CC BY
45
------------------------------------- © Ю.В. Дмитрак, Т.А Зиновьева,
2010
УДК 621.926.5
Ю.В. Дмитрак, Т.А. Зиновьева
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАССЫ ШАРОВ НА ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАГРУЗКИ,
ДЕЙСТВУЮЩЕЙ НА СТЕНКУ ПОМОЛЬНОЙ КАМЕРЫ ВИБРАЦИОННОЙ МЕЛЬНИЦЫ
Статья посвящена вероятностному методу исследования воздействия массы мелющей загрузки на стенки помольной камеры вибрационной мельницы. Установлена степень влияния массы шаров, распределённой по нормальному закону, на закон распределения радиальной силы, действующей на стенки помольной камеры. Проведён статистический анализ закона распределения радиальной силы. Доказано, что обозначенные выше две случайные величины распределены по нормальному закону. Созданы предпосылки для установления корреляционной зависимости между этими величинами. Ключевые слова: помольная камера, вибрационные мельницы, закон распределения массы шаров.
Семинар № 21
ТУ процессе движения помольной камеры шары, находящиеся у её поверхности, получают начальные импульсы, которые передаются вглубь шаровой загрузки. Многочисленные фото-и видеосъёмки свидетельствуют о том, что в процессе работы мельницы масса мелющей загрузки распределена по объёму помольной камеры неравномерно. При этом величина массы контактирующих со стенкой шаров имеет случайный характер. Для повышения точности расчётов в предлагаемой математической модели масса шаров задаётся случайной величиной, распределённой по различным законам [1]-[4]. Из опыта эксплуатации вибрационных мельниц известно, что при коэффициенте заполнения помольной камеры шарами е = 0,85 для диаметра камеры dк = 500 мм масса шаров в радиальном сечении колеблется в диапазоне 14 - 26 кг.
Для проверки степени влияния закона распределения массы шаров т на закон распределения радиальной силы F зададим распределение случайной величины т нормальным законом:
^т) =
1
-(т- а)2
^е 2СТт
(1)
где а = М(т) = 20 - математическое
ожидание; стт = 2 - среднее квадратичное отклонение (рис. 1);
Для каждого вида распределения построим гистограммы распределения радиальной силы F, определим закон распределения F и сравним результаты статистического анализа [73].
Предположим, что начальная масса шаров т распределена по нормальному закону. Меняя угол между дебалансами, установленными на приводном валу мельницы, задаём кинематические параметры помольной камере таким образом (при коэффициенте заполнения по-
Номер интервала, 1 Граница интервала Частота, П
3 3+1
1 320 395 5
2 395 470 10
3 470 545 15
4 545 620 22
5 620 695 21
6 695 770 14
7 770 845 9
8 845 920 4
1
Рис. 1. Нормальный закон распределения случайной величины массы шаров в помольной камере вибрационной мельницы
мольной камеры шарами е = 0,85 ), чтобы величина т была распределена по данному закону. В результате измерения с помощью трёхкомпонентного радиоакселерометра значений радиальной силы F, действующей на стенку помольной камеры, получаем совокупность значений силы F . Данные значения сведены в табл. 1. Построим гистограммы распределения радиальной силы F .
Вычислим выборочное математическое ожидание и выборочное среднее квадратичное отклонение методом произведений.
Исправленное математическое ожидание:
_ Ё 3 • П
F = -----
(2)
- 357,5 • 5 + 432,5-10
3 =-----------------------+
100
507,5-15 + 582,5 • 22
+------------------------+
100
657,5•21732,5-14
+----------------------+
100
807,5 • 9 + 882,5 • 4
— = 614
+ -100
Исправленная
дисперсия:
выборочная
1 8 -2
^ = —7 Ж)2 • п - 3 п -1 Т=1
(3)
82 = — (357,52 • 5 + 432,52 •Ю + 507,52 45 + 99
+582,52 • 22 + 657,52 • 21 + 732,52 44 + +807,52 • 9 + 882,52 • 4) - 6142 = 21101.
Исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение:
п
т
Номер интервала, 1 Гран инте] мины звала р - Р Р+1 - * Границы интервала для функции Лапласа
Р 1 , кН Н * + р - Р _ Р+1 — р
2і и 2і+1 и
1 320 395 - -219 —да -1.51
2 395 470 -219 -144 -1.51 -0.99
3 470 545 -144 -69 -0.99 -0.48
4 545 620 -69 6 -0.48 0.04
5 620 695 6 81 0.04 0.56
6 695 770 81 156 0.56 1.08
7 770 845 156 231 1.08 1.59
8 845 920 231 - 1.59 +да
Таблица 3
Номер ин-тер-вала, 1 Границы интервала для функции Лапласа Ф(^) Ф(2і+1) Рі =Ф&+1) — —Ф(2і) пі
2і 2і+1
1 —да -1.51 -0.5 -0.4345 0.0655 6.55
2 -1.51 -0.99 -0.4345 -0.3389 0.0956 9.56
3 -0.99 -0.48 -0.3389 -0.1844 0.1545 15.45
4 -0.48 0.04 -0.1844 -0.016 0.1684 16.84
5 0.04 0.56 -0.016 0.2123 0.2283 22.83
6 0.56 1.08 0.2123 0.3599 0.1476 14.76
7 1.08 1.59 0.3599 0.4441 0.0842 8.42
8 1.59 +да 0.4441 0.5 0.0559 5.59
а =7^ = 145. (4)
Построим гистограмму распределения радиальной силы F, и график функции распределения случайной величины F (рис. 2). Следует отметить, что по оси ординат на графике отложена величина отношения относительной частоты w случайной величины силы к
и П1 1
длине интервала п : — =------------, т.к.
Ь п Ь
площадь под кривой плотности распределения, или под гистограммой, должна равняться единице.
Найдём интервалы z1 и z1+1, по которым будем определять значения функции Лапласа. Для этого составим табл. 2. Здесь следует отметить, что
функция Лапласа определена на всей оси абсцисс, но вероятность попадания значений F вне интервала [320;920] практически равна 0. В связи с этим левый конец первого интервала примем равным —да, а правый конец последнего интервала примем равным +да .
Найдём теоретические вероятности Р1 и теоретические частоты
п1 = п • Р1 = 100 • Р1. Такие параметры должна была бы иметь статистическая совокупность, распределённая по нормальному закону. Для этого составим табл. 3.
F[Kn]
Рис. 2. Гистограмма и закон распределения случайной величины радиальной силы F при условии нормального закона распределения массы шаров т
Таблица 4
i П! п1 п - п1 (п1 - п1)2 (п1- п1)2 П1
1 5 6.55 -0.55 0.3 0.05
2 10 9.56 -0.44 0.19 0.02
3 15 15.45 -0.45 0.2 0.01
4 22 16.84 3.16 9.99 0.59
5 21 22.83 -1.83 3.35 0.15
6 14 14.76 0.76 0.58 0.04
7 9 8.42 0.58 0.34 0.04
8 4 5.59 -1.54 2.37 0.43
I 100 100 ^абл = 1.33
Сравним эмпирические и те°рети- ческие частоты, используя критерий %2
Пирсона. Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона:
1(п- п1)2
Жн2абл = -------------------------------;-. (5)
п,
Для этого составим таблицу 4.
По таблице приложения 5 [2] по заданному уровню значимости а = 0.05 и числу степеней свободы
к = S - 3 = 8 - 3 = 5, где S - число интервалов, нах0дим ^к2р = 11-1. Жн2абл < Х^>
значит, параметры выборки не противоречат гипотезе о нормальном законе распределения силы Б. Принимаем
1.Бендаж Д., Пирсон А. Прикладной анализ случайных данных. - М.: Мир, 1989. - 540 с.
2. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. - М.: Наука, 1976. - 520 с.
3. Дмитрак Ю.В., Доброборский Г.А., Вержанский А.П. Определение закона распределения времени измельчения материала в вибрационной мельнице. Деп. в горном
данный закон распределения для дальнейших вычислений.
В результате проведённых расчётов был получен важный вывод: две взаимосвязанные случайные величины распределены по нормальному закону. Данное обстоятельство существенно облегчает установление характера корреляционной зависимости между данными величинами и позволяет в дальнейших расчётах оперировать математическими ожиданиями этих величин, что значительно повышает точность результатов.
-------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
бюллетене. - М.: ЦНИИУголь - 1993. - №
3.
4.Зиновьева Т.А. Статистические методы оценки влияния законов распределения химического состава никель-медь-марганцевых катализаторов на эффективность очистки отходящих газов от вредных выбросов. - Горный информационно-аналитический бюллетень. -М.: 2006. - № 6. - С. 395-399. Ш
— Коротко об авторах ----------------------------------------------------------
Дмитрак Ю.В.- профессор, доктор технических наук, Московский государственный горный университет, Moscow State Mining University, Russia, ud@msmu.ru Зиновьева Т.А. - кандидат технических наук, доцент, Новомосковский институт РХТУ им. Д.И. Менделеева, rector@muctr.ru
