CC BY
21
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТРУКТУР В СМЕКТИЧЕСКИХ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Мигранова Дана Наилевна
старший преподаватель БКИРУК, РФ, г. Уфа
E-mail: danakiprida@ya. ru Кондратьев Денис Васильевич канд. физ.-мат. наук, ученый секретарь АН РБ, РФ, г. Уфа
E-mail: denis. kondratyev@bk. ru Мигранов Наиль Галиханович д-р физ.-мат. наук, профессор БГПУ, РФ, г. Уфа
E-mail: ufangm@yahoo. co. uk
STABILITY OF STRUCTURES IN SMECTIC LIQUID CRYSTALS IN
ELECTRIC FIELD
Migranova Dana
senior lecturer of Bashkir Cooperative Institute of the Russian University of
Cooperation, Russia, Ufa Kondratyev Denis
candidate of Sciences, Academic secretary, Academy of Sciences of the Republic of
Bashkortostan, Russia, Ufa Migranov Nail
doctor of Sciences, Professor of Bashkir State Pedagogical University, Russia, Ufa
Работа выполнена при поддержке Академии наук Республики Башкортостан и Российского Фонда Фундаментальных Исследований в рамках проекта 14-02-97026.
АННОТАЦИЯ
Рассмотрено решение задачи структурообразования в тонком слое смектического жидкого кристалла со спонтанной поляризацией «bookshelf» под действием приложенного под разными углами электрического поля. Рассмотрена двумерная задача с периодическими граничными условиями вызывающими эффект соизмеримости/несоизмеримости вдоль слоев SmC*.
ABSTRACT
Solution of the problem of structure formation in a thin layer of a ferroelectric liquid crystals with geometry «bookshelf» under applied at different angles of the electric field is theoretically investigated. The two-dimensional problem with
periodic boundary conditions, the effect of commensurability / incommensurability along the fibers of SmC * are under consideration as well.
Ключевые слова: смектик; спонтанная поляризация; соизмеримые структуры; несоизмеримые структуры; сегнетоэлектрик.
Keywords: smectic; spontaneous polarization; commensurate structures; incommensurate structures; ferroelectric.
Рассмотрим сегнетоэлектрический жидкий кристалл (ЖК) подобные смектики имеют закрученные от слоя к слою молекулы, которые описываются единичным вектором n. В обычном смектике C директор в каждом слое наклонен к нормали a под углом q (Рис. 1).
Рисунок 1.
В общем случае угол & зависит от температуры: с понижением температуры он становится меньше. Запишем директор п в виде
п = а cosв + с sinq
где: а — нормаль к слою,
с — единичный вектор характеризующий направление проекции директора п в слое.
В рассматриваемом SmC* присутствует спонтанная поляризация P,
которая всегда перпендикулярна плоскости (a, n). Удобно ввести вектор
г _ — — р—рb
о = a x с для описания 0 . Рассмотрим положительную поляризацию P > 0
0 . Известно, что внешние электрические поля переориентируют директор в слоях из-за наличия дипольных моментов молекул.
Целью данной работы является получение равновесного решения для образца SmC* в геометрии "bookshelf', когда не учитывается геликоидальная структура исследуемого материала. В достаточно тонких слоях граничные условия подавляют эту тенденцию.
Электрическое поле прикладывается под углом a к оси Ox
Рисунок 2.
Предполагаем отсутствие конвективных потоков при воздействии внешним полем, прикладываемые поля меньше критических значений.
Нормали а и с , введенные ранее, удовлетворяют следующим условиям:
a■ a = с■ с=1 a■ с = о Vxa — 0
Известно, что энергия упругости сегнетоэлектрического ЖК в декартовой системе координат [3, с. 310].
= 2А21 (ам )2 + 2(В2 - Вз )(сг,г )2 + 1(В1 - Вз )с1,]с]с1кск + 2взСг,7сг,7 + +2 А + А1 + 2А11 - В + Вз )(с1а1]с] )2 -
А11 + А21 + 2 В3 К* (с/а/,кск )+ В13Сг,/с/с/,как + (С1 + С2 )сг-,г- (с/а/,кск )
у у ,к к ) г ^ 1,Л] ],к к,
(1)
'^2ацСу,у + 2Л^к^СС',га]- - ВзЧегркарСкСг,уа у ,
где на константы упругости накладываются ограничения [4, с. 1855]
А12 А21 вх в2 Вз > о А12 А21 - а2 > 0
В1 Вз - В1з > 0 В2 А12 - О2 > 0 В2 А21 - с22 > о
А в
Константы г связаны с изгибами смектических слоев, г соответствуют
- с
возмущению вектора с, г — это константы, соответствующие разным слоевым деформациям, описываемых искажением вектора с. Электрический вклад в энергию [4, с. 1856]
™е1с =-Р • Е - 2е0еа (п •
2 , (2)
_12
где Е электрическое поле, е<0 =8 85 •10 Ф/м, £а — диэлектрическая е > 0
анизотропия. При а директор ориентируется параллельно направлению
е < 0 е
поля, при а — перпендикулярно (в данном случае, а отрицательная
величина). В первом слагаемом в (2) принимает минимальное значение при
Р|| Е
Плотность энергии для смектика С*
w — Wels + w
elc
. (3)
Тогда полная энергия
W = JwdV
V
где: V — объем образца.
В отсутствие потоков динамические уравнения, описывающие смектик С* во внешнем электрическом поле, разбиваются на систему уравнений для а и с .
В рассматриваемой модели смектические слои остаются невозмущенными, поэтому нормаль а будет константой. Уравнение для с имеет следующий вид [3, с. 313]
П с + +mai +щ — 0, i = 1,2,3, (4)
где
П с =
Г dw Л
дс,- ,
V -,} У
dw
g
-21
дс± dt
Параметр 1 — положительный коэффициент вязкости связанный с вращением директора в смектическом слое по образующей конуса (рис. 1).
Скалярные функции m и 7 — множители Лагранжа, которые могут быть найдены из скалярного произведения уравнения (4) с векторами a и с .
Рассмотрим образец сегнетоэлектрического ЖК SmC* в геометрии
"bookshelf" (рис. 2). Электрическое поле E приложено под углом a к
плоскости смектических слоев. Вектор с описывается азимутальным углом, показанным на рис. 2с.
Распределение директора по верхней и нижней границам предполагается периодическим вдоль оси Oy — соответствующие граничные условия приведены ниже.
В соответствии с предложенной геометрией нашей задачи можно записать:
—» —» —»
^ (0,0,1) c (cosf(x, y, t ),sinf(x, y, t ),0) b (-sinf(x, y, t),cosf(x, y, t),0) P = P0b E(E cos a,0, E sin a)
По аналогии с [3, с. 314] в одноконстантном приближении при Bi = B2 = Вз, = B получим динамическое уравнение для f(x, y, t) в виде
21— = B dt
£ £ E2
- P0 E cos acosf —— sin 2asin26sinf-
f df+dy
dx 2 +dy 2
£0£aE 2 . 2 . -°-a— cos2 asin2 0srn2f.
2 (5)
В стационарном случае (5) переходит в
B
v dx 2 dy 2 y
2
££ E 2
P0 E cosacosf + — sin2asin2qsinf +
0 a cos2 asin2 qsin2f.
2
В нашей постановке задачи граничные условия имеют следующий вид:
(6)
p
f (0, y, t) = --p- He(sin qy) p
f(d,y,t) = -— + p- He(sinqy)
где функция Хевисайда доопределена в 0, а именно Не(0)= 0.
Займемся решением уравнения (6) с учетом граничных условий (7), (8) и исследованием устойчивости решений. Задача для образца нематического жидкого кристалла с подобными периодическими граничными условиями решалась в [1, с. 42], случай полосчатых граничных условий рассмотрен в [2, с. 93].
Расчеты выполнены для значений параметров: Е =104 Ф/м, Со = 8.854 • 10-12 в = 5 • 10-12 ^ =-2 ^о = 80 • 10-6 й = Ш-6
-о
а = 0.0005° Я = 502 м-1 рис. 3.
м,
0 = 11°
м-1. График зависимости у) при х =0 5 приведен на
Рисунок 3.
Особенность нашей задачи состоит в том, что в предложенной модели появляются искажения поля директора, зависящие от переменной у. Варьируя
длину периода на верхней и нижней пластинах мы получаем пространственные структуры сегнетоэлектрического ЖК.
При наложении влияния граничных условий внутри объема сегнетоэлектрика появляются периодические макроструктуры, которые занимают центральные слои образца смектика.
Список литературы:
1. Кондратьев Д.В., Мигранов Н.Г. Построение функционала, описывающего макроструктуры в тонком слое нематического жидкого кристалла // Вестник ЧелГУ. — 2010. — № 12. — С. 41—46.
2. Кондратьев Д.В., Мигранов Н.Г. Распределение молекул нематического жидкого кристалла в полупространстве, ограниченном структурированной подложкой // Вестн. Помор. ун-та. Сер: Естествен. науки. — 2009. — № 3. — С. 91—95.
3. Stewart I.W. The static and dynamic continuum theory of liquid crystals. London and New York: Taylor and Francis, 2004. — 360 с.
4. Stewart I.W. Stability of equilibrium states in finite samples of smectic C* liquid crystals // J. Phys. A: Math. Gen. — 2005. — Vol. 38. — P. 1853—1873.
