Исследование возбуждения нелинейных гиперзвуковых колебаний в трёхслойной магнитной структуре Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2011. № 39 (254). Физика. Вып. 12. С. 5-14.

ФИЗИКА МАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ

М. Ю. Дианов, В. С. Власов, Л. Н. Котов, Д. С. Безносиков, В. И. Щеглов, В. Г. Шавров

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗБужДЕНИЯ нелинейных гиперзвуковых колебаний В ТРЁХСЛОЙНОЙ магнитной структуре1

Рассмотрена задача о возбуждении гиперзвука в трёхслойной структуре, состоящей из двух магнитных слоёв и промежуточного немагнитного слоя. Получены уравнения движения и граничные условия для компонент намагниченности и упругого смещения в случае произвольного угла прецессии вектора намагниченности. Получена система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая нелинейное возбуждение магнитоупругих колебаний в трёхслойной структуре. Система уравнений была решена численно методом Рунге—Кутты. Рассмотрено развитие колебаний во времени после включения переменного поля.

Ключевые слова: гиперзвук, нелинейные магнитные колебания, магнитоупругость.

Введение. Задача возбуждения ультразвуковых колебаний с помощью магнитострик-ционных преобразователей издавна привлекает внимание исследователей [1-2]. Наряду с традиционными областями применения — гидроакустикой, дефектоскопией и различной ультразвуковой техникой, где используются колебания сравнительно низких частот (до сотен килогерц), весьма перспективным является использование магнитострикцион-ных преобразователей в акустоэлектронике, где высокая механическая добротность фер-ритовых резонаторов (до 107 при исследовании железо-иттриевого граната (ЖИГ)) позволяет создать высокоэффективные устройства обработки информации в диапазоне СВЧ (/ — ш9..лоп Гц).

Корректное описание поведения магнитных систем невозможно без учёта нелинейных и диссипативных процессов в них [3-5], поэтому в настоящее время исследование нелинейной магнитной и магнитоупругой динамики и её релаксационных особенностей в планарных структурах и частицах является перспективным направлением. Актуальность исследования связана также с возможностью разработки акустического усилителя, работающего на электромагнитной накачке, на основе магнитострикцион-ного эффекта.

Данная работа является логическим продолжением работ [6-8] и посвящена количествен-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке

РФФИ (грант №10-02-01327-а).

ному рассмотрению более сложной задачи возбуждения гиперзвука в трёхслойной структуре в наиболее общем нелинейном случае, не накладывающем ограничение на мощность возбуждающего сигнала. По сравнению с работой [8], геометрия задачи здесь изменена: рассматривается трёхслойная структура, два магнитных слоя и один немагнитный слой между ними. Попытка решить задачу была проделана в [9-10], но в этих работах для получения расчётной системы дифференциальных уравнений использовался принцип суперпозиции упругих волн и влияние немагнитного слоя сводилось в основном к появлению времени задержки при распространении упругой волны между магнитными слоями. В данной работе задача была решена в наиболее общем виде, без использования принципа суперпозиции волн.

Геометрия задачи и основные уравнения. Геометрия задачи показана на рис. 1. Здесь показана трёхслойная структура, состоящая из двух магнитных слоёв, толщиной d, и немагнитного слоя между ними, толщиной N • d, где N — целое число. Будем считать, что все слои обладают одинаковыми упругими свойствами, кроме того верхний и нижний слои обладают магнитоупругими свойствами. Внешнее постоянное магнитное поле Н направлено перпендикулярно плоскости слоёв, по оси г. Переменное магнитное поле было линейно поляризованным и направлено вдоль оси х. Материалы структуры имеют кубическую кристаллографическую симметрию, плоскость (100) которой совпадает с плоскостью структуры.

Рис. 1. Геометрия задачи

Полагаем далее полную плотность энергии слоёв и в поле Н = {гх;0;Н0}, равной сумме плотности энергий каждого слоя:

и = и(1) + и(2) + и(3). (1)

Плотность энергии каждого слоя состоит из плотностей магнитной, упругой и магнитоупругой энергий [4]. Плотность энергии для 1-го слоя может быть записана следующим образом:

и(1) =-Мо- М0Нош® +

+2пМо2 шГ + 2 Сп(и®2 + и®2 + и£>2) +

+С12(и(^)и ® + и£> и УУ + нМ) + +2С44(<)2 + и У)2 + и«2) +

+22^ш^ + ш»® + ш®ЩУ?). (2)

Для 2-го немагнитного слоя плотность энергии записывается следующим образом:

и(2) = \ С^2 + и ^ + И^) +

+сп(и (Х и %+иу ™ + и (£п(2)+

+2С44(и^)2 + и£2>2 + и£2>2).

(3)

Для 3-го слоя плотность энергии выглядит так

и(3)=-Мо ът? - мо но тз)+

+2пМ2 т(?» + 2 С^2 + и^2 + и£3)2) +

+С12(и(Х) + и%и% + и %и%) +

+2С44(и®2 + и ®2 + и®2) +

^(^Ц3^ + т((3)Ц3^ + т®т^З>), (4)

где С11, С12, С44 — константы (модули) упругости; ^ ^ — константа магнитоупругого взаимодействия для слоя с номером у; т(^ — ком-

поненты единичного вектора намагниченности для слоя с номером у. Все константы для каждого отдельного слоя различны в общем случае. В нашем же случае мы рассматриваем, что все константы упругости для каждого слоя одинаковые.

Компоненты тензора деформации для слоя с номером у имеют вид

и\1] (

1 ,ди(,]) дик)

2 дх.

дх.

),

(5)

,(і).

где иУ' — компоненты упругого смещения при 1 = х, у, z для слоя с номером у; х. — координаты

х, у, z.

При этом тензор напряжений для у-го слоя имеет вид

0с у) = 1+^. дШ_ 1к ~ 2 дЩ)

(6)

где 5к — символ Кронекера.

Уравнение движения для намагниченности выбираем в форме Ландау—Лифшица— Гильберта [4]:

дМ0)

~дГ

= -уГм® х НЄ1 + —

ЄЇ"

м

М® х

дМ®

~дГ

(7)

где у — гиромагнитная постоянная (у > 0); а — параметр затухания; Н ^ — эффективное поле для слоя с номером у, равное:

1 дии)

Н(Л -.

е/1 ~

(8)

Уравнение для упругих смещений записывается в следующем виде [6]:

д2“;]) ~п ди{,]) да{1) ■ 1 - + 2|3р- 1 - А

дt2

дх.

где р — плотность материала слоёв; в — параметр затухания.

Система уравнений и граничных условий, будучи дополнена граничными условиями для намагниченности, полностью определяет магнитоупругие колебания в магнитной структуре. Так как поставленная задача крайне громоздка, то для упрощения дальнейшего решения сделаем два предположения:

1) будем считать, что прецессия намагниченности в пластине является однородной, т. е. от координат не зависит;

2) предположим, что продольные колебания вдоль оси г с намагниченностью не связаны, т. е. можно полагать и^ ^ = 0.

Первое предположение имеет право на существование благодаря однородности постоянного поля внутри нормально намагниченной пластины. Второе, вообще говоря, корректно только для линейных колебаний и приближённо выполняется при небольшой степени нелинейности. Численная оценка показывает, что с точностью до 20 % им можно пользоваться при углах прецессии до 12.15° [8].

Таким образом, уравнения (7), (9) принимают следующий вид:

1. Уравнения для намагниченности:

дт^

дt

-у

1 + а2

[(т^) + ат[ ) т(/ >)Нф

(Лт(Л\и(Л .

-(т^ _ат(у')тХ))нЄ^ _а(т1у'>2 + т[і)2)Н^],

дт^ _V

—~=7+0?[(т) + атУ) тХ) )НФ _ (10)

дt

_(т+ ат^т^)Н(е^ _ а(т(/)2 + т^2)НЄф)],

еф

дт

дt

1 + а

2 [ (т[) +ат[}) ) )НЄфУ; _

-(тУ'1 _ат[)т^)нЄф) _а(т[)2 + т,у)2)нЄф^]. Эффективные поля:

и(і) I (]) диХ)

НеІ = К-----------— т\п ——,

ф х М0 г дг

(і) ■ ди(к)

Н (і) = -НФ =

Б.

(і)_ 2 „,( іО У

М

т:

дг

(11)

Н$ = Н0 - 4пМ0т2і) -

б2\ (г диІ) (і) диУ\

-^—(т>і —— + ту) ——), М0 дг дг

2. Уравнения для упругого смещения:

д

дt2

= -2р

дик> С44 д2ик]

дt

р дг

(12)

Вывод уравнений для нелинейного возбуждения гиперзвука в трёхслойной структуре.

Рассмотрим теперь вывод системы обыкновенных дифференциальных уравнений для описания нелинейных магнитоупругих колебаний трёхслойной структуры. Рассмотрим вначале вывод уравнения для 1-го слоя. Граничные условия задаются непрерывностью механических напряжений:

С

ди®

44

дz

ди (1)

дz

«(1) ди (2)

В _т(1) т(1) + би*

С

2

ди(1)

44

дz

ди(?

дz

С Л 2 <-ч

44 дz

= -В21) т« т®

2

В(1) ди(2)

—— тУ1 т^ +----------------—

С44 у 2 дz

(13)

2 2 Граничные условия для намагниченности не нужны в силу однородности прецессии. Положим:

,(1)

(14)

Подставляя (14) в (12) и (13) и полагая д и1 / дz2 = 0, разделим задачу на две части: 1-я задача:

дz2

ди (1}

-'44

дz

2—-а/2

д2

о(1)

В -т® т® +

(15)

2—+а/2

с

44

а ди(2)

+н (2 - ~гГ

2—+а/2

где Н (z-------) — функция Хэвисайда:

2

-

2-я задача:

Задача для V ® (і, і):

0, г <

2

1, г >

-

2

а

а

2= +

2

2--

а

у

дґ2 ' дґ

д 2и ®

дt2 дУ®

- 2в

дг

р дх2

дЦ*1 д ’

= 0.

(17)

2=±d/2

Легко видеть, что исходная задача является суммой этих двух задач.

Решение первой задачи:

^ (2> * ) = ^ тТ 2 + и(х] Н (2 - Т )• (18)

с

44

Подставим формулу (18) в (17)

дЧ!) С44 д2^

---х- + 2В—х-----44 х. =

дt дt р дz

= 4~В'( -Й- (<’ Ч") + 2Р^ (Ч" Ч"))

С

44

дt

-Н(^ - *)(^- (и 2 ,кдл2

(2)

дt

ё)+2? д. и?

*=-2 дt

,)). (19)

Уравнение является неоднородным (с правой частью). В то же время граничные условия заданы по координате г. Это означает, что однородное уравнение (с нулевой правой частью) имеет систему собственных функций (стоящих волн) по той же координате. Поэтому полное решение неоднородного уравнения можно представить в виде разложения по этим собственным функциям однородного уравнения.

Найдём собственные функции задачи для однородного уравнения с нулевыми граничными условиями:

52у(1) 5г>(1) С дУ!)

х _ + 2р X к'44и ух _ о

52

р &2 = 0.

(20)

(21)

Легко видеть, что граничные условия при таком разложении удовлетворяются. Для достижения единообразия правой и левой частей уравнения, представим и® (г, 0 в виде разложения по собственным функциям однородной задачи:

и®(г, t) = -В— т(х)т(рг + и(х)Н(г - —) =

С

44

= Х О)і5ІП[

. п(2т -1)

2].

(24)

т=1

Умножая обе части второго равенства на собственные функции однородной задачи и выполняя интегрирование по толщине пластины аналогично тому, как это делается при вычислении коэффициентов Фурье, получаем

4^(-1)т-1 В(1)

и?\г, t) = £ (-

т=1

+2(-1)”-1 и<2>

2 т(1)т(1) +

=1 п2(2т -1)2 С44

. п(2т -1) d)) • sln[----- ----г].

г=2 <*

(25)

Сравнивая (25) и (18), получаем представление z через собственные функции задачи на ин-

d d тервале -— < г < —:

^ 4^(-1)т-1 . п(2т -1) п

2 = ^~^--------7Т281п[--------2]. (26)

т=1 п (2т -1)2 d

Подставив формулы (25) и (23) в выражение (17), получим следующее:

іі

т=1

д!2

+ 2в

„0)

д!

Р

4d(-1)т-1 д2 (1) (1).

■ 2—7 (^тНГ т(У) +

п (2т -1)2 С44 д!2 х 2

2вд! (тР т^)) + 2(-1) ^(-^ (п(х2) д! д!

сі 2=— 2

) +

+2вд! (^ д!

2=±d/2

d ))}8ш[п(2т 1) 2] = 0. (27)

2=—

2

Получаем систему зависящих от г собственных функций задачи в следующем виде:

. п(2т -1)

2т(2) = 8т[--------------;-2 ].

(22)

Будем искать решение задачи для V ® (г, t) в виде разложения по функциям:

„(і)

^0“ )sin[ П(2т !) 2]. (23)

т= 1

В силу произвольности г (под знаком синуса) это уравнение удовлетворяется тогда, когда каждое из слагаемых суммы равняется нулю. При этом получаем уравнение для каждого V® в виде

д2+ С44 я2 (2т -1)2

дґ2

дґ

а2

.у(1) =

хт

г=

2

2

4^(-1)т-1 В® 52 0) (1),

2—(—Г (т(У т(У) + п (2т -1)2 С44 дт2 х 2

д

+2^ — (МПт^)) -дt

д2

-2(-1)”-1 (—у (и™

дт 2 х

,) + 2Р-(и[2) дт

,))■ (28)

х-компонента упругого смещения определяется по формуле

,(1)

( 2>t) = их>( 2>t) + У*)( 2>t) =

=1 (-

4d (-1)

т-1 ^(1)

= п (2т -1) С

— т(1) т(1) +

44

„ ))8,п[П<2т-1) 2]. (29)

Аналогично получаем и для у-компоненты.

Полученные выражения для их’ и и у можно после дифференцирования использовать для подстановки в основные уравнения для намагниченности (10).

Полученную систему бесконечного количества уравнений можно сделать конечной, если ограничиться рассмотрением только одной первой моды упругих колебаний. Для этого надо положить m = 1. При этом получаем:

о(1)

м® (г, t) =--— т® тр] г +

С

44

+(^ + 2мХ2>

,п

(30)

„(1)

где уу определяется следующим уравнением:

5V» С44 п2

дt2

- + 2в

дt

р d

2 х

4d В® д2 а) (1).

~[—2(тх) Щ1) +

I2 С44 " дt д

+2в-т?)) -дt

2

(2) 2

д (2)

d ) + (и

дt

d

2=—

2

)]. (31)

В уравнения для намагниченности и упругого смещения в граничные условия входят производные для упругого смещения по г. Найдём эти производные:

дм(1) Д(1)

^ _(гттт(1 +

дг

С

44

(32)

Легко видеть, что при этом граничные условия выполняются.

Усредним косинусы по г в интервале

d d

---< г < —:

2 2

--------------- 1 d/2

cos( — z) = — [ cos( — z~)&

d а. 1 а

-d/2

— Z )а2 = —.

а п

(33)

Производная и® по г принимает вид

дм(1) Я®

^ г) =-^_ тт тт +

дг

С

44

(34)

где V” определяется следующим уравнением:

дЧ4

+ 2В-

д»2 д

5у(1) С44 п2 (1)

■ + 2Р~^ + —-72 =

р d

4d К

(1)

(тт<™*1) т®) +

п С44 д»

д

+2^—(т(1) т®)) -д»

-2( д? (“

(2)

*) + 2в~ (и?

д»

)). (35)

Для у-компоненты выполняются те же условия и, соответственно, уравнения получаются такими же, как и для х-компоненты. Необходимо только в полученных уравнениях заменить индекс х на у.

Исходя из того, что для магнитных слоёв рассматривается возбуждение только первой моды упругих колебаний, получаем, что в среднем слое в зависимости от чётности N может укладываться чётное или нёчетное число упругих полуволн.

При выводе уравнений упругости для третьего слоя мы повторяем рассуждения для 1-го слоя, только граничные условия будут выглядеть следующим образом:

с

ди (3)

44

дд

= -В23) т? «<?>,

ди?

дг

3— д_.

2=—+N 2

о(3)

- В2 -т(3)т(3) +

ди(2

г=N+— 2

с

44

дг

2

2

ди У3>

с у

-'44

дг

ди(,3)

дг

о(3)

В _т(3)т(3) +

ди(,2)

г=N3+— 2

с у

44

дг

г=N3+— 2

Таким образом, производная и^3 по г принимает вид

д^

дг

( г, *) =

В

(3)

(3^(3)

с

-ш! ш

44

- ~2 ^’Н)" -4н) "и?

а а

г="а+

а ?

(37)

„(3)

где ух' определяется следующим уравнением:

дЧ3) 00д^3) С44 п2 (3)

“^Т + 2Р^Т + ЗТ =

Ы дt р d

4d В(3) д2

- 4^2-(-1)* (ЫТ (1И® т®) +

п2 С44

Ы

+2$-(т? т?)) + дt

д2

Ы

(2) 2

d)+2рЫ;(“'

*=ш+2 дt

(2)

В силу того, что второй слой является немагнитным, то сюда уравнения для намагниченности не входят, и мы рассматриваем только уравнения для упругого смещения.

Граничные условия:

ди (2)

52

Д(1) ди(1)

= тт тт +ди^

СХ 2 '•у

=_ 44 дг

2 = 2

—

г =— 2

ди?

дг

,г , d С44

г=Nd+— 44

2

В(3) ди(3) °2 (3) (3) иих

2 -т\) т( ) +

дг

Повторяя аналогичные для магнитных слоёв рассуждения применительно ко второму слою, мы получаем для упругого смещения следующие уравнения:

Для х-компоненты:

в(1) а

Л 6 г* Л

с44 2

,,(2Л - Л,(2) их а - Л

\г——

2

и?\ а — (-1)%Х2),

х \2—-+Ш х

2

\г —-+Ш

2

в(3) а

--£-т?т? а + (-1)4я

с

44

Аналогично и для ^-компоненты.

Таким образом, мы получили систему уравнений (10-11, 34-35, 37-38, 40), которую можно решать численно.

(36) Результаты численного решения системы уравнений для нелинейного возбуждения гиперзвука. Система дифференциальных уравнений (10-11, 34-35, 37-38, 40) решалась численно методом Рунге—Кутты—Фельберга 4-5-го порядка с переменной длинной шага интегрирования. Рассмотрим колебания магнитной и упругой подсистем трёхслойной структуры. Сначала коснёмся сравнения линейного и нелинейного режимов возбуждения гиперзвука. На рис. 2 показаны временные зависимости тх-компоненты намагниченности и и -компоненты

х

упругого смещения для первого слоя, при линейном рис. 2, а, и нелинейном рис. 2, б, режимах возбуждения гиперзвука. Зависимости были построены при условиях ферромагнитного и акустического резонансов. Параметры материалов для расчётов были близки к параметрам марганец-цинковой шпинели (МЦШ). Материальные параметры и величина постоян-,)) (38) ного поля, при которых были построены зави-г симости, были следующие: М0 = 600 Гс, а = 0,01,

в = 105 с-1, В2(1)= 1106 эрг-см-3, В2(3) = 1106 эрг-см-3, С44 = 7,64-Ю11 эрг-см-3, р = 5 г/см3, Н0 = 7560 Э. Амплитуда переменного поля на рис. 2, а (линейный режим возбуждения) составляла h = 0,01 Э, на рис. 2, б (нелинейный режим возбуждения) была к = 10 Э. В линейном случае (рис. 2, а) частота ферромагнитного резонанса может быть определена по формуле Киттеля (1.16) [5]: = 7(Н0 - 4пМ0) ~ 8,8108 с-1. Частота переменного поля на рис. 2, а совпадает с этим значением. Как известно из работ [5-6], частота ферромагнитного резонанса в нелинейном случае сильно зависит от амплитуды переменно -го поля и сдвигается в область высоких частот при её увеличении. Частота магнитного резонанса в нелинейном случае (рис. 2, б) была определена из численных расчётов при отсутствии магнитоупругой связи (В2(1) = 0, В2(3) = 0). При значении амплитуды переменного поля к = 10 Э, которое использовалось при построении рис. 2, б, частота нелинейного ферромагнитно-(40) го резонанса оказалась равной юге8 = 3,04 109 с-1, и переменное поле для построения рис. 2, б подавалось на этой частоте. Толщина магнитных слоёв выбиралась из условия достижения акустического резонанса на частоте переменного

(39)

а

2 =

2

поля. Резонансная частота упругих колебаний для магнитных слоёв может быть определена по следующей формуле:

(41)

Толщина магнитных слоёв находилась из условия О = ю. При частоте переменного поля для линейного режима возбуждения ю = 8,8108 с-1 (рис. 2, а) d~1,4Т0-3 см, при частоте поля для нелинейного режима возбуждения ю = 3,04109 с-1 (рис. 2, а) А ~0,4110 3 см. Толщина промежуточного немагнитного слоя выбиралось такой, чтобы по толщине слоя укладывалось чётное число упругих полуволн N и примерно была равна ~0,14 см. Чётность или нечётность числа полуволн N определяет величину (-1)^ в формулах ((37) и далее), если число полуволн чётное, то величина имеет знак «+», если нечётное, то знак «-». Чётность N определяет сдвиг фазы упругой волны, которая приходит от центра одного магнитного слоя к центру другого магнитного слоя. При чётном N сдвиг фазы равен п (нужно прибавить к числу полуволн ещё одну полуволну, соответствующую толщине магнитного слоя), при нечётном N - 0. Из рис. 2 видно, что магнитные и упругие колебания развиваются с биениями, возникновение которых связано с тем, что соб-

г, 10-7 с

а

Рис. 2. Временные зависимости и и-компоненты упругого смещения для первого режимах возбуждения. Ъ = 0,6 Э (а),

ственные частоты магнитных и упругих колебаний несколько различаются из-за наличия расталкивания ветвей магнитных и упругих колебаний на дисперсионной характеристике (магнитоупругая щель в спектре) [4-5]. Кроме того магнитоупругие колебания в линейном случае (рис. 2, а) затухают с постоянной времени т «10-7 с в начале процесса колебаний. Из сравнения рис. 2, а и б следует, что амплитуда установившихся колебаний намагниченности в ~2103 больше в нелинейном режиме по сравнению с линейным, и амплитуда колебаний упругого смещения в ~103 больше аналогичных в линейном случае.

Выясним далее, как влияет магнитоупругая связь на колебания намагниченности. На рис. 3 построены временные зависимости компонент намагниченности для первого магнитного слоя при параметрах, использованных для построения рис. 2, б, но с изменением частоты релаксации упругой подсистемы, которая принимает значение в = 109 с-1. На рис. 3, а изображены компоненты намагниченности без магнитоупругой связи, при нулевых значениях магнитоупругих констант. Для рис. 3б и 3в значения магнитоупругих констант равны: 52(1)=1106 эрг-см-3 и В2(3)=1106 эрг-см-3 (рис. 3, б), В>2(1) = 1106 эрг-см-3 и В2(3)=1106 эрг-см-3 (рис. 3, в), что соответствует

г, 10-7 с б

т -компоненты намагниченности магнитного слоя при линейном (а) и нелинейном (б) 10Э (б), т = 8,8108 с-1(а), 3,04109 с-1 (б)

0,995-

0,990-

1,005

1,000

0,995

0,990

0,980

0,975

0,970

г, 10-7 с

г, 10-7 с

а б в

Рис. 3. Временные зависимости компонент намагниченности для 1-го магнитного слоя,

а — Б2(1) = 0, В2(3 = 0 эргсм-3; б — Б2(1) = 1106 эргсм-3, Б2(3) = 1106 эргсм-3, в — В2(1) =5106 эрг см-3 и В2(3 = 5106 эргсм-3

увеличению магнитоупругой связи на рис. 3, б по сравнению с рис. 3, в.

Графики на рис. 3, а и б визуально ничем не отличаются, это связано с тем, что константа магнитоупругости мала и упругие колебания слабо влияют на магнитную подсистему. На рис.

3, в уже заметно влияние упругой подсистемы на магнитную: амплитуда колебаний тх- и ту-компонент уменьшается по сравнению с рис.

3, а, б, что соответствует перекачке энергии из магнитной в упругую подсистему и магнитоупругой релаксации [6].

Рассмотрим теперь, как влияет чётность значения N (количества упругих полуволн, которые укладываются по толщине среднего немагнитного слоя) на амплитуду упругих колебаний при нелинейном режиме возбуждения. На рис. 4 показаны временные зависимости тх-компоненты намагниченности и их-компоненты упругого смещения для первого слоя, при чётном N (рис.

4, а) и нечётном N (рис. 4, б). Параметры, использованные для расчётов, аналогичны рис. 2, б. Как видно из рис. 4, при нечётном значении N амплитуда установившихся упругих колебаний больше аналогичной амплитуды при чётном значении N в —5102 раз. Это можно объяснить интерференцией упругих волн от двух магнитных слоёв: при нечётном значении N амплитуды упругих колебаний двух магнитных слоёв складываются в фазе, а при чётном N — в про-

тивофазе. Далее рассмотрим, как влияет разность значений констант магнитоупругости В2 магнитных слоёв на амплитуду упругих колебаний. Наиболее интересным является случай, когда N — чётное.

На рис. 5 показаны временные зависимости т -компоненты намагниченности и и -

X х

компоненты упругого смещения для первого слоя, при разных значениях константы маг-нитоупругости для первого магнитного слоя в случае чётного значения N. Параметры, использованные для расчётов, аналогичны рис.

2, б, различаются лишь константы магнито-упругости для первого магнитного слоя. В случае: а — В2(1) = 1106 эргсм3, б — В2(1) = 1,05 106 эргсм-3, в — В2(1) = 1,1106 эгрсм3. Из рис. 5 чётко видно, что даже при небольшом расхождении в константах магнитоупругости —5-10 % магнитных слоёв амплитуда упругих колебаний резко увеличивается по сравнению со случаем, когда константы магнитоупругости одинаковые и приближаются к значениям, которые наблюдаются при нечётном значении N (рис.

4, б). Также изменяется характер модуляции колебаний как упругой, так и магнитной подсистем. Увеличение амплитуды упругих колебаний на рис. 5 при изменении значения константы магнитоупругости можно объяснить тем, что даже небольшое изменение (—5-10 %) значения константы одного из слоёв ведёт

t, 10-7 c 10 4 0 t, 10-7 c

а б

Рис. 4. Временные зависимости т-компоненты намагниченности и и-компоненты упругого смещения для первого магнитного слоя. а — N чётное, б — N нечётное. т = 3,04109с-1, Ъ = 10 Э, В2 = 1106эрг см-3

к дополнительному сдвигу фаз упругих колебаний и увеличению амплитуды колебаний за счёт интерференции упругих волн от магнитных слоёв. Таким образом, исследуемая система аналогична гиперзвуковому усилителю с управляемой обратной связью, и варьируя от-

носительную разность констант магнитоупру-гости двух магнитных слоёв в небольших пределах (~10 %), можно значительно менять коэффициент усиления гиперзвуковых колебаний.

Заключение. В данной работе была рассмотрена задача о возбуждении гиперзвука в трёх-

t, ~10-7c ’а ”° t, 10-7c ’а " t, ~10-7c

а б в

Рис. 5. Временные зависимости m -компоненты намагниченности и и-компоненты упругого смещения для 1-го магнитного слоя при разных значениях константы магнитоупругости для 1-го слоя: а — B2(1)=1106эрг см-3, б — B(I}=1,05 106эрг см-3, в — B,j1)=1,1106эрг см-3. B2(3=1106эрг см-3, т=3,04109с-1, h=10 Э

слойной структуре, состоящей из двух магнитных слоёв и промежуточного немагнитного слоя. Получены уравнения движения и граничные условия для компонент намагниченности и упругого смещения в случае произвольного угла прецессии вектора намагниченности. В результате разложения по собственным модам упругих колебаний системы задача сводится к системе бесконечного числа дифференциальных уравнений второго порядка относительно этих мод. В частном случае возбуждения только первой упругой моды в магнитных слоях полная задача упрощается до системы из 18 нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка (6 уравнений для намагниченности и 12 для упругого смещения). Получена система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая нелинейное возбуждение магнитоупругих колебаний в трёхслойной структуре. Система уравнений решена численно методом Рунге—Кутты 4-5-го порядка. Рассмотрено развитие колебаний во времени, происходящее в результате включения переменного поля. Выявлено, что в нелинейном режиме амплитуда возбуждаемого гиперзвука может превышать амплитуду линейного режима на три порядка. Показано, что при варьировании относительной разности констант магнитоупругости двух магнитных слоёв в небольших пределах (~10 %) можно значительно (на несколько порядков) менять коэффициент усиления гиперз-вуковых колебаний.

Список литературы

1. Кикучи, Е. Магнетизм. Ультразвуковые преобразователи. М. : Мир, 1972.

2. Ле-Кроу, Р. Физическая акустика. Т. 3Б. Динамика решётки / Р. Ле-Кроу, Р. Комсток ; под ред. У. Мэзона. М. : Мир, 1968. С. 156.

3. Вонсовский, С. В. Магнетизм. М., 1971. 1032 с.

4. Гуревич, А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках. М. : Наука, 1973. 592 с.

5. Гуревич, А. Г. Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков. М. : Физ.-мат. лит., 1994. 461 с.

6. Власов, В. С. Исследование релаксационных и нелинейной динамики магнитных и магнитоупругих колебаний пленок и частиц : дис. ... канд. физ.-мат. наук. М. : Изд-во Моск. ун-та, 2007. 149 с.

7. Карпачёв, С. Н. Нелинейная релаксационная динамика магнитной и упругой подсистем фер-ритовой плёнки вблизи акустического резонанса / С. Н. Карпачёв, В. С. Власов, Л. Н. Котов // Вестн. Моск. ун-та Сер. 3. 2006. № 6. С. 60.

8. Власов, В. С. Нелинейное возбуждение гиперзвука в ферритовой пластине при ферромагнитном резонансе / В. С. Власов, Л. Н. Котов, В. Г. Шавров, В. И. Щеглов // Радиотехника и электроника. 2009. Т. 54, № 7. С. 863.

9. Власов, В. С. Моделирование возбуждения гиперзвука в трёхслойной магнитной структуре / В.С. Власов, Л. Н. Котов, М. Ю. Дианов, В. И. Щеглов, В. Г. Шавров // Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах : сб. тр. междунар. конф. Махачкала : Ин-т физики Дагестан. науч. центра РАН, 2010. С. 631.

10. Дианов, М. Ю. Исследование нелинейных магнитоупругих колебаний в трёхслойной структуре с упругой связью // Тезисы докладов XIV Всероссийской научной конференции студентов-радиофизиков. Санкт-Петербург, 2010. С. 104.