CC BY
14
УДК 622; 531
© А.И. Авдеева, A.B. Шадрина, Л.А. Саруев, 2014
А.И. Авдеева, A.B. Шадрина, Л.А. Саруев
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ БУРИЛЬНЫХ ТРУБ НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ЭНЕРГИИ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ЕЕ РАСПРОСТРАНЕНИИ ПО УЧАСТКАМ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
Проведен анализ эффективности распространения волн деформаций (силовых импульсов) и определены рациональные параметры бурильных труб на основе метода разложения Фурье, позволяющего представить импульс любой формы в виде суммы гармонических волн. Рассмотрено напряженное состояние бурильной трубы как полого цилиндра постоянного сечения в результате приложения к ней продольной осевой нагрузки. Установлена зависимость эффективной передачи энергии по участкам колонны бурильных труб постоянного сечения от частотных характеристик формируемых силовых импульсов и геометрических параметров труб. Ключевые слова: волна деформации, волновое уравнение, спектральный анализ, частота отсечки, наружный и внутренний диаметры бурильной трубы, функция Бесселя, мода.
Анализ эффективности распространения волн деформаций и определение рациональных параметров бурильных труб проводились на основе метода разложения Фурье, позволяющего представить импульс любой формы в виде суммы гармонических волн. Было рассмотрено напряженное состояние бурильной трубы, как полого цилиндра постоянного сечения, в результате приложения к нему продольной осевой нагрузки.
Анализ поведения плоских продольных волн на основе классического волнового уравнения д2и _ 2 д^и Я2 " а° дх2
где и - продольное смещение поперечного сечения бурильной трубы с координатой х в момент времени t, а0 - скорость распространения волны деформации позволяет сделать вывод, что профиль волн остается неизменным при их распространении. Однако экспериментальные исследования показывают, что даже в случаях, когда можно пренебречь влиянием внутреннего трения и присутствием неоднородностей в материале бурового инструмента, происходит изменение профиля волн, которое сопровождается частичной потерей их энергии. Такая трансформация волн связана с тем, что на участке бурового инструмента, захваченного волной, напряженное состояние является пространственным. Это приводит к появлению поперечных изгибных, радиальных и сдвиговых волн, которые, в отличие от продольных, не будут вызывать продольных перемещений коронки.
Участки бурового инструмента постоянного поперечного сечения в большинстве случаев представляют собой полые цилиндры или приближенно могут считаться таковыми. В цилиндрической системе координат г, ф, х (рис. 1)
/ч
г ,
У/////Ш. / /
. - - 1го____ п
У/////ШШШ///М
деформация трубы в основном характеризуется смешением их = и(г, ф, х, в направлении оси х. Пусть к торцу х = 0 полого упругого цилиндра, занимающего область 0 <г0 <г <гг 0 <ф < 2л, Рис. 1. Геометрия участка бурового инструмента х > 0 приложена нагрузка Р, постоянного поперечного сечения приводящая к смещению по-
перечного сечения
4<1х=0 = U0(г, Ф-
где их - смещение точек поперечного сечения в направлении оси х. Считаем, что напряженное состояние цилиндра, в основном, характеризуется смещением частиц цилиндра в направлении х.
Для вывода дифференциального уравнения, описывающего распространение волн в цилиндре, воспользуемся принципом Гамильтона-Остроградского [3], согласно которому функционал: ¡1 х1 ф! 11
Л Цьгёгёф
^0 х0 Ф0 г0 (1)
на действительных перемещениях принимает стационарное значение. В (1) L = Шк - Шп - функция Ёагранжа, где Шк - кинетическая и Шп - потенциальная энергия, отнесенные к единице объема. Учитывая компоненты тензоров деформации и напряжений для данной системы выразим кинетическую и потенциальные энергии следующим образом [1, 4]:
1
ди
¥
где р = сопб1
ш = ^ р
плотность материала бурильной трубы;
ш = ! п 2
ди | + в
дх
ди | + в
дг
а и2
г дф
(2)
(3)
где потенциальная энергия будет складываться из энергии продольной де-
1
формации Шп х
ди | ~ „, 1 „
— | , продольно-сдвиговой Ш = — в
дх) Ч2 п хг 2
'1 ди
энергии деформации изгиба ш =1 в
п хф 2
г дф
ди дг
а также из
Необходимое условие стационарности функционала (1) приводит к уравнению [7]:
.1 д!и
а2 я2, (4)
1
211+\>
дг2
+1 ди+1 ди ] + д2и
г дг г2 5ф2 ) дх2
Е Е
где а0 , в = 2(1 + у).
Уравнение (4) рассматривалось при граничных условиях: ах =ст(г, ф) еш при х = 0, (5)
тхг = сдг = 0 при г = г0; г = г (6)
дг
и ф 0 = и
1ф=0 1ф=2п , (7)
где г0 и г1 - внутренний и наружный радиусы бурильной трубы соответственно, I2 = -1; считаем, что боковые цилиндрические поверхности участка постоянного поперечного сечения или свободны от нагрузки, или ее влияние незначительно.
Решение дифференциального уравнения (4) найдено в виде бегущих в положительном направлении оси методом разделения переменных [5]: и = Я(г) -Х(х) • Ф(ф) -Га). (8)
Подставив данное выражение в исходное уравнение (4) и поделив результат на Я (г) - Х(х) - Ф(ф) - Т(£), получим:
1
2 + 2v
2
1 д2Я 1 1 дЯ 1 1 д2Ф Я дг2 г Я дг г2 Ф дф2
1 д2Х 11 д2Т
+ —
X дх2 а2 Т д*2 (9)
В результате решения уравнения (9) (методом разделения переменных) [1, 4] получена зависимость для определения нормального напряжения стх на заданном удалении (х) от нагружаемого торца бурильной колонны (х = 0) в зависимости от круговой частоты ю, волнового числа хкт и внутренним г0 и наружным г1 радиусом бурильных труб:
да да
^х = I I Акт-е'тф Я (Утг)е(-х)
т=-да к = 0 (10)
в котором укт - корни уравнения (11),
Укт [¿т (ктк ) К (ктг0 ) - К (ктг1 ) ¿'т (ктг0 )] = 0 щ
где ¿и N - функции Бесселя и Неймана т-го порядка, связаны с отношением (12): т
Х кт
а2 2 (1 + V), (12)
где V - коэффициент Пуассона.
На основе решения уравнения (11) установлено, что корень у00 = 0, а среди остальных корней укт наименьшим является у10. у
Анализ уравнений (10) и (12) показывает, что на частотах ю < .——
V2 (1 + v)
только член с А00 описывает бегущую волну напряжений, для которой волновое
ю 00
число х00 = —. Остальные члены с к2 + т2 > 0 представляют собой неоднород-
а0
ные волны, амплитуды которых быстро убывают с увеличением по экспоненциальному закону. Поэтому в случае указанных выше значений частот на достаточном удалении от сечения х = 0 будет присутствовать только соответствующая А00 первая мода (тип волны), которая является продольной плоской волной.
ю^ 2 (1 + у)
При частотах, удовлетворяющих неравенству: у10 <-< у01, волновое
а0
число х10 становится действительной величиной, и вторая мода с амплитудой А как и первая мода, будет распространяющейся, что соответствует изгибным волнам. На более высоких частотах появляются радиальные распространяющиеся волны.
В работах Гринченко В.Г., Мелешко В.В. [2] и других исследователей показано, что на большинстве частот почти вся проводимая энергия уносится от места возбуждения волн только какой-то одной модой. Однако эта доминирующая мода не является одной и той же на всех частотах. На низких частотах распространяется лишь первая мода или плоская волна. При появлении распространяющихся изгибных и радиальных волн происходит резкий спад относительной величины энергии, переносимый первой модой, и энергия будет уноситься модами высших порядков, то есть распространяющимися от хвостовика вдоль колонны бурильных труб к коронке изгибными и радиальными волнами напряжений. Поскольку эти волны являются поперечными, они не создают продольных перемещений коронки.
Разрушение горной породы будет происходить, в основном, за счет волн с частотами, меньшими частоты возникновения второй моды, то есть с частотами:
ю < ю Уюа0 ю<ю0 = . =
. (13)
С учетом вышеизложенного из (10) следует, что при достаточном удалении от торца бурильной колонны проведение волны напряжения, производящей работу по разрушению горной породы, будет описываться соотношением
^ = А е'(ю-Х00х)
ах - Аоое при ю < ю0, (14)
где ю0 - дается формулой (12).
Коэффициент А00 определяется выражением:
1 2п г
А00 = ~Т~2-^ 11г ' ^ф) 6г ^
-г0 )0 г0 , (15)
которое следует из граничных условий (5-7).
Формула (14) показывает, что элементарная теория распространения продольных волн справедлива только на частотах возбуждения ю < ю0. Если спектр импульса, возбужденного бойком в бурильных трубах, имеет такую форму, что распределение энергии по частотам ю > ю0 относительно мало, то импульс будет распространяться по трубам практически без искажения формы. В противном случае его энергия расходуется на возбуждение поперечных волн, что приводит к уменьшению коэффициента полезной работы бурильной машины.
Для определения корней была разработана компьютерная программа и проведены расчеты, которые показывают, что увеличение наружного радиуса и уменьшение толщины стенок ведет к уменьшению частоты отсечки. Таким образом, увеличения можно добиться выбором радиусов и бурильных труб с учетом значений корней .
Таким образом, установлена зависимость эффективной передачи энергии по участкам колонны бурильных труб постоянного сечения от частотных характеристик формируемых силовых импульсов и геометрических параметров труб.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Авдеева А.И. Волновые процессы при распространении силовых импульсов по ставу штанг. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. - Томск, 1999. - 17 с.
2. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. -Киев: Наукова думка, 1981. - 283 с.
3. Ланцош К. Вариационные принципы механики: Пер. с англ. - М.: Мир, 2000. - 408 с.
4. Саруев Л.А., Шадрина А.В. Распространение силовых импульсов по буровым штангам постоянного сечения // Динамика и прочность горных машин: Сборник трудов II международной конференции. - Новосибирск. 2003. - С. 64-69.
5. Скучик Е. Основы акустики: Пер. с англ. - М.: Мир, 1976. - 542 с.
6. ХаркевичА.А. Спектры и анализ. 3-е изд., испр. и доп. - М.: Гостехиздат, 1957. - 236 с.
7. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. Математика. - М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 319 с. ЕПЭ
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ_
Шадрина Анастасия Викторовна - кандидат технических наук, доцент,
e-mail: avshadrina@rambler.ru, Национальный исследовательский томский политехнический
университет, Институт природных ресурсов,
Саруев Лев Алексеевич - доктор технических наук, профессор, e-mail: lasaruev@tpu.ru, Национальный исследовательский томский политехнический университет, Институт физики высоких технологий,
Авдеева Александра Ивановна - кандидат технических наук, доцент, e-mail: isu@nkfi.ru, Новокузнецкий институт (филиал) кемеровского государственного университета.
UDC 622; 531
RESEARCH OF INFLUENCE OF DRILL RODS GEOMETRICS ON STRAIN WAVES TRANSFER EFFICIENCY ALONG THE DRILL RODS WITH CONSTANT CROSS SECTION
Shadrina A.V., Candidate of Engineering Sciences, Assistant Professor, e-mail: avshadrina@rambler.ru,
Tomsk Polytechnic University, Institute of Natural Resources,
Saruev L.A., Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: lasaruev@tpu.ru,
Tomsk Polytechnic University, Institute for High Technologies Physics,
Avdeeva A.I., Candidate of Engineering Sciences, Assistant Professor, e-mail: isu@nkfi.ru,
Novokuznetsk Institute (Branch) of the Kemerovo State University.
The article introduces the results of analyze the strain waves (power pulses) transfer efficiency along the drill rods and the determination of rational rods parameters. The researches rests on Fourier expansion method. It allows to describe any form of power pulse as the sum of harmonic waves. Herewith the longitudinal load was applied to drill rod. The state stress of drill rod as a quill cylinder with constant cross section is considered. Research of strain waves transfer along the drill rods was executed for approximate problem definition. The author has determined the dependence of strain waves transfer efficiency on frequency characteristics of power pulses and rods geometrics.
Key words: strain wave, wave equation, spectrum estimation, cutoff frequency, outside and internal drill rod diameters, Bessel function, mode.
REFERENCES
1. Avdeeva A.I. Volnovye processy pri rasprostranenii silovyh impul'sov po stavu shtang (Wave processes in the propagation of power pulses in drill rods), Candidate's thesis, Tomsk, 1999, 17 p.
2. Grinchenko V.T., Meleshko V.V. Garmonicheskie kolebanija i volny v uprugih telah (Harmonic oscillations and waves in elastic solid), Kiev, Naukova dumka, 1981, 283 p.
3. Lancosh K. Variacionnye principy mehaniki: Per. s angl. (Variation principles of mechanics), Moscow, Mir, 2000, 408 p.
4. Saruev L.A., Shadrina A.V. Dinamika i prochnost' gornyh mashin: Sbornik trudov II mezhdunarodnoj konferencii (Proceedings of 2 International conference «Dynamics and strength of mining machine»), Novosibirsk, 2003, pp. 64-69.
5. Skuchik E. Osnovy akustiki: Per. s angl. (The foundation of acoustics), Vol. 2. Moscow, Mir, 1976. 542 p.
6. Harkevich A.A. Spektry i analiz (Spectra and analysis), Moscow, Gostehizdat, 1957, 236 p.
7. Jelsgolc L. Je. Differencialnye uravnenija i variacionnoe ischislenie. Matematika (Differential equations and variational calculus), Moscow, Jeditorial URSS, 2000, 319 p.
