Исследование вибрационного смешивания сыпучих зернистых материалов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК.664.7:621.929.9

Н.В.ГУЧЕВА ИССЛЕДОВАНИЕ ВИБРАЦИОННОГО СМЕШИВАНИЯ СЫПУЧИХ ЗЕРНИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ

Исследовано поведение частицы материала в сыпучей среде при вибрационном воздействии. Доказано, что частицы в сыпучей среде движутся относительно друг друга в зависимости от геометрических параметров смесителя и характера вибрационного воздействия.

Ключевые слова: смеситель вибрационный, сыпучая среда.

Введение. Исследование процессов вибросмешивания можно разделить на две большие исследовательские области: смешивание сыпучего зернистого материала в замкнутых емкостях под воздействием вибрации и смешивание при продольном перемещении в лотках при вибротранспортировании.

Решение задачи о процессе смешивания сыпучего зернистого материала в вибрационном транспортере-смесителе необходимо для создания новых конструкций смесителей и совершенствования имеющихся.

Для анализа процесса смешивания сыпучего материала исследовался вибрационный транспортёр-смеситель с профилем дна в виде окружности, параболы и уголка.

На рис.1 представлена система координат для решения задачи о движении слоя сыпучей среды в транспортёре-смесителе с профилем дна в виде уголка, совершающем вертикальные колебания. Для профилей дна в виде окружности и параболы угол наклона профиля дна а будет переменным. Выберем прямоугольную систему координат XOY. Начало координат помещено в вершину угла. Рассмотрим движение слоя сыпучей среды в левой половине транспортёра-смесителя, полагая, что в правой его части движение будет зеркальным отражением левой части, так как дно транспортёра-смесителя симметрично.

Решение задачи движения слоя. Для решения поставленной задачи сделаем следующие допущения: система координат (подвижная) ХОY связана с дном транспортёра-смесителя; система координат (неподвижная) х01п параллельна подвижной системе координат; в начальный момент вре-

тд *

Рис.1. Система координат и силы, действующие на частицу сыпучей среды, для уголкового дна

мени начало координат O и Oí совпадают; направление колебаний образует с горизонтальной плоскостью заданный постоянный угол в , равный п/2; материальная частица массой m есть элементарный объем сыпучей среды, обладающий ее свойствами; сила сопротивления сыпучей среды движению частицы F пропорциональна скорости движения частицы и одинакова по всем направлениям; коэффициент трения скольжения частицы по поверхности дна транспортёра-смесителя /"является постоянной величиной.

Движение дна транспортёра-смесителя определяем системой уравнений в неподвижной системе xO1n координат:

С = A cosw t sina

h = A cosw t cosa , ( )

где А - амплитуда колебаний; ш - угловая частота колебаний; a - угол наклона профиля дна транспортёра-смесителя к горизонтали.

Скорость и ускорение дна транспортёра-смесителя имеют вид:

í2 .

dc

-2- = - Aw sinw tsina dt dh

— = - Aw sinw tcosa dt

dc

dt2 d 2h

dt

2

- Aw 2 cosw t sina ;

(2)

- Aw 2 cosw t cosa .

Рассмотрим движение материальной частицы m в вибрирующем транспортере-смесителе. На частицу действуют сила тяжести P=mg, сила сухого трения F, нормальная реакция N и сила сопротивления F'

Силу сопротивления движению частицы от свойств сыпучей среды F' представим в виде:

по оси Oj Ff = k)i ,

по оси O-h Fh = k h , (3)

где k - коэффициент пропорциональности.

Дифференциальные уравнения движения частицы при вибрационном воздействии имеют вид:

мmf = fN + kyf - mgsina

Н •• АГ (4)

о щ = N + ky¡ - mg cosa

Интерес представляет движение частицы в подвижной системе координат XOY, которое с учетом переносного движения дна транспортёра-смесителя имеет вид:

м mX = fN + kyf - mg sina + mAw 2 cosw t sina н (5)

о mY = N + kyf - mg cosa + mAw 2 cosw t cosa

При движении частицы по дну вибрационного транспортёра-смесителя координата Y равна нулю. Направление силы трения зависит от направления движения частицы и может быть определено соотношениями:

м - fNeсли X > 0

F = н • (6)

о fNe сли X < 0

Известно [1], что при вибрационном перемещении частицы возможны разные режимы движения: движение частицы вместе с плоскостью и движение вне плоскости. При движении вместе с плоскостью частица мо-

жет быть относительно плоскости неподвижной, может двигаться вперед или назад. Для решения уравнений движения частицы необходимо определить моменты изменения режима движения частицы. Движение частиц вне плоскости или с отрывом от плоскости дна транспортёра-смесителя представляет наибольший интерес для процесса смешивания, так как в этом случае должно происходить интенсивное смешивание сыпучего материала.

Найдем момент перехода от движения частицы с плоскостью дна транспортёра-смесителя к движению частицы вне плоскости, т.е. момент отрыва частицы от дна Ь>.

Очевидное условие отрыва частицы от дна в момент Ь> - нормальное давление равно нулю (N=0).

Нормальное давление присутствует во втором уравнении системы уравнений (5), которое после преобразований получаем в виде

У = кУ - g cos а + Лю cos юг cos а

к У,

(7)

где к- коэффициент сопротивления (к = —).

т

Уравнение (7) приводим к виду

у" - ку' = В + D cos wt, (8)

где В = - g соьа ; В = - Лю .

Неполное дифференциальное уравнение (8) второго порядка приводим к дифференциальному уравнению первого порядка простым интегрированием:

у - ку = Вг + В 8т юг + С, . ю

(9)

Общее решение дифференциального уравнения (9) представляет

сумму общего решения однородного уравнения ус и частного решения

неоднородного уравнения ун

У = Ус + Ун. (10)

Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет

вид:

у' - ку = 0 ;

Ус = С^е1 = С2еш, (11)

где С? - постоянная интегрирования; 1- корень характеристического уравнения.

После преобразований в соответствии с методами, изложенными в [2], получим частное решение неоднородного дифференциального уравнения в виде

ун =

В

к

В — г -к

1

г + — к

В

В

(ю 2 + к2)

к

к

— sin ю г + cosю г

ю

С

к

(ю 2 + к2)

— sin ю г + cosw г ю

С, В

Т+ к2

(12)

Общее решение дифференциального уравнения (10) в соответствии с (11) и (12) представим в виде

y = C2ekt - 1 -

Производная

B

D

k (a 2 + k2)

k .

cosa t + — sin a t

a

C B — + —2 k k2

D

y = kC2ek - B - -¡—2‘J t 2 ^ (k cosat - a sin a t).

при

при

k (a 2 + k2)

Определим постоянные интегрирования:

t=0; y=0

C D

y = C2 - 2 ,2ч

(a + k )

t=0, y = Уо

y0 = kC2- k ~

Из уравнения (16) находим G:

C B

k + k2

Dk

c = B+

2 ,2

B_____

k (a 2 + k2) '

D + У

(13)

(14)

(15)

(16)

^ (й 2 + k2) k

Подставив (17) в (15), находим С:

Сі = У0.

Подставив (17) и (18) в (13), получаем общее решение дифференциального уравнения в виде

(17)

(18)

y =

B

■ +

D

■ +

Уо

k'¿ (a " + k") k

х

D

k .

cosa t + — sin® t

a

k в

k (a 2 + k2)

yL B k k2

(19)

В момент отрыва t=to, N=0, y=0, y0 = - Aa sin a t0 cosa , и неявная зависимость момента отрыва to от угла a будет иметь вид

ж B

D

F(a 'о-a ) = ї F+ (a 2 + і2)

Aa sin a t0 cosa ц

B

— L

D

, й , k ■ ~

2 2n- ґ к cosa t0 +— sin a t0~+

k ш k щ Aa sin a t0cosa t0 B

(20)

= 0'

" (ю 2 + к2) л 10 ' ю°шш Ы к к

Зависимость момента отрыва слоя от наклона профиля дна. Для

транспортёра-смесителя с профилем дна в виде окружности и параболы угол наклона профиля дна к горизонту а изменяется от 0 до 900.

Для наглядного представления зависимости момента отрыва Ьо от угла а численно определялась величина ЛЬ - время запаздывания отрыва частицы слоя от момента отрыва при а =0:

А г = ^ (гоо,а = 0) - ^(г0 а ,а ) . (21)

Результаты вычислений, показаны на рис.2 при двух значениях частоты колебаний.

0

Рис.2. Диаграмма времени запаздывания отрыва частицы слоя сыпучей среды от плоскости дна транспортёра-смесителя в зависимости от угла наклона профиля дна: ------------------------ 161 1/с; --- 180 1/с

Диаграмма построена для коэффициента сопротивления k=1/086 с1, амплитуды колебаний А=0,0025 м, круговых частот колебаний со=161с1, со=180с1, сыпучий материал - шлифованное пшено.

Из диаграммы следует, что по мере увеличения угла наклона профиля дна транспортёра-смесителя к горизонтали момент отрыва частицы слоя от плоскости дна запаздывает по отношению к моменту отрыва в нижней точке дна. Возвращение слоев сыпучего материала на дно транспортёра-смесителя также будет происходить с запаздыванием. Все это способствует взаимному смещению частиц сыпучего материала и является одной из причин процесса смешивания.

Поведение слоя при вибрационном перемещении. Исследуем скорость перемещения слоя сыпучей среды вдоль транспортера-смесителя в зависимости от угла наклона профиля дна. В момент отрыва частицы слоя сыпучей среды от плоскости дна транспортёра-смесителя слой имеет скорость дна. Поскольку момент отрыва частицы от дна cot зависит от угла наклона профиля дна a согласно диаграмме (см. рис.2), то для получения зависимости скорости перемещения слоя сыпучей среды от угла наклона профиля дна рассмотрим уравнение

dc = - Aw sin w /„sin a cosr , (22)

dt 0

где y - угол наклона транспортера-смесителя к горизонтали.

Из уравнения (22) следует, что в один и тот же момент О скорость частиц, находящихся в разных точках на профиле дна, будет различной. Диаграмма зависимости скорости слоя сыпучей среды в момент отрыва О от угла наклона профиля дна a показана на рис.3.

Рис.3. Диаграмма изменения скорости перемещения слоя сыпучей среды от угла наклона профиля дна

Диаграмма построена для амплитуды колебаний A=0,0025 м, частоты колебаний а>=161 с1 и угла наклона транспортера-смесителя к горизонтали у=0.

Из диаграммы следует, что по мере увеличения угла наклона профиля дна a транспортёра-смесителя продольная скорость слоя сыпучей среды уменьшается. Это обстоятельство является одной из причин смешивания сыпучей среды при вибрационном перемещении.

Поведение частицы в сыпучей среде. Продолжим исследование поведения частицы в сыпучей среде, подвергающейся воздействию вертикальных колебаний. Пусть это воздействие описывается гармоническими колебаниями по закону

U j = A sin w t. (23)

При движении частицы массой m в сыпучей среде по отношению к вибрирующему транспортёру-смесителю на неё действует сила тяжести Р выталкивающая сила Fb, сила трения Frp. и сила инерции J, равная произведению массы частицы m на ускорение транспортёра-смесителя

Ÿi=-Aa2sincotи направленная под углом b=p2 к горизонтали.

Тогда уравнение относительного движения частицы массой m в проекции на оси координат COU, связанные с вибрирующим транс-

портёром-смесителем, будет иметь вид

mŸ=P-FB-FTpSign(y )-mŸi. (24)

Выталкивающая сила может быть представлена в виде

pD1k6

—6^ r cpg

Fв=mд=vpcрд= 6 (25)

Сила тяжести может быть представлена в виде

KDlKe

p4g

P=mg=vp4g= 6 (26)

Силу трения, действующую на частицу, определим следующим об-

разом:

+ p /2

+ p /2

Р D 2

Ftp = (^cosadafCp/4 = ( p cpgh^r^cosadafcp/ч

-Р /2

p cpghfc

Р D2

cpS J ср / ч

-p /2

-sin a

+ p /2 -p /2

p D ^

p cpghfcp/(+ 1)

2

p cpghfcp/ч (- 1)

2

2p cpghfcp / ч

p D.

2

ЭКв

2

p DL P cpghfcp / ч =pDL Pcpg(H - Y f

(27)

где v - объём частицы; DMs - эквивалентный диаметр частицы; р ср - плотность среды; рч- плотность частицы; д - ускорение свободного падения; Рср - давление среды на частицу; S - площадь трения частицы; a - полярная координата точки приложения силы на поверхность полусферы; Ър/ч- коэффициент трения среды о частицу; h - глубина погружения частицы.

Подставив выражения Fb из (25), P из (26), Ftp из (27) в (24), получим уравнение движения частицы в сыпучей среде при вибрационном воздействии в виде:

pD, mY= 6

3

экв

РчЕ

pD

-----P cpg pDsKe Pcpg (H - Y ) fcp / ч

6 - +m Aofsinwt,

или

pD3

pd:

6 P ч ■■ 6

6 Y= 6

pDKPcpg(H - Y) f

P4g

pD:

pD:

+

■P cpg

AoCsinct.

(28)

pD:

После сокращения (28) на 6

У" = g (

получаем уравнение в виде

P ч P cp ч 6 P cp ТТг 6 P cp г \г І 2 *

■) - — — gHfcp/ч + D------gfcp/чУ + А w sln® 1 ■

P.

D P.

D P,

(29)

Уравнение (29) приводим к виду

Y- K2 Y = C + B sin w t. (30)

Полученное уравнение относится к дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами. Выполняем типовое решение дифференциальных уравнений [2]. Полное решение с учетом постоянных интегрирования, описывающее движение частицы в сыпучей среде под воздействием вибрации, будет иметь вид

2

3

6

P

/

6

P

ч

и = -2

где с = g(

Р

С D

—2 + — К2 К

< - Р ср

Р

)-

6 Р,

о Р,

с_

К2

Б

К

А и'

К2

и 2 + К2

smю і

(31)

ср / Н і

К2 =

_6 Р?Р.

О рч

&сг

Б =

А и

и 2 + К2

На рис.4 показано перемещение частицы сыпучей среды под действием вибрации согласно уравнению (31). Поскольку уравнение (31) не имеет ограничений по глубине погружения частицы, то диаграмму (см. рис. 4) построили в диапазоне Н от 0,2 до 0 м; для коэффициента трения f=0,384, эквивалентного диаметра частицы d=0/0015 м, амплитуды колеба-

ний А=0,0025 м, частоты т=8,2103 кг.

колебаний (0=161 с1, массы частицы

Время, с

2

2

Рис.4. Диаграмма перемещения частицы в сыпучей среде, находящейся в вибрационном транспортёре-смесителе, в зависимости от времени

Из диаграммы следует, что каждая частица сыпучей среды под воздействием вибрации перемещается на дно транспортера-смесителя. Но, как показано выше, при профильном дне транспортера-смесителя моменты отрыва частиц от дна различны, и в самой нижней точке дна создается свободное пространство, куда устремляются частицы, в то время как на боковинах дна транспортера-смесителя частицы еще находятся на поверхности и будут вытесняться ранее упавшими в центр частицами. В результате частицы сыпучей среды, перемещаясь, создают вихри внутри сыпучей среды, что способствует процессу смешивания.

Определим условия для режима вибрации, который обеспечивает интенсивное смешивание.

Условия интенсивного смешивания. Рассмотрим движение слоя сыпучего материала после отрыва его от дна транспортера-смесителя. Сделаем следующие допущения: слой движется как неупругая частица и в момент отрыва имеет скорость, равную вибрационной скорости плоскости. При соприкосновении слоя с плоскостью после окончания полета происходит неупругий удар, и слой мгновенно приобретает скорость дна (рис.5).

В любой момент на частицу слоя т действуют: вес Р=тд, сопротивление среды F= к V, где V - скорость движения частицы.

Составляющие их равнодействующей силы по осям координат будут:

X = Р cos( Р, х) + F cos( F, х)1

Y = Р cos(P, у) + F cos(F, у) \ '

(32)

Но

cos(F, х) = - ^;

ds

^( Р, у) = 1;

cos( Р, х) = 0;

Следовательно, силы, действующие на частицу слоя, будут:

с°^, у) = - ‘О-.

ds

(33)

X:

ах

к У~г

ds

(34)

dy

Y = - mg -к у — ds

.. ds

Как известно, V = —, и тогда система сил принимает вид

dt

X = -к

ах

а

V ау

Y =-к^- т8

dt

(35)

Дифференциальное уравнение движения частицы после преобразований запишется:

V

d x dx п —г + k0— = О dt dt

d2 y dy

+ k o^ = - g

(36)

dt dt

Решения этих уравнений в общем виде следующие:

х = C + C2 exp(- k 0t);

y = C3 + C4 exp(- k 0t) - — t. (37)

k 0

k

Принято, что k 0 = —-. Для получения частных решений используем нага

чальные условия при t=to:

x=ASmo)tdCOSp; y=As\nюtdS\nb; (38)

— = Лю cosw t0 cos Ь ; — = Лю cos ю^ sin b . (39)

dt dt

Для выбранных начальных условий частные решения дифференциальных уравнений движения имеют вид:

х = — Лю cosat0 cos b (1 - exp(-k0t)); k 0

, 0 (40)

1 g

y = — (— + Лю cosat0 sin b )(1 - exp(-k 0t)). k0 k0

Найдем выражение, определяющее момент at встречи слоя с плоскостью. Очевидно, что в этот момент координаты y слоя и плоскости будут равны:

1 g

Лsinatn sinb =— (— + Лю cosat0sinb )(1 - exp(-k0tn)) . (41)

k 0 k 0

Решения уравнения не могут быть найдены аналитически. Графический или численный методы при конкретных значениях частоты, амплитуды и коэффициента сопротивления среды ko позволяют найти момент

встречи atn.

Найдем условия, при которых режим движения будет представлять собой непрерывный полет. Рассмотрим случай, когда слой встретится с плоскостью в момент выполнения условия отрыва. Это случится в момент

atn=ato + 2p (42)

при одном периоде колебания вибрационной плоскости.

Допустим, что движение вне плоскости совершается без сопротивления и время подъема равно времени падения. В таком случае скорость отделения слоя от плоскости будет равна скорости встречи. Под действием гравитации скорость падения найдем из выражения

Кстр = gt . (43)

Но время падения будет t = —, тогда, приравняв второе уравнение (39) и

ю

уравнение (43), после преобразований получаем оценку вибрационного ускорения для реализации режима непрерывного полета:

Aw2 , • о ^ 1ЛЛ,

-----cos w t0 sin p > p . (44)

g

Из полученного соотношения следует: отношение вибрационного ускорения к гравитационному ускорению должно иметь величину больше 4 единиц, если учесть уменьшение скорости полета при наличии сопротивления движению слоя в воздухе.

Таким образом, в поперечном и продольном направлениях частицы слоя взаимно перемещаются, и тем самым осуществляется процесс смешивания. Наиболее интенсивный процесс смешивания происходит при режиме непрерывного полета слоя сыпучей среды.

Опишем поведение слоя под воздействием вибрации в обобщенном

виде.

Модель смешивания сыпучего слоя под воздействием вибрации.

Наиболее точные данные о структуре потока слоя зернистого материала можно получить путём непосредственного измерения скоростей во многих точках внутри вибрационного транспортера-смесителя с профильным дном. Однако выполнение таких измерений представляет в настоящее время весьма трудную, дорогостоящую и практически неосуществимую задачу. Кроме того, скорость является функцией всех координат. Уравнения, характеризующие поле скоростей, сложны, и их решение сильно затруднено.

По этим причинам более удобно получать не непосредственную, а косвенную информацию о поле скоростей путем изучения распределения отдельных частиц слоя зернистого материала по времени их пребывания в вибрационном транспортере-смесителе с профильным дном. Для этого введем в поток слоя зернистого материала индикатор (ключевой компонент) и, анализируя во времени его содержание в потоке, определим продолжительность пребывания в вибрационном транспортере-смесителе с профильным дном отдельных его частиц. Отклик на возмущение, внесенное вводом индикатора, представляется в виде кривых зависимости концентрации индикатора от времени - кривые отклика.

Предположим, что порция ключевого компонента мгновенно вводится в поток зернистого материала по всему его поперечному сечению (импульсный ввод). Через некоторый промежуток времени на выходе обнаруживается, что весь ключевой компонент мгновенно выйдет из вибрационного транспортера - смесителя. Этот результат будет свидетельствовать о такой структуре потока внутри вибрационного транспортера-смесителя, при котором все частицы слоя зернистого материала движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью, не обгоняя основную массу потока и не отставая от неё. Такое поршневое движение потока зернистого материала может быть реализовано в аппарате идеального вытеснения [3]. Время пребывания т всех частиц потока в аппарате идеального вытеснения одинаково и равно среднему времени пребывания т0, которое определяется частным от деления длины l их пути на линейную скорость w потока, или:

l IS V

7 о = - = -S = Q, (45)

w wS Q

где S - площадь поперечного сечения аппарата; V - объем аппарата;

Q - объемный расход потока.

В большинстве случаев структура потока в аппаратах отличается от потока идеального вытеснения. Так и в рассматриваемом вибрационном транспортёре-смесителе с профильным дном, как показано выше, наблюдаются неравномерности скорости движения потока материала вдоль и поперек аппарата. Это объясняется тем, что время пребывания т различных частиц неодинаково и отличается от среднего времени пребывания т0, определяемого по уравнению (45).

Сделаем второе предположение, что в поток зернистого материала вводится определенное количество Мо индикатора, который практически мгновенно равномерно распределяется по всему его объёму, тогда в любой точке аппарата в этот момент его концентрация

М0

с = ~у ■ (46)

Для описания закона изменения концентрации с от времени составим уравнение материального баланса по ключевому компоненту. Пусть за произвольный промежуток времени Ст распределяется количество ключевого компонента СМ. Это приводит к изменению (-Сс) концентрации ключевого компонента в объеме V, причем минус указывает на убывание концентрации. Тогда

Ш = - Уёс = cQd% . (47)

Отсюда с учетом выражения (45):

dc 0 1

— = - — d% =-------d% . (48)

с V % о

Это уравнение может быть проинтегрировано от со (при т=0) до с (в произвольный момент времени т):

с dc 1 % 7

Т — =--------Т d% . (49)

с % 0 0

Со 0 0

В результате интегрирования получим зависимость

с = с0е %0. (50)

Выразим концентрацию ключевого компонента и время в виде относительных (безразмерных) величин, приняв за масштаб концентрации значение со, за масштаб времени - среднее время пребывания Т0 . Обозначив С = с/сц в = % % 0, получим

С = ев . (51)

Анализ уравнения показывает, что для достижения идеального смешения компонентов, когда С=1, время смешения должно быть % ® Г .

Таким образом, смешивание зернового материала в вибрационном транспортере-смесителе с профильным дном близко к идеальному смешиванию.

Заключение. В настоящей статье теоретически исследовано смешивание зернистого материала. Исследовано движение слоя сыпучей среды в вибрационном транспортёре-смесителе с профильным дном и показано, что в результате вибрационного воздействия на сыпучий зернистый материал

происходит взаимное перемещение частиц в поперечном и продольном

162

направлениях. Определен режим интенсивного смешивания при вибрационном транспортировании. Показано, что смешивание зернового материала в вибрационном транспортере-смесителе с профильным дном близко к идеальному смешиванию.

Библиографический список

1. Блехман И.И. Вибрационное перемещение. / И.И.Блехман, Г.Ю.-Джанелидзе. - М.: Наука, 1964. - 410 с.

2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. / Э.Камке. - М.: Физматгиз, 1961. - 703 с.

3. Касаткин А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. / А.Г.Касаткин. - М.: Химия, 1973. - 752 с.

Материал поступил в редакцию 27.05.09.

N.V. GUCHEVA RESEARCH OF VIBRATING MIXING OF LOOSE GRANULAR MATERIALS

In article the behavior of a particle of a loose material in the loose environment is investigated at vibrating influence. It is proved, that particles in the loose environment move rather each other depending on geometrical parameters of the amalgamator and character of vibrating influence. The mode of vibrating influence at which there is the most intensive mixture is certain. Mixture of a grain material in the vibrating conveyor-amalgamator with a profile bottom is close to ideal mixing

ГУЧЕВА Наталья Владимировна, ассистент кафедры «Машины и аппараты пищевых производств» Донского государственного технического университета. Окончила ДГТУ в 1998 г.

Научные интересы: исследование вибрационного воздействия на сыпучие материала в смесителях периодического и непрерывного действия.

ngucheva@gmaH. com.