Исследование устойчивости свободного стержня, нагруженного следящей силой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXXV 20 0 4 № 1—2

УДК 629.76.015.4:533.6.013.42

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СВОБОДНОГО СТЕРЖНЯ, НАГРУЖЕННОГО СЛЕДЯЩЕЙ СИЛОЙ

Л. П. ЛУЩИН, А. В. ШАРАНЮК

Анализ напряженно-деформированного состояния движущихся и маневрирующих конструкций часто удобно проводить в подвижной системе координат, связанной с конструкцией. В отличие от системы координат, связанной с Землей, такая система координат

не является инерциальной, вследствие чего в уравнениях, описывающих нестационарные деформации конструкции, появляются дополнительные составляющие.

В работе на примере задачи об изгибных колебаниях корпуса ракеты, моделируемого упругой балкой и нагруженного следящей силой тяги реактивных двигателей в связанной с ракетой подвижной системе координат, выводятся общие уравнения движения и приводится их решение.

Показывается, как связаны между собой решение поставленной задачи на собственные значения с классическими решениями уравнений, полученных в ранних работах другими авторами.

Рассмотрим задачу об изгибных колебаниях корпуса ракеты, возникающих в процессе ее полета. Корпус ракеты представляет собой симметричную относительно продольной оси конструкцию, потому ограничимся рассмотрением колебаний в плоскости тангажа.

Представим упрощенную механическую модель корпуса ракеты, учитывающую характеристики упругости и распределение масс вдоль продольной оси ракеты — балку, работающую

на изгиб в плоскости тангажа. Будем пренебрегать продольными деформациями корпуса ракеты.

В процессе движения ракеты под действием силы тяги реактивных двигателей могут возникнуть малые колебания корпуса ракеты около положения упругого равновесия. При деформации корпуса ракеты изменяется направление вектора тяги реактивных двигателей, который всегда

направлен вдоль касательной к оси ракеты, т. е. сила тяги двигателей является следящей нагрузкой.

Получим уравнение малых колебаний корпуса ракеты, моделируемого упругой балкой и нагруженного следящей силой тяги реактивных двигателей, в связанной с ракетой подвижной системе координат в соответствии с работой [1].

Для этого выберем две системы координат. Инерциальную систему 0*^2^з, в качестве которой можно принять, например, систему координат, связанную с Землей, и подвижную систему координат 0ху2, связанную с движущейся деформируемой ракетой. Движение ракеты как твердого тела будем рассматривать в системе 0*^2^3, а упругие деформации в системе 0ху2. Поместим начало связанной системы координат в центр масс упругой ракеты, а оси направим вдоль главных центральных осей инерции (рис. 1). Ось 0х направим вдоль оси симметрии недеформированной ракеты. В случае движения ракеты в плоскости тангажа ^ = 0

взаимная ориентация систем координат характеризуется углом поворота ф подвижной системы координат относительно инерциальной системы координат. Обозначим величину угловой скорости вращения относительно оси 0*^3 через ю.

X

Рис. 1

Уравнения колебаний свободного упругого стержня, подверженного действию следящей нагрузки, можно получить из принципа Даламбера, добавив к внешним силам, действующим на стержень, силы инерции.

В случае изгиба в плоскости г = 0 уравнения равновесия упругого стержня имеют вид:

где qy — поперечная распределенная нагрузка, действующая на стержень; Q — перерезывающая сила; тг — распределенный момент внешних сил; М — изгибающий момент; EJ — жесткость на

изгиб стержня; и — прогиб стержня. Штрихом обозначена операция дифференцирования по х. Чтобы из выражения (1) получить уравнения малых колебаний стержня, нужно к распределенной нагрузке qy добавить распределенную нагрузку qyi, создаваемую силами инерции.

Принимая во внимание, что и, Q, М будут зависеть как от пространственной координаты х, так и от времени і, получим следующую систему уравнений:

Из предположения о малости величины упругих деформаций, скорости упругих деформаций можно считать малыми. Считая, что ракета вращается медленно, пренебрегаем также переносным и кориолисовым ускорениями. Для абсолютных ускорений частиц ракеты w получим приближенную формулу:

&=^у ,

М'=^ - тг, М = Ы и'',

(1)

(2)

дх2 '

дю

М +--------------------Г + М!г,

ді

где — ускорение начала подвижной системы координат; мг — относительное ускорение частиц ракеты; г — радиус-вектор частиц ракеты в подвижной системе координат. В случае плоского движения ракеты

Мх =™0х -Уф+Мгх,

Му = м0 у + хФ+

(4)

гу.

Так как изначально принято предположение о пренебрежении влиянием продольных деформаций корпуса ракеты на изгиб, можно положить wrx = 0 , а для wry записать выражение

д2 и

М =-------

ГУ ді2.

(5)

Подставляя (5) в (4) и пренебрегая инерцией поворота сечения корпуса ракеты, окончательно запишем:

д2 и

МУ = М0 У +— + ХФ.

(6)

ді2

Для распределенной инерционной нагрузки имеется выражение:

qyi =

(7)

где р — плотность материала сечения ракеты, S — площадь поперечного сечения. Подставляя (6) в (7), получим:

іуі

^2 Л ( д2

д и .. | г , „ ди

=-ц

0 У ' -2 ді2

+хф

>?-

0У ■ ді2

+хф

(8)

где ц=^р^^ — погонная масса стержня. Подставляя (8) в (7), запишем уравнения:

£

дЯ

дх

■=^У

д2 и

0 У + 2

ді2

+хср

дМ п

—=-Q - тг,

дх

М=ЕЛ

д2и

у.

дх

Исключая из системы (9) переменные Q, М, получаем уравнение:

^2 (

дх

ЕЛ

дх

+ц-

д2и

ді2

дх

-ц^0 У -Мх^Р.

(9)

(10)

В соответствии с принятыми предложениями М =0, Я = 0 на концах стержня. Следовательно, решение уравнения (10), как следует из (9), в точках х = а и х = Ь должно удовлетворять краевым условиям:

Уравнения движения начала подвижной системы координат и ее угловую ориентацию в инерциальной неподвижной системе координат можно получить с использованием теорем об изменении количества движения и кинетического момента.

Если к внешним силам, действующим на ракету, присоединить реактивные силы тяги двигателя и обозначить главный вектор полученной системы сил через Q, а главный момент этих сил относительно начала подвижной системы координат — через М, будут иметь место равенства

где Jz — момент инерции ракеты относительно оси Oz.

Проекцию главного вектора внешних сил и главного момента можно определить следующим образом:

Уравнения сил и моментов (12), (13) совместно с дифференциальным уравнением изгибных колебаний (10), (11) определяют движение подвижной системы координат в плоскости тангажа и изгибные колебания корпуса ракеты, возникающие в процессе движения. Можно показать, что функции х,t), найденные из решения уравнения (10) с краевыми условиями (11),

удовлетворяют интегральным соотношениям

Рассмотрим деформированный корпус ракеты с приложенной силой тяги реактивного двигателя Р на конце.

Используя предположение о малости деформаций корпуса ракеты, вектор тяги двигателя можно разложить на компоненты (см. рис. 1)

Следовательно, в точке приложения вектора силы тяги двигателя (х = а) в корпусе ракеты возникает сосредоточенная перерезывающая сила Q и момент М, выражения для которых имеют вид:

т^0 у = ^, Jz ф =Мі,

(12)

Ь

а

(13)

Ь

МЕ ={( ЧуХ + т2 ) «X.

а

Ь

Ь

(14)

а

а

х=а

(15)

Q =P = P —

Qy y dx

M, =-Pu

d du

,+ Px— dx

Выражение для распределенной поперечной силы можно записать в виде

а, = Р—5( х - а ).

у дх }

Подставляя соотношения (16) и (17) в уравнения сил и моментов (12), получим

рди

mwn, ,= P—

(17)

у

дх

т •• р| ди

JzФ=P| хдХ~V

(18)

Рассмотрим продольные деформации свободного стержня при действии на него концевой силы Р. Если обозначить через и величину продольных смещений стержня в связанной системе координат, можно записать уравнение продольных колебаний

д2и д ( ди | , ч

ц—---------1 ES— l=P (t)

дТ2 дх I дх 1 W

5(х-a)—

m

с краевыми условиями

ESu'\ = 0, ESu'\ = 0,

lx=a ’ lx=o ’

(19)

где S — площадь сечения стержня.

Рассмотрим равноускоренное движение стержня при действии стационарной силы P = const:

—(ESu'\ = P 5( x - a )--

|_ m

Проинтегрируем полученное уравнение по х

-(ESu')'+( ESu')\ = = P

1---

m

1x

— Г ^,(t )dt

П J

С учетом соотношений (19) выражение для продольного усилия в стержне можно записать в виде:

T (x)=ESu'=- — f^(t )dt, m J

(20)

что позволяет вычислить распределенный момент внешних сил. Второе уравнение (9) принимает вид [3]:

—Q = M'-T ^.

дx

(21)

Окончательно, используя соотношения (10), (18), (20) и (21), запишем систему уравнений движения свободного стержня под действием концевой следящей силы:

рди

т=Р—

дх

ЕЛ

дх2

Р _д_

т дх

дх

т -р\ ди , Лг ф=р| х—-и

дх

ґ ь

ди

дх

Л

\х

5 и ди

+ц—-=Р—5( х-а)-р*о „ -цхф. дГ дґ ^

Краевые условия с учетом (21)

Т (а)=- Р ^

дх

Т(Ь)=о)

примут вид:

ЕЛ д22=0, А

дх2 дх

ґ Я2 Л ' ЕЛ д2и ' 5х2

.би

-Р—=0 х=а,

дх

Ао, —

2

дх

дх

ЕЛ

дх2

=0,

х=Ь.

(23)

Исключая из (22) ^ и ф и перенося сомножитель при 5 (функции в краевые условия),

окончательно получим

_д_

дх2

2 ґ я2.,Л

ЕЛ

дх2

Р _д_

т дх

(ь

ди

дх

\х

д и ц лди

+ц—-=-—Р—

т дх

-цх

Р ґ ди

—I х-------------и

Лг V дх

(24)

с краевыми условиями

ЕЛ ^=0, — дх2

ЕЛ ^=0, — дх2

д ґ а2 и'

ЕЛ

дх дх2 у

V

д ґ д2 и'

ЕЛ

дх V дх2 у

=0, х=а,

=0, х=Ь.

(25)

Исследуем устойчивость малых колебаний корпуса ракеты около положения равновесия. Предположим, что решение системы уравнений (24) исследуется в виде

и(ґ, х)=и( х)в‘ш,

(26)

где О — частота колебаний. Подставляя (26) в (24) и исключая время, получим следующую краевую задачу на собственные значения:

Р ґ ь Л'

( Е/и")"+ — Гц(ґ )Аи'

т *

-О2ци=-—Ри' т

-цх

(27)

с краевыми условиями

ЕЛи"=0, ( ЕЛ и") = 0 (х=а, х=Ь).

Исследование устойчивости механической системы, нагруженной следящей силой, производится с помощью построения зависимости собственных чисел задачи от величины тяги двигателя Р. При этом, ввиду отсутствия демпфирования, в системе уравнений (27) при изменении

Рис. 2

*

величины Р от нуля до некоторого значения, называемого критическим (Р ), собственные числа задачи являются действительными. Нулевым собственным числам соответствуют смещения и поворот недеформируемого корпуса ракеты. Зависимость меньших по модулю собственных чисел задачи от величины приложенной следящей нагрузки приведена на рис. 2. Расчеты выполнялись с использованием метода конечных разностей при разбиении стержня на 80 отрезков. Увеличение степени дискретизации расчетной модели стержня приводит к изменению значений собственных чисел в пятом знаке. Как видно из рисунка, при возрастании величины Р два меньших по модулю ненулевых собственных числа сближаются и при некотором значении *

Р=Р совпадают, что свидетельствует о динамической форме потери устойчивости. Уравнение, аналогичное (27), получено в работе [3], однако, анализ его выполнен не вполне корректно.

Проанализируем структуру решения задачи (27). Прежде всего заметим, что в работах [2] — [10] рассматривается следующая краевая задача на собственные значения

(ь

н р |*

(Шм>") +— шг)сЬм>'

т *

\

\х

(28)

с краевыми условиями

Е3м>"=0, (Е3м>")'=0, х=а, х=Ь

(29)

как задача, описывающая динамику ракеты, нагруженной следящей силой тяги реактивного двигателя. Вывод уравнения (28) с краевыми условиями (29) приведен в [3], (задача №136). Уравнения (27) и (28) отличаются только правой частью и соответствуют разным краевым задачам,

однако, как установлено при численном решении этих задач, имеют одинаковую зависимость собственных чисел от параметра нагрузки Р, т. е. имеют одинаковые собственные числа.

Построим решение задачи (27), исходя из предположения, что спектр собственных значений этих задач совпадает. Пусть ю — собственная функция, О2 — собственное число задачи (28) при некотором значении параметра Р. Будем искать решение задачи (27) при тех же значениях Р и О2 в виде

и=^+С1х+С2, (30)

где С\ и С2 — константы, подлежащие определению. Заметим, что функция (30) удовлетворяет краевым условиям (29). Подставляя (30) в (27), получим

-Сі

т

(ь

V

\х

-О2—С\ х-О2—С2 =—— Рц' (а) —— РС1 -—х—ац Xа)+—х—ц(а)+МХ~ С2. (31) т т ^ ^

Выполняя дифференцирование, собирая подобные члены и сокращая на ц (положительная всюду функция), придем к равенству

С2 + СіХ—

—Р2ц'(а) Р- (-а Ца)+w(a)+С2)х.

тО2 JО

(32)

В соотношении (32) справа и слева от знака равенства стоят линейные по х функции. Следовательно, для тождественного выполнения равенства (32) необходимо и достаточно равенство соответствующих коэффициентов при х и единице. В результате получим следующие выражения для констант С! и С2:

Сі —

Р

Jz О

Р

а Ца)-ц(а)------- ц'(а)

тО

(33)

С2 =

Р

тО

(34)

Таким образом, зная решение задачи на собственные значения (27), можно построить решение задачи (28) по формуле

и( х)—ц( х) +-

Р

J, О2

Р

а Ца) - ц(а)------- ц '(а)

тО

х+-

Р

тО

■ц '(а).

(35)

Из выражения (35) отчетливо видно, что собственные функции в задачах (27) и (28) отличаются на линейную функцию, характеризующую смещение и поворот как твердого тела при одинаковых значениях Р и О2, т. е. собственные числа совпадают.

ЛИТЕРАТУРА

1. Докучаев Л. В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами.— М.: Машиностроение.— 1987.

2. Ф е о д о с ь е в В. И. Об одной задаче устойчивости//ПММ.— 1965. Т. 29, вып. 2.

3. Феодосьев В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов.— М.: Наука.— 1967.

4. Бил Р. Динамическая устойчивость гибкой ракеты при действии постоянных и пульсирующих сил тяги//Ракетная техника и космонавтика.— М.: Мир.— 1965, № 3.

5. Горошко О. А. Динамика упругой конструкции в условиях свободного полета.— Киев: Наукова думка.— 1965.

6. Живов Ю. Г., Сухов В. Н. Устойчивость упругих конструкций свободной балки со следящей силой//Труды ЦАГИ.— 1970. Вып. 1180.

7. Колесников К. С., Сухов В. Н. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления.— М.: Машиностроение.— 1974.

8. Рабинович Б. И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов.— М.: Машиностроение.— 1983.

9. Гопак К. Н. Потеря устойчивости свободным стержнем, ускоренно движущимся под действием следящей силы//Изв. АН СССР, Механика и Машиностроение.— 1960, № 4.

10. Динамика ракет/Учебник для студентов ВУЗов под ред. В. П. Мишина.— М.: Машиностроение.— 1990.