CC BY
62
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС77 - 4 8211. Государственная регистрация №042 1200025. ISSN 1994-0408
электронный научно-технический журнал
Исследование влияния движения подъемника на динамику космического лифта # 05, май 2014
DOI: 10.7463/0514.0710704 Ледков А. С., Пикалов Р. С.
УДК 004.3+519.6
Россия, СГАУ им. С.П. Королева ledkovSinbox.ru pickalo\TS @ gm ail. com
Введение
В настоящее время для вывода груза на орбиту используются ракеты-носители. Не смотря на свою надежность и универсальность этот способ достаточно дорог, он приводит к загрязнению атмосферы продуктами сгорания топлива и засорению околоземной орбиты космическим мусором. Начиная с конца 90-х годов прошлого столетия учеными активно прорабатывается альтернативный подход, основанный на использовании космического лифта. Космический лифт состоит из протяженного троса, соединяющего поверхность Земли с находящейся за геостационарной орбитой космической станцией, и подъемника. С помощью подъемника груз поднимается на требуемую высоту, где отсоединяется от лифта и начинает свободное движение [1, 2, 3]. Оценки западных экспертов показывают, что создание космического лифта позволит существенно снизить стоимость доставки груза на орбиту[4, 5].
Проблемой исследования динамики космического лифта занимались многие ученые. Основоположниками этого направления являлись Ю.Н. Арцутанов, J. Pearson и Г.Г. Поля-ков[1, 2, 6]. В начале 21 века американским ученым Bradley Edwards-ом по заказу NASA была разработана концепция минималистичного космического лифта, создание которого возможно при текущем уровне развития технологий[7]. Эта работа вызвала большой резонанс и подстегнула исследования в данной области. В качестве основы космического лифта предлагается использовать материал на основе углеродных нанотрубок[8]. Не смотря на наличие большого количества работ, посвященных космическому лифту, слабо изученным остается вопрос исследования влияния движения подъемника на динамику космического лифта. Из работ, посвященных этому вопросу можно выделить статьи [9-11] в кото-
рых показано, что движение подъемника вызывает колебания лифта, проведена оценка этих колебаний и предложены способы их демпфирования.
Целью работы является исследование динамики космического лифта с учетом движения подъемника. Для достижения этой цели разработана математическая модель, позволяющая учитывать изгиб троса. В отличие от существующих работ[9-11], подъемник рассматривается не как материальная точка, а как механическая система; трос рассматривается как два неупругих стержня переменной длины. С помощью разработанной модели проведено численное моделирование подъема груза и показано, что подъем с постоянной скоростью приводит к раскачке космического лифта; исследовано влияние массы поднимаемого груза на амплитуду колебаний троса.
1. Математическая модель и уравнения движения
В научной литературе для исследования движения космического лифта используются модели нескольких типов. В работах [10, 11] трос моделируется как неупругий стержень, по которому перемещается материальная точка. Модель не учитывает возможность изгиба троса, что позволяет использовать ее лишь для грубых оценочных расчетов. В [9, 12] построены более сложные многоточечные модели. Они позволяют учесть изгиб и распространение продольных и поперечных волн. Увеличивая число точечных масс можно увеличить точность получаемых результатов, однако интегрирование такой системы требует больших вычислительных затрат. Разработаем математическую модель, позволяющую учесть изгиб троса, но не требующую больших вычислительных затрат.
Рассмотрим плоскую механическую систему, состоящую из троса, противовеса и подъемника, рис.1. Движение происходит в экваториальной плоскости в Ньютоновском гравитационном поле. Трос моделируется парой нерастяжимых стержней, переменной длины. Площадь поперечного сечения стержней зависит от расстояния до его конца. Первый стержень соединяет точку крепления троса к Земле А и подъемник В, второй - подъемник В и противовес С. Состояние механической системы определяют три обобщенные координаты: а, - углы отклонения стержней АВ и ВС от местной вертикали соответственно, г - расстояние от точки крепления троса А до подъемника. Противовес рассматривается как материальная точка массой тр . Подъемник, представляет из себя механизм, состоящий из двух весомых однородных дисков, соединенных между собой невесомой перемычкой. К центру перемычки крепится груз в виде материально точки.
Введем системы координат с началом в центре Земли О: инерциальную систему координат ОХУ и неинерциальную, вращающуюся вместе с Землей, систему Оху. Ось Ох направлена из центра Земли в точку крепления троса, а О^ дополняет систему до правой, рис.1.
Рис.1. Космический лифт
Составим уравнений движения космического лифта, воспользовавшись уравнениями Ла-гранжа второго рода [13]:
а[
Ж
V IIУ
-—=о
(1)
где Ь = Т — Р - Лагранжиан системы, Т и Р кинетическая и потенциальная энергия системы соответственно, qi = (а,а2,2) - обобщенные координаты, & = (0а,,&) - обобщенные силы.
Кинетическая энергия системы будет определятся как сумма кинетических энергий противовеса Тс, троса Т8 и подъемника Тв . Энергия противовеса определяется формулой:
Т„ =
Здесь К радиус вектор противовеса, имеющий в ОХУ координаты:
(2)
Я,
^ ЯЕ собА +1соб(А — а2) + 2(соб(А —а) — соб(А — а2 ЯЕ бш А +1бш(А — а2) + 2(бш(А —а) — бш(А — а2))
(3)
где А = ю^; - угол, задающий положение Оху относительно ОХУ, рис.1, ® Е - угловая скорость вращения Земли, ? - время, ЯЕ - радиус Земли, I - длина троса.
Трос состоит из двух сегментов, поэтому его кинетическая энергия определяется как сумма энергий сегментов:
Т = Т + Т
1 "
Тлв=-\ РО) (Кщ О) • ,
2 0
1'
(4)
(5)
2
где р(s) = рАт exp
Pgo RE
3_ RG ( s + Re ) 2 s + R 2R2
2 Y
линейная плотность троса, рис.2. [6],
р - средняя плотность материала троса, Ат - максимальная площадь поперечного сечения троса, g 0 - значение ускорения свободного падения на уровне моря, а - напряжение в тросе, Rg - радиус геостационарной орбиты; R^(s),R^,(s) - радиусы векторы точек первого и второго сегмента троса соответственно, имеющие в OXY координаты:
^Re cos Я + s cos (Я - ax R£ sin Я + s sin (Я-а^)
^ Re cos Я + s cos (Я-а2) + z (cos (Я-щ)- cos (Я - а2 R sin Я + s sin (Я-а2) + z (sin (Я-щ)- sin (Я-а2))
R AB (s) =
RBC (s) =
(6) (7)
Рис.2. Линейная плотность троса
Поскольку размеры дисков подъемника малы по сравнению с длиной троса, сделаем допущение, что радиусы векторы центров масс дисков совпадают с радиусом вектором центра масс подъемника. Тогда кинетическая энергия подъемника имеет вид:
f.
T = 2
TB 2
1 J,
f A V
V Rd J
л
i
+ —m,
(8)
V 4 d' J
где первое слагаемое отвечает за энергию двух вращающихся дисков, а второе за энергию полезного груза, который рассматривается в виде материальной точки; J = mdR /2 -момент инерции диска относительно оси вращения, Rd и md - радиус и масса диска соответственно, R - радиус вектор центра масс подъемника:
f R£ cos Я + z cos (Я - а у R = .
V R£ sin Я + z sin (Я-аj) J Суммируя (2), (4), (5) и (8), получим выражение для кинетической энергии системы:
(9)
1 \ 2 1 ^
2 2 0 2 0
(10)
Потенциальная энергия системы складывается из энергий противовеса, троса и подъемника:
Р = — Ш—^ КТ^ К ТКГ, (11)
|Кс| 0 |КАВ ) 2 Квс ) |Кв|
где Ц - гравитационный параметр Земли.
Определим обобщенные силы, вызванные работой двигателей подъемника[13]:
а =¥■, <12>
О 2
где О 2 - виртуальное перемещение, О А - элементарная работа. На каждый диск подъемника действует момент активной силы М и , создаваемый двигателями. Элементарная работа двух дисков подъемника будет определяться как
ОА = 2 Ми . Я
Подставляя полученное выражение в (12), получим обобщенную силу
= 2 М^ (13)
Подставляя (10), (11) и (13) в уравнения Лагранжа (1), получим замкнутую систему дифференциальных уравнений, описывающую динамику космического лифта.
2. Численное моделирование
Исследуем влияние подъемника на динамику космического лифта. Рассмотрим космический лифт, имеющий следующие параметры[11]: длина троса I = 1.44х 108 м, максимальная площадь поперечного сечения А = 10мм , предел прочности материала сг = 35
ГПа, плотность р = 1300кг/м . Масса противовеса щ = 3000кг, масса одного диска подъемника та = 5 кг, масса груза щ = 100 кг.
В качестве начальных условий выберем:
ц(0)=0, а2(0)=0, ц(0)=0, се,(0)=0, г(0)=го, ¿(0)=0.
Математическая модель имеет особые точки 2 = 0 и 2 = I, поэтому при исследовании будем считать, что в начальный момент времени груз подвешен на некотором небольшом расстояние от Земли г0 = 1м. Движение завершается, когда до станции-
противовеса остается один метр.
В качестве закона управления движением подъемника используем кинематический закон подобный рассмотренному в [11]. На начальном этапе подъемник разгоняется с ускорением 2 м/с2 до скорости 50 м/с. Далее он движется с постоянной скоростью. На последнем этапе подъемник тормозится до полной остановки с ускорением 2 м/с2. Подставляя закон движения в уравнения Лагранжа (1), получаем систему из двух уравнений,
описывающих колебания механической системы. Третье уравнение позволяет определить необходимый для реализации этого движения управляющий момент М и .
На рис.3-4 показаны графики зависимости углов а1, а2 от времени. На начальном этапе движения наблюдается резкое увеличение амплитуды а1, затем происходят колебания с возрастающей амплитудой. Амплитуда колебаний а2 также растет с течением времени. Таким образом, движение подъемника приводит к раскачке космического лифта. Это явление обусловлено действием силы Кориолиса, которая стремится отклонить трос от местной вертикали.
Рис.3. График колебаний угла а1
Рис.4. График колебаний угла а2 Точкой I* на рис.3-4 отмечен момент остановки подъемника. После остановки по углам а1, а наблюдаются колебания с постоянной амплитудой, причем частота колебаний а во много раз больше частоты а1. Для того, чтобы объяснить это явление рассмотрим показанное на рис.5 положение космического лифта после остановки. Как видно
из рис.3-4, колебания имеют низкочастотную и высокочастотную составляющие. Поскольку расстояние ВС мало, то высокочастотная составляющая С, приводящая к отклонению на небольшой угол Дц от некоторого среднего положения, вызывает отклонение СС на сравнительно большой угол Дс2.
Рис.5. Положение космического лифта после остановки На рис.6, показан график зависимости управляющего момента М и от времени, который обеспечивает подъем по указанному закону. Точкой tG обозначен момент достижения подъемником геостационарной орбиты. До нее управляющий момент имеет положительный знак, подъемник разгоняется, преодолевая гравитационную силу. После прохождения подъемником геостационарной орбиты управляющий момент меняет знак, поскольку центробежные силы инерции начинают преобладать над гравитационными, и для сохранения постоянной скорости требуется тормозить подъемник. После остановки (точка * \ "
I ) сила принимает постоянной значение, эта величина нужна для удержания подъемника на месте.
Рис.6. График изменения М и
3. Исследование влияния величины массы груза на колебания троса
Исследуем влияния массы груза на колебания лифта. Результаты численного интегрирования для углов отклонения представлены на рис.7-8. Цифрами на рисунках обозначены кривые соответствующие массам груза 100, 200, 400, 800 и 1600 килограмм соответственно.
Рис.7. График изменения координаты а1, для масс груза 100, 200, 400, 800, 1600 килограмм
Рис.8. График изменения координаты а2 , для масс груза 100, 200, 400, 800, 1600 килограмм
Видно, что амплитуда колебания возрастает по мере увеличения массы поднимаемого груза. Это связано с влиянием силы инерции Кориолиса, которая возрастает пропорционально массе груза и стремится отклонить трос от местной вертикали.
Отметим, что величина массы груза, который может быть поднят с помощью космического лифта, ограничена сверху. Увеличение массы груза приводит к смещению центра масс лифта к Земле. Если расстояние от центра Земли до центра масс космического лифта
станет меньше критического значения с , то лифт упадет на Землю[12].
Заключение
Построена оригинальная математическая модель космического лифта, учитывающая возможность изгиба троса и конструктивные особенности механизма подъемника. Установлено, что равномерный подъем груза приводит к раскачке космического лифта. После
остановки подъемника космический лифт совершает колебания около местной вертикали станции-противовеса. Получен график управляющего момента, обеспечивающего равномерный подъем груза. Исследовано влияние массы поднимаемого груза на амплитуду колебания космического лифта. Показано, что увеличение массы груза приводит к увеличению амплитуды колебаний космического лифта.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №12-01-31114мол_а).
Список литературы
1. Арцутанов Ю.Н. В космос без ракет // Знание - сила. 1969. № 7. С. 25.
2. Поляков Г.Г. Привязные спутники, космические лифты и кольца. Астрахань: Изд-во Астраханского гос. пед. ун-та, 1999. 579 с.
3. Aslanov V.S., Ledkov A.S. Dynamics of the tethered satellite system. Cambridge: Woodhead Publishing Limited, 2012. 331 p.
4. Edwards B.C., Ragan P. Leaving the planet by space elevator. Seattle, USA, Lulu, 2006. 260 p.
5. Van Pelt M. Space tethers and space elevator. Springer New York, 2009. 225 p. DOI: 10.1007/978-0-387-76556-3
6. Pearson J. The orbital tower: a spacecraft launcher using the Earth's potential energy // Acta Astronautica. 2010. Vol. 2, no. 9-10. P. 785-799. DOI: 10.1016/0094-5765(75)90021 -1
7. Edwards B.C. The space elevator. NIAC Phase Final Report. 2003. 43 p.
8. Pugno N.M. Towards the Artsutanov's dream of the space elevator: the ultimate design of a 35 GPa strong tether to graphene // Acta Astronautica. 2013. Vol. 82, no. 2. P. 221-224. DOI: 10.1016/j.actaastro.2012.01.008
9. Woo P., Misra A.K. Dynamics of a partial space elevator with multiple climbers // Acta Astronautica. 2010. Vol. 67, no. 7-8. P. 753-763. DOI: 10.1016/j.actaastro.2010.04.023
10. Cohen S.S., Misra A.K. The effect of climber transit on the space elevator dynamics // Acta Astronautica. 2009. Vol. 64, no. 5-6. P. 538-553. DOI: 10.1016/j.actaastro.2008.10.003
11. Williams P., Ockels W. Climber motion optimization for the tethered space elevator // Acta Astronautice. 2010. Vol. 66, no. 9-10. P.1485-1467. DOI: 10.1016/j.actaastro.2009.11.003
12. Aslanov V.S., Ledkov A.S., Misra A.K., Guerman A.D. Dynamics of space elevator after tether rupture // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2013. Vol. 36, no. 4. P. 986992. DOI: 10.2514/1.59378
13. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: ЧеРо, 1999. 569 с.
SCIENTIFIC PERIODICAL OF THH BAUMAN MSTU
SCIENCE and EDUCATION
EL № FS77 - 48211. N»0421200025. ISSN 1994-0408
electronic scientific and technical journal
Study of influence of climber motion on the space elevator dynamics # 05, May 2014
DOI: 10.7463/0514.0710704 A.S. Ledkov, R.S. Pikalov
Samara State Aerospace University, 443086, Samara, Russian Federation
ledkovffinbox.ru pickalovrs f5gmail.com
The operation of launching a payload into orbit by means of a space elevator is considered in this paper. The space elevator is a mechanical system that consists of a tether, a space station, and a climber. The tether connects the surface of the Earth with the space station, which is above the geostationary orbit. The climber lifts the payload to the required altitude. Then it is disconnected from the space elevator and starts free orbital flight. Creation of the space elevator will significantly reduce the cost of payloads delivery to orbit.
The objective of this work is to study dynamics of the space elevator taking into account the climber motion. A mathematical model, which takes into consideration bending of the tether and features of the climber construction, is developed. In contrast to existing models, the climber is considered not as a mass point, but as a mechanical system consisting of two homogeneous weighty cylinders connected by a weightless strap upon which the payload is located. The pay-load and the space stations are considered as mass points. The tether is simulated as a pair of inelastic inextensible bars with variable length. The area of bars cross-sections is defined by a function, which depends on the distance to the end of the bars. Motion occurs in the equatorial plane in the gravitational field of the Earth.
It is shown that lifting of the climber leads to swinging of the space elevator in the equatorial plane. This effect is caused by the influence of Coriolis forces of inertia. After stopping of the climber the space elevator oscillates about the vertical. An effect of the payload mass on amplitude of the space elevator oscillation is studied. It is shown that the increasing payload mass leads to the growing amplitude of the space elevator oscillations. A control torque providing steady lifting of the payload is obtained. The results of the calculations show that the practical implementation of the space elevator requires additional measures for damping the oscillations.
Publications with keywords: space elevator, climber, tether, moving mass Publications with words: space elevator, climber, tether, moving mass
References
1. Artsutanov Yu.N. [In space without missiles]. Znanie - sila, 1969, no. 7, p. 25. (in Russian).
2. Polyakov G.G. Privyaznye sputniki, kosmicheskie lifty i kol'tsa [Tethered satellites, space elevators and rings]. Astrakhan', ASPU Publ., 1999. 579 p. (in Russian).
3. Aslanov V.S., Ledkov A.S. Dynamics of the tethered satellite system. Cambridge, Woodhead Publishing Limited, 2012. 331 p.
4. Edwards B.C., Ragan P. Leaving the planet by space elevator. Seattle, USA, Lulu, 2006. 260 p.
5. Van Pelt M. Space tethers and space elevator. Springer New York, 2009. 225 p. DOI: 10.1007/978-0-387-76556-3
6. Pearson J. The orbital tower: a spacecraft launcher using the Earth's potential energy. Acta Astronautica, 2010, vol. 2, no. 9-10, pp. 785-799. DOI: 10.1016/0094-5765(75)90021 -1
7. Edwards B.C. The space elevator. NIAC Phase Final Report. 2003. 43 p.
8. Pugno N.M. Towards the Artsutanov's dream of the space elevator: the ultimate design of a 35 GPa strong tether to grapheme. Acta Astronautica, 2013, vol. 82, no. 2, pp. 221-224. DOI: 10.1016/j.actaastro.2012.01.008
9. Woo P., Misra A.K. Dynamics of a partial space elevator with multiple climbers. Acta Astronautica, 2010, vol. 67, no. 7-8, pp. 753-763. DOI: 10.1016/j.actaastro.2010.04.023
10. Cohen S.S., Misra A.K. The effect of climber transit on the space elevator dynamics. Acta Astronautica, 2009, vol. 64, no. 5-6, pp. 538-553. DOI: 10.1016/j.actaastro.2008.10.003
11. Williams P., Ockels W. Climber motion optimization for the tethered space elevator. Acta Astronautice, 2010, vol. 66, no. 9-10, pp.1485-1467. DOI: 10.1016/j.actaastro.2009.11.003
12. Aslanov V.S., Ledkov A.S., Misra A.K., Guerman A.D. Dynamics of space elevator after tether rupture. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2013, vol. 36, no. 4, pp. 986992. DOI: 10.2514/1.59378
13. Markeev A.P. Teoreticheskaya mekhanika [The theoretical mechanics]. Moscow, CheRo Publ., 1999. 569 p. (in Russian).
