general thermo-hydro-mechanical model to simpler models is possible only if the corresponding dimensionless complexes are small.
Key words: artificial ground freezing, frozen wall, numerical simulation, thermo-hydro-mechanical model, model simplification.
Semin Mikhail Aleksandrovich, candidate of technical sciences, sci. officer, of department of Aerology and Thermophysics, seminma@inbox. ru, Russia, Perm, Mining Institute of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences
Reference
1. Trupak N. G. Freezing of rocks during the construction of vertical mine shafts. M.: Nedra, 1983. 270 p.
2. Nasonov I. D., Shuplik M. N. Regularities of the formation of ice-bearing fences in the construction of mine shafts. M.: Nedra, 1976. 237 p.
3. Nishimura S., Gens A., Olivella S., Jardine R.J. Finite element analysis of frozen soil using THM: formulation and application// Geotechnics, 2009. 59(3). pp. 159-171.
4. Zhou M.M., Meshke G.A. Three-phase thermohydromechanical finite element model for freezing soils// International Journal of Numerical and Analytical Methods in Geo-mechanics. 2013. V.37. No.18. P.3173-3193.
5. Artificial freezing of soil: a review of thermal and hydraulic aspects / M. A. Alzubi [et al.]// Tunneling and underground space technologies. 2020. V.104. article No. 103534.
6. Isogeometric analysis of processes associated with THM during soil freezing / Yu.V. Bekele [et al.]// Computers and geotechnics.2017. V.88. pp. 129-145.
7. Tunsi H., Ruabhi A., Jahangir E. Thermohydromechanical modeling of artificial soil freezing taking into account the salinity of the saturating liquid// Computers and geotechnics. 2020. V.119. article No. 103382.
8. Thermohydraulic modeling of artificial soil freezing: application to an underground mine in fractured sandstone/ M. Vitel, A. Ruabhi, M. Tijani, F. Guerin// Computers and Ge-otechnics. 2016. V.75. pp.80-92.
9. Analysis of heat transfer during artificial freezing of soil with high filtration: validation and visualization of heat lines/ M.A. Alzubi, A.Madiseh, F.P.Hassani, A.P.Sasmito// International Journal of Thermal Sciences. 2019. V.139. P.232-245.
10. Semin M., Levin L. Numerical modeling of the formation of a frozen wall in a water-saturated rock mass by solving the Darcy-Stefan problem // Frattura ed Integrita Strutturale. 2019. V.13, No. 49. pp.167-176.
11. Natural convection in a water-saturated rock mass under artificial freezing/ M.A. Semin, L.Yu. Levin, M.S.Zhelnin, O.A. Plekhov// Mining Scientific Journal. 2020. V. 56. no.2. pp. 297-308.
12. Numerical modeling of a vertical shaft sinking with the use of artificial ground freezing/ M. S. Zhelnin, A. A. Kostin, O. A. Plekhov, L. Y. Levin// Web conference E3S. -EDP Sciences, 2021. V. 266. No. 03008.
13. The theory of elastic design of a frozen soil wall based on the interaction between a frozen soil wall and the surrounding rock / W.H. Yang [and others]// Chinese Journal of Ge-otechnical Engineering. 2012. V.34. No. 3. pp.516-519.
14. Zhang B., Yang V., Wang B. Theory of plastic design of the thickness of frozen walls in an ultra-deep layer of soil taking into account large deformation characteristics// Mathematical problems in engineering. 2018. 10 p.
15. The technology of the device of ice-bearing fencing during the sinking of mine shafts on the example of objects of the Petrikovsky GOK / P. A. Vityaz, I. I. Golovaty, V. Ya. Prushak, D. A. Diulin // Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Ser. physico-technical Sciences. 2019. Vol. 64. no. 3. pp. 366-377.
16. Finite element analysis on a 3D freezing temperature field during the construction of a subway crosswalk / X.Song [and others]// Procedia Engineering. 2016. V.165. pp.528-539.
17. Levin L.Yu., Semin M.A., Zaitsev A.V. Correction of thermophysical properties of rock mass in modeling the formation of frozen walls in mine shafts under construction// Journal of Mining Sciences. 2019. V.55, No. 1. pp.157-168.
18. Fu Yu., Hu J., U Yu. Investigation by the finite element method of the temperature field of the construction of connecting passages of the metro by the method of artificial freezing of soil // Science and Technology of cold regions. 2021. V. 189. article No. 103327.
19. Development of conjugate models of reduced order for selective artificial freezing of soil: thermal and computational analysis / A.F.Zuter, M.Xu, M.A. Alzubi, A. P.Sasmito// Applied heat engineering. 2021. Art. 190. art. No. 116782.
20. SP 45.13330.2017 Earthworks, foundations and foundations. Updated version of SNiP 3.02.01-87.
21. VSN 189-78 Instructions for the design and production of works on artificial freezing of soils during the construction of subways and tunnels.
22. The method of solving the inverse Stefan problem for controlling the state of the ice-bearing fence during the sinking of mine shafts / L. Yu. Levin, M.A. Semin, O.S. Par-shakov, E.V. Kolesov // Bulletin of the Perm National Research Polytechnic University. Geology, oil and gas and mining. 2017. Vol. 16. no. 3.
23. Levin L.Yu., Semin M.A., Parshakov O.S. Improvement of methods for predicting the state of frozen walls of mine shafts under construction using distributed temperature measurements in test wells// Bulletin of the Mining Institute. 2019. V. 237. p. 268-274.
