CC BY
36
Оригинальная статья / Original article УДК 001.891.573
DOI: 10.21285/1814-3520-2017-9-73-82
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ И СТРУКТУРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕЛЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ГИСТЕРЕЗИСОМ НА ХАОТИЧЕСКУЮ ДИНАМИКУ В СРЕДЕ SIMULINK ПАКЕТА MATLAB
© В.Г. Рубанов1, Р.А. Набоков2
Белгородский государственный технологический университет, Российская Федерация, 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Разработка модели релейной системы с гистерезисом в среде Matlab Simulink и исследование ее динамических свойств, направленное на поиск способов или методов, позволяющих избежать переходов в режимы хаотической динамики. МЕТОДЫ. При получении модели релейной системы с гистерезисом в пакете Matlab Simulink использованы методы теории автоматического управления, математического и физического моделирования. РЕЗУЛЬТАТЫ. Разработана модель релейной системы с гистерезисом в среде Matlab Simulink. Получены фазовые портреты и временные диаграммы предельных циклов периодов 1, 2, а также хаотических колебаний при параметрах модели, одинаковых с физической и математической моделями данной системы, предшествующие эксперименты на которых продемонстрировали такие же динамические свойства. При изменении сопротивления входного фильтра получена желаемая регулярная динамика модели, отвечающая параметрам системы, при которых ранее возникали хаотические колебания. Разработана модель объекта исследования с звеном запаздывания в цепи обратной связи, динамика которой при сохранении параметров, ранее соответствующих хаотическим колебаниям, имеет периодической характер. ВЫВОД. Полученные результаты позволяют сделать вывод об адекватности разработанной модели. За счет изменения параметров системы (без влияния на ее структуру), а также в результате введения звена запаздывания в структуру модели (без изменения параметров) возможно обеспечить функционирование объекта в желаемом режиме периодических автоколебаний. Ключевые слова: релейная система с гистерезисом, схема замещения, периодические колебания, хаотическая динамика, квазипериодические колебания, «скрытые» аттракторы, звено запаздывания.
Формат цитирования: Рубанов В.Г., Набоков Р.А. Исследование влияния изменения параметров и структуры математической модели релейной системы с гистерезисом на хаотическую динамику в среде Simulink пакета Matlab // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 9. С. 73-82. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-9-
STUDY OF PARAMETERS AND STRUCTURE VARIATION OF MATHEMATICAL MODEL OF RELAY SYSTEM WITH HYSTERESIS ON CHAOTIC DYNAMICS IN MATLAB SIMULINK V.G. Rubanov, R.A. Nabokov
Belgorod State Technological University named after V.G. Shukhov, 46 Kostyukov St., Belgorod 308012, Russian Federation.
ABSTRACT. The PURPOSE of the paper is to develop a model of a relay system with hysteresis using Matlab Simulink and to study its dynamic properties in order to find ways or methods that will allow to avoid transitions to chaotic dyna m-ics modes. METHODS. The methods of automatic control theory, mathematical and physical modeling have been used to obtain the model of a relay system with hysteresis in Matlab Simulink. RESULTS. A model of the relay system with hysteresis in Matlab Simulink is developed. Phase-plane portraits and time diagrams of the periods-1, 2 limiting cycles and chaotic oscillations are obtained for the model parameters identical to the physical and mathematical models of the given system, the previous experiments on which have demonstrated the same dynamic properties. Variation of the input filter resistance has allowed to obtain the desired regular model dynamics corresponding to the system parameters under which chaotic oscillations earlier occurred. A model of the research object with the delay unit in the feedback loop has been developed. Its dynamics under the parameters earlier corresponded to chaotic oscillations has a periodic character. CONCLUSION. According to the obtained results, the conclusion is drawn on the adequacy of the developed model. It is
1Рубанов Василий Григорьевич, доктор технических наук, заведующий кафедрой технической кибернетики, e-mail: [email protected]
Vasily G. Rubanov, Doctor of technical sciences, Head of the Department of Engineering Cybernetics, e-mail: [email protected]
2Набоков Роман Алексеевич, аспирант, e-mail: [email protected] Roman A. Nabokov, Postgraduate, e-mail: [email protected]
possible to ensure object operation in the desired mode of periodic self-oscillations through the variation of system parameters (system structure is unaffected) as well as through the introduction of a delay unit in the structure of the model (parameters are unaltered).
Keywords: relay system with hysteresis, equivalent circuit, periodic oscillations, chaotic dynamics, quasi-periodic oscillations, "hidden" attractors, delay unit
For citation: Rubanov V.G., Nabokov R.A. Study of parameters and structure variation of mathematical model of relay system with hysteresis on chaotic dynamics in Matlab Simulink. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 9, pp. 73-82. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-9-73-82
Введение
Важный класс нелинейных автоматических систем представляют релейные системы с гистерезисом, которые широко применяются в различных отраслях промышленности. Как известно, такие системы могут функционировать как в желаемом автоколебательном режиме, так и при некотором стечении обстоятельств, например, определенная совокупность параметров может проявлять квазипериодические и хаотические колебания, последние в свою очередь могут приводить к отказам оборудования [1-3].
В работах [4, 5] исследуется процесс стабилизации космического аппарата относительно заданного положения оси его ориентации, который осуществляется при помощи релейной системы управления. В [4] показано, что управляющее воздействие может возбуждать упругие колебания кон-
струкции, вследствие чего возникает взаимосвязь системы с упругими колебаниями и при существенной взаимосвязи динамика объекта управления становится хаотической.
В работах [6-8] исследуется динамика ядерных реакторов с релейной системой управления. В данных работах отмечается, что в случае, когда объект управления колебательно-неустойчивый, в релейных системах с гистерезисом наряду с периодическими могут возникать и хаотические колебания.
Таким образом, можно отметить актуальность исследований, направленных на поиски и разработку эффективных способов, позволяющих не допускать переходов в режимы хаотической динамики, и методов демпфирования хаотических колебаний.
Методика исследований
В предыдущих работах была сконструирована физическая модель релейной системы с гистерезисом, работающая как в режиме периодических автоколебаний, так и в режиме хаотической динамики в зависимости от напряжения питания [9]. Кроме того, была выбрана схема замещения для объекта исследования (рис. 1), получена его математическая модель и подтверждена ее адекватность, а также проведены экспериментальные исследования физической модели и вычислительные эксперименты на математической модели объекта [2, 3]. В результате были выявлены классические режимы работы исследуемой модели, хаотические колебания и достаточно
сложные динамические режимы (так называемые скрытые аттракторы) [10].
Ввиду того что подробное исследование математической модели данного объекта требует привлечения сложного математического аппарата, разработку комплекса программных средств и больших временных затрат, а в данной работе предлагается метод демпфирования хаотических колебаний, основанный на введении в структуру объекта исследования дополнительных звеньев, и как следствие, усложнения математической модели, все исследования были перенесены в среду Matlab Simulink.
Рис. 1. Схема замещения релейной системы с гистерезисом, где DA - компаратор; US- выходное напряжение компаратора DA; S - силовой ключ Fig. 1. Equivalent circuit of the relay system with hysteresis where DA - comparator; US - comparator DA output voltage; S - power key
Схема замещения, показанная на рис. 1, состоит из элементов базового набора (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности, независимых источников напряжения) и других структурных элементов, не декомпозированных в виде составляющих базового набора. Структурные элементы схемы замещения (см. рис. 1) представлены в виде следующих блоков: БЛ - компаратор, реализующий функцию двухпозиционного реле с гистерезисом (рис. 2), делитель выходного напряжения (задает коэффициент передачи обратной связи по напряжению).
Таким образом, предложенная для
объекта исследования схема замещения включает следующие элементы: независимый источник питающего напряжения -ип; входной фильтр - Я^С; компаратор
- БЛ; выходной фильтр - С2; нагрузочный резистор - Яя; усилительное звено, характеризующееся коэффициентом передачи обратной связи по напряжению -
; напряжение задания - из; силовой ключ - 5; ключевой элемент в виде диода
- Б; и8 - выходное напряжение компаратора - БЛ, управляющее ключом - 5.
~Х0
KF
+Хо s
1
о
Рис. 2. Функция переключения KF для релейного элемента с гистерезисом (если KF = 1, то силовой ключ S замкнут, и если KF = -1, то силовой ключ S разомкнут) Fig. 2. Switching function KF for the relay element with hysteresis (if KF = 1 the power switch S is closed; if KF = -1 the power switch S is open)
Также на эквивалентной схеме замещения (см. рис. 1) показаны протекающие в цепи электрические токи и напряжения на элементах схемы, которые динамически изменяются в процессе функционирования: ц - ток, протекающий последовательно через ^ и ; ц - ток, втекающий в блок с ключевыми элементами £ и Б; /2
- ток, вытекающий из блока с ключевыми элементами £ и Б и протекающий последовательно через и 12; и х - напряжение на полюсах конденсатора Сх и на
входных полюсах блока с ключевыми элементами £ и Б; и - напряжение на выходных полюсах блока с ключевыми элементами £ и Б; и - напряжение на полюсах конденсатора С2.
Основные гипотезы, лежащие в основе работы таких систем, заключаются в следующем:
1) элемент переключения соединяет нагрузку с напряжением питания на непродолжительное время, которое соответствует требуемому коэффициенту снижения напряжения;
2) с помощью достаточно высокой частоты переключения пульсации выходного напряжения можно поддерживать на приемлемом уровне при относительно небольших номиналах компонентов фильтра;
3) регулирование выходной переменной с помощью обратной связи позволяет автоматически скорректировать отклонения от требуемого выходного напряжения.
Сильная обратная связь способствует более быстрому и точному регулированию, однако, если обратная связь становится слишком сильной, то, как правило, возникает нестабильность выходной
переменной.
В исследованиях использованы постоянные параметры: R х= 0,47 Ом
L != 0,709• l03 Гн; C != 0,478• l0-6 Ф
R 2 = 2,2
C 2= 0,97• l0-
Ом;
L „= 3,44 • l0-
Гн
Ф;
RH = l00,0 Ом
и 3— 2,5 В; коэффициент делителя выходного напряжения К ^ =Р = 0,5 ; ширина зоны гистерезиса х0= 0,0125 В.
Математическая модель, описывающая предложенную схему замещения, была получена ранее [2, 3, 9, 10] и выглядит следующим образом:
— О(Х), X,О еЭТ4, (1)
dt
где
^^^ — (, x, , ) ,
в свою очередь
О = ^ g2, gз, ^4)Г •
Для компонент вектора Э имеем следующие зависимости:
gl =x
Ri
x,
L, L
-x +-
Un
L,
l l + KF (t)
g2 = C"x- 2CF x3;
l
l + Kf (t) __.
g3 — X2 X3 X4;
3 2L 2 L 3 L 4
g4 = Cl X3
l
C 2 RH
В зоне гистерезиса [~х0,х] выходной сигнал реле кр (0 описывается следующими соотношениями (см. рис. 2):
Kf (t ) =
l, s>%0 или-%0 <s<%0 и Kf = +1, -l, e<-X0 или-^0 <£<X0 и Kf = -1,
где e=ua-uoc, uoc - напряжение обрат-
' З w ОС 1 w ОС
ной связи системы.
Реализация и результаты исследования модели релейной системы с гистерезисом
в среде Matlab Simulink
На рис. 3 представлена модель релейной системы с гистерезисом в среде МаАаЬ Simulink, включающая следующие
основные блоки:
- «Constant» - блок, задающий напряжение питания системы Un;
4
- «Resistor», «Inductor», «Capacitor» - входной фильтр RLC;
- «Resistorl», «Inductorl», «Capaci-torl» - выходной фильтр R2L2C2;
- «Diode» - ключевой элемент в виде диода D;
- «Switch 1» - силовой ключ S;
- «Resistor2» - нагрузочный резистор R н ;
- «Voltage Sensor», «Voltage Sen-sorl» - датчики напряжения;
- «Gain» - усилительное звено c коэффициентом передачи обратной связи по напряжению Кос;
- «Relay» - реле с гистерезисом;
- «Switch», «Switch2» - ключевые элементы;
- «Clock» - таймер, выдающий управляющие сигналы на переключатели «Switch», «Switch2» и передающий данные о времени, которые записываются в массив t блока «To Workspace2»;
- «To Workspace2» - блок, осуществляющий запись массива значений времени моделирования (с заданным шагом моделирования);
- «To Workspacel» - блок, осуществляющий запись массива значений переменной x, которая соответствует переменной х2 математической модели (1) и
численно равна напряжению U х;
- «To Workspace» - блок, осуществ-
ляющий запись массива значении переменной dx, которая соответствует переменной х4 математической модели (1) и численно равна напряжению U2.
Функциональные блоки «Clock», «Switch» и «Switch2» использованы для формирования массивов значений переменных x и dx после окончания переходного процесса.
На рис. 4 представлены результаты моделирования динамики объекта исследования при напряжении питания U п = 6,0 В. Фазовый портрет предельного цикла периода 1 изображен на рис. 4, а. Временные диаграммы периодических автоколебаний, соответствующие переменным математической модели х2 и х4, показаны на рис. 4, b.
На рис. 5, а представлен фазовый портрет предельного цикла периода 2, а на рис. 5, b изображены изменения переменных математической модели х2 и х4 при
напряжении питания системы U п = 7,6 В.
При увеличении напряжения питания исследуемой модели до U п = 10,0 В
объект переходит в режим хаотической динамики. Фазовый портрет хаотических колебаний изображен на рис. 6, а, временные диаграммы хаотического изменения переменных х2 и х4 - на рис. 6, b.
Рис. 3. Модель релейной системы с гистерезисом в среде Matlab/Simulink Fig. 3. Model of the relay system with hysteresis in Matlab Simulink
а b
Рис. 4. Результаты исследования системы при Un = 6,0 В:
а - фазовый портрет предельного цикла периода 1; b - временные диаграммы периодических автоколебаний Fig. 4. Research results of the system under Un = 6.0 V: a - phase-plane portrait of the period 1 limiting cycle; b - time diagrams of periodic self-oscillations
Рис. 5. Результаты исследования системы при Un = 7,6 В:
а - фазовый портрет предельного цикла периода 2: b - временные диаграммы периодических автоколебаний Fig. 5. Research results of the system under Un = 7.6 V: a - phase-plane portrait of the period 2 limiting cycle; b - time diagrams of periodic self-oscillations
Таким образом, свойства модели, показанной на рис. 3, представленной в среде МаАаЬ Simulink, соответствуют свойствам рассмотренной в предыдущих работах [2, 3, 10] математической модели (1), что позволяет использовать предложенную модель для дальнейших исследований, направленных на подавление хаотических колебаний.
С целью перевода системы к регулярной динамике при напряжении питания и П —10,0 В было произведено варьиро-
вание параметров системы. На рис. 7 представлены результаты моделирования при установке во входном ЯХЦС -фильтре
сопротивления резистора Я х— 2,1 Ом. Полученный фазовый портрет предельного цикла периода 1 изображен на рис. 7, а. Временные диаграммы периодических автоколебаний, соответствующие переменным математической модели х2 и х4, показаны на рис. 7, б.
Рис. 6. Результаты исследования системы при Un = 10,0 В: а - фазовый портрет хаотических колебаний; b - временные диаграммы хаотических колебаний Fig. 6. Research results of the system under Un = 10.0 V: a - phase-plane portrait of chaotic oscillations; b - time diagrams of chaotic oscillations
Рис. 7. Результаты исследования системы при Un = 10,0 В:
а - фазовый портрет предельного цикла периода-1; b - временные диаграммы периодических автоколебаний Fig. 7. Research results of the system under Un = 10.0 V: a - phase-plane portrait of the period 1 limiting cycle; b - time diagrams of periodic self-oscillations
Также в данной работе было произведено изменение структуры системы за счет введения в цепь обратной связи объекта управления звена запаздывания, предпосылками к которому послужила работа [11] (рис. 8).
В публикации [11] рассмотрена система двигателя постоянного тока и генератора, соединенных между собой валами посредством муфты. На двигатель постоянного тока через силовой ключ подается постоянное напряжение, а к выходу генератора подключена нагрузка. На муфте, со-
единяющей валы электромашин, установлен датчик оборотов. Сигнал с датчика оборотов преобразуется и подается на драйвер управления силовым ключом, тем самым осуществляется управление поддержанием заданных оборотов и осуществляется питание подключенной к генератору нагрузки. Показано, что в зависимости от параметров системы могут возникать хаотические колебания в электронной системе управления силовым ключом. Для подавления этих колебаний было предложено введение запаздывания в обратную
связь [11]. Произведено математическое моделирование системы с элементом запаздывания и подтверждена эффективность применения этого способа переведения системы из режима хаотических колебаний в режим регулярной динамики.
На рис. 8 представлена модель релейной системы с гистерезисом в среде Matlab Simulink, состоящая из функциональных блоков системы, показанной на рис. 3, и дополнительно содержащей блок «Transport Delay» в цепи обратной связи по напряжению. «Transport Delay» задает время задержки передачи выходного сигнала системы на релейный элемент с гистерезисом «Relay».
Динамические свойства полученной
модели (см. рис. 8) были исследованы при и п —10,0 В и времени задержки
/ 3— 0,0001515 с, которое равно периоду
колебаний системы в режиме предельного цикла периода 1.
На рис. 9 представлены результаты моделирования динамики объекта исследования с звеном запаздывания в цепи обратной связи при напряжении питания и п —10,0 В. Полученный фазовый портрет предельного цикла изображен на рис. 9, а, временные диаграммы периодических автоколебаний, соответствующие переменным математической модели х - на рис. 9, Ь.
2 и X 4:
Рис. 8. Модель релейной системы с гистерезисом в среде Matlab/Simulink с звеном запаздывания
в цепи обратной связи
Fig. 8. Model of the relay system with hysteresis in Matlab /Simulink with the delay unit in the feedback loop
30 20 $ 10 0 -10
0.035 0.036 0.037 0.030 0.039 0.04
а b
Рис. 9. Результаты исследования системы при Un = 10,0 В:
а - фазовый портрет предельного цикла; b - временные диаграммы периодических автоколебаний Fig. 9. Research results of the system under Un = 10.0 V: a - phase-plane portrait of the limiting cycle; b - time diagrams of periodic self-oscillations
Заключение
Таким образом, была исследована модель релейной системы с гистерезисом в среде Matlab Simulink (см. рис. 3), выявлены режимы регулярной динамики и хаотических колебаний, соответствующие результатам, полученным при исследованиях непосредственно математической модели (1) в предыдущих работах [2, 3, 10]. За счет изменения параметров системы (без влияния на ее структуру) при напряжении питания U п = 10,0 В, соответствующем переходу системы к хаотической динамике, было произведено варьирование сопротивления R и подобрана его величина -
R != 2,1 Ом, при которой объект управления не переходит к хаотическим колебаниям, а остается в режиме периодических ав-
Библиогр'а
1. Жусубалиев Ж.Т., Полищук В.Г., Титов В.С. Хаотические колебания в технических системах: монография. Курск: Изд-во КурскГТУ, 2008. 201 с.
2. Набоков Р.А., Рубанов В.Г. Компьютерное моделирование хаотических колебаний в стабилизаторе напряжения с электронным релейным элементом // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Экономика. Информатика. 2012. Т. 23. Вып. 13-1 (132). С. 150-169.
3. Набоков Р.А., Рубанов В.Г. Аттракторы объекта управления с нелинейностью типа «двухпозицион-ное реле с гистерезисом» // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2014. № 11. С. 53-58.
4. Крутова И.Н. Исследование процесса стабилизации многомерной динамической системы с релейным управлением // Автоматика и телемеханика. 1999. № 4. С. 27-43.
5. Крутова И.Н. Об устойчивости режима стабилизации космического аппарата с учетом упругих колебаний // Автоматика и телемеханика. 1999. № 7. С. 44-58.
6. Постников Н.С. Стохастические колебания в ядерном реакторе с релейной системой регулиро-
токолебаний.
Также для модели релейной системы с гистерезисом был исследован способ подавления хаотической динамики, аналогичный использованному в работе [11]. Он заключается в изменении структуры системы за счет введения элемента запаздывания в цепь обратной связи. В результате была предложена и исследована модель, представленная на рис. 8. При напряжении питания, при котором в исходной системе (без изменения параметров) возникают режимы хаотических колебаний (и п = 10,0 В), в системе, снабженной звеном запаздывания, сохраняется требуемая регулярная динамика.
ий список
вания // Атомная энергия. 1994. Т. 76. Вып. 1. С. 3-11.
7. Postnikov N.S. Dynamic chaos in relay system with hysteresis // Computational Mathematics and Modeling. 1997. No. 8. P. 62-72.
8. Постников Н.С. Стохастичность релейных систем с гистерезисом // Автоматика и телемеханика. 1998. № 3. С. 57-68.
9. Набоков Р.А., Рубанов В.Г. Разработка и математическое описание релейной системы с гистерезисом, обладающей хаотической динамикой // Математические методы в технике и технологиях -ММТТ-24: сб. трудов XXIV Междунар. научн. конф., Киев: Изд-во Национального технического ун-та Украины «КПИ», 2011. Т. 6. С. 102-104.
10. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E., Rubanov V.G., Nabokov R.A. Multistability and hidden attractors in a relay system with hysteresis // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2015. No. 306. P. 6-15.
11. Chen J.H., Chau K.T., Siu S.M., Chan C.C. Experimental stabilization of chaos in a voltage-mode DC drive system // IEEE Transactions On Circuits And Systems I: Fundamental Theory And Applications. 2000. Vol. 47. No. 7. P. 1093-1095.
1. Zhusubaliev Zh.T., Polishchuk V.G., Titov V.S. Kha-oticheskie kolebaniya v tekhnicheskikh sistemakh [Chaotic oscillations in engineering systems]. Kursk: Kursk state university Publishers, 2008, 201 p. (In Russian)
2. Nabokov R.A., Rubanov V.G. Computer simulation of the chaotic oscillations in the voltage stabilizer with an electronic relay element. Nauchnye vedomosti Belgo-
rodskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Ekonomika. Informatika [Belgorod State University Scientific Bulletin. Series: Economy. Computer science]. 2012, vol. 23, issue 13-1 (132), pp. 150-169. (In Russian)
3. Nabokov R.A., Rubanov V.G. Attractors control object with the nonlinearity of the "bistable relay with hysteresis". Pribory i sistemy. Upravlenie, kontro' diagnos-
tika [Instruments and Systems: Monitoring, Control, and Diagnostics]. 2014, no. 11, pp. 53-58. (In Russian)
4. Krutova I.N. Stabilization study of a multidimensional dynamic system with relay control. Avtomatika i telemekhanika [Automation and Remote Control]. 1999, no. 4, pp. 27-43. (In Russian)
5. Krutova I.N. On stability of the spacecraft stabilization mode with regard to elastic oscillations. Avtomatika i telemekhanika [Automation and Remote Control]. 1999, no. 7, pp. 44-58. (In Russian)
6. Postnikov N.S. Stochastic oscillations in a nuclear reactor with a relay control system. Atomnaya energiya [Atomic Energy]. 1994, vol. 76, issue 1, pp. 3-11. (In Russian)
7. Postnikov N.S. Dynamic chaos in relay system with hysteresis. Computational Mathematics and Modeling. 1997, no. 8, pp. 62-72.
8. Postnikov N.S. Stochasticity of relay systems with hysteresis. Avtomatika i telemekhanika [Automation and Remote Control]. 1998, no. 3, pp. 57-68. (In Russian)
9. Nabokov R.A., Rubanov V.G. Razrabotka i ma-
Критерии авторства
Рубанов В.Г., Набоков Р.А. имеют на статью равные авторские права и несут равную ответственность за плагиат.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Статья поступила 21.06.2017 г.
tematicheskoe opisanie releinoi sistemy s gisterezisom, obladayushchei khaoticheskoi dinamikoi [Development and mathematical description of a relay system with a hysteresis featuring chaotic dynamics.]. Sbornik trudov XXIV Mezhdunarodnoi nauchnoi konferentsii "Ma-tematicheskie metody v tekhnike i tekhnologiyakh -MMTT-24" [Proceedings of XXIV International scientific conference "Mathematical methods in engineering and technologies - MMET-24"]. Kiev: National Technical University of Ukraine Publishing House, 2011, vol. 6, pp. 102-104. (In Russian)
10. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E., Rubanov V.G., Nabokov R.A. Multistability and hidden attractors in a relay system with hysteresis. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2015, no. 306, pp. 6-15.
11. Chen J.H., Chau K.T., Siu S.M., Chan C.C. Experimental stabilization of chaos in a voltage-mode DC drive system. IEEE Transactions On Circuits And Systems I: Fundamental Theory And Applications, 2000, vol. 47, no. 7, pp. 1093-1095.
Authorship criteria
Rubanov V.G., Nabokov R.A. have equal authors rights and bear equal responsibility for plagiarism.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict interests regarding the publication of this article.
The article was received 21 June 2017
