CC BY
39
Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1797-1798 1797
УДК 539.3
ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТРЕХМЕРНЫХ ТЕЛ МКЭ
© 2011 г. Л. У. Султанов
Казанский федеральный университет [email protected]
Поступила в редакцию 15.06.2011
Рассматривается методика исследования конечных деформаций с использованием левого тензора Коши - Грина. Дается кинематика среды, напряженное состояние описывается истинным напряжением Коши -Эйлера. Численная реализация основана на методе конечных элементов в рамках инкрементального метода. Приводятся численные примеры.
Ключевые слова: конечные деформации, упругость, пластичность, метод конечных элементов.
Кинематика среды
Кинематика среды описывается с помощью тензора градиента деформаций (р). При моделировании упругопластических деформаций используется мультипликативное разложение тензора градиента полных деформаций в виде произведения градиента упругих и пластических деформаций. При таком разложении вводится промежуточное состояние, соответствующее состоянию при снятии нагрузки.
В качестве тензоров, описывающих деформацию и скорость деформации, используются левый тензор Коши - Грина (мера деформации Финге-ра) (В), тензор пространственного градиента скорости (И), тензор деформации скорости (<) = = 1/2[(И) + (И)Т ].
Для каждого состояния вводятся соответствующие градиенты деформаций и меры деформаций (ре), (Ве), (Вр) и т.д. В соответствии с мультипликативным разложением используются аналоги тензоров пространственного градиента скоростей, деформации скорости и скорости поворота для упругих и пластических скоростей деформаций.
Определяющие соотношения
Напряженное состояние описывается с помощью тензора истинных напряжений (2) = О-С-, определенного в актуальном состоянии. Также в рассмотрение вводится тензор напряжений Кирхгофа (т) = 3 (Е), который относится к конфигурации начального состояния, здесь 3=р/ро = =<0/<0о — относительное изменение объема.
Физические соотношения строятся из законов термодинамики в предположении существования
уравнения предельного состояния. Функционал свободной энергии зависит лишь от упругих деформаций. Из второго закона термодинамики также получено диссипативное неравенство. Условие упругого состояния записывается в обычной форме (функция текучести зависит от главных напряжений и параметра изотропного упрочнения).
Алгоритм расчета
Получено линеаризированное физическое соотношение в виде зависимости производной Трусделла тензора напряжений от деформации скорости:
(ETr) = (Ё) - (h) • (!) - (!) • (h)T +
+ Ixd(!) = (Лё) ••(d). (1)
Для решения нелинейной задачи используется инкрементальный метод. Считается, что известно k-е состояние, по которому нужно найти (k + 1)-е состояние. В качестве базового уравнения используется уравнение виртуальных мощностей, записанное для (k + 1)-го шага:
jjj (k+1!) • #+1d )dQ = jjj k+1pk+1f • 5udQ -
^ k+1 ^k+1
+
+
jj k+1t n • 5udS,
(2)
где - текущий объем; ££ 1 - часть его по*-» к+1 р к+1 верхности, на которой заданы усилия; I, гп -
к+1
векторы массовых и поверхностных сил; р -текущая плотность.
Переходя в уравнении (2) к приращениям, например, для напряжений можно записать
(к+1Е) = (к Е) + (Дк Е)
S
1798
Л.У. Султанов
+
и, имея в виду соотношение (1), получить, пренебрегая слагаемыми второго порядка, разрешающее уравнение в приращениях:
[[[{(ка) • <кЛЕ) • •(Ы) + (кН) • (кЕ) • (Ы) +
ак
+ (к Е) • -(кН)Т • (М) + (кЕ) • •(ЬЛка) + (к е) • •(ьа )}аа = [[[к р[к fAkJ+л^ ] • ь^аа +
+ JJ [Ак tn -к t n ( Akh)+k t nAkJ ] • SudS. (3)
Решая уравнение (3), найдем вектор перемещений для текущего шага Д^ = Акхгсг-, который определяет следующую конфигурацию:
к+1 к . к г= Г + Л ^
Мера деформаций на каждом шаге вычисляется следующим образом:
Эк+1х, Эк+1х,
(к+1B) =(к+1F) (k+1F)T =■
д Хт д Xm
Для решения упругопластиче ской задачи применяется метод предиктор—корректор. Рассматриваются два близких состояния и строятся соотношения, корректирующее напряженное состояние. Настоящая технология имеет различные названия: «радиальное возвращение на поверхность текучести» (radial return algorithm), «метод проецирования напряжений на поверхность текучести» (return mapping algorithm, projection method), метод предиктор—корректор, метод расщепления и другие. Рассмотрено применение этого метода для
теории пластичности Мизеса. Вычисляются пробные меры упругих деформаций, по которым определяются тензоры напряжений. При выполнении условия пластичности пробные напряжения и меры деформаций считаются истинными. В противном случае, используя функцию текучести и уравнение стационарности, можно определить скорость пластических деформаций, с помощью которой определяются тензор меры деформации и тензор напряжений для текущего номера итерации. По достижении сходимости определяется НДС. Далее осуществляется переход к следующему шагу нагружения.
Численная реализация основана на методе конечных элементов на базе полилинейной изо-параметрической аппроксимации. Приводятся решения задач.
Список литературы
1. Голованов А.И., Коноплев Ю.Г, Султанов Л.У Численное исследование конечных деформаций гиперупругих тел. I. Кинематика и вариационные уравнения // Уч. зап. Казанс. гос. ун-та. Серия физ.-мат. науки. 2008. Т. 150, кн. 1. C. 29-37.
2. Голованов А.И., Коноплев Ю.Г, Султанов Л.У Численное исследование конечных деформаций гиперупругих тел. II. Физические соотношения // Уч. зап. Казанс. гос. ун-та. Серия физ.-мат. науки. 2008. Т. 150, кн. 3. C. 122-132.
3. Голованов А.И., Султанов Л.У Математические модели вычислительной нелинейной механики деформируемых сред. Казань: КазГУ, 2009. 465 с.
4. Bonet J., Wood R.D. Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis. 1997. 283 p.
n
k
S
INVESTIGATION OF ELASTIC-PLASTIC SOLIDS BY FEM L.U. Sultanov
The algorithm for analyzing large deformations of hyperelastic solids using the left Cauchy - Green tensor is considered. The stressed state is represented by Cauchy stress. An incremental method is used. Numerical computations illustrate the potential of the described approach.
Keywords: large deformations, elastic, plastic, finite element method.
