Исследование влияния пуассоновских дельта-импульсов в задачах радиотехники Текст научной статьи по специальности «Математика»

= n=i à !о j(t)dt = e^T,n=1 Cjj =

= e“trC = ejo trCdt = detV(u).

Используя равенства (3) и (6), получаем (7). Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. С. 720.

2. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965. С. 276.

3. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966. С. 232.

4. Боровских А.В., Перов А.И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2004. С. 540.

Avdeeva O.I. ON ONE PROPERTY OF THE AVERAGED SYSTEMS The article deals with one property of the averaged systems.

Key words: systems of linear ordinary differential equations with variable coefficients; averaged systems; multiplicators.

УДК 519.676

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПУАССОНОВСКИХ ДЕЛЬТА-ИМПУЛЬСОВ

В ЗАДАЧАХ РАДИОТЕХНИКИ

© Т.А. Аверина

Ключевые слова: задача анализа; импульсные воздействия; пуассоновский поток; пуас-соновский процесс; статистический метод; стохастическая система; уравнение Колмо-горова-Феллера.

В статье рассматриваются стохастические системы при импульсных воздействиях, образующих пуассоновский поток и приводящих к разрывам траекторий системы. Построен алгоритм статистического моделирования решения стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновской составляющей.

Задача Коши для стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновской составляющей формулируется следующим образом [1]: найти т -мерный случайный процесс у (г), имеющий стохастический дифференциал

йу(г) = /{г, у (г)) йг + ^ а•з (г, у(г)) dwj (г) +

3=1

где Wj(г) - независимые стандартные винеровские процессы, образующие процесс w(г); 0 С Ет; /(г,у):[0,Т] х Ет -+ Ет и е(г,у,в):[0,Т] х Ет х 0 -+ Ет - т -мерные вектор-функции; а(г,у):[0,Т] х Ет ^ Етхз - матричная функция т х в; аз(г, у) - ] -й столбец матрицы а(г,у); уо € Ет - случайный вектор начальных значений, у(г-) —решение в точке г слева. Пуассоновская мера V на 0 х [0, Т] задана неотрицательной функцией Х(в, г):0 х [0, Т] ^ Е+ и для всякого В С 0 процесс

vt(B) = V(В х [0,г])

I c(t,y(t ),e)v(de х dt), y(0)= yo, (1)

Je

2431

является пуассоновским процессом интенсивности n(B,t) = JB X(0,t)d0 < ж, с независимыми приращениями

P(vt+At(B) - vt(B) = 1) = П(В, t)At + o(At), At > 0, P (vt+At(B) — vt(B) = 0) =1 — n(B, t)At + o(At).

Стохастический интеграл по пуассоновской мере v определяется как

< ж,

где p(t) = vt(0), а {rk,0k} - упорядоченные по времени точки соответствующего пуассонов-ского поля на пространстве 0 х [0,t]. Если все элементы функции f (t,y) в (1) дифференцируемы, а все элементы матрицы a(t, у) дважды дифференцируемы по у, то для процесса у, удовлетворяющего уравнению (1), переходная функция p(t,y | t0,y0) как функция t и у удовлетворяет прямому уравнению Колмогорова [2].

Во многих инженерных задачах модели, учитывающие воздействие шума, используют несколько другую запись [3,4] которая является частным случаем (1):

p(t)

dy(t) = f(t,y(t))dt + a(t,y(t))dw(t) + dq(t), y(to) = yo, q(t) = ^2 0k,

k=i

где q(t) - общий пуассоновский процесс, p(t) - пуассоновский процесс, 0k - независимые случайные величины из Rm, распределение которых задано плотностью вероятности Ф('Tk,0), т.е. вектор состояния y получает случайные приращения

y(Tk) = У(т-) + 0k

в моменты времени Ti, t2, ..., образующие пуассоновский поток. Плотность вероятности вектора состояния (в случае, если такая плотность существует) удовлетворяет уравнению Колмогорова - Феллера — интегро-дифференциальному уравнению в частных производных.

Задача анализа стохастических систем с разрывами траекторий заключается в нахождении вероятностных характеристик вектора состояния (плотности вероятности, моментных характеристик) в соответствии с заданной математической моделью.

Для решения рассмотренных математических моделей построен алгоритм статистического моделирования на основе численных методов решения СДУ [5] и алгоритмов моделирования пуассоновских точечных полей [6].

На решении задач радиотехники показана эффективность данного алгоритма и проведено сравнение со спектральным методом. Были рассмотрены задачи определения вероятностных характеристик напряжения на конденсаторе в RC-цепи и силы тока в RCL-цепи (колебательном контуре).

ЛИТЕРАТУРА

1. Королюк В.С., Портенко И.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. М.: Наука, 1985.

2. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Советское радио, 1976.

3. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. М.: Наука, 1990.

4. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Советское радио, 1977.

5. Artemiev S.S., Averina T.A. Numerical Analysis of Systems of Ordinary and Stochastic Differential Equations. Utrecht: VSP, 1997.

2432

6. Аверина Т.А. Новые алгоритмы статистического моделирования неоднородных пуассоновских ансамблей // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. Москва. 2010. Т. 50. № 1. С. 16-23.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантами РФФИ (проекты № 11-01-00282, № 12-01-00490).

Averina T.A. INVESTIGATION OF JUMP-DIFFUSION IN RADIO ENGINEERING PROBLEMS

The article deals with the stochastic systems with impulses generated by Poisson flow and lead to discontinuities of the system trajectories. The statistical simulation method for analysis of jump-diffusion is proposed. Numerical examples of radio engineering problems are given to illustrate the efficiency of proposed method.

Key words: analysis; impulse signals; Kolmogorov-Feller equation; Poisson flow, Poisson process; statistical simulation method; stochastic system.

УДК 519.856.2

ИМПУЛЬСНАЯ КОРРЕКЦИЯ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

© Б.И. Ананьев, Н.В. Гредасова

Ключевые слова: коррекция движения; импульсное управление; минимаксное оценивание.

Рассматривается задача коррекции движения линеаризованной управляемой системы с помощью импульсных управлений в условиях неполной информации о фазовом состоянии. С использованием методов минимаксного оценивания и управления получены определяющие соотношения. Синтезирован момент перехода от наблюдения к управлению. Рассмотрены примеры.

Пусть отклонение фазового состояния управляемого объекта от номинальной траектории в момент Ь € [0, Т] описывается в линейном приближении вектором х(Ь) € Яп, подчиняющимся дифференциальному уравнению

dx(t) = (А(Ь)х(Ь) + С (Ь)ь(Ь))сМ + Б(1)йп(1), (1)

где А(Ь), Б(Ь), С(Ь) — непрерывные матрицы подходящих размеров; п(-) — к -мерная функция ограниченной вариации, стесненная ограничением ^\du(t) \ ^ ц. Здесь и далее | ■ | — евклидова норма. По ходу процесса измеряется т -мерный вектор

у(Ь) = С(Ь)х(Ь) + ■ш(Ь). (2)

В (1), (2) помехи ь(-), 'ш(-) являются измеримыми функциями, подчиняющимися вместе с неизвестным начальным состоянием хо уравнения (1) совместному ограничению

Ыро + 1о (\у(Ь)\т + ^(Ь)\т)^ 1 (3)

где \х\р = х'Рх для матриц Р = Р1 > 0. Сужение функции х(з), в € [0,Т}, на отрезок [0,Ь] обозначаем хь(-), а сужение на отрезок [Ь,Т] — через хь(-).

2433