Исследование вейвлет-преобразований Хаара на корректность в контексте задачи космического мониторинга Земли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.934

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ХААРА НА КОРРЕКТНОСТЬ В КОНТЕКСТЕ ЗАДАЧИ КОСМИЧЕСКОГО МОНИТОРИНГА ЗЕМЛИ

© 2013 г. М.Л. Казарян

Казарян Маретта Левоновна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики, Северо-Осетинский государственный университет, ул. Ватутина, 46, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362040, e-mail: marettak@bk.ru.

Kazaryan Maretta Levonovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Applied Mathematics, North Ossetian State University, Vatutin St., 46, Vladikavkaz, RNO-Alaniya, Russia, 362040, e-mail: marettak@bk.ru.

Исследуется использование ортогональных преобразований в технологиях дистанционного зондирования Земли, позволяющего с космических аппаратов получать информацию среднего, высокого пространственного разрешения и проводить гиперспектральные измерения. Космические аппараты имеют несколько десятков спектральных каналов. При обработке снимков применяется аппарат дискретных ортогональных преобразований и, в частности, вейвлет-преобразования. Рассматриваются вейвлеты Хаа-ра. Проводится исследование их на корректность методом Тихонова. Далее приводится эксперимент, подтверждающий справедливость метода Тихонова.

Ключевые слова: космические технологии, дистанционное зондирование Земли, космический мониторинг, преобразование Фурье, дискретное вейвлет-преобразование, ряды Хаара, дискретное преобразование Фурье.

In the article the use of orthogonal transformations is probed to technologies of the remote sensing of Earth. The remote sensing of Earth allows from space vehicles to get information of middle, spatial high-respermission and conduct the hyper spectral measurings. Space vehicles have a few to on ten of the spectral channels. For treatment of space pictures the vehicle of discrete orthogonal transformations, in particular, wavelet transformations is used. In research examined wavelet Haar. The conducted experiment is confirmed by the rightness of Tikhonov 's method. An experiment over, which justice of Tikhonov 's method ensues from, is further brought.

Keywords: space technology, remote sensing of Earth, satellite monitoring of landfill sites, Fourier transform, discrete wavelet transform, Haar-System, discrete Fourier transform.

Технология дистанционного зондирования Земли (ДЗЗ) является доступным, оперативным и эффективным средством экологического мониторинга [1].

На этапе предварительной обработки [2] осуществляется трансформирование снимков в выбранную проекцию карты, географическая привязка и отбор нужных фрагментов, перезаписывающихся в спектро-совмещенный формат, на который настроено используемое при дальнейшей обработке математическое обеспечение, и на каждом фрагменте определяется граница исследуемого объекта.

Пространственные преобразования позволяют извлекать информацию из данных дистанционного зондирования и обрабатывать ее нужным образом [1]. В некоторых преобразованиях используются только локальные данные из относительно небольшой окрестности пиксела, в других - информация обо всех элементах изображения. Первая группа преобразований представляется операцией свертки, вторая - преобразованием Фурье. Между этими крайними случаями находится приобретающая все большее значение категория многомасштабных преобразований, в которую входят гауссовы пирамиды, пирамиды Лапласа и вейвлет-преобразования [3]. Обработка данных с помощью этих методов позволяет получить доступ к пространственной информации в широком диапазоне масштабов - от локального до глобального. Одним из эффективных методов обработки изображений является вейвлет-анализ [3]. В работе проводится исследование вейвлет-преобразований Хаара на корректность [3 - 5].

Предварительные сведения. Известно [4], что задача суммирования ряда Фурье интегрируемой с квадратом на отрезке [а,й\ функции /(/) с прибли-

женными коэффициентами \ck }"=1 вместо точных

и

коэффициентов ak =J f (t)yk (t)d, k = 1,2,.

по не-

которой ортонормированной системе функций [4] ()} является некорректно поставленной. А именно

если

Z(ck -ак)2 <S2

S > 0.

(1)

k=1

то погрешность, т.е. отклонение функции /() и суммы ее ряда Фурье с коэффициентами {ек }^=1 вместо

{ак }^=1, в равномерной метрике может оказаться

сколь угодно большой [4]. Исследуем вейвлеты Хаара на устойчивость.

Определение 1. Определим функции вейвлет Хаара следующим образом: * (')-1,

Хт] iß) =

2 2 - при t е

m-1

- 2 2 - при t е

j -1 2j -1

\ m-1

2j -1 j -1

' 2m-1

0 - в остальных случаях

где т = 1,2,...; ] = 1,...,2т 1, а при ] =2т 1 правый из отрезков считается замкнутым также справа. При нумерации функций одним индексом k полагается

к =2т 1 +].

а

m 1

m

2

Это определение отличается от определения самого Хаара [3] значениями функций Хаара в точках разрыва, но при этом сохраняется основное свойство системы Хаара - равномерное стремление ряда Фурье-Хаара непрерывной на [0,1] функции ft) к fit).

В случае системы Хаара не удовлетворяется условие равномерной ограниченности, а предложенный в [4] метод не обеспечивает непрерывность функции, аппроксимирующей непрерывную функцию.

В самом деле пусть функция, непрерывная на [0,1], представлена своим рядом вейвлет-Хаара

т

f (t) = ! akXk (f ). k=1

Пусть вместо {ak известны их приближенные

значения {Ck , удовлетворяющие условию (1).

Тогда как приближение ft), согласно [4], берется

т C

сумма fs(t) = X --V"ak Xk (t) , где 0 < а < 1,

k=i 1 +а4к

, Л>1. Для непрерывной функции ft) известно [2], что ak = o(k 1/2), а при ak = o(k 3/2) f (t) = const.

Из сказанного следует, что fs(f) не обязана быть непрерывной, хотя бы потому, что ее коэффициенты могут иметь порядок выше k 3 2, и не только при Л> 1.

Из этих соображений следует обоснованность рассмотрение задачи регуляризации ряда вейвлет-Хаара с приближенными коэффициентами.

В решении этой задачи значительную роль играют классы S , 1< р<т, которые были введены и детально описаны И.М. Соболем [6] для изучения многомерных квадратурных формул и содержат функции с быстросходящимся рядом вейвлет-Хаара.

Определение 2 [6]. Через Sp, 1< р<т, обозначим

класс функций ft), удовлетворяющих условиям: 1) представимы рядом Хаара:

т

f (t ) = ! ak Xk (t);

k=1

< A,

(2)

| (р(V2 Ж < оо назовем обобщенной сумматорной

0

функцией, а метод суммирования рядов посредством этой функции - обобщенным методом суммирования. Из следующего соотношения видно, что классы Бр

достаточно широки: класс Липшица Нж (ь),

0 <а'< 1, Ь > 0, Ь=сотг ,

,(l) = ь-^)| < l\h -h\x |

[ для любых тточе tj, t2 из [ö,l] J

принадлежит Б при ж' Р > 1 [6].

Докажем теорему об устойчивости регуляризован-ного сумматорной функцией ср(^) ряда вейвлет-Хаара функции /()е Бр, 1 < р <о, с приближенными коэффициентами и о его равномерной сходимости.

Пусть вместо точных коэффициентов {ак }^=1 функции /) известны их приближенные значения {ек }^=1, при этом удовлетворяется соотношение (1). Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Пусть /(¿)е Бр, 1 <р<о, ге [0,1],

а =а (3) монотонно стремится к нулю и 1

За 2 (3) -— 0 при 3 -— 0, тогда:

о

1. /з(а,()= Цф(ак)ск%к() принадлежит Бр,,

к=1

р' = тах(2, р).

2. /5 (а,/) равномерно на [0, 1] стремится к /(/). Доказательство. Функция /(/) аппроксимируется

ад

сУммой fs(a,t)= 2((ak)ck zk (t),

которая, соглас-

k=1

x m-1 f2m-1

2) Ap (f)= 2 2 2 i 2 \amj\P

m=1 [ j=1 J

где A = const, A > 0.

Пусть Sp = U Sp (A). Введем несколько обозна-

A>0

чений. Через С(01) обозначим пространство функций, непрерывных на отрезке [0,1], а через Lp^ - пространство интегрируемых в р-й степени функций [6].

Определим функцию p(t), представляющую обобщенный метод суммирования и являющуюся аналогом сумматорной функции из [4], следующим образом.

Определение 3. Непрерывную справа в точке 0 монотонную функцию p(t) p(0) = 1, lim p(t) = 0,

но признаку Дирихле равномерной сходимости рядов и [6], сходится равномерно и есть ряд вейвлет-Хаара своей суммы.

Нетрудно убедиться, что Ар (/3 (а,/)) <о.

Действительно, представим /3 (а,/) в виде суммы двух функций /3(а,/)=/(ж,0 + £3(а,/) с коэффициентами {р(ак )як }0=1 и {р(ак *)ук }^=1 соответственно.

Поскольку /(/) е Бр , то очевидно, что /(ж, /) также принадлежит Бр . Пусть р' = тах(2,р), тогда для gs(а,t) имеем

1

m-1 ' \f2m-1 ,] P

1 \ I 2 I IP I P

,m-1 2 \rn |P

Ap,(gs (a,t)) < 2 2 2 p(a2m-1 ) 2 \ТЩ\ i <

m=1 I j=1

m-1

ад -

<2 2 2

P

(a 2 m-1 )f2;

V k=1

1

Yk

1

m-1 2

P1

(a 2 m-1)

< 8 2 2 , . .

m=1 ln2

где Yk =ck-ak, k = 0,1,1 ••.

m-1> < jp(t)t 2 dt,

2

m=1

ад

Отсюда следует, что Ap, (g6 (а,/))

')<да, а также равно-

мерное стремление ряда

да

2 P(«kК Xk(i) к gs(a,t),

что

k=1

да

f (t )-2 <P(ak k Xk (t

k=1

|f(t)- fs(a,t)\ < Имеем

да да

2ïk f(«k)Xk(tJ<\riрИ+2

да

2 p(«k)ïk Xk(tJ •

k=1

k=1

И поскольку

-1 Ymj <p+ jX(t) •

2"

2

j=1

X„j (p(а(2"-1 + j))x„j(t)<6 ç>(а2"-1 )2 2

то

"-1

2/k^(ok)Xk(t)<6+6 2р(«2"-1 ) 2 2 •

k=1 I m=1

Отсюда, учитывая условия, наложенные на p(t), получаем

1

k=1

6а 2

1

1

2Xk Ч>(«k)xk (t)<6+б—- J <(t)t 2û?t<c6(а(а 2 •

ln2

Оценим другой член

да

f (t )- 2 Я> («k К Xk (t )

k=1

где n(<x) выбирается описанным ниже образом. Поскольку 0< [i - <р («k )]< 1 и f (t )eSp , то

2 1 - q> (ак)] akXk (t )

k=1

21

_ [1 - \p(ok)k Xk (t) < 2[ - q>(«Ж Xk (t) <

С

- 2 [ак Хк (?), где последняя сумма, согласно [6],

к =я(к)+1

равномерно стремится к нулю при п(к) —со. Пользуясь монотонностью ф(а), получаем

п(к)

2 [1 - Ф(ак)\ а к Хк (?) -

к=1

- [1 - ср (ак )\2 ^ ак Хк (?) - [1 - ?М«:))]2\ак Хк (?) .

к=1 к=1

Если выбрать и(к) так, чтобы к— 0 одновременно с п(к) — с и к п(к) — 0, то правая часть последнего неравенства стремится к нулю при к— 0, что вместе с первой оценкой завершает доказательство теоремы.

Учитывая условие (2), доказанную теорему можно переформулировать следующим образом:

Теорема 2. Пусть последовательность действительных чисел {ак }^=1 удовлетворяет условию (2) и

вместе с {ск }^=1 - условию (1). Пусть далее к=к(б)

1

монотонно стремится к нулю и б а 2 (б) — 0 при б — 0. Тогда:

1. функции f (t ) = 2 ak Xk (t ) и

k=1

достаточно для того, чтобы gб (а,с) принадлежала Бр,. Таким образом, /(к,с)е и gб (а,с)е Бр,, следовательно, /б(а,/)е Ср и первая часть теоремы доказана.

Для доказательства второй части рассмотрим уклонение

f6((,[ )= 2 P(«k )ck Xk(t )

k=1

венно классам S

принадлежат соответст-

p '

1- р<со, и Бр , 2- р<со.

2. /б (а,с) равномерно на [0,1] стремится к /(?).

Эксперимент. Для экспериментального исследования возьмем одну из задач предварительной обработки изображений - сжатие или зонное кодирование сигнала (изображения). Приведем математическую постановку задачи сжатия с регуляризацией [2]. Пусть х = (х0,...Хм-1) - исходный вектор данных размерности N, рассматриваемый как реализация некоторого случайного процесса с определенными свойствами; F - дискретное ортогональное преобразование (Уол-ша, Фурье и т.д.), - обратное преобразование; 8 -матрица выбора размерности mxN ранга m, 1- m<N; Яа - регуляризирующая матрица в задаче сжатия ис-

ходного вектора х R« =

р(1, а) ... 0 р(2,а)

0 ... р( N ,а)

где p(n, а) - регуляризирующие множители; n = 1, N ; а - регуляризирующий параметр.

Задача состоит в выборе при заданных F0, S0, такой регуляризирующей матрицы R« чтобы выполнялось следующее условие: р(х,R«X) — min, где р -

заданная метрика; x = F0-1S0 S 0 F0 x .

Замечание. При фиксированном преобразовании F0, произвольной матрице S, R«=I эта задача, известная как задача зонного кодирования посредством преобразования F, изучена в работе [2]. Выбор а и p(n, а) для соответствующих ортогональных преобразований зависит от входных данных и структуры преобразований. Вид матрицы r« определен для непрерывного случая и используется в дискретной интерпретации задачи сжатия изображений с регуляризацией [2]. На рисунке иллюстрируется расположение ошибок сжатия с регуляризацией s2 и без регуляризации s1 для усредненных параметров эксперимента.

si, е2

cosR

Furie * - Walsh Haar

FurieR HaarR WalshR

2

4

6

8

10

Ошибки сжатия с регуляризацией и без неё для усредненных параметров эксперимента

m=1

да

0

k

Литература

1. Шахраманьян М.А. Новые информационные технологии в задачах обеспечения национальной безопасности России (природно-техногенные аспекты). М., 2003. 398 с.

2. Казарян М.Л. Исследование задач цифровой обработки сигналов посредством дискретных ортогональных преобразований на устойчивость. Владикавказ, 2009. 81 с.

Поступила в редакцию_

3. Dobechies I. Ten Lectures on wavelets. Philadelphia, 1992. Р. 120.

4. Тихонов А.Н. Об устойчивых методах суммирования рядов Фурье // Докл. АН СССР. 1964. Т. 156, № 2. С. 268 - 271.

5. Haar A. Zur Theoria der orthogonalen Funktionsysteme // Math. Fnn. 1910. Vol. 69. P. 331 - 371.

6. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М., 1969. 288 с.

22 ноября 2013 г.