Исследование устойчивости решений системы с гироскопической стабилизацией при параметрических возмущениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ, УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 531.388

Р. Р. ИСЛАМОВ

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ С ГИРОСКОПИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИЕЙ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

Исследуется устойчивость решений динамической системы с гироскопической стабилизацией для различных классов параметрических возмущений. Получены новые результаты о резонансных свойствах таких систем для специальных классов параметрических возмущений. Приводятся формулы для определения границы области неустойчивости через параметры системы. Устойчивость; гироскопическая стабилизация; матрица возмущения

Большое число задач физики и техники сводится к исследованию систем линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, что подчеркивает актуальность указанной проблемы. Достаточно указать на теорию нелинейных колебаний, небесную механику, динамическую устойчивость упругих систем и проблемы волновой механики. С такими уравнениями приходится встречаться при исследовании движения гироскопических систем в линейном приближении при вибрациях основания (гиромаятник, гирокомпас и т. д.).

Для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, где отсутствуют гироскопические связи, известны теоремы об устойчивости решения М. Г. Крейна и К. Г. Валеева.

Существенный интерес представляет обобщение этих результатов на системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и гироскопическими связями. Недостаточно изученным является вопрос о параметрическом резонансе в системах с гироскопической стабилизацией при периодических возмущениях.

Целью настоящей работы является исследование устойчивости решений определенного класса системы линейных дифференциальных уравнений с гироскопической стабилизацией при действии различных периодических матриц возмущений.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть уравнение движения системы в случае параметрических возмущений имеет вид

АХ + ОХ — ВХ = єМ(0і)Х.

(1.1)

Здесь X = {жх, Х2п} — вектор, £ > 0 -малый параметр, Д В — вещественные постоянные диагональные матрицы

А = сііа§ (аі, ...,а2„).

В = аіа§ (6і, ...,Ь2п) •

я* >0, Ък >0(А: = 1,2,

(1.2)

,2п);

С — кососимметрическая матрица вида /

0 Ні 0 0 0 0

-Яі 0 0 0 0 0

0 0 0 я, 0 0

0 0 -я, 0 0 0

0 0 0 0 0 я,„

0 0 0 0 .. -Я,„-1 0

(Н-2т -1 > 0 т =

(1.3)

— вещественная периодическая матрица с периодом , представлен-

ная рядами Фурье

мт= у |К

{к) г я

•2п

■ікві

(1.4)

где 'I = л/^Т, х?8> = 0, г = 1,..., 2п; я = = 1,..., 2п; матрица М(0£) имеет нулевое

среднее значение; точка над переменными обозначает дифференцирование по времени.

Предполагается, что все решения уравнения

АХ + ОХ - ВХ = 0

(1.5)

ограничены при (за счет гироскопиче-

ского члена .

Целью данной работы является исследование устойчивости решений системы (1.1) при параметрических возмущениях. Аналогичная задача была рассмотрена в работе [1]. Принципиальное различие исследуемой здесь задачи состоит в том, что решения системы (1.5) при отсутствии гироскопического члена неустойчивы, а в работе [1] был рассмотрен случай, когда решения системы при отсутствии гироскопического члена и были

устойчивы.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ МАТРИЦ ВОЗМУЩЕНИЙ

Исследуем устойчивость решений системы (1.1) в случае симметрической матрицы М(0£). Квадраты частот собственных колебаний системы (1.1) находятся из формулы

ш2я-1,2я

тт2

25 — 1

2а-2я-1Й2я

[1 — (Д«2я-1 + />2«) ±

М26-1 ~ 1^2з)2 ^4^25-1^25 , (2.1)

М2я-1 = Ь-2Я-1а-2яН.2я_1,

А*2я = Ь-2яа,-2я-1Н2я_1, ,п).

(2.2)

(я = 1,2,.

где , и

— элементы матриц (1.2) и (1.3). Здесь и — частоты нутационных и

прецессионных колебаний ( .

Границы 0-)- области неустойчивости для системы (1.1) на плоскости параметров имеют вид

6± = в0 ± А±е,

00 = 7-1 IШ1 ± шп

(2.3)

(2.4)

где определяются из формулы

А± = ±7-1^ (7=1,2,...), (2.5)

а величина находится по формуле, приведенной в работах [2,3]. Отметим, что в статье рассматривается случай резонанса, когда соотношение (2.4) выполняется при данном лишь при единственном наборе номеров и выборе знака в (2.4).

На основании результатов работ [1-3], для в случае симметрической матрицы ,

получим выражения вида

9 = ±{-1)1+т02з-102н-1р{х)> (2.6)

где

Р(х) = (с1 Хз] к

.Сз Здесь

(7)

Щ.211-1

ТС2 ± С4

(7)

*2,7-1 /2/1-1

(7)

Х-2/-1.2/г

)%0. (2.7)

С2 =

Аг,?—1 А2/г—1 РФт(Щ-10'211-

сз

VДma2ja2/l-

V filC^2j — lC^2h

(72,4-1 — (ш2л’-1 ш2л’) '> 0, А‘2я — 1 — -&2л’-1°'2,

А2я = Н2,ч — \.0»28 '

1

5—1?

/?2я-1 —

^2я-1А2.,-1

1,-1 + "2*

> 0, /32,, =

^2,Д2,

'5 — 1

>0,

^2я

а2я

I = 2] - 1, 2у. т = 2/1-1, 2/1;

j, /г, з = 1, 2,..., п

(2.8)

В выражении (2.6) для <7 верхний знак соответствует частоте

0О = 7 1{ш1+шгп),

(2.9)

а нижний знак относится к сопряженной частоте

(2.10)

Так как в формуле (2.5) значение находится под квадратным корнем, то исследуем знаки .

В случае частот

(2.11)

(2.12)

полученных из (2.9) при значениях индексов и соот-

ветственно, а также для частот

00=7 1{ш2]-1~Ш21г)

(2.13)

и

полученных из (2.10) при значениях индексов I = 2$ — 1, т = 2/г., находим, что выражение (2.6) для <7 принимает неотрицательное значение ( .

А для частот (2.10) вида

(?2=7 1 \tO-2j-l - Ш21г-і\ • (1 = 2.7-1, т = 2/і-1),

Ч = 7_1 |^2і - Ш2Н | (/ = 2 7, т = 2/г.),

(2.14)

(2.15)

и частот (2.9)

^0—7 Х(Ш2І + Ш-2/і-і) (/ = 2.7, т = 2/г — 1),

(2.16)

из формулы (2.6) получим, что д ^ 0.

Итак, из анализа знаков для д в формуле (2.6) приходим к следующей теореме.

Теорема 1. Если в системе (1.1) с положительно определенными диагональными матрицами А, В и кососимметрической матрицей Є матрица возмущения М((?/) - симметрическая, то частоты (2.11),(2.12)и(2.13)не могут быть сильно устойчивыми [1], а частоты (2.14), (2.15) и (2.16) не могут быть сильно неустойчивыми.

Таким образом, получен новый результат для систем вида (1.1) при симметрической матрице возмущений М(0/). Теорема 1 обобщает теорему М. Г. Крейна [4] и К. Г. Валеева [3] на случай систем с гироскопическим членом .

3. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ

ДЛЯ КОСОСИММЕТРИЧЕСКИХ МАТРИЦ ВОЗМУЩЕНИЙ

Пусть в системе (1.1) матрица М(0/) — кососимметрическая. Используя работы [1] и [2], для <7 находим формулу

9 = Т(-1)/+"' <72і-1<72Л-іР(х),

(3.1)

где значения

находим из выражений (2.7) и (2.8).

В формуле (3.1) верхний знак соответствует частоте (2.9), а нижний знак — частоте (2.10).

Аналогично анализируя знаки для д (3.1) для различных частот, приходим к теореме:

Теорема 2. Пусть в системе (1.1) диагональные матрицы А, В определенно положительны, матрица О — кососимметрическая.

Тогда, если матрица возмущения М((?/) — кососимметрическая, то частоты (2.14), (2.15) и (2.16) не могут быть сильно устойчивыми, а частоты (2.11), (2.12)и (2.13)не могут быть сильно неустойчивыми.

Этот результат также является новым для гироскопически стабилизированной системы (1.1) с кососимметрической матрицей возмущений.

4. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ

В качестве примера приведем исследование поведения динамической системы (1.1) вида

ai.ii + Н\Х2 — Ь\Х\ = є кі2 со8(/9£).ї2,

0,2X2 — -ffl.il — ЬіХ-2 = Є «21 С08(/9£).їі

(4.1)

при параметрических возмущениях. Проведем численный расчет на ЭВМ решений системы (4.1) для различных случаев матриц возмущений .

Выберем следующие числовые значения параметров системы , , ,

,.

В случае симметрической матрицы возмущений М{вЬ) примем «12 = «21 = 1. Для случая кососимметрической матрицы возмущений , считаем, что

. Для начальных условий приняты значения = 0; я2(0) = 0,05; я2(0) = 0.

При частоты собственных колеба-

ний системы (4.1) вычисляются по формулам (2.1). Находим

и і =

\/б08 + 8\/5760

4,357;

N/608 - 8\/5760 ш-2 =------- -------и 0,115.

На рис. 1-8 приведены графики функции Ж1(/), являющейся решением системы (4.1), при параметрических колебаниях для частот возбуждения , , ,

в случае симметрических и кососимметрических матриц .

Из анализа формул (2.6) следует, что в случае симметрической матрицы возмущения для данного примера частоты

в = — Ш-2, в = 2002, в = 2ш\

(4.2)

не могут быть сильно устойчивыми (теорема 1), т. е. при этих частотах в системе (4.1)

наступает параметрический резонанс. Это иллюстрируется результатами численного моделирования, приведенными на рис. 1-3.

Рис. 1. Симметрическая матрица возмущений

О = О,’і — 0,'2

Рис. 2. Симметрическая матрица возмущений

в = 20,-2

Рис. 3. Симметрическая матрица возмущений

в = 2ол

А частота

в = + ш 2

(4.3)

не является сильно неустойчивой, т. е. в случае частоты возбуждающих колебаний (4.3)

в системе (4.1) параметрический резонанс не наступает, что видно на рис. 4.

Рис. 4. Симметрическая матрица возмущений

в = Ш1+ 0,'2

На основании формулы (3.1) и теоремы 2 устанавливаем, что в случае кососимметрической матрицы возмущения М(0£) в системе (4.1) частоты (4.2) не могут быть сильно неустойчивыми, т. е. при этих частотах параметрический резонанс в системе не возникает. Это подтверждается результатами численных расчетов, отображенных на рис. 5-7.

Рис. 5. Кососимметрическая матрица возмущений

О = О,’і — 0,'2

Рис. 6. Кососимметрическая матрица возмущений

в = 20,-2

Рис. 7. Кососимметрическая матрица возмущений

в = 2ол

Частота же вида (4.3) не является сильно устойчивой при кососимметрической матрице , т. е. при этой частоте в системе (4.1) наступает параметрический резонанс (рис. 8).

Рис. 8. Кососимметрическая матрица возмущений

в = Ші+ Ш-2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теоремы 1 и 2 позволяют найти множество частот, которые не могут быть сильно устойчивыми (сильно неустойчивыми) в зависимости от свойств матриц возмущений системы. Из результатов данной работы следует,

что резонансные свойства гиростабилизиро-ванной системы имеют свои особенности при параметрических возмущениях.

Полученные результаты представляют практический интерес, так как в прикладных задачах матрицы возмущений имеют специальный вид.

Приведенные в работе формулы позволяют также найти границы области неустойчивости непосредственно через параметры системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Исламов, Р. Р. Исследование устойчивости решений дифференциальных уравнений при параметрических возмущениях / Р. Р. Исламов, Р. Р. Исламов (мл.) // Вестник УГАТУ. 2005. Т. 6, №2 (13). С. 40-44.

2. Исламов, Р. Р. Исследование параметрического резонанса в гироскопических системах / Р. Р. Исламов, Р. Р. Исламов(мл.) // Вестник УГАТУ. 2005. Т. 6, № 1 (12). С. 41-45.

3. Валеев, К. Г. Об опасности комбинационных резонансов / К. Г. Валеев // Прикл. мат. и мех. 1960. Т. XXVII, вып. 6.

4. Крейн, М. Г. Основные положения зон устойчивости канонических линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / М. Г. Крейн // Сб. памяти А. А. Андронова. М. : изд-во АН СССР, 1956. С. 413-498.

ОБ АВТОРЕ

Исламов Ринат Робертович,

аспирант. Дипл. инж. по выч. машинам, комплексам, системам и сетям (УГАТУ, 2004). Иссл. в обл. нейронных сетей, нейроматематики, мат. моделирования динам. систем.