Исследование влияния параметров алгоритма cordic в составе цифрового смесителя на динамический диапазон, свободный от паразитных составляющих

Пузырёв Павел Иванович; Семенов Кирилл Вадимович

УДК 621.396.1

П. È. ПУЗЫРЁВ К. В. СЕМЕНОВ

Омский государственный технический университет, г. Омск

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПАРАМЕТРОВ АЛГОРИТМА СОРР1С В СОСТАВЕ ЦИФРОВОГО СМЕСИТЕЛЯ НА ДИНАМИЧЕСКИЙ ДИАПАЗОН, СВОБОДНЫЙ ОТ ПАРАЗИТНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ_

В данной работе исследовано влияние параметров алгоритма СОРО!С в составе цифрового смесителя на динамический диапазон, свободный от п аразитных составляющих ^ОР), выявлены н аилучшие значения пара метров СОРО!С в целях реализации наиболее эффективного цифрового смесителя с высокой чистотой спектра. В результате была получена з ависимость изменения SFDR от п а р а метров СОРО1С, а т а кже получено аппроксимирующее выражение, позволяющее выполнить оценку снизу, т. е. получить значение SFDR, которое гарантированно будет обеспечено для выбранных параметров СОРО1С во всем ч а стотном диапазоне. Новым в данной работе я вляется применение сквозного подхода к проектированию, позволяющее быстро перейти от математического моделирования к прототипированию н а ПЛИС.

Ключевые слова: СОРО1С; цифровой смеситель; динамический диапазон, свободный от п ара зитных составляющих; цифровой понижающий преобразователь.

Введение. Алгоритм CORDIC (от англ. Coordinate Rotation Digital Computer — цифровой вычислитель поворота системы координат) — это достаточно давно известный математический алгоритм, позволяющий свести прямые вычисления сложных функций к набору простых операций сложения и сдвига. В электронике и цифровой технике использование данного метода позволяет наиболее эффективно использовать аппаратные ресурсы устройств с ограниченными вычислительными возможностями, такими как микроконтроллеры и ПЛИС.

Использование данного метода позволяет эффективно решать задачи в области цифровой обработки сигналов, в машинной графике, навигации [1], более того, возможна перспективная оптимизация алгоритмов CORDIC как на уровне ускорения базовых операций в общем, так и на уровне частных решений конкретных задач, что обусловливает применимость и большую гибкость этого семейства алгоритмов.

В данной работе рассматривалось применение CORDIC-алгоритма для реализации цифрового смесителя как составной части цифрового понижающего преобразователя (Digital Down Converter — DDC) и цифрового повышающего преобразователя (Digital Up Converter — DUC) либо для реализации генератора гармонических сигналов. На рис. 1 представлена классическая структурная схема цифрового понижающего преобразователя, где NCO — генератор, управляемый числом; CIC — децимирующий интегрально-гребенчатый фильтр; FIR — корректирующий КИХ-фильтр. Комбинация умножителей и NCO образуют цифровой смеситель, переносящий спектр сигнала с несущей на нулевую частоту. В данной структуре, NCO можно реализовать с ис-

Рис. 1. Цифровой понижающий преобразователь

к А ЦП

s s л с/с, FIR

ас FIR

NCO

saw

Рис. 2. Цифровой понижающий преобразователь со смесителем на CORDIC-алгоритме

пользованием CORDIC-алгоритма, который формирует гармонический сигнал: одновременно синус и косинус. CORDIC при этом работает в режиме «поворот» [1].

Однако более предпочтительно использовать другую структуру цифрового смесителя, основанную на CORDIC-алгоритме (рис. 2). В этом случае исчезают умножители, что экономит логические

Нормированная частота f/f Рис. 3. СПМ однотонального сигнала с частотой 0,124 f/f

10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90

lllly ill . . il l.l IJ 111 il il III .it

SFDR=82,2 дБ

i Ш. !» ill ii lit

-0,5 -0,4 -0,3

Нормированная частота f/fg

Рис. 4. СПМ однотонального сигнала с частотой 0,1 f/f

ячейки ПЛИС. Так же как и в предыдущем случае, CORDIC работает в режиме «поворот». Отличия заключаются в том, что в режиме формирования гармонических сигналов на вход CORDIC подается константа, а в случае работы в режиме смесителя на вход подаются значения сигнала, подлежащего переносу по частоте. Величина фазы поворота (аргумента) определяется генератором пилообразного сигнала, управляемого числом (NCO saw).

Одним из основных параметров цифрового смесителя является динамический диапазон, свободный от паразитных составляющих, SFDR (Spurious-Free Dynamic Range). SFDR — это безразмерная величина, равная отношению мощности полезного узкополосного сигнала, в данном случае однотонального гармонического сигнала, к мощности наиболее мощной паразитной частотной составляющей (гармоники) [2] (рис. 3, 4).

Параметр SFDR сильно зависит от частоты однотонального гармонического сигнала. Для примера на рис. 3 и рис. 4 представлены спектральные плотности мощности (СПМ) сигнала на выходе цифрового смесителя, для наглядности работающего в режиме переноса частоты вверх. Разница частот сигнала незначительная, однако параметр SFDR отличается на 4,7 дБ. Это связано с тем, что при частоте сигнала f, не кратной частоте дискретизации fs, мощность побочных спектральных составляющих распределяется по частотному диапазону более равномерно. Если же частота дискретизации кратна частоте сигнала, то вся мощность побочных спектральных со-

ставляющих концентрируется на частотах ±n-f/ fs, где n = 2, 3, 4, ..., fs/(2f ).

Целью данной работы является определение влияния параметров CORDIC-алгоритма, таких как разрядность выходных данных, разрядность входного аргумента и количество каскадов (либо итераций при итеративной реализации) на величину SFDR. Учитывая, что SFDR зависит от частоты входного сигнала, при анализе использовался только наихудший случай, т.е. минимальный SFDR во всем частотном диапазоне, от — f/2 до + fs/2.

Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи:

1. Реализовать CORDIC-алгоритм с использованием языка описания аппаратуры (HDL от англ. hardware description language).

2. Сформировать рабочую среду для анализа поведения CORDIC-алгоритма с изменяющимся набором параметров.

3. Определить SFDR во всем диапазоне частот при выбранных параметрах CORDIC.

4. Исследовать зависимость наихудшего (минимального) SFDR от параметров CORDIC.

Результаты данной работы могут быть применены для предварительного выбора параметров CORDIC при реализации цифрового смесителя либо генератора гармонических сигналов, задавшись требуемым SFDR.

Реализация CORDIC алгоритма на языке описания аппаратуры. Алгоритм CORDIC может быть использован в двух режимах: «поворот» и «вектор».

Рис. 5. Зависимость SFDR от нормированной частоты при разном количестве каскадов N

В режиме «поворот» осуществляется поворот вектора на комплексной плоскости на произвольный угол. В режиме «вектор» осуществляется вычисление длины вектора и его угла относительно оси абсцисс.

Как уже ранее упоминалось, для реализации цифрового смесителя, либо генератора гармонических сигналов, алгоритм СОИБЮ необходимо использовать в режиме «поворот». В этом случае базовые операции по определению координат х и у определяются следующими соотношениями [1, 3, 4]:

Х-+1 = хг - аУ2-г

У+1 = Уг + <№2-''

г+^г-ар..

а ЩП(2,) I = 0, 1, ... N-1, г0=Х, а = аг^д(2-1),

где г1 и а . — значение управляющих операторов на г -м шаге.

В ходе выполнения преобразований, вектор испытывает деформацию, характеризующуюся увеличением длины вектора. Коэффициент деформации зависит только от количества каскадов (итераций) N и определяется выражением [ 1]:

N-1 -

KN =nv 1 + 2-

1,647

К » 1,647 при N ® ¥

Коэффициенты а рассчитываются заранее, на этапе разработки кода, и помещаются в массив. В этом случае индекс г является номером ячейки массива. Количество ячеек массива соответствует количеству каскадов (итераций) N.

Таким образом, в качестве параметров СОИБ1С, влияющих на величину БРБИ, были выбраны:

1. Разрядность аргумента (фазы поворота) Х и г.

2. Разрядность выходных данных х и у (координат вектора), при этом разрядность промежуточных значений х{ и у. совпадает с разрядностью результата

^-1 и УN-V

3. Количество каскадов (итераций) N.

Для анализа влияния параметров СОИБЮ-алго-ритма было разработано программное обеспечение для автоматической генерации УегПод кода модуля

CORDIC с конвейерной структурой [5 — 8], в котором задаются требуемые параметры, такие как количество каскадов, разрядность данных и аргумента.

Анализ уровня SFDR. Для определения SFDR на вход цифрового смесителя подавалась константа, по амплитуде меньшая в Kn от максимально допустимого и проводилось преобразование частот вверх. В этом случае на выходе цифрового смесителя формируется квадратурный гармонический сигнал с частотой, равной частоте пилообразного сигнала NCO saw. Далее вычисляется спектральная плотность мощности сформированного сигнала и определяется разница уровней основного тона и максимального паразитной составляющей. Для определения наихудшего SFDR был исследован весь частотный диапазон, в результате моделирования составлялась функция зависимости SFDR от частоты сигнала, после чего определялся минимум.

На рис. 5 представлены зависимости SFDR от нормированной частоты для некоторых значений разрядности аргумента ARG, разрядности выходных данных DAT и количества каскадов N. Из рис. 5 видно, что SFDR неравномерно зависит от частоты, и, как ранее было сказано, если частота дискретизации кратна частоте сигнала, то SFDR уменьшается.

Также по рис. 5 видно, что увеличение количества каскадов N приводит к увеличению SFDR, но только до некоторого значения, при котором увеличение N не приводит к улучшению SFDR. В примере, представленном на (рис. 5), улучшение SFDR прекращается при N>8. Это объясняется тем, что начинает оказывать свое негативное влияние ограничение разрядности аргумента ARG и данных DAT.

На рис. 6 представлены зависимости минимума SFDR во всем частотном диапазоне от количества каскадов CORDIC при фиксированных ARG и DAT. По данным графикам было установлено, что зависимость минимума SFDR (SFDRmin) от количества каскадов N можно аппроксимировать прямой с крутизной 6 дБ/каскад. Из этого следует важный вывод о том, что добавление одного каскада (итерации) улучшает SFDRmin приближенно на 6 дБ. Однако следует обратить внимание на то, что из-за влияния конечной разрядности ARG и DAT поведение SFDRmin колеблется относительно аппроксимирующей прямой. Причем в области N> 9 отклонения от аппроксимирующей прямой достигает 5 — 7 дБ в большую сторону. Следовательно, аппроксимирующим выра-

=о

Рис. 6. Зависимости минимума SFDR от количества каскадов N при различной разрядности данных DAT и аргумента ARG

10 15 20

Разрядность аргумента ARG, бит б

Рис. 7. Зависимости минимума SFDR от разрядности данных DAT (a) и аргумента ARG (б)

жением рекомендуется пользоваться только для приближенной оценки снизу, т.е. наихудшего, минимального SFDRmin, после чего стоит проводить уточняющее моделирование, если таковое необходимо.

На рис. 7 представлены зависимости SFDRmin при изменении только одного параметра разрядности данных DAT (рис. 7а) или аргумента ARG (рис. 7б) при этом остальные параметры выбраны много больше для минимизации их влияния. Так, количе-

ство каскадов было выбрано равным 64. Второй фиксированный параметр разрядности также выбирался равным 64 битам.

По рис. 7 видно, что обе зависимости также имеют зависимость пропорциональную 6 дБ/бит, и отличаются только начальным сдвигом.

Учитывая все полученные зависимости (от количества каскадов N, разрядности данных DAT и аргумента ARG), было получено аппроксимирующее выражение:

а

Рис. 8. Аппроксимирующие зависимости минимума SFDR

SFDRmin =

= 2010g.

10S

10(S • DAT - 2-S ) io(S • ARG - 3-S )

дБ, (1)

где константа S = 1og10 2.

Выражение (1) позволяет оценить минимальный SFDR во всем частотном диапазоне, зная N, ARG и DAT. На рис. 8 представлены сравнение результатов моделирования и зависимостей, полученных по выражению (1). Видно, что в случае сильно ломаного характера поведения зависимости, полученной путем моделирования, аппроксимирующая зависимость отличается достаточно сильно. Особенно ярко это проявляется на участке перегиба, где отклонение составляет порядка 7 — 9 дБ. Однако полученное аппроксимирующее выражение (1) позволяет сделать оценку снизу, т.е. получить значение SFDR, которое гарантированно будет обеспечено для выбранных параметров N, ARG и DAT во всем частотном диапазоне.

Полученное выражение полезно использовать при первичном выборе параметров цифрового смесителя на основе CORDIC при реализации цифрового понижающего или повышающего преобразователей (DDC и DUC). Типичным представителем цифрового понижающего преобразователя, широко применяемым в радио- и телекоммуникационном оборудовании, является микросхема GC4016, имеющая наихудший SFDR=115 дБ. Применяя выражение (1) можно определить, что для обеспечения заданных характеристик по SFDR потребуются следующие параметры CORDIC (не более) : количество каскадов N =20, разрядность аргумента ARG =24 бит, разрядность данных DAT= 24 бит.

Библиографический список

1. Захаров А. В., Хачумов В. М. Алгоритмы CORDIC. Современное состояние и перспективы. Программные системы: теория и приложения. М.: Физматлит, 2004. С. 354 — 372.

2. Rester, W. High Speed System Applications. Analog Devices. 2006. 288 p.

3. Конев Д. С. К вычислению модуля комплексного числа и огибающей аналитического сигнала // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2012. Т. 4. № 3. С. 23 — 25.

4. Токарев В. А., Хлуденев А. В. Оценка эффективности алгоритмов цифровой обработки сигналов при конвейерной реализации // Огарев-online. 2015. № 20. URL: http://journal. mrsu.ru/arts/ocenka-effektivnosti-algoritmov-cifrovoj-obrabotki-signalov-pri-konvejernoj-realizacii (дата обращения: 09.11.2016).

5. Hong-Thu N., Xuan-Thuan N., Cong-Kha P., Trong-Thuc H., Duc-Hung L. A parallel pipeline CORDIC based on adaptive angle selection // International Conference on Electronics, Information, and Communications (ICEIC). 2013. P. 1—4.

6. Hu Y., Naganathan S. An angle recording method for Cordic algorithm implementation // IEEE Transactions on Computers. 1993. Vol. 42. P. 100-102.

7. Junwei L., Jiandong F., Bajin L., Yudong Z. Study of CORDIC algorithm based on FPGA // Chinese Control and Decision Conference (CCDC). 2016. P. 4338-4343.

8. Timmermann D., Hann H., Hostika B. J. Low latency time Cordic algorithms // IEEE Transactions on Computers. 1998. no. 5. Vol. 47. P. 587-602.

ПУЗЫРЁВ Павел Иванович, кандидат технических наук, научный сотрудник кафедры радиотехнических устройств и систем диагностики. Адрес для переписки: puzyrev@omgtu.ru СЕМЕНОВ Кирилл Вадимович, младший научный сотрудник кафедры радиотехнических устройств и систем диагностики. Адрес для переписки: hovergrib@mail.ru

1

+