CC BY
20
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ», № 3, 2014
удк 517.2 Притула Т.К. [Pritula T.K.]
исследование Устойчивости четырехвидовой модели взаимодействия приведением к системам двух уравнений
Investigation of the stability of a four species model interaction bringing to systems of two equations
Предлагается метод исследования проблемы устойчивости структуры четырех взаимодействующих сообществ путем сведения к системам двух нелинейных дифференциальных уравнений Лотки-Вольтерра, если предварительно найдены координаты стационарных точек. Подробно разбирается случай проверки устойчивости стационарной точки с положительными координатами, когда все сообщества сосуществуют Предложены алгоритм и программа исследования на устойчивость стационарного состояния с ненулевыми координатами математической модели динамики четырех взаимодействующих сообществ.
Ключевые слова: алгоритм, программа, модель, устойчивость, дифференциальные уравнения, стационарные состояния.
We propose a method to study the problem of stability of the structure of four interacting communities through information systems of two nonlinear differential equations of Lotka-Volterra, if the previously found the coordinates of the stationary points. Depth case check the stability of the stationary points with positive coordinates, when all community co-exist. The proposed algorithm and the program of research on the stability of the stationary state with non-zero coordinates of a mathematical model of the dynamics of four interacting communities.
Key words: algorithm, program, model, stability, differential equations, stationary states.
При математическом моделировании динамика изменения численности и структуры нескольких взаимодействующих сообществ обычно описывается обобщенной системой нелинейных дифференциальных уравнений вольтерровского типа [1].
Для системы из четырех видов даже исследование автономной локальной системы становится чрезвычайно сложным. Тем не менее, для решения практических задач в различных сферах человеческой деятельности требуется использование систем размерности выше двух и
«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ»
Северо-Кавказский федеральный университет
поиски условий сосуществования всех видов. Это приводит к математической задаче исследования на устойчивость многомерных систем нелинейных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим четырехвидовую модель взаимодействующих сообществ, которая описывается обобщенной системой четырех дифференциальных уравнений Лотки-Вольтерра.
^Л- = + апихи2 + ахзихиз + ах4их114 + ап * их Ж
(¿и, . 2
-- = а2112 + а2х11хи2 + а2ъи2иъ + а24и2114 + а22 * 172
&
с1и? 2
-- = аъиъ + агхихиз + апи2из + аъ4иъ114 + агг * С/3
дХ
сШ
= а4114 + а41и1и4 + а42и2и4 + а4ъиъи4 + а44 * и\
т
Система (1) имеет 16 стационарных точек. Пятнадцать имеют обязательно нулевые координаты, шестнадцатая - все ненулевые координаты, причем если они положительны - то это случай, когда все 4 сообщества и сосуществуют.
Обозначим координаты ненулевой стационарной точки: А(1,т,п,к).
В вольтерровской модели, оказывается, можно получить алгоритм и формулы для отыскания точных координат как интересующей нас точки, так и всех остальных стационарных точек для систем любой размерности, благодаря особому виду нелинейных членов дифференциальных уравнений системы (1).
Для четырехвидовой модели поиск координат стационарной точки приводит к алгебраической системе уравнений:
их(ах + апи2 + аииз + аыи4 +ап*их)- О,
и2(а2 + а2хих + а2зиз + а24и4 + а22 *и2) = 0, (2)
из(а3 + апих + а32и2 + ами4 + а33*иг)~ О,
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
_ Исследование устойчивости четырехвидовой модели взаимодействия.
иА(аА + аЛ1иг + а42и2 + аАгиг +аАА*иА) = 0.
Так как нас сначала интересует точка с ненулевыми координатами, где все и Ф 0, на них в (2) можно сократить и получить линейную алгебраическую систему четырех уравнений, которая, будучи невырожденной, имеет единственное решение и решается стандартными методами линейной алгебры.
В частности, метод Жордана-Гаусса позволит найти стационарные точки и для вольтерровских моделей размерности выше 4. Заметим, что если при моделировании нас будут интересовать координаты других стационарных точек системы дифференциальных уравнений (1), где некоторые координаты и = 0, то это приведет только к понижению порядка алгебраической системы. Ненулевые координаты соответствующих точек покоя такой системы находятся аналогично.
Следующий шаг — исследование стационарного состояния А(1,т,п,к). системы (1) на устойчивость. Зафиксируем и3 = п и и4 = k, придав им значения найденных координат. Обозначим их из* и и4*и подставим в систему (1). Получится система двух уравнений вольтер-ровского типа:
= («1 + «13^3 + аыи*А)их + апи,и2 + ап * и,2 т (3)
= («2 + а2Ъи1 + а24и1)и2 + а2\и\и2 + «22 * 11 I
аХ
Для исследования этой двумерной вольтерровской системы на устойчивость введем обозначения:
Т т* ТТ* * ТТ* ТТ* * ,
ах + апи3 + аыил =аи а2+ а23и3 + а24и4 = а2, (4)
после чего система (3) примет вид:
= а1111 + апихи2 + ап * и2
&
= а*2и2+ а21и1и2 + «22 * и1
Ш
«НАукА. ИННОвАЦИИ. ТЕХНОлОгИИ»
Северо-Кавказский федеральный университет
Эта модель была исследована стандартно в статье [2] с помощью метода Ляпунова. Система (5) имеет 4 стационарных точки:
1. и 1 = и 2 = 0.
*
2. и = -и2 = 0.
*
3. их =0, и2= ——. (6)
«22
* * * * ^2^12 _ ^1^22 г 7" _ ^2^11 _ ^1^21
4. ^ = 2 12 1 22 , и2= —
апа22 а12а21 аиа22 «12«21
Стационарное состояние, при котором сообщества и[ и и2 сосуществуют - в четвертой точке.
Корни характеристического уравнения для соответствующей
линеаризованной системы имеют вид [2]:
# * * *
. _ а2аиа12 — ах аиа22 — а2апа22 + а1 а21а22
А 2 —-—-
2(«11«22 - «12«21) 2(«11«22 - «12«21)
где
Г = М апап+2(а1)
«11«21«22 ~ 4(«1 ) «12«21«22 + («1 ) «21 «22 * * 2 * * 2 2 .Г) * * * * 2
+ 4а*А2«122«21 + («2)2«П«12 + 2(«2 «П«12«22 +
21
При г < 0, корни Л,! и Л2 комплексно сопряженные и тогда это состояние является фокусом (устойчивым или неустойчивым) при ненулевой действительной части. Условием устойчивости этой особой точки будет отрицательность действительной части корней Л и Л2, т. е.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
_ Исследование устойчивости четырехвидовой модели взаимодействия.
Рисунок 1. Поиск координат ненулевой стационарной точки.
I_
«2«11«12 «1«11«22 «2«11«22 «1 «21«22 ^ 0 2(апа22~апа21)
(7)
В случае, если действительная часть корней равна нулю, точка является центром.
При г < 0, корни Хх и Х2 — действительные, условием устойчивости этого состояния будет отрицательность обоих корней характеристического уравнения.
«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ»
Северо-Кавказский федеральный университет
©а
Рисунок 2. Поиск и исследование на устойчивость полученной
двумерной модели. ■
Для достижения устойчивости модели (5) необходимо подобрать такие коэффициенты at и a^, при которых вышеуказанные условия будут выполняться. Это означает, что при соблюдении условий (7) оба вида выживают.
Разработана программа в программном комплексе на Delphi поиска стационарной точки со всеми ненулевыми координатами для че-тырехвидовой модели.
Введем следующие начальные условия и параметры модели: После нажатия «Compute» программа выдаст результат (рис. 1). Используя найденные координаты стационарной точки U3 и U4, сведем систему к двумерной, исследование устойчивости которой можно провести с помощью другой программы, реализованной в среде DELPHI (рис. 2). Только теперь вместо aA нужно вводить в диалоговое окно а*, а вместо a2 - a2*, Параметры aj и a2* вычисляются по формулам (4).
физико-математические науки
_ Исследование устойчивости четырехвидовой модели взаимодействия.
Кроме того, после нажатия кнопки «Graphics» программа строит графики зависимостей U (0 и U2 (t), а также фазовые траектории.
Продолжить далее исследование на устойчивость стационарной точки A(l,m,n,k) рассматриваемой четырехвидовой модели можно, фиксируя другие пары координат этой точки.
библиографический список
1. Романов М. Ф., Федоров М. П. Математические модели в экологии. СПб.: Иван Федоров, 2003. 240 с.
2. Адамчук А.С., Амироков С.Р, Притула Т.К. Исследование поведения двух фирм с помощью вольтеровской модели взаимодействия сообществ // Вестник Северо-Кавказского федерального универсистета. 2014. №1(40). С. 9-13.
ОБ АВТОРЕ
Притула Татьяна Константиновна, аспирант Северо-Кавказского федерального университета, программист компании «Теплосеть», г. Ставрополь. Тел. 8-961-483-70-22. Email: [email protected].
Pritula Tatyana Konstantinovna, graduate North Caucasus Federal University, the programmer of the software Department of the company «Teploset». Phone: 8-961-483-70-22. Email: [email protected].
