CC BY
7
ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ
2022. № 2 (74). С. 10-21 Современные технологии. Системный анализ. Моделирование
DOI 10.26731/1813-9108.2022.2(74).10-21 УДК 62-97/98
Исследование уравнений вентильного генератора на жесткость
А. В. Данеев1^, Р. А. Данеев2, В. Н. Сизых1
1Иркутский государственный университет путей сообщения, г. Иркутск, Российская Федерация 2Восточно-Сибирский институт МВД России, г. Иркутск, Российская Федерация Sdaneev@mail.ru
Резюме
При анализе нелинейных и нестационарных уравнений вентильной машины все более остро встает проблема обоснованного выбора метода численного интегрирования, обеспечивающего адекватность получаемых при численном эксперименте результатов истинному решению кусочно-линейных уравнений состояния канонического или нормального вида. Цель статьи состоит в обосновании при выборе метода численного интегрирования целесообразности проведения исследования уравнений вентильного генератора на жесткость и объяснении физического смысла данного явления при моделировании любой синхронной машины. Жесткость уравнений, описывающих электрические цепи, - скорее правило, чем исключение. Кроме того, электромагнитные процессы вентильного генератора описываются функциями состояния, характер поведения различных участков которых также свидетельствует о возможном разделении на «быстрые» (с большими производными) и «медленные» (с малыми производными) компоненты. Однако, если при анализе электромеханических процессов разделению подлежат разные функции (процессы), то при исследовании электромагнитных процессов приходится говорить о разделении функций одного и того же процесса, а также каждой из них. Электромагнитные процессы, ввиду наличия в электромеханической системе вентильного звена с резко выраженными ключевыми свойствами полупроводниковых элементов, характеризуются существованием в произвольный момент времени разно-темповых функций - токов вентилей. В момент переключения с одного вентиля на другой происходит нарушение непрерывности (коммутации) токов в ключевых элементах вентильного генератора. Затем проводится очередной вентиль до тех пор, пока не наступит следующая коммутация, и т. д. Предложенный в работе подход позволяет исследовать уравнения вентильного генератора на жесткость.
Ключевые слова
вентильный генератор, уравнение состояния, жесткость уравнений, метод численного интегрирования, кусочно-линейные уравнения
Для цитирования
Данеев А.В. К исследованию уравнений вентильного генератора на жесткость / А.В Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - 2022. - № 2(74) 9108.2022.2(74).10-21.
Информация о статье
поступила в редакцию: 29.04.2022 г.; поступила после рецензирования: 31.05.2022 г.; принята к публикации: 31.05.2022 г.
The study of the equations of the valve generator for stiffness
A.V. Daneev1^, R.A. Daneev2, V.N. Sizykh1
Irkutsk State Transport University, Irkutsk, the Russian Federation
2East Siberian Institute of the Ministry of Internal Affairs ofRussia, Irkutsk, the Russian Federation Sdaneev@mail.ru
Abstract
When analyzing nonlinear and non-stationary equations of a valve machine, the problem of a reasonable choice of a numerical integration method ensuring the adequacy of the results obtained in a numerical experiment to the true solution of piecewise linear equations of state of a canonical or normal form becomes increasingly acute. The purpose of the article is, when choosing a method of numerical integration, to substantiate the expediency of studying the equations of a valve generator for stiffness and explaining the physical meaning of the phenomenon when modeling any synchronous machine. The rigidity of the equations describing electrical circuits is a rule rather than an exception. In this case, the phenomenon of rigidity is associated with the existence of «fast» and slowly changing functions of the state variables of the circuits. Besides, the electromagnetic processes of the VG are described by state functions, the behavior of various parts of which also indicates a possible division into «fast» (with large derivatives) and «slow» (with small derivatives) components. However, while in the analysis of electromechanical processes different functions (processes) are subject to separation, in the study of electromagnetic processes one has to deal with the separation of the functions of one and the same process, as well as of each function. Electromagnetic processes, due to the presence in the electromechanical system of a valve link with pronounced key properties of semiconductor elements, are characterized by the existence at an arbitrary moment of time of different-tempo functions - valve currents. At the moment of switching
. Данеев, Р.А. Данеев, В.Н. Сизых // . - С. 10-21. - DOI 10.26731/1813-
from one valve to another, there is a violation of the continuity (switching) of currents in the key elements of the valve generator. Then it starts to conduct the next gate until the next commutation occurs, and so on. The approach proposed in the work makes it possible to study the equations of the valve generator for stiffness.
Keywords
valve generator, equation of state, rigidity of equations, numerical integration method, piecewise linear equations
For citation
Daneev A.V., Daneev R.A., Sizykh V.N. Issledovanie uravnenii ventil'nogo generatora na zhestkost' [The study of the equations of the valve generator for stiffness]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern Technologies. System Analysis. Modeling], 2022, no. 2(74), pp. 10-21. - DOI: 10.26731/1813-9108.2022.2(74).10-21.
Article info
Received: April 29, 2022; revised: May 31, 2022; accepted: May 31, 2022.
Введение
В настоящее время при анализе нелинейных и нестационарных уравнений вентильной машины все более остро встает проблема обоснованного выбора метода численного интегрирования, обеспечивающего адекватность получаемых при численном эксперименте результатов истинному решению кусочно-линейных уравнений состояния канонического вида
a* <t )• d*=/г * , t )
dt
или нормального вида [1]
di ( * \ f li , ц
dt
(1) (2)
где
* / * \ / * |* / * I
/ ¥ ,*)=А у ,*)• г + В ¥ ,* )• ем; /' (/*,*) = а(/* ,*)• С + в(г*,*)• ем;
А (Т, *)=ь\-1 (*) • Аг ( *, *); 4 •, *)=ь\-1 (*) • Вг (/ *, *);
^ * < 1*) = 4; 8 = 0,к; 1кон = 1к ■
Здесь - время последнего момента включения вентилей; - время последующего момента включения, когда проходящий через любой вентиль ток меняет направление;
А1 (?*, * )= А1(1, *)/- матрица коэффициентов при векторе состояния размерности т*т (т - число независимых контуров направлению графа [1]); Вг (/*, *)= Вг (г, *)/%- матрица коэффициентов при векторе ЭДС ем, индуцируемых постоянным магнитом, размерности т*тг (тг - число фаз генератора); Ц (*) = ц (*1 - постоянная положительно
определенная на интервале < * < *8+г матрица индуктивностей размерности тгхтг; г = г(* - вектор состояния системы (1)
или (2) размерности т*1.
При этом основным критерием адекватности решения (1) или (2) является удовлетворение выбранного метода требованиям по точности и устойчивости вычислений.
Проведенный анализ классических методов численного интегрирования позволяет сделать следующие выводы:
1. Не существует асимптотически устойчивых (А -устойчивых) многошаговых явных численных методов [2].
2. Не доказано существование А-устойчивого неявного многошагового метода численного интегрирования порядка выше второго (кроме неявного метода Эйлера и метода трапеций).
3. С увеличением порядка численного метода повышается локальная точность вычислений.
4. Выполнение численного решения уравнений вентильного генератора (ВГ) с приемлемыми вычислительными затратами позволяет использовать только неявные методы, которые являются жестко устойчивыми (кроме методов первого и второго порядков).
5. Удовлетворить в полной мере адекватности получаемого решения истинному позволяют системные методы Ю.В. Ракитского [3].
Постановка задачи
Цель настоящей статьи состоит в обосновании при выборе метода численного интегрирования целесообразности проведения исследования уравнений ВГ на жесткость [3] и объяснении физического смысла данного явления при моделировании любой синхронной машины.
Жесткость уравнений, описывающих электрические цепи, - скорее правило, чем исключением [3]. При этом явление жесткости
*
связывается с существованием быстро и медленно изменяющихся функций переменных состояния цепей.
Предварительный анализ свойств жесткости уравнений ВГ показал, что в такой электромеханической системе существует своя специфика в определении данных свойств:
1. Возможно явное разделение функций электромеханических процессов на «быстрые» (переменные состояния, характеризующие электромагнитные процессы) и «медленные» -монотонно изменяющиеся (движение ротора электрической машины) функции с существенно различными временными характеристиками [4].
2. Электромагнитные процессы ВГ описываются функциями состояния, характер поведения различных участков которых также свидетельствует о возможном разделении на «быстрые» (с большими производными) и «медленные» (с малыми производными) компоненты. Однако, если при анализе электромеханических процессов разделению подлежат разные функции (процессы), то при исследовании электромагнитных процессов приходится говорить о разделении функций одного и того же процесса, а также каждой из них. Последнее обстоятельство вызвано следующими причинами:
-уравнения электрических машин содержат периодические коэффициенты (их решения - периодические функции времени);
- вентильные преобразователи (ВП) характеризуются явно выраженными ключевыми свойствами вентилей, моменты естественной коммутации которых заранее неизвестны (рис. 1);
- зависимость моментов переключения вентилей от параметров генератора и нагрузки всегда требует предварительного, зачастую довольно сложного анализа работы ВП при использовании переменной структуры уравнений ВГ, что может привести к неадекватности получаемого численного решения результатам экспериментальных исследований.
Следовательно, встает задача программного разделения отдельных участков одной и той же функции, описывающей электромагнитные процессы ВГ, на основе обоснованно выбранного метода численного интегрирования.
'' к-ый интервал постоянства режимов работы ВГ
S-ый межкоммутационный интервал работы ВГ
Рис. 1. Кривая тока через вентиль, поясняющая
разнотемповость его производной Fig. 1. A current-through-valve curve illustrating the different-tempo character of its derivative
С помощью явных численных методов не представляется возможным решение данной задачи. Так, выполненное на основе методов Рунге-Кутта и Эйлера исследование уравнений синхронного генератора с периодическими коэффициентами, показало, что при интегрировании данных уравнений затраты машинного времени в 13-14 раз больше, чем при расчете преобразованных уравнений с постоянными коэффициентами в осях d, q, 0 и в приведенных фазных координатах [5], когда реальные быстро осциллирующие процессы заменялись огибающими этих процессов. Первые попытки применения явных численных методов к моделированию уравнений ВГ не позволили вообще получить решения ввиду чрезмерно малого шага интегрирования (порядка 10-15-10-20 c.).
Исследование уравнений вентильного генератора на жесткость
Рассмотрим физическое содержание явления жесткости уравнений (1) и (2) ВГ согласно поставленной задаче.
Исследования показали, что при моделировании предпосылками явления жесткости являются две причины:
- малые (порядка 10 -10-6 Гн) значения периодически изменяющихся индуктивных коэффициентов в матрице Ь* (г) при первых производных (1);
- большой разброс постоянных времени в правой части (1) из-за резко выраженных ключевых свойств вентилей.
Следствием малых значений индуктивных коэффициентов является плохая обусловленность матрицы Ь* (г). Большой разброс постоянных времени определяется принятой КЬ-моделью вентилей с большим обратным сопротивлением, отличающимся на 5-7 порядков от прямого.
При аппроксимации нестационарных коэффициентов матриц Ь* (г) и А1 в уравнениях (1) кусочно-постоянными на к-ом шаге интегрирования получим:
= /1к, (3)
L.
dt
где Ь
_ L1 (t)/ tk <t<tk+1, f1k - f1 (i , t)/ tk
приведет к изменению решения на
(
di d\
dt
- + -
fen) dt
dt
\\
- f\k + Af1k •
(4)
Вычитая из уравнения (4) выражение (3), получим
L
1k
d
dt
\
-Af
\k
или
dAi dt
- Lt-Af
1k
(5)
Для того чтобы сравнить относительное
изменение
f 1 f1
1k
грешностью решения норму матрицы Ь1к:
L1k - m,ax
с относительной по-
запишем
dAi * / di *
dt / dt
di *
L 1k dt
di*
dt
ограничивающую «степень возрастания» [6] при умножении на матрицу Ь1к
di * di *
-1k ' Ht ri VI dt
_ di для любого вектора производных токов -,
йг
не равного нулю.
Из последнего неравенства следует
Ilf* II < ILik II
di
dt
Аналогичным образом, используя понятие нормы матрицы из уравнения (5) запишем:
||ьгЖ||
-M - max
Лк М^//гк<г<гк+,' Лк -/1 V ' //гк<г<гк+1 • Для определения достоверности решения алгебраического матричного уравнения (3) (если принять х = ) необходимо найти оценку йг
чувствительности данного решения к малым изменениям параметров векторной функции
й (а/ *)
йг '
Возмущение в правой части (3) на Д/1к
й (А/ *)
Af1k \fk\\ < k (-1k ),
dAi * / di *
dt / dt
откуда следует
где к(Ьук ) = ||Ьи 11ЛЬ-Д - число обусловленности матрицы Ь1к.
Точно таким же способом проводится оценка чувствительности решения уравнений (1)и (2)
Л (/ \ г )• / * = с (г), с (г ) = Ь (г) г в, (/\ г). гм; а(/\г)./* = Щ в(г) = й*гв(/\г).ем .
к возмущениям в правой части ДС(0 и ДО(?) через числа обусловленности матриц А1 и А на к-ом интервале интегрирования ^ < t < tk+1:
к А ) = | | А,к || А1\ к (Ак ) = | |Ак|| А-Д. (6)
Первое формальное определение жестких систем дифференциальных уравнений (ДУ) следует из вычисления чисел обусловленности матриц Ь1к, А1к или матрицы Ак.
dt
Система уравнений ВГ, записанная в канонической форме, считается жесткой, если на k-ом интервале интегрирования k(Lik) >> 1 и (или) k(Alk) >> 1.
Нормальная система уравнений ВГ вида (2) является жесткой, если
к {Ak )>> 1. (7)
Однако остается неясной количественная правдоподобность таких оценок. Так, например, при числах обусловленности k(Ak) = 100 и k(Ak) = 20 000 одинаково приходится говорить о свойствах жесткости системы (2).
Таким образом, по существу, такой подход означает попытку установить причинно-следственную связь между свойствами обусловленности матриц и жесткости систем (1) или (2).
Остановимся более детально на оценке свойств жесткости системы ДУ в нормальной форме (2). Как известно, такая форма представления уравнений ВГ требует применения явных методов численного интегрирования. Недостатком традиционно используемых явных методов является последовательная пошаговая организация вычислительной процедуры определения приращения вектора состояния. При численном интегрировании предположительно жесткой системы ДУ (2), в силу существования в произвольный момент времени при любых коммутациях вентилей больших производных токов для получения устойчивого численного решения возникает необходимость задавать малые приращения вектора состояния. Это, в свою очередь, при принятой организации численных расчетов, приводит к очень малому шагу интегрирования. При любом превышении шага величины минимальной постоянной времени цепи х mn = min (х j) наблюдается численная неустойчивость решения - «взрыв» погрешности [3]. Поэтому для решения на электронной вычислительной машине (ЭВМ) системы уравнений (2) необходимо предварительно рассмотреть задачу обоснованного выбора шага интегрирования на основе достоверной количественной оценки свойств жесткости уравнений ВГ, а также задачу рациональной организации вычислительных процедур с целью обеспечения приемлемых затрат машинного времени при имитационном моделировании.
Более конкретная количественная оценка уравнений (2) получается из предварительного
качественного анализа электромагнитных процессов, протекающих в ВГ.
Электромагнитные процессы ввиду наличия в электромеханической системе вентильного звена с резко выраженными ключевыми свойствами полупроводниковых элементов характеризуются существованием в произвольный момент времени разнотемповых функций -токов вентилей. В момент переключения с одного вентиля на другой происходит нарушение непрерывности (коммутации) токов в ключевых элементах ВГ. Затем проводится очередной вентиль до тех пор, пока не наступит следующая коммутация.
Таким образом, можно выделить два основных интервала проводимости вентилей: коммутационный и межкоммутационный, причем время протекания коммутационных процессов в ВГ значительно меньше времени, когда коммутация вентилей не происходит.
Двум режимам работы ВГ должны соответствовать и существенно различные поведения процессов численного решения системы (2).
Первому, коммутационному режиму работы ВГ, соответствует участок с быстрым изменением токов вентилей (см. рис. 1).
Именно этот участок определяет существование больших производных решения и минимальных постоянных времени вентильной цепи. Так как участок (£-1) с быстрым изменением переменных состояния как бы отражает стремление токов вентилей перейти во второй, межкоммутационный режим работы ВГ, то такой участок называют пограничным слоем [3]. Интервал времени, соответствующий длительности пограничного слоя, принимаем равным минимальной постоянной времени цепи:
ХПС = Xmin = min Iх j
in (X j ) > (
х ПС < х min
) .
Второй участок изменения токов вентилей характеризуется малыми производными при решении уравнений (2) и достаточно большой, доступной наблюдению длительностью электромагнитных процессов tИ = - 4 на ^ ом межкоммутационном интервале работы ВГ. Оценкой длительности процессов на интервале времени tИ (оценкой «сверху») может служить следующее соотношение:
2п
t =-,
и
где N - число пульсаций выпрямленного напряжения за один период изменения ЭДС источника
питания, определяемое выбранной силовой схемой ВП.
Из приведенных рассуждений и физического содержания, протекающих в ВГ электромагнитных процессов, следует практический критерий определения свойств жесткости системы уравнений (2). Система ДУ ВГ является жесткой, если имеет место следующее неравенство:
хПС << ¡И (8)
Интервал времени пограничного слоя оценивается следующими выражениями:
Г ПС =
Г ПС =
IKII1
И Ak ),
(9) (10)
где ||ЛГ || - норма матрицы А, вычисленная на ком интервале непрерывности решения системы
т
(2); ¡г(ЛК ) = ^ (а]]- ) - след матрицы А на том
]=1
же интервале численного интегрирования [3].
Выбранному практическому критерию определения свойств жесткости системы уравнений (2) удовлетворяют следующие оценки данных свойств, выражаемые или через коэффициент жесткости [7] на к-ом интервале «постоянства режимов» (см. рис. 1).
К
ЖИ
min (г j
ПС
(11)
M
K ж о (t ) = £ K Жи Pk (t )
(12)
k=1
Здесь p„ (t )■■
кусочно-
и на вопрос: на сколько порядков производные токов вентилей в коммутационный интервал больше производных этих токов, когда не происходит переключения с одного вентиля на другой.
Для жесткой системы уравнений вида (2): Кжи >> 1, К«,(0 >> 1.
Пример исследования уравнения вентильного генератора на жесткость
Матричное нелинейное уравнение ВГ (2) в нормальной форме Коши записывается системой кусочно-линейных уравнений, инвариантных на шаге интегрирования к выбранным переменным состояния - токам вентилей [5], если время t относится к интервалу времени ^ между соседними коммутациями вентилей (межкоммутационный интервал)
tu = ts+1 - ts =
2л
т.е. ts <t < то обозначив вектор тока вентилей на этом интервале , получим:
di*v dt
A(i*, t )i* + ßfc, t )eMk, (13)
где
a(V, t )=-[Lk + Lv (iV) + KLh k
T
или через обобщенный коэффициент жесткости на всем временном интервале работы ВГ
Яф + Rv (iv )"
dL(t )
dt
+ krkk1
, t )= Lk + Lv
(iV )+ KLh K Т
l-1;
lk+1>
I1, при ^ * ^ *к+1
[о, при * < ¡к, * > ¡к+1
постоянная функция, где tk и tk+\ - моменты времени, соответствующие началу и концу интервала постоянства режимов ВГ.
В формуле (11) ^ и тпс оцениваются по соотношениям (7), (9) или (10) соответственно.
Смысл введения коэффициентов жесткости Кжи и Кжо(0 заключается в том, что данные коэффициенты позволяют ответить на вопрос: во сколько раз межкоммутационный интервал работы вентилей (на одном интервале постоянства режимов или в среднем за рассматриваемый промежуток времени) больше интервала пограничного слоя, а, следовательно, косвенно
4;, * )=[*
^мк = ^н (¡к ) ¡к < * ^ *к
^ к = 4 к ), I к < * ^ *к+1
- кусочно-постоянные на к-ом интервале интегрирования вектора ЭДС, индукцируемые постоянными магнитами, и матрица индуктивно-стей и взаимноиндуктивностей фаз магнитоэлектрического генератора (МЭГ); Ян, Ьи - параметры активно-индуктивной нагрузки; Яу, Ьу -параметры вентилей; К - фундаментальная матрица контуров [1].
С целью обоснования выбора метода численного интегрирования исследуем уравнение (13) на жесткость [3]. Число обусловленности матрицы А на к-ом интервале интегрирования определяется по формуле (6):
k (Ak )=|| Ak\\ ■ A-1
где
t
t
И
И
t=t
(\ ( т т iV (fk), tk |= XS \°j
I 2
л
1/2
ЧЧк
v i-1 l-1 у эвклидова норма матрицы Ak:
А = | И"1 (v fe) tk) -
эвклидова норма матрицы Ak 1.
Условие жесткости системы определяется на k-ом интервале коэффициентом жесткости (11):
V- _ tи K жи - —, Тпс
iku - интервал пограничного слоя [6].
Так как принимается значение тпс из условия тпс - min(т; ), а норма матрицы Ak на
k-ом коммутационном интервале работы ВГ вычисляется «q» раз, то в качестве интервала тпс при оценке коэффициента жесткости целесообразно выбирать величину, обратную максимальному значению полученной численным путем нормы, т. е.
1
max A.
Математическое моделирование показывает, что числа обусловленности матрицы Ак изменяются в диапазоне 14-40 в любой межкоммутационный интервал и в диапазоне 2.104105 в коммутационные интервалы. При этом Кжи измеряется в пределах 8.102-104, т.е. система является жесткой.
В качестве метода численного интегрирования жесткой системы уравнений (13) выбран системный метод первого порядка Ю.В. Ракитского [3]. На основе данного метода сформулирован алгоритм автоматического выбора начального шага интегрирования
Нк = а||Ак|| 1, общего шага Нк на к-ом основном
интервале интегрирования и алгоритм определения моментов коммутации вентилей.
Структурная схема алгоритма цифрового моделирования шестифазного МЭГ с однопо-лупериодным выпрямителем и основные блоки моделирующей программы показаны на рис. 2, где обозначены: Ян, Ьи - параметры активно-индуктивной нагрузки; Я0 - активное сопротивление фазы генератора; Ку, КР - количество вентилей в схеме и число фаз генератора; ЬаЛ, Ьад, - индуктивные параметры
МЭГ; Еущ - амплитудное номинальное напряжение фазы генератора; [8К] - фундаментальная матрица контуров; уа = 57,295° - константа, определяющая число градусов в одном радиане; /5, н5 - базисные ток и напряжение; Кд, а - настроечные коэффициенты; [/0] - вектор начальных значений токов вентилей; НК - параметр, характеризующий число шагов печати на каждом коммутационном интервале; ООК1, GGK2 - задаваемые коммутационный и межкоммутационный шаги печати; КО 1, KG2, К -соответственно параметры счетчиков коммутационного шага, межкоммутационного шага и общего шага печати; Т10 - вспомогательная переменная контроля текущего времени; РЯ = 1 при выводе результатов расчета на графопостроитель (ГП); РЯ = 0 при выводе результатов расчета на алфавитно-цифровом печатающем устройстве (АЦПУ); ЫРТ - число точек, выводимых на графики; Ткон - конечное время счета; ЮР - шаг дискретности вывода результатов на АЦПУ.
Для уменьшения погрешности вычислений, а также с целью сопоставления характеристик ВГ с различными исходными мощностями и деленными значениями параметров, расчеты на ЭВМ целесообразно проводить после записи уравнений (13) в относительных единицах.
На основе предложенной структурной схемы (см. рис. 2) разработана моделирующая программа решения системы уравнений (13). Время численного интегрирования за два периода изменения ЭДС составляет 36-51 с при исследовании нормальных режимов работы ВГ, до 3 мин. - для аварийных режимов. Настроечные коэффициенты при этом равны а = 0,0001, Кд = 1.
Шаг численных расчетов в каждый межкоммутационный интервал постоянства режимов при а = 0,0001 автоматически изменяется в диапазоне 2,5-2,6 электрических градусов для нормальных режимов, уменьшаясь до величины порядка 1,8 при аварийных режимах. При исследовании аварийных режимов коэффициент рекомендуется на 3-4 порядка увеличить. Затраты машинного времени при этом значительно сокращаются.
Рассмотрим применение разработанной модели ВГ с однополупериодным выпрямителем при анализе аварийных режимов.
Хпс -
k
Рис. 2. Алгоритм цифровой модели вентильного магнитоэлектрического генератора Fig. 2. A digital model algorithm of a valve magneto-electric generator
Внешнее короткое замыкание (КЗ), пробой вентилей и обрывы фаз являются типичными аварийными режимами работы ВГ. С помощью математического моделирования установлено, что любой из этих режимов может стать причиной другой аварии. Так, при высоких нагрузках и обрыве фаз ВГ в схеме возникают большие ударные токи, которые приводят к пробою наиболее нагруженных в данный момент времени вентилей. Пробой вентилей ведет к нарушению кондиционной устойчивости, т. е.
к отсутствию упорядоченного чередования коммутационных и межкоммутационных интервалов постоянства режимов.
Рассмотрим случай внешнего КЗ при малом значении сопротивления нагрузки. На рис. 3 представлены зависимости мгновенных значений токов вентилей и тока нагрузки от угла поворота ротора у.
Если при исследовании нормальных режимов работы ВГ кривая мгновенных значений тока нагрузки являлась огибающей электро-
Рис. 3. Токи вентилей, нагрузки и циклограмма работы выпрямителя в режиме, близком
к короткому замыканию Fig. 3. Valve currents, loads and a cyclogram of a rectifier operation in the mode close to a short circuit
магнитных процессов токов вентилей, и амплитудные значения тока нагрузки и токов вентилей практически совпадали, то при анализе режима внешнего КЗ (А5"ВГ = Яном / Ян) амплитудные значения данных токов существенно отличаются. При этом помимо роста пульсаций выпрямленного напряжения для А£ВГ = 10 сильно возрастают пульсации выпрямленного тока. Это происходит из-за того, что индуктивные параметры МЭГ и нагрузки становятся соизмеримыми по величине.
Переходные процессы при обрыве одной (01) и двух (аь Ъ{) фаз ВГ при увеличении и сбросе нагрузки (А5ВГ = 0,5) приведены на рис. 4, 5.
Работа схемы выпрямления ВГ при обрыве фаз а! и Ъ также поясняется графиками
тока нагрузки, токов вентилей и циклограммой проводимости вентилей на рис. 6.
Видно, что при включении и отключении нагрузки А£ВГ = 0,5 в процесс коммутации вступают вентили неповрежденных фаз ВГ. Вентили 1 и 2, соответствующие цепям оборванных фаз а! и Ъ\, на формирование выпрямленного тока и напряжения влияния не оказывают. Ток нагрузки, как и в случае анализа нормальных режимов работы ВГ, определяется как огибающая переходных процессов токов вентилей (штриховая линия).
Аналогичные разработки по тематике моделирования объектов подобной природы изучались в трудах [10-17].
Рис. 4. Напряжение на нагрузке при обрыве фазы a генератора Fig. 4. Load voltage under the a phase failure of the generator
ще 40
32
24
16
Çi a¡ íSbt=0,5 а, Ь, с,
\ [ \ Л/ с> °À V \ i
а \ ,I 1 \ 1 V г 1 ^
У V V
У
80
160
J 60 320 400 480 560 640 720 Рис. 5 Напряжение на нагрузке при обрыве фаз ai и Ь1 генератора Fig. 5. Load voltage under the ai and bi phases failure of the generator
у, град
Рис. 6. Токи вентилей, нагрузки и циклограмма работы выпрямителя при обрыве
фаз a1 и b1 генератора Fig. 6. Valve currents, loads and a cyclogram of a rectifier operation under the a1 and b1 phases failure of the generator
Заключение
Предложенный в работе подход позволяет исследовать уравнения вентильного генератора на жесткость. Формулы (6)-(12) составляют, по существу, математическое описание блока анализатора жесткости моделирующей
программы расчета электромагнитных процессов ВГ [1].
Ряд близких и смежных вопросов моделирования объектов такой физической природы рассмотрен в работах [8-20].
Список литературы
1. Данеев А.В., Данеев Р.А., Сизых В.Н. Моделирование многофазных синхронных машин в различных системах координат // Изв. Самар. науч. центра Рос. Акад. наук. 2020. Т. 22. № 4. С. 104-115.
2. Конев Ф.Б., Ярлыкова Н.Е. Методы численного решения систем дифференциальных уравнений, применяемые в цифровых моделях вентильных преобразователей. М. : Информэлектро, 1978. 50 с.
3. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М. : Наука, 1979. 208 с.
4. Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. М. : Высш. шк., 1988. 335 с.
5. Александров А.А., Данеев Р.А., Сизых В.Н. К вопросу моделирования вентильных синхронных машин на основе квазианалитического метода // Изв. Самар. науч. центра РАН. 2019. Т. 21. № 4. С. 63-69.
6. Лукин В.Н., Романов М.Ф., Толкачев Э.А. Системный анализ электрических цепей и машин. Л. : Изд-во ЛГУ, 1985. 136 с.
7. Беляев П.В. Некоторые свойства математических моделей динамики статических преобразователей энергии // Динамика электрических машин. Омск : ОПИ, 1984. С. 68-74.
8. Дедовский А.Н. Электрические машины с высококоэрцитивными постоянными магнитами. М. : Энергоатомиз-дат, 1985. 168 с.
9. Некоторые вопросы упрощения математического описания автономной электроэнергетической системы / М.Я. Вайман и др. // Изв. ВУЗов СССР. Сер. Энергетика. 1974. № 11. С. 8-15.
10. Daneev A.V., Sizykh V.N., Oboltin R.U. Parametric synthesis of stabilizing neurocular control of a technological module // IOP Conf. Series: 2094. 2021. P. 1-6. DOI:10.1088/1742-6596/2094/5/052066.
11. Данеев А.В., Сизых В.Н. Алгоритмическое обеспечение конструирования оптимальных регуляторов по неклассическим функционалам качества в вырожденной формулировке // Информационные технологии, их приложения и информационное образование : материалы II Междунар. науч. конф. Улан-Удэ, 2021. С. 74-79.
12. Daneev A.V., Sizykh V.N. Associating automat for technological processes adaptive control on based of neural networks // Helix The scientific Explorer. 2018. Vol. 8(2). P. 3046-3054.
13. Дижур Д.П. Цифровое моделирование электропередач постоянного тока // Передача энергии постоянным током. М. : Энергоатомиздат, 1985. С. 51-63.
14. Ильин В.Н. Машинное проектирование электронных схем. М. : Энергия, 1972. 274 с.
15. Важнов А.Ш. Переходные процессы в машинах переменного тока. Л. : Энергия, 1980. 320 с.
16. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М. : Наука, 1972. 720 с.
17. Лупкин В.М. Аналитическое решение линейных дифференциальных уравнений вентильного двигателя // Электричество. 1981. № 6. C. 22-31.
18. Бреус К.А. О приводимости канонической системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1958. Т. 123. № 1. С. 21-24.
19. Балагуров В.А. Проектирование специальных электрических машин переменного тока. М. : Высш. шк., 1982. 272 с.
20. Балагуров В.А., Галтеев Ф.Ф. Электрические генераторы с постоянными магнитами. М. : Энергоатомиздат, 1988. 279 с.
References
1. Daneev A.V., Daneev R.A., Sizykh V.N. Modelirovanie mnogofaznykh sinkhronnykh mashin v razlichnykh sistemakh koordinat [Modeling of multi-phase synchronous machines in different coordinate systems]. Izvestiya Samarskogo nauchnogo tsentra Rossiiskoi Akademii nauk [Proceedings of the Samara Scientific Center of the Russian Academy of Sciences], 2020, vol. 22, no. 4, pp. 104 - 105.
2. Konev F.B., Yarlykova N.E. Metody chislennogo resheniya sistem differentsial'nykh uravnenii, primenyaemye v tsifrovykh modelyakh ventil'nykh preobrazovatelei [Methods for the numerical solution of systems of differential equations used in digital models of valve converters]. Moscow: Informelektro Publ., 1978. 50 p.
3. Rakitskii Yu.V., Ustinov S.M., Chernorutskii I.G. Chislennye metody resheniya zhestkikh sistem [Numerical methods for solving stiff systems]. Moscow: Nauka Publ., 1979. 208 p.
4. Demirchyan K.S., Butyrin P.A. Modelirovanie i mashinnyi raschet elektricheskikh tsepei [Modeling and machine calculation of electrical circuits]. Moscow: Vysshaya shkola, 1988. 335 p.
5. Aleksandrov A.A., Daneev R.A., Sizykh V.N. K voprosu modelirovaniya ventil'nykh sinkhronnykh mashin na osnove kvazianaliticheskogo metoda [On the issue of modeling valve synchronous machines based on a quasi-analytical method]. Izvestiya Samarskogo nauchnogo tsentra RAN [Proceedings of the Samara Scientific Center of the Russian Academy of Sciences], 2019, vol. 21, no. 4, pp. 63-69.
6. Lukin V.N., Romanov M.F., Tolkachev E.A. Sistemnyi analiz elektricheskikh tsepei i mashin [System analysis of electrical circuits and machines]. Leningrad: LGU Publ., 1985. 136 p.
7. Belyaev P.V. Nekotorye svoistva matematicheskikh modelei dinamiki staticheskikh preobrazovatelei energii [Some properties of mathematical models of the dynamics of static energy converters]. Dinamika elektricheskikh mashin [Dynamics of electrical machines]. Omsk: OPI, 1984, pp. 68-74.
8. Dedovskii A.N. Elektricheskie mashiny s vysokokoertsitivnymi postoyannymi magnitami [Electrical machines with high-coercivity permanent magnets]. Moscow: Energoatomizdat Publ., 1985. 168 p.
9. Vayman M.Ya. i dr. Nekotorye voprosy uproshcheniya matematicheskogo opisaniya avtonomnoi elektroenergeticheskoi sistemy [Some questions of simplifying the mathematical description of an autonomous electric power system]. Izvestiya VUZov SSSR. Seriya Energetika [Bulletin of Universities of the USSR. Series Energy], 1974, no. 11, pp.8-15.
10. Daneev A.V., Sizykh V.N., Oboltin R.U. Parametric synthesis of stabilizing neurocular control of a technological module // IOP Conf. Series: 2094. 2021. Pp. 1-6. DOI:10.1088/1742-6596/2094/5/052066.
11. Daneev A.V., Sizykh V.N. Algoritmicheskoe obespechenie konstruirovaniya optimal'nykh regulyatorov po neklassiches-kim funktsionalam kachestva v vyrozhdennoi formulirovke // Materialy II Mezhdunarodnoi nauchnoi konferentsii «Infor-matsionnye tekhnologii, ikh prilozheniya i informatsionnoe obrazovanie» [Proceedings of the II International Scientific Conference «Information technologies, their applications and information education»]. Ulan-Ude, 2021, pp. 74-79.
12. Daneev A.V., Sizykh V.N. Associating automat for technological processes adaptive control on based of neural networks // Helix The scientific Explorer. Vol. 8(2), 2018. Pp. 3046-3054.
13. Dizhur D.P. Tsifrovoe modelirovanie elektroperedach postoyannogo toka [Digital modeling of direct current power transmission]. Peredacha energiipostoyannym tokom [Energy transmission by direct current]. Moscow: Energoatomizdat, 1985, pp. 51-63.
14. Il'in V.N. Mashinnoe proektirovanie elektronnykh skhem [Machine design of electronic circuits]. Moscow: Energiya Publ., 1972. 274 p.
15. Vazhnov A.Sh. Perekhodnye protsessy v mashinakh peremennogo toka [Transient processes in AC machines]. Leningrad: Energiya Publ., 1980. 320 p.
16. Yakubovich V.A., Starzhinskii V.M. Lineinye differentsial'nye uravneniya s periodicheskimi koeffitsientami i ikh prilozheniya [Linear differential equations with periodic coefficients and their applications]. Moscow: Nauka Publ., 1972. 720 p.
17. Lupkin V.M. Analiticheskoe reshenie lineinykh differentsial'nykh uravnenii ventil'nogo dvigatelya [Analytical solution of linear differential equations of a brushless motor]. Elektrichestvo [Electricity], 1981, no. 6, pp. 22-31.
18. Breus K.A. O privodimosti kanonicheskoi sistemy differentsial'nykh uravnenii s periodicheskimi koeffitsientami [On the reducibility of a canonical system of differential equations with periodic coefficients]. ANSSSR [AS of USSR], 1958, vol. 123, no. 1, pp. 21-24.
19. Balagurov V.A. Proektirovanie spetsial'nykh elektricheskikh mashin peremennogo toka [Designing special electrical machines for alternating current]. Moscow: Vysshaya shkola Publ., 1982. 272 p.
20. Balagurov V.A., Galteev F.F. Elektricheskie generatory s postoyannymi magnitami [Electric generators with permanent magnets]. Moscow: Energoatomizdat Publ., 1988. 279 p.
Информация об авторах Information about the authors
Данеев Алексей Васильевич, д-р техн. наук, профессор, Alexei V. Daneev, Doctor of Engineering Science, Full Pro-
профессор кафедры информационных систем и защиты fessor, Professor of Department of Information Systems and
информации, Иркутский государственный университет Information Protection, Irkutsk State Transport University,
путей сообщения, г. Иркутск; e-mail: daneev@mail.ru. Irkutsk; e-mail: daneev@mail.ru.
Данеев Роман Алексеевич, канд. техн. наук, доцент ка- Roman A. Daneev, Ph.D. in Engineering Science, Associate
федры информационно-правовых дисциплин, Восточно- Professor of Department of Information and Legal Disciplines,
Сибирский институт МВД России, г. Иркутск; e-mail: ro- East Siberian Institute of the Ministry of Internal Affairs of
masun@mail.ru. Russia, Irkutsk; e-mail: romasun@mail.ru.
Сизых Виктор Николаевич, д-р техн. наук, профессор, Victor N. Sizykh, Doctor of Engineering Science, Full Profes-
профессор кафедры автоматизации производственных sor, Professor of Department of Automation of Production
процессов, Иркутский государственный университет пу- Processes, Irkutsk State Transport University, Irkutsk; e-mail:
тей сообщения, г. Иркутск; e-mail: sizykh_vn@mail.ru. sizykh_vn@mail.ru.
