CC BY
53
УДК 628.16.065.2-926
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОЦЕССОВ КОАГУЛЯЦИИ В ЗАДАЧАХ
ВОДОПОДГОТОВКИ Косенко Иван Иванович, доктор физико-математических наук, профессор,
Лукашева Г алина Николаевна, кандидат химических наук, доцент,
elukashov@,vandex. ги,
Маршева Юлия Игоревна, аспирант, [email protected].
ФГОУВПО «Российский государственный университет туризма и сервиса», г. Москва
The article presents a dynamic analysis of the coagulation process by means of qualitative investigations of simplified model for this process. Mathematical model is built up as a system of ordinary differential equations depending on several small parameters of different scales. Chemical model is reduced to the continuous ideally stirred-tank reactor. Stage of the aluminum removal from water by the coagulation process as a sedimentation in flakes is investigated. Characteristic parameters of this process are analyzed. Equilibria of the mathematical model have been found. These equilibria correspond to steady regimes of the process. An analysis of stability for them is carried out.
В статье проводится динамический анализ процесса коагуляции при помощи средств качественного исследования упрощенной модели этого процесса, представленной в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с несколькими шкалами малых параметров. Модель представлена в виде реактора идеального перемешивания. Исследуется стадия удаления алюминия из воды при помощи процесса коагуляции его в хлопьях осадка реактора. Анализируются характерные параметры процесса коагуляции. Найдены положения равновесия системы дифференциальных уравнений, соответствующие стационарным режимам этого процесса. Выполнен анализ устойчивости этих положений равновесия.
Key words: mathematical model, coagulation, steady state, stability
Ключевые слова: математическая модель, коагуляция, стационарный режим,
устойчивость
Введение
Проблемы экологии и здоровья населения весьма актуальны во многих странах и регионах. Одна из проблем этого комплекса — качество питьевой воды. Проблема
снижения концентрации остаточного алюминия, накапливающегося в воде в результате ее реагентной обработки, является одной из серьезных нерешенных задач.
В соответствии с современными требованиями к качеству питьевой воды технологии водоподготовки должны обеспечивать содержание остаточного алюминия не более 0,2 мг/л. Поскольку технологический процесс является сложным и зависящим от многих факторов [1 - 5], его анализ может быть выполнен только на адекватной математической модели, которая бы соответствовала тем особенностям протекания процесса коагуляции, которые определяют эффективность очистки.
В работе предпринята попытка наметить пути решения задач водоподготовки средствами математического моделирования коагуляции в режиме псевдоожижженного слоя. Модель представлена в виде реактора идеального смешения.
Проточный реактор полного перемешивания
В реактор поступает поток воды, содержащий зародыши хлопьев коагулянта, которые сформировались при гидролизе в смесителе. В воде также содержится коагулянт в форме «ионного» алюминия.
Из реактора выходят два потока: поток (Ра) очищенной воды, профильтрованной через слой взвешенного осадка, и поток ^р), отводящий хлопья коагулянта в зону осаждения осветлителя, где отсутствует восходящий поток воды. В потоке обработанной воды содержится «остаточный» алюминий, который может присутствовать в двух формах. Первая — это «ионный» алюминий. Вторая — это гидролизованные соединения гидроксида алюминия полимерного характера, т.е. мелкие хлопья, которые практически не подвержены осаждению.
В связи с тем, что нас интересует унос «остаточного» алюминия с потоком очищенной воды, модель следует формулировать как нестационарную. На этой модели можно исследовать устойчивость стационарного состояния реактора.
Материальный баланс по коагулянту и взвеси будет определяться соотношением равенства по массе этих компонентов в поступающем потоке (Рг) и в потоке ^р), отводимом в зону осаждения, за вычетом той части, которая с потоком очищенной воды (Ра) будет уноситься в форме «остаточного» алюминия и остаточной мутности.
Математическая модель процесса коагуляции
Следуя работам [6, 7] систему уравнений для реактора идеального смешения, в котором протекают адсорбция и коагуляция, можно представить в виде
сС = -BkAa + дСм - щСч - вдСу; Ша = kAa - вда + дао. (1),
ш ш
где С — текущая концентрация «ионного» алюминия в объеме слоя взвешенного осадка и на выходе из этого слоя с потоком обработанной воды; СЛ — концентрация «ионного» алюминия во входящем потоке воды; а — концентрация «гидролизованного» алюминия (хлопьев коагулянта); а0 — концентрация взвеси в исходной воде (мутность); д —
удельный объемный поток воды через осветлитель; а — доля общего потока воды, приходящаяся на обработанную воду; Д — доля воды, отводимой в зону отстаивания осветлителя (а + Д = 1); В — «стехиометрический» коэффициент (степень
полимеризации); Кй — коэффициент десорбции. В безразмерных переменных
Су/Су о = х; = т; а/ Су0 = у,
где 9 = 1/д — время пребывания воды в осветлителе, система (1) будет следующей
- = -ВЯ-!^ - х + 1; - ву + у (2)
Шт К„ + х Шт Кх + х 0
“X X
где Кх = К^/С^, у0 = а0/Су0, а параметр К = ^тах9 характеризует интенсивность реакции коагуляции. Переменные состояния: х — удельная концентрация ионного алюминия в реакторе, у — удельная концентрация хлопьев осадка. В этой системе уравнений (2) первое уравнение представляет компоненты дисперсионной среды — «ионный» алюминий и органические примеси, а второе уравнение — компоненты дисперсной фазы
— исходную мутность (частицы взвеси природного происхождения) и «гидролизованный» алюминий (хлопья коагулянта).
Характерные параметры процесса коагуляции
Типичные значения технологических параметров: К = 2,5-108 — интенсивность процесса; В = 1,9-1019 — стехиометрический коэффициент для хлопка диаметром 2мм; Кх = 9; у0 ~ 10-4 — удельная исходная концентрация хлопьев. Так что масштабы величин можно оценить следующим образом: В >> К >> Д У0 << 1, Кх ~ 1, Д- 1 (0 — Д — 1). Поэтому в данной задаче можно ввести следующие малые параметры: к = КГ1, л = В-1, е = к/л. Так
что систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (2) можно переписать в виде системы с сингулярными возмущениями
йх 1 ху йу 1 ху
- У - х +1, = -—+ У0 - ву (3).
dт є Кх + х dт к Кх + х
В такой нерегулярной форме, как правило, невозможно эффективно проводить ни качественные исследования, ни количественный анализ решений.
Регуляризация модели
Выполним регуляризацию системы уравнений (3) при помощи перехода от г к новой независимой переменной (медленному времени) і по формуле г = !. Получим систему ОДУ вида
£ = --а- + є(1 - х), £ = + Є(У0 - вУ) (4).
dі Кх + х dі Кх + х
хх
Для динамической системы второго порядка (4) на плоскости можно составить систему уравнений, задающих ее особые точки (х*, у*) — стационарные состояния процесса коагуляции — в виде
х*У* л \ Л х*у*
+ є(1 -х*) = 0, * * + к(У0 -ву*) = 0.
Кх + х* Кх + х*
Стационарные состояния процесса коагуляции
После исключения нелинейности получим зависимость у* = [^(1 - х*) + у0]/в, а
после исключения у*, в свою очередь, получится следующее уравнение для х*
х 2 1 - у0/ И + ^х - ^ , Л>К.
х*-----
1 - V
х х* +—^ = 0,
1 - V
из которого нетрудно получить выражение для меньшего корня, имеющего смысл с точки
зрения технологии очистки воды, в виде
х* х*1
(1 + У0ІМ + ^х - V )-д/(1 + У0ІИ + ^х - V )2 - ^Кх (1 - V) /'<
/2(1 - V).
Отсюда с учетом малости соответствующих параметров (для аналитического удобства здесь вводится вспомогательный малый параметр V = /К) получим асимптотику корней
УКх + о(у2) у* = -1 + У 0 / И 1 * в
И + У0
ИквКх
1 + У0/И
+
0(єк).
х* =
Анализ устойчивости
Характеристическое уравнение для найденного стационарного режима может быть записано в виде уравнения Л(Я, к) = 0, где характеристические показатели Я предполагаются неявными функциями от (малого) параметра к Невозмущенная задача соответствует случаю к = 0, или R = да, когда реакция коагуляции имеет бесконечную интенсивность. При этом корни характеристического уравнения легко вычисляются в виде Л*=-(^ + У0 )/вкх , Я2* = 0 и оказываются вещественными, различными и некратными.
Поскольку корни не являются кратными, то ЛЯ(Я1;2) ^ 0. Следовательно, по теореме о неявной функции уравнение Л(Я, к) = 0 в окрестности корней Я1* = Я1(0) и Я2* = Я2(0) и аргумента к= 0 имеет решение в виде рядов, аналитических по степеням к, вида Я1(к) = Я1* + Я1**к + О(к), Я2(к) = Я2* + Я2«к + О(к).
Так как Я1* уже отрицательно, то для проверки условий устойчивости нужно, в силу того, что Я2* = 0, найти величину Я2**. Имеем
Поэтому при достаточно малых значениях к исследуемое положение равновесия (стационарный режим коагуляции) асимптотически устойчиво [8] (по первому приближению).
Фазовый портрет характерного поведения решений исследуемой динамической системы представлен на Рис. 1. Здесь положение равновесия (устойчивый узел) отмечено знаком квадрата. Хорошо различимы направления быстрой (слева и справа — преимущественно по переменной х) и медленной (сверху и снизу — преимущественно по переменной у) эволюции технологического процесса коагуляции.
Исследование рассмотренной в работе задачи динамического анализа упрощенной кинетической модели процесса коагуляции алюминия в проточном реакторе идеального перемешивания оказалось возможным с применением методов теории возмущений по малым параметрам. Аналитическая редукция показала, что имеется несколько числовых параметров. Существенно, что эти параметры находятся в различных масштабных
Заключение
диапазонах. Это обстоятельство позволило эффективно, с использованием масштабирования независимой переменной, времени модели, вычислить главные члены соответствующих аналитических разложений и в точной нелинейной постановке ответить на вопросы существования и устойчивости стационарных процессов коагуляции. Необходимо, конечно, помнить, что сама модель является приближенной.
Рис. 1. Поведение траекторий в окрестности устойчивого стационарного режима Оказалось, что система линейных дифференциальных уравнений первого приближения при достаточно малых значениях к (достаточно больших значениях интенсивности реакции коагуляции) имеет отрицательные характеристические показатели, задающими тип особой точки - «устойчивый узел». Поэтому по известной теореме Ляпунова [8] (теорема об устойчивости по первому приближению) имеет место устойчивость положения равновесия «точной» исходной нелинейной задачи.
Данный вывод имеет далеко идущие последствия для проектирования технологических процессов очистки воды. В самом деле, обеспечив значения параметров процесса, близкие к их значениям рассмотренного выше стационарного режима, мы получим устойчивое протекание этого процесса в силу самой его кинетики.
Работа выполнена при частичной поддержке Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере, проект 13150 и Российского фонда фундаментальных исследований, проект 08-01-00600.
Литература
1. Драгинский В. Л., Алексеева Л. П., Гетманцев С. В. Коагуляция в технологии очистки природных вод. М.: Научное издание. 2005.
2. Кульский Л. А., Строкач П. П. Технология очистки воды. Киев: Вища школа. 1981.
3. Касаткин А. Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. М.: Гос. науч.-техн. изд-во хим. лит-ры, 1961.
4. Левеншпиль О. Инженерное оформление химических процессов. М.: Химия, 1969.
5. Буткевич Д. М. Математическое моделирование коагуляции в осветлителях со взвешенным осадком. Дисс. ... канд. техн. наук. М: Рос. гос. ун-т туризма и сервиса. 2009. 210 с.
6. Лукашев Е. А. Моделирование кинетики ассоциативных реакций в начальной стадии гидролиза // Химия и технология воды. 1992. Т. 14. № 9. С. 658-666.
7. Лукашев Е. А., Смагин В. Н. Исследование кинетических особенностей последовательности реакций при дехлорировании воды на гранулированных пористых углях // Химия и технология воды. 1991. Т. 13. № 7. С. 621-623.
8. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.
