ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ НА СОСТОЯНИЕ ТЕРМОУПРУГОГО ИЗГИБА ПЛАСТИН С ТЕПЛОПРОНИЦАЕМЫМ РАЗРЕЗОМ ПРИ ОДНОСТОРОННЕМ ТЕПЛООБМЕНЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№1 (86) / 2024.

УДК 539.3

doi:10.24412/0136-4545-2024-1-27-36 EDN:LBKDFT

(2024. Н.С. Бондаренко1, А.С. Гольцев2

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ НА СОСТОЯНИЕ ТЕРМОУПРУГОГО ИЗГИБА ПЛАСТИН С ТЕПЛОПРОНИЦАЕМЫМ РАЗРЕЗОМ ПРИ ОДНОСТОРОННЕМ ТЕПЛООБМЕНЕ

В рамках обобщённой теории в варианте {1,0}-аппроксимации исследовано состояние термоупругого изгиба изотропной пластины с теплопроницаемым разрезом. Рассмотрено действие градиента температурного момента на линии разреза при верхнем одностороннем теплообмене с внешней средой. Проведены численные исследования влияния интенсивности теплообмена и параметра теплопроницаемости разреза на коэффициенты интенсивности напряжений. Ключевые слова: {1,0}-аппроксимация, изотропная пластина, теплопроницаемый разрез, критерий Био, параметр теплопроницаемости разреза, коэффициенты интенсивности напряжений

Введение. Проведение прочностных расчётов пластинчатых элементов конструкций особенно актуально в строительстве, авиа-, машиностроении и т. п. Оценка прочности ответственных конструкций осложняется, если в них имеются различные концентраторы напряжений, например, дефекты в виде трещин, которые могут привести к разрушению конструкций. Для оценки прочности таких конструкций применяют методы механики разрушения, к которым относится однопараметрический критерий разрушения в терминах коэффициента интенсивности напряжения (КИН).

Публикации последних лет, посвящённые численному моделированию трещин, свидетельствуют о том, что определение КИН играет ключевую роль при исследовании условий распространения трещин в анизотропных материалах. Статья А.В. Савиковского, А.С. Семенова, М.Л. Качанова [1] посвящена рас-

1 Бондаренко Наталья Сергеевна - канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и компьютерных технологий ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected].

Bondarenko Natalya Sergeevna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Applied Mechanics and Computer Technologies.

2Гольцев Аркадий Сергеевич - доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и компьютерных технологий ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected].

Goltsev Arkady Sergeevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of Department, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Applied Mechanics and Computer Technologies.

смотрению взаимодействия одиночной прямолинейной трещины со свободной границей анизотропной упругой пластины конечных размеров. Показано, что при приближении вершины трещины к границе пластины возрастает влияние упругой анизотропии материала на значения КИН. Исследовано влияние степени анизотропии упругих свойств материала и ориентации трещины (моды разрушения) на этот эффект.

В публикации А.М. Покровского, Ю.Г. Матвиенко, М.П. Егранова [2] изложена методика оценки живучести пластинчатых элементов конструкций с учётом двухосного стеснения деформаций по фронту трещины нормального отрыва. В основу расчёта скорости роста усталостной трещины положено уравнение Пэриса, в которое вместо размаха обычного КИН подставлен размах эффективного КИН. При этом в выражение для эффективного КИН, кроме обычного КИН, входят Тхх- и Т^-напряжения. Данный подход позволяет учесть при прогнозировании живучести, например, толщину пластины, что невозможно при использовании только КИН и Тхх-напряжений.

В последнее время актуальным является использование обобщённых теорий пластин и оболочек, позволяющих получить более точные решения задач теории упругости и термоупругости по сравнению с классической теорией Кирхгофа-Лява. Одной из таких теорий является обобщённая теория в варианте {т,п}-аппроксимации, в рамках которой сведение трёхмерной задачи для пластины к двумерной осуществляется методом И. Н. Векуа разложения искомых функций в ряды Фурье по полиномам Лежандра Рк от толщинной координаты [3]. Подход, основанный на применении разложений искомых и заданных функций в ряды по полиномам, ортогональным на отрезке [—1, 1], широко используется в современных публикациях. В качестве примера можно привести статью А. А. Киреенкова, Е. Ю. Михайловой, Г. В. Федотенкова [4].

В настоящей работе для решения задачи термоупругости использована обобщённая теория пластин в варианте {1,0}-аппроксимации, в рамках которой компоненты напряжённо-деформированного состояния (НДС) представляются в виде рядов Фурье по полиномам Лежандра от толщинной координаты Рк = Рк(х3). Представления компонент НДС приведены в монографии [3]. Целью статьи является выявление влияния величины одностороннего теплообмена и параметра теплопроницаемости разреза на КИН в изотропной пластине с теплопроницае-мым разрезом при действии градиента температурного момента.

1. Постановка задачи. Рассмотрим изотропную пластину толщины 2Ь, содержащую теплопроницаемый разрез Ь. Пластина находится в тепловом контакте по закону Ньютона с внешней средой нулевой температуры, причём характер теплообмена является верхним односторонним: Бг+ = Бг, Бг- = 0, где Бг± -параметры теплообмена (критерии Био) на лицевых плоскостях пластины.

Отнесём пластину к безразмерной системе координат х\, х2, х3, определённой с точностью до полутолщины пластины Ь, где XI, Х2 являются координатами точки в срединной плоскости, хз - толщинная координата.

Система уравнений термоупругости на базе обобщённой теории в варианте

{1,0}-аппроксимации, включает в себя:

• систему уравнений теплопроводности, записанную для случая верхнего одностороннего теплообмена

дт ът Т п-

ЬБг 10(2Бг + 3)

где То , Т\ - аналоги средней температуры и температурного момента; А - двумерный оператор Лапласа:

дх\ дх\'

• уравнения Дюамеля-Неймана в перемещениях

ди ду

I ду ди

М2 = В0{ — +1У—-а(1 + 1у)Т0 [ дх2 дх\

1 —у л ( ди ду \ ^Г д71 д72 ЧГТ1

5 = —Д) — + — ; М1 = О0{-± + - а 1 + у)Тх 2 \дх2 дх1) Удх1 дх2

[дх2 дх1 ) 2 \дх2 дх1

= + а = 1,2), (2)

где и, у, Wо - обобщённые перемещения точек срединной поверхности; 71, 72 - обобщённые углы поворота нормали; N1, N2, Б - обобщённые мембранные усилия; Qlо, ^20 - обобщённые перерезывающие силы; М1, М2, Н -обобщённые изгибающие и крутящий моменты; V - коэффициент Пуассона; а - температурный коэффициент линейного расширения;

Во = ЗД) = --Ло

1 — V2' 0 6(1+ V)'

уравнения равновесия

дNl , дБ дБ дN2 п дМ1 дН

"я--^ я— = и' я--^ "я- = и' "я--^ я--= и'

дх1 дх2 дх1 дх2 дх1 дх2

дх1 дх2 дх1 дх2

Мембранные усилия и перерезывающие силы в соотношениях (2), (3) определены с точностью до значения ЕН (Е - модуль Юнга), а моменты - с точностью до ЕН2.

Термоупругое состояние в пластине с разрезом представим в виде:

С* = С° + С,

где С° - компоненты термоупругого состояния в сплошной пластине (основного термоупругого состояния, которое будем считать известным); С - компоненты возмущённого термоупругого состояния, вызванного наличием теплопроницае-мого разреза.

Рассмотрим прямолинейный теплопроницаемый разрез длины 21 с нормалью п и касательной Ь, расположенный вдоль оси абсцисс симметрично относительно начала координат:

Ь = {(Ж1,Ж2): \хх\<1,Х2 = 0} • (4)

На линии разреза (4) для компонент возмущённой температуры, определяемых из уравнений теплопроводности (1), имеют место такие граничные условия:

дТк

дп

ддТ °

-№] = - к

ь дп

(к = 0, 1), (5)

ь

где вп = 1Ап/А - параметр теплопроницаемости разреза, характеризующий его тепловые свойства в поперечном направлении; \п = Ас/5 - коэффициент тепло-проницаемости разреза [5]; Ас - теплопроводность материала промежуточного слоя, расположенного между берегами трещины; А - теплопроводность материала пластины; 5 - раскрытие трещины.

Для компонент возмущённого термоупругого состояния, определяемых из системы уравнений термоупругости (2), (3), граничные условия на линии разреза (4) сформулированы для случая свободных берегов разреза и отсутствия контакта между ними [5]:

лт \ _ _ лт ° \ . о I _ _ о о I .

1 п|ь = 1 п\ь. °пЦь = °пЬ\ь.

Мп\ь = -М°п\ь. Мь = -Н°ш\ь. Яп\ь = -ЯПЬ (6)

где 1п, Оп4, Мп, Нп1, Qn - усилия и моменты на элементе длины разреза.

Предполагаем, что теплопроницаемый разрез (4) удалён на значительное расстояние от линии внешней границы пластины. Поэтому пластину будем считать бесконечной, а компоненты возмущённого термоупругого состояния - равными нулю на внешнем граничном контуре. Достоверность такого предположения проверяется после решения задачи.

2. Методика решения задачи. Применим к системе уравнений термоупругости (1)-(3) двумерное интегральное преобразование Фурье, учитывающее разрывный характер искомых функций на линии разреза (4). Трансформанты

частных производных искомых функций находятся по формуле [6], в которой учтено, что нормаль к разрезу (4) имеет вид п = (0, 1):

Р

дхл

= Н6)/. Р

91

дХ2

= Н6)/ + ^ / [/] ехр (¿6^1 )ПЬ,

где f = /(6,6) - трансформанта функции / = /(Х1,Х2); С = (6,6) - координаты текущей точки в пространстве трансформант; [/] = / + — /_ - скачок функции / при переходе через линию разреза Ь, причём /± - это граничные значения функции / при Х2 ^ 0±; х\ - координата точки на линии разреза (4).

Оригиналы искомых функций найдём с помощью методики обращения, основанной на использовании специальной С-функции, которая выражается через функцию Макдональда Кп (г) [7]:

(п > 0, Яви > —1),

где Г(^) - гамма-функция (эйлеров интеграл второго рода).

Интегральные представления внутренних силовых факторов имеют вид:

• для обобщённых мембранных усилий Nj = Р0, О = Р0:

I 4 \ к=1

ъх2) = [ К%(Х1 - 1з,х2)ф°кс18 и = 1,3); (7)

Пк=1_1

• для обобщённых изгибающих и крутящего моментов Mj = Р1, Н = Р0:

7 1

I 1 г _

р}{х 1,ж2) = "2"/ К]к{%1 - 18,х2)ф1ф {] = 1,3); (8)

П к=1_1

• для обобщённых перерезывающих сил Q1o = Р41, Q2o = Р51:

5 1 I I

р}{х 1,ж2) = / К]к(% 1 - 1з,х2)ф1ф {] = 4, 5). (9)

П к=1_1

В интегральных представлениях (7)-(9) все функции фк = 'к(в) зависят от в - координаты точки на линии разреза (4), причём функции ф!° = ф^ = [То], Ф4 = Ф7 = [Т1 ] находятся как решение задачи теплопроводности (1), (5). Остальные неизвестные функции определяются так:

ь

• для интегральных представлений (7)

• для интегральных представлений (8), (9):

= •/,}« = Ы 0 = 1,2); „4 = ^- (И)

Ядра интегральных представлений внутренних силовых факторов (7)—(9) представляют собой линейные комбинации специальных С-функций, например:

К12(х1-1з,х2) = ^ -С0)о(У2»} ,

где г = д/(х\ — 1з)2 + х\.

Подставляя интегральные представления (7)—(9) в граничные условия для задачи термоупругости (6), получим две независимых системы сингулярных интегральных уравнений (СИУ) для определения неизвестных функций (10), (11), описывающие при | ^ 1:

безмоментное термоупругое состояние:

= F0(() (j = 1, 2); (12)

1 1itp°j(s)ds

TT J s-С -1

состояние термоупругого изгиба:

1 1 ^ 3 1 1 rjs)ds 1 3 '

2п У s - Z 2п

+ E}k{<-s)täWs = Fj{Q (J = 1,3). (13

-1 k=1-i

Правые части систем СИУ (12), (13) зависят от скачков компонент температуры и от компонент основного термоупругого состояния. Разностные ядра системы СИУ (13) представляют собой линейные комбинации специальных G-функций и их первообразных, например,

Язз(С ~s) = -1,25/2(С - s)Gltо - s\) .

Законы изменения КИН по толщине пластины получены путём сравнения коэффициентов при особенности r-1/2 в ненулевых компонентах тензора напряжений с известными асимптотическими представлениями напряжений [8]:

= тО,25\/ттШЕ lim I V Pm{x:^{s)\/\ - s2 ±1 I

m=0,1

= тО,25л/МЕА0 (Ро(хз) - Р2(х3)) Дп^ УГ^}, (14)

где К±, К± - КИН для поперечного и продольного сдвига соответственно на продолжениях разреза Ь±.

С учётом свойств полиномов Лежандра Р% (хз) найдены максимальные значения абсолютных величин КИН (14):

К^ = 0,25\/тгШЯИт < ^ -

т=0,1

К111

= 0,375л/кШЕКо Ит Vх! — 1. (15)

3. Анализ результатов численных исследований. Численные исследования посвящены оценке влияния величины теплообмена (Бг) и теплофизиче-ских свойств теплопроницаемого разреза (вп = 1\П/Х) на КИН температурных напряжений для поперечного и продольного сдвига (15). Рассматривался случай верхнего одностороннего теплообмена с окружающей средой (Бг+ = Бг, Бг- = 0). Расчёты проведены для разреза средней длины (I = 3) при значении коэффициента Пуассона V = 0,3.

Для анализа поведения температурных КИН предполагалась линейная зависимость основного температурного поля в пластине и, как следствие, отсутствие внутренних силовых факторов основного термоупругого состояния [9]. Таким образом, оценивалась составляющая КИН, обусловленная возмущённым температурным полем, вызванным наличием разреза. На линии разреза (|х 11 ^ I) предполагалось действие градиента температурного момента:

дт0°

дХ2

0;

дТ\

Х2=0

дХ2

= д1 = еоп81 = 0.

Х2 =0

Результаты численных исследований представлены на рисунке 1 и рисунке 2 в виде графиков зависимостей максимальных относительных значений КИН от уровня теплообмена, представленного в логарифмической шкале (^Бг), при различных значениях параметра теплопроницаемости разреза /Зп.

На рисунке 1 представлены графики максимальных относительных значений КИН для поперечного сдвига КШах, а на рисунке 2 - для продольного сдвига Кщах. Значения КИН даны с точностью до величины К* = сщ\Ел/Ш/4, которая соответствует значению КИН в пластине без теплообмена при действии однородного потока тепла интенсивности перпендикулярно линии разреза [10]. Кривые 1-5 на рисунке 1 и рисунке 2 отвечают следующим значениям параметра теплопроницаемости разреза вп: 0 (теплоизолированный разрез); 0,01; 0,1; 1; 10 соответственно.

Из графиков следует, что увеличение параметра теплопроницаемости разреза вп приводит к уменьшению максимальных относительных значений как для

1.2 ____1-Р« = о;

2 - Ря = 0,01;

2.4

1.6

0.8

1,2 _1—

3

\ 4

/ 5

3-Й, = 0,1;

4-р„= 1;

5-Р.= Ю

-3 -2 -1 0 1 §5г

Рис. 1. КИН для поперечного сдвига

КИН поперечного сдвига, так и для КИН продольного сдвига. При этом тепло-проницаемые разрезы с параметром теплопроницаемости, меньшим 0,1, можно рассматривать как теплоизолированные разрезы, поскольку учёт теплопроводности таких разрезов по направлению их нормалей не приводит к существенному изменению возмущённого температурного поля.

Следует заметить, что характер влияния параметра теплопроницаемости разреза /Зп на относительные значения КИН просто объясняется исходя из общих представлений механики разрушения. Поскольку этот параметр, исходя из своего определения (вп = 1АС/(А5)), прямо пропорционален коэффициенту теплопроводности материала промежуточного слоя (АС) и обратно пропорционален раскрытию разреза (5), то его увеличение связано с увеличением первой составляющей или уменьшением второй составляющей. Всё это приводит к уменьшению возмущения температурного поля и, следовательно, к уменьшению температурных КИН.

Из графиков следует также, что влияние уровня теплообмена на максимальные относительные значения КИН для поперечного и продольного сдвига разное. В частности, особенностью случая одностороннего теплообмена является факт незначительного увеличения максимальных относительных значений КИН для поперечного сдвига при значениях параметра теплопроницае-

мости разреза в диапазоне 0 < вп < 1 и уровне теплообмена, выше среднего

юк

тах III

0.5

1, 2 3

1 4

5 /

1 - Рл = 0;

2 - рн = 0.01; 3 — Р„ = 0,1;

4-р„= 1;

5-Рн=10

-3 -2 -1 0 1 %В1

Рис. 2. КИН для продольного сдвига

(Бг > 0,1). При других значениях параметра теплопроницаемости разреза уровень теплообмена практически не влияет на значения КИН для поперечного сдвига. Такого эффекта не наблюдается в случае симметричного теплообмена (Бг+ = Бг- = Бг) [11].

Максимальные относительные значения КИН для поперечного сдвига К^!* на порядок меньше, чем аналогичные значения для продольного сдвига. Они слабо зависят от уровня теплообмена в диапазоне от слабого до среднего теплообмена (0 < Бг < 0,1) и заметно уменьшаются при сильном теплообмене (1 < Бг). Подобная зависимость этих КИН наблюдается также в случае симметричного теплообмена [11].

Выводы. Поскольку значения КИН для продольного сдвига на порядок меньше, чем значения КИН для поперечного сдвига, то последние являются определяющими при обосновании надёжности работы тонкостенных элементов конструкций при температурных нагрузках, приводящих к изгибу, в случае одностороннего теплообмена. Особое внимание при этом следует уделить случаю теплоизолированного разреза (вп = 0) при сильном одностороннем теплообмене (1 < Бг), когда наблюдается незначительное (до 10%) увеличение максимальных относительных значений КИН для поперечного сдвига.

Исследования проводились в ФГБОУ ВО «ДонГУ» в рамках государственного задания (№ госрегистрации 124012400353-3).

1. Савиковский А.В. Влияние анизотропии материала на взаимодействие трещины со свободной границей / А.В. Савиковский, А.С. Семенов, М.Л. Качанов // Прикладная математика и механика. - 2022. - Т. 86, № 4. - С. 584-594.

2. Покровский А.М. Прогнозирование живучести пластины со сквозной трещиной с учетом двухосного стеснения деформаций по ее фронту / А.М. Покровский, Ю.Г. Матвиенко, М.П. Егранов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2023. - Т. 89, № 9. -С. 53-63.

3. Пелех Б.Л. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентраторами напряжений / Б.Л. Пелех, В.А. Лазько. - Киев: Наукова думка, 1982. - 296 с.

4. Киреенков А.А. Метод сведения контактных задач для сферических оболочек типа Тимошенко к парным рядам-уравнениям / А.А. Киреенков, Е.Ю. Михайлова, Г.В. Федотенков // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2023. - Т. 29. - № 3. - С. 390401.

5. Кит Г. С. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами / Г.С. Кит, М.Г. Кривцун.

- Киев: Наукова думка, 1984. - 280 с.

6. Шевченко В.П. Задачи термоупругости тонких оболочек с разрезами: учебное пособие / В.П. Шевченко, А.С. Гольцев. - Киев: УМК ВО, 1988. - 84 с.

7. Хижняк В.К. Смешанные задачи теории пластин и оболочек: учебное пособие / В.К. Хиж-няк, В.П. Шевченко. - Донецк: ДонГУ, 1980. - 128 с.

8. Партон В.З. Механика упругопластического разрушения / В.З. Партон, Е.М. Морозов.

- Изд. 2-е, перераб. и доп. - Москва: Наука, 1985. - 504 с.

9. Коваленко А.Д. Основы термоупругости / А.Д. Коваленко. - Киев: Наукова думка, 1970.

- 308 с.

10. Панасюк В.В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках / В.В. Па-насюк, М.П. Саврук, А.П. Дацышин. - Киев: Наукова думка, 1976. - 444 с.

11. Бондаренко Н.С. Коэффициенты интенсивности напряжений при термоупругом изгибе изотропных пластин с теплопроницаемым разрезом в случае симметричного теплообмена / Н.С. Бондаренко, А.С. Гольцев // Журнал теоретической и прикладной механики. -2022. - № 4 (81). - С. 53-62. - doi:10.24412/0136-4545-2022-4-53-62. - EDN:SKFHUL.

N.S. Bondarenko, A.S. Goltsev

Investigation of the external environment influence on the state of thermoelastic bending of plates with a heat-permeable cut by one-sided heat exchange.

The state of thermoelastic bending of an isotropic plate with a heat-permeable cut was investigated within the framework of the generalized theory in the {1,0}-approximation version. The presence of the of temperature moment gradient on the cut line during upper one-sided heat exchange with the external environment is considered. Numerical investigations of the influence of heat exchange intensity and the heat permeability parameter of the cut on the stress intensity factors were carried out.

Keywords: {1,0}-approximation, isotropic plate, heat-permeable cut, Biot criterion, heat permeability parameter of the cut, stress intensity factors.

Статья поступила в редакцию 25.06.2024; доработана 12.08.2024; рекомендована к печати 23.08.2024.