ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ MATLAB В ПОСТРОЕНИИ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51-37

Рововой Эдуард Юрьевич

Rovovoy Eduard Yurievich, Иванов Максим Вячеславович Ivanov Maxim Vyacheslavovich, Киселев Иван Александрович

Kiselev Ivan Aleksandrovich

Студент Student

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Peter the Great St.Petersburg Polytechnic University

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ MATLAB В ПОСТРОЕНИИ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ

RESEARCH OF MATLAB ABILITIES IN PHASE PORTRAIT

PLOTTING

Аннотация: программа, рисующая фазовый портрет для заданного ОДУ второго порядка (или для системы двух ОДУ первого порядка). Область фазовой плоскости, на которой требуется изобразить фазовый портрет, а также необходимые параметры считать заданными.

Abstract: for adjusted second-order ODE (or for system of two first-order ODE) phase portrait plotting program. Region of the phase plane that entails phase portrait picture, also necessary parameters consider to be given.

Ключевые слова: ОДУ, фазовый портрет, MATLAB.

Key words: ODE, phase portrait, MATLAB.

Для исследования воспользуемся программным обеспечением MATLAB. Решения получены с помощью встроенной функции ode45

В качестве примера рассмотрим некоторую постановку задачи физического маятника. В общем виде ОДУ выглядит следующим образом:

[2].

dx dt

Инновационные аспекты развития науки и техники Функции ^х) и а(х) соответственно равны:

f(x) = зт(х а(х) = 0.3

Первым шагом будет написание файл-функции (рис. 1).

1 Пfunction dxdt = sysodu(t, х) 2- dxdt = zeros (2, 1);

3 - dxdt = dxdt / norm(dxdt);

4 - dxdt(1) = x (2);

5- dxdt(2) = -sin(x(l) " 2) - 0.3 6 - end

x (2);

Рис. 1. Файл-функция

Внутри файл-функции применена нормировка правой части ОДУ. Это выполнено для того, чтобы была возможность контролировать длину фазовых траекторий.

Далее необходимо написать код самой программы (рис. 2)

Рис. 2. Код программы

В программе записаны начальные условия, длины траекторий и шаг для первой итерации исследования фазового портрета:

х0 б [-3; 3]

dxn

иг е [- 1 ; 1 ]

t е [0; 1 0] step = 0.5

На данном этапе получим следующую картину (рис. 3)

Фазовый портрет

■я о

Рис. 3. Фазовый портрет (Первая итерация)

Рассмотрим подробнее несколько особых точек. Для этого потребуется изменить начальные условия, длины траекторий и шаг:

х0 б [2; 3]

dxn

-Же [- 1 ; 1 ] t б [0; 1]

step = 0. 1

Ниже (рис. 4) показан график с отображением фазового портрета в окрестности особой точки типа фокус (координаты точки приблизительно равны (2.5; 0))

1.5 г

Фазовый портрет

0.5

■S °

-0.5

-1.5

1.5

2.5 х

3.5

Рис. 4. Фазовый портрет вблизи фокуса

Рассмотрим следующую особую точку типа фокус. Начальные условия, длины траекторий и шаг:

X" 6 [-5; -4.4]

^ в [- 1 ;1 ]

t б [0; 0.3] step = 0.05

График с отображением фазового портрета (рис. 5) в окрестности особой точки типа фокус (координаты точки приблизительно равны (-4.7; 0)).

-5.4 -5.2 -5 -4.8 -4.6 -4.4 -4.2 -4

Рис. 5. Фазовый портрет вблизи фокуса

Теперь рассмотрим особую точку типа седло. Для этого потребуется изменить начальные условия, длины траекторий и шаг на следующие:

х0 б [2.8; 3.3]

dx о

—0 б [-0.5; 0.5] dt

t е [0; 0.5] step = 0.05

График с отображением фазового портрета (рис. 6) в окрестности особой точки типа седло (координаты точки приблизительно равны (3.05; 0)).

Фазовый портрет

0.8

0.2

-й 0

-0.4

-0.8

2.4

2.6 2.8

3 3.2 3.4 3.6 3.8

X

Рис. 6. Фазовый портрет вблизи седла

Перейдем к следующему ОДУ. Рассмотрим математический маятник. В общем виде ОДУ выглядит следующим образом:

& 2х(£)

dt2

= - Sift*

Напишем файл-функцию (рис. 7).

1 2

3

4

5

6

function dxdt = sysodu(t, х) dxdt = zeros (2, 1); dxdt = dxdt / norm(dxdt); dxdt(1) = x(2); dxdt(2) = -sin(x(l)); end

Рис. 7. Файл-функция

Далее необходимо написать код самой программы (рис. 8)

Рис. 8. Код программы

В программе записаны начальные условия, длины траекторий и шаг для первой итерации исследования фазового портрета:

х0 б [- 10; 1 0]

ЙХо

ИГ е [-2;2]

t б [0; 5] step = 0.5

На данном этапе получим следующую картину (рис. 9)

Фазовый портрет

"й 0

-25 -20

5 10 15 20 25

Рис. 9. Фазовый портрет (Первая итерация)

Инновационные аспекты развития науки и техники Рассмотрим подробнее особые точки. Для этого потребуется изменить начальные условия, длины траекторий и шаг:

X" 6 [- 1 ; 1 ] ЙХо

-Ж е [- 1 ^ ] t 6 [0; 1 ]

step = 0. 1

Ниже (рис. 10) показан график с отображением фазового портрета в окрестности особой точки типа центр (координаты точки равны (0; 0))

Фазовый портрет

5 о-

Рис. 10. Фазовый портрет вблизи центра

Теперь рассмотрим особую точку типа седло. Для этого потребуется изменить начальные условия, длины траекторий и шаг на следующие:

х0 е [2.6; 3.6]

^ [- 1 ; 1 ]

t б [0; 1 ] step = 0. 1

График (рис. 11) с отображением фазового портрета в окрестности особой точки типа седло (координаты точки приблизительно равны (3.15; 0)).

Фазовый портрет

■Я О

Рис. 11. Фазовый портрет вблизи седла

Рассмотрим третье ОДУ — уравнение Ван-дер-Поля (осциллятор Ван-дер-Поля) [1]. В общем виде ОДУ выглядит следующим образом:

„ йх

Значение ^ равно:

^ = 0.5

Первым шагом будет написание файл-функции (рис. 12).

1 Пfunction dxdt = sysoduft, х)

2 - dxdt = zeros (2, 1);

3 - dxdt = dxdt / norm(dxdt);

4 - dxdt(1) = x (2);

5- dxdt (2) = 0.5 * (1 - x(l) л 2) * dxdt(l) - x(l) 6 - L end

Рис. 12. Файл-функция

Далее необходимо написать код самой программы (рис. 13)

1 - clear

2 - hold on

3 - t = [0

4 - 3for xO

5 - С _ for

О 7 -

8 — 9 - end

10 - end

10];

= -5 : 0.5 : 5 dxO = -1 : 0.5 : 1

[Т X] = ode45(1sysodu', t, [х0 dxO]); plot(X(:, 1), X(:, 2), 'Color', 'к'); xlim([-3 3]);

Рис. 13. Код программы

В программе записаны начальные условия, длины траекторий и шаг для первой итерации исследования фазового портрета:

X" 6 [-5; 5]

ЙХо

иге [- 1 ; 1 ]

t б [0; 1 0] step = 0.5

Также, в качестве ограничения области отображаемых данных, задан предел по оси x (-3; 3)

На данном этапе получим следующую картину (рис. 14).

Фазовый портрет

■Й о

-0.5 -

-2.5

Рис. 14. Фазовый портрет (Первая итерация)

Особенностью уравнения Ван-дер-Поля является наличие предельного цикла. Предельный цикл — это замкнутая траектория, к которой стремятся другие фазовые траектории. На рисунке выше видно, как фазовые траектории сгущаются в определенном участке. Рассмотрим, при каких начальных условиях можно получить предельный цикл.

х0 = -1.95 —0 = 0.5 Ь е [0; 50]

Ниже (рис. 15) показан график траектории, максимально приближенной к предельному циклу.

х

Рис. 15. Предельный цикл

Также, ниже, представлен показательный пример того, что фазовые траектории сгущаются к предельному циклу (рис. 16)

х

Рис. 16. Фазовый портрет (Синяя линия — Предельный цикл; Желтая линия — Фазовая траектория, стремящаяся изнутри к циклу; Оранжевая линия — Фазовая траектория, стремящаяся снаружи к циклу

В результате были рассмотрены три ОДУ: уравнение физического маятника, уравнение математического маятника, уравнение Ван-дер-Поля. Для каждого уравнения получен фазовый портрет с помощью программы, написанной в МЛТЬЛВ. Программа является полуавтоматической, т. е. для работы с любым ОДУ необходимо только вписать необходимое ОДУ в файл-функцию и задать начальные условия. Обработка фазового портрета и нахождение особых точек остается за пользователем, т. к. автоматическая обработка — трудоемкий процесс, который не рассматривался в рамках темы исследования.

В уравнениях физического и математического маятников были построены фазовые траектории, были определены особые точки типа фокус и седло для физического, и, центр и седло для математического. Для уравнения Ван-дер-Поля, также, был получен набор фазовых траекторий, был определен предельный цикл.

Библиографический список:

1. Лекция 12. Уравнения Ван-дер-Поля и Рэлея. Бифуркация Андронова — Хопфа [Электронный ресурс]: http://sgtnd.narod.ru/papers/Lect12.pdf (дата обращения 09.12.2020)

2. МА^АВ. Документация. ode45 [Электронный ресурс]: https://docs.exponenta.ru/matlab/ref/ode45.html (дата обращения 10.12.2020)

© Э.Ю. Рововой, 2021 М.В. Иванов, 2021 И. А. Киселев, 2021

Инновационные аспекты развития науки и техники УДК 004.3

Сабуткевич Артем Михайлович Sabutkevich Artem Mikhailovich

Студент Student

Санкт-Петербургский Политехнический Университет Петра Великого

Peter the Great St.Petersburg Polytechnic University

БЕСКОНТАКТНЫЙ КОНТРОЛЬ ПОСЕЩАЕМОСТИ ПЕРСОНАЛА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МИКРОКОНТРОЛЛЕРА

ESP32

CONTACTLESS STAFF ATTENDANCE CONTROL THROW ESP32 MICROCONTROLLER

Аннотация: в данной работе рассматриваются подходы к реализации и использованию бесконтактного контроля посещаемости персонала с использованием микроконтроллера ESP32.

Abstract: in this article I consider approaches to the implementation and use of contactless personnel attendance control using the ESP32 microcontroller.

Ключевые слова: BLE, ESP32, контроль посещаемости, мобильное приложение.

Keywords: BLE, ESP32, attendance control, mobile application.

Ключевой задачей системы является контроль присутствия объектов в заданном радиусе с использованием беспроводных сетей. В тривиальном сценарии в качестве объектов выступают сотрудники компании, а радиус действия ограничен офисными помещениями. Данное решение позволяет оптимизировать процесс контроля путем минимизации количества действий со стороны сотрудников, а также повысить удобство доступа и обработки соответствующих статистических данных администратором, непосредственно осуществляющим контроль.