CC BY
25
Cloud of Science. 2019. T. 6. № 3 http://cloudofscience.ru
Исследование управления ориентацией колесного прыгающего робота при прыжках по наклонным поверхностям1
Л. Ю. Ворочаева*, С. И. Савин**, А. В. Мальчиков**
Юго-Западный государственный университет 305040, Курск, ул. 50 лет Октября, 94
Университет Иннополис 420500, Иннополис, ул. Университетская, 1
e-mail: mila180888@yandex.ru
Аннотация. В работе рассмотрены вопросы управления ориентацией прыгающего колесного робота при прыжках по наклонным поверхностям. Для этого разработана обобщенная математическая модель устройства, а также модель движения робота во время полета, для построения траектории полета используется решение оптимизационной задачи, сведенной к задаче квадратичного программирования. Выявлены закономерности изменения времени полета, а также угловых скоростей вращения колес и генерирующих их моментов приводов от углов наклона поверхностей отрыва и приземления.
Ключевые слова: прыгающий колесный робот, управление ориентацией, поверхности отрыва и приземления, квадратичное программирование, численная оптимизация.
1. Введение
Управление прыгающими роботами во время фазы полета является актуальной задачей, решенной для малого числа устройств, что обусловлено относительной сложностью ее реализации. Данную задачу можно условно подразделить на две: управление траекторией полета роботов и управление их ориентацией в полете. Необходимость управления траекторией связана с обеспечением требуемых характеристик прыжка (высоты и дальности) для прыжка с одной опорной поверхности на другую, для перепрыгивания препятствий, прыжков на препятствия и с препятствий [1-4]. Управление ориентацией роботов в полете обеспечивает возможность прыжков по различно ориентированным относительно горизонта опорным поверхностям без опрокидывания устройств. Реализация обоих типов управления обеспечивается относительными движениями звеньев прыгающих роботов во время полета [5, 6], а для управления траекторией полета также может использоваться измене-
1 Работа выполнена в рамках проекта РФФИ № 18-31-00075.
ние аэродинамических свойств роботов, например за счет раскрытия крыльев и планирования устройств [7-10].
В данной работе решено остановиться на исследовании вопросов, связанных с управлением ориентацией прыгающего робота, оснащенного колесной платформой, за счет вращения в полете колес при прыжках с одной наклонной поверхности на другую.
2. Описание прыгающего колесного робота
Прыгающий робот состоит из корпуса, выполненного в виде рамы и одновременно являющегося колесной платформой, и разгонного модуля (рис. 1).
Рисунок 1. Конструктивная схема прыгающего робота
Разгонный модуль образован тремя звеньями: стопой 1 и звеньями 2 и 3, образующими ногу. Звенья 1 и 2 представляют собой вращательную пару, которая используется для расположения стопы параллельно поверхности, с которой происходит прыжок, звенья 2 и 3 — поступательную пару, за счет которой происходит непосредственно разгон устройства. Звено 3 модуля соединено с корпусом 4 также вращательной парой, что позволяет роботу позиционировать разгонный модуль перед прыжком под требуемым углом к горизонту. В корпусе с использованием вращательных и поступательных пар установлены колеса 5, 6. Вращательные пары обеспечивают качение робота как колесной платформы по достаточно ровной местности, а поступательные пары позволяют регулировать клиренс колесной платформы в зависимости от высоты преодолеваемых при этом препятствий. Помимо этого, за счет этих двух пар возможно управление траекторией полета робота и его ориентацией в полете.
3. Описание кинематической и силовой схем робота
На основании конструкции исследуемого робота перейдем к расчетной схеме устройства и представим ее в виде кинематической (рис. 2) и силовой (рис. 3).
Будем рассматривать прыжок робота в плоскости Оху такой, что ось Ох расположена горизонтально, а ось Оу направлена противоположно действию гравитационного поля. Положим, что звенья разгонного модуля г = 1 — 3 представляют собой абсолютно твердые стержни ОК длинами 1 и массами щ, центры масс которых являются центрами симметрии соответствующих звеньев и расположены в точках С. Звенья 1 и 2 соединены между собой вращательной парой 7 в точке О2, длина поступательной пары 8 звеньев 2 и 3 равна к23. Звено 3 разгонного модуля соединяется с корпусом робота посредством вращательной пары 9 в точке К3, удаленной от центра симметрии корпуса — точки К4 — на расстояние к3 под углом а. Корпус представляет собой прямоугольник АБОЕ с размерами /4 х НА и тоже является абсолютно твердым телом. Его центр масс расположен в точке СА, находящейся на расстоянии к4 под углом в относительно точки КА, масса корпуса равна Щ4 [11-13].
О "х
Рисунок 2. Кинематическая схема робота
В точках С и С корпуса расположены вращательные пары 10 и 11, а также поступательные пары 12 и 13, посредством которых в нем установлены колеса 5 и 6
радиусом Я. Эти точки являются центрами масс колес щ, г = 5,6, и удалены на расстояния к5 и к6 под углами у5 и у6 в противоположные стороны от точки К4 корпуса. Углы а, в, у5 и у6 отсчитываются против часовой стрелки от стороны АЕ корпуса. Для удобства дальнейших описаний координат точек К4, С4, С5, С6 осуществим переход от полярных систем координат к декартовым (рис. 4).
Рисунок 3. Силовая схема робота
а б в г
Рисунок 4. Переход от полярных систем координат к декартовым для точек: а — К4; б — С4; в — С5; г — С6
Соответствующие формулы имеют вид:
а = К с°8 а, Ь = к3 sin а, а4 = к4 С°8 в, Ь4 = к4 sinp, а = к с°8у5, Ь = к эту5, а = кб с° Уб, Ь6 = кб sinУ6.
(1) (2)
(3)
(4)
Положение звеньев i = 1 — 4 определяется координатами их центров масс хс ,yc и углами фг- их поворота относительно оси Ох против часовой стрелки. Для
корпуса данный угол представляет собой угол между стороной АЕ и осью Ох. Положение звеньев i = 5,6 задается координатами их центров масс хс ,ус и углами
вращения колес ф. В связи с тем, что звенья 2 и 3 образуют поступательную пару, будем считать, что ф2 = ф3.
В качестве базовой точки построения кинематической цепочки звеньев робота будем использовать точку O, ее радиус-вектор равен
rO = ^ Уo1)T, (5)
где , y0^ — координаты точки в проекциях на координатные оси.
Радиус-векторы точек O2 и O3 запишем следующим образом [14, 15]:
rO = rOi + TiPOO, (6)
ro3 = roi + T p OO + T2 p (go,, (7)
где T — матрицы поворота; p — относительные радиус-векторы в соответствующих системах координат, номер которых указан в верхнем индексе в скобках:
T =
f cos ф, - sin
v sin ф, cos ф, J
,(1) -tb (WT «(2) -
(8)
= (k,0) , p0203 = (k23 -/3,0) . (9) Радиус-векторы точек Ki, i = 1 — 4, записываются следующим образом:
Гк = r0i + 21p(1iKI, (10)
ГК2 = rOi + T P O1O + T2 PO22K2, (11)
Гкз = rOi + T p OIO2 + T2 p O22K3, (12)
ГК4 = rOi + TIPOIO2 + T2PO22K + T4PKK4, (13)
где
POI1K1 = (/, pOK = (/, (14)
PO22K = (k23,0)T, PK3K4 = («3,6з)Т. (15) Радиус-векторы центров масс звеньев определяются по формулам:
rCi = r0i + TipOCi, (16)
rC2 = r0i + T p«2 + T2 p(02C, (17)
ГС3 = roi + P (IO2 + T2 P (2C3, (18)
re = ro + TPSO, + T2p(?K + T4PKK + T4PKC , i = 4 — 6, (19)
где
рО1С = (А/2, 0)т, рО2С2 = (1/2,0)т, (20)
РО2С = (к2з —'зА 0)т, рК4С = («4, ¿4)т, (21)
рК)С5 = («5, Ь5)т, рК)с6 = (—«6, Ь6)т. (22)
Обобщенными координатами прыгающего робота являются проекции положения центра масс звена 4 на координатные оси, углы наклона звеньев 1, 2 и 4 к горизонтали, а также углы поворота колес (звеньев 5 и 6), и длины поступательных пар. Вектор обобщенных координат, описывающий движение робота, имеет вид
Ч = (*С4 , Уса , Фи Ф2, Ф4, k23, Фб, Ф6, К Ь6)т. (23)
Перейдем к рассмотрению силовой схемы устройства (рис. 3). В конструкции робота предусмотрено наличие семи приводов. Четыре из них установлены во вращательных шарнирах — точках О2,К3, С5, С6 — и генерируют пары моментов: М12 и М21 между звеньями 1 и 2, М34 и М43 между звеньями 3 и 4, М45 и М54 между звеньями 4 и 5, М46 и М64 между звеньями 4 и 6. Пятый привод является приводом поступательного движения и формирует пару сил ^23 и ^32 между звеньями 2 и 3. Шестой и седьмой приводы создают силы ^45 и , ^46 и ¥ы, позволяющие изменять клиренс колесной платформы и управлять траекторией робота в полете.
Методика осуществления прыжка данным роботом описана в [16]. Отличием данной конструкции является наличие колесной платформы, что приводит к приземлению устройства на колеса, а не на корпус.
4. Математическая модель движения прыгающего робота
Рассмотрим общие принципы разработки математической модели движения прыгающего робота. Система дифференциальных уравнений движения устройства записывается с использованием уравнения Лагранжа второго рода [14, 15]
Л Л
( дт\
дТ
= Оп, (24)
к.дЧ„) дЧ„
где Т — кинетическая энергия системы; — обобщенная координата; 0Я — обобщенная сила по координате qn.
Кинетическая энергия системы определяется по формуле
6
Т = £Т, (25)
1=1
где 1 = 1 — 6 — звенья устройства.
Кинетические энергии звеньев, каждое из которых совершает плоское движение, записываются в виде
• о .о 0
х- + у- Уф-Т,=Щ 2 <26)
где = т^^Х/, = т4Р, ^,=5 6 = т,-К2/2 — центральные моменты инерции звеньев; хс ,ус — проекции скоростей центров масс звеньев на оси абсолютной системы координат; р — расстояние между центром масс звена 4 и наиболее удаленной крайней точкой корпуса.
В общем виде дифференциальные уравнения движения прыгающего робота можно представить следующим образом: - по обобщенной координате ^ = хс
=OxCi- (27)
i=i
- по обобщенной координате q2 = yC
в
(28)
i=i
- по обобщенной координате q3 = ф
Щ " | j [Xq sin ф - yCi cos ф, ] + ^ф = Оф1; (29)
- по обобщенной координате q4 = ф2
щк23[xCi sin ср, - у cos ср, | + (./2 +./, )ср2 +
+ m2{k23-¡-j^[xc¡ sinф2 -yCi cosф2] + (30)
I
+ mA l-V, sin ф2 - vC3 cos ф2 ] = Оф2;
- по обобщенной координате q5 = ф4
Y, Щ [xc¡ К sin ф4 + b4i cos ф4) - yc¡ (a4i cos ф4 - b4i sin ф4)] + J4q>4 = O^, (31)
T,
1=1,2,3,4,5,6
где
a4,=l-3 = a4 + a3, a45 = a4 - a5, Q 46 = Q4 + a6> (32)
¿41=1-3 = Ь4 + b3. Ь45 = Ь4 - Ь5 ' Ь 46 = Ь4 - К (33)
- по обобщенной координате q6 = &23
-ZXPc, cosф- + Ус,sinф2] = Qki:¡; (34)
1=1
- по обобщенным координатам = %, = ф6
/,ф,=Оф,/ = 5,6; (35)
- по обобщенным координатам = bs, = b6
ni [~хс sin ф4 + ус cos ф4 ] = Оь, i = 5,6. (36)
Линейные ускорения точек C¡ звеньев робота, фигурирующие в формулах (27)-(36), определяются из ранее записанных радиус-векторов центров масс звеньев.
5. Математическая модель полета прыгающего робота
Остановимся более детально на рассмотрении движения прыгающего робота во время полета. Данный этап начинается в момент отрыва устройства от поверхности со скоростью центра масс корпуса , вектор которой направлен под углом 0С к
горизонту, и завершается в момент начала контакта с поверхностью колес.
Целью данной работы является исследование управляемого с точки зрения ориентации полета для осуществления приземления одновременно на передние и задние колеса. Для управления ориентацией предлагается использовать вращение колес 5 и 6 без изменения их положения относительно корпуса. Тогда вектор обобщенных координат в полете можно записать следующим образом:
q = (XCt > УсА > Ф4, k23 ,Ф5 ,Фб )T . (37)
Обобщенными координатами являются координаты центра масс корпуса, а также угол его поворота относительно оси Ох, расстояние £23, являющееся длиной поступательной пары в ноге робота и изменяющееся для расположения разгонного модуля внутри корпуса к моменту завершения прыжка, а также углы вращения колес.
Со стороны окружающей среды на робота действуют силы и момент аэродинамического сопротивления, приложенные в центре масс устройства (силы) и относительно него (момент) и высчитываемые по формулам
к = Мс, К = v-уУс ФФ4, (3 8)
где (xv, ц ц — коэффициенты аэродинамического сопротивления; хс,ус — проекции скорости центра масс робота на координатные оси.
Для разработки системы управления роботом в полете будем использовать линеаризованную форму уравнений движения устройства:
х = Ах + Ви + с, (39)
где A, B и С — матрицы и вектор линеаризованной модели динамики системы;
U —вектор управляющих воздействий; x = [qT qT]T —вектор состояний системы. Примеры построения линеаризованных моделей многозвенных систем можно найти в [17].
Задачу о построении траектории полета можно сформулировать следующим образом: траектория должна обеспечить перемещение робота в заданное конечное положение с некоторой точностью, а также должна удовлетворять динамике робота. Тогда будем рассматривать ее как оптимизационную задачу, в которой величины x и u являются оптимизируемыми параметрами.
Тогда вопрос построения траектории может быть сведен к следующей задаче квадратичного программирования [18]: minimize: J
fx,+1 = X, +Л?Ах1+1 +AtBu, +А?С (40)
subject to: < ,
fX1 = x*
где J — квадратичная форма переменных величины х и u, задающая критерии оптимальности для рассматриваемой задачи. Эта функция может быть выбрана таким образом, чтобы минимизировать изменения между соседними состояниями системы, минимизировать управляющие воздействия или минимизировать отклоне-
*
ния от некоторой целевой траектории; х* — начальное положение устройства; At — шаг по времени в дискретном представлении траектории робота.
Анализ такого рода подхода к генерации траекторий мобильных роботов с фазой полета можно найти в [19]. В работе [20] приведены описания численных методов решения задач выпуклого программирования в целом и квадратичного программирования в частности. При использовании квадратичного программирования для решения задач генерации траектории мобильных роботов они должны решаться бортовыми системами таких роботов, что возможно при применении специализированных высоко оптимизированных алгоритмов [21, 22].
Для отработки полученной траектории требуется использование регулятора, реализующего управление с обратной связью. Пример регулятора, способного обеспечить управление с обратной связью с учетом ограничения по моменту, который могут создать электродвигатели робота, приведен в работе [23]. В [24] рассматривается управление электромеханической системой при непосредственном учете электродинамических свойств привода.
6. Модель опорной поверхности
Будем рассматривать прыжок робота с одной наклонной поверхности на другую при условии, что эти поверхности являются абсолютно твердыми и шероховатыми. Угол наклона поверхности отрыва к оси Ох обозначим как 01, а угол наклона поверхности приземления — как 02 (рис. 5).
Рисунок 5. Поверхности отрыва и приземления
Расстояние сшивки поверхностей равно X, а угол «развертки» поверхностей — А0:
А0 = п - (02 - 0). (41)
В данной работе ограничимся рассмотрением четырех типов поверхностей, которые получаются путем различных комбинаций диапазонов углов 01 и 02, расстояние X при этом будем считать постоянной величиной.
Типы поверхностей удовлетворяют следующим условиям: тип 1: (0! > 0) л (02 > 0); тип 2: (0 > 0) л (02 < 0); тип 3: (0 < 0) л (02 > 0);
тип 4: (0 < 0) л (02 < 0), и наглядно показаны на рис. 6.
Целью работы является выявление закономерностей изменения наибольших и наименьших значений угловых скоростей ютах, ютт вращения колес, а также обеспечивающих их моментов , Мтш от углов наклона поверхностей отрыва и приземления, что необходимо для решения вопросов проектирования колесной платформы прыгающего робота и выбора соответствующих приводов. Еще одним оцениваемым параметром выступает время полета Т^, под которым будем понимать интервал времени с момента отрыва устройства от поверхности до момента приземления.
в) г)
Рисунок 6. Типы поверхностей отрыва и приземления: а — тип 1; б — тип 2; в — тип 3; г — тип 4
7. Результаты численного моделирования
Для построения указанных ранее зависимостей проведем численное моделирование полета прыгающего робота при варьировании углов 9j и 02 следующим образом:
1-й эксперимент — варьирование 0j е[—40o ,40° ] при нескольких фиксированных значениях 02;
2-й эксперимент — варьирование 02 е[—40° ,40° ] при нескольких фиксированных значениях 0;
3-й эксперимент — варьирование 0 и 02 при нескольких фиксированных значениях А0.
7.1. 1-й эксперимент: варьирование угла поверхности отрыва
На рис. 7 представлены зависимости времени полета, наибольших и наименьших значений угловых скоростей и моментов от угла наклона 0 поверхности отрыва при пяти значениях угла наклона 02 поверхности приземления. На этом и последующих рисунках зеленая штриховая линия является линией разделения типов поверхностей, номера которых указаны в кружках.
По приведенным графикам видно, что время полета плавно убывает по мере возрастания угла 0, что связано с уменьшением расстояния, преодолеваемого ро-
ботом во время полета, которое наглядно подтверждается графиками рис. 8, несмотря на увеличение угла Д9 развертки поверхностей отрыва и приземления.
Рисунок 7. Графики зависимостей: Тд (слева); (по центру); -— «^(бД
ютт(®1) (справа); X = 1 м,
а) 0 =-30°; б) 02 =-10°; в) 02 = 0о; г) 02 = 10°; д) 02 = 30°
хс,ж хс,ш хс, м
а) б) в)
Рисунок 8. Графики зависимостей ус (хс) при 0 =-30° : а) 0 =-20°; б) 0 = 0°; в) 0 = 20°
Помимо этого видно, что чем больше значение угла 0, тем ниже располагается соответствующая ему кривая времени полета (при наложении графиков ^ (0)
рис. 7 друг на друга), что объясняется уменьшением расстояния полета и уменьшением угла А0 (рис. 9).
О 5 10 0 5 0 2 4
хс, М хс, М Л"с, м
а) б) в)
Рисунок 9. Графики зависимостей ус {хс) при 0 = 20° : а) 0 =-30°; б) 0 = 0°; в) 0 = 30°
На графиках наибольших и наименьших значений угловых скоростей и моментов приводов на рис. 7 при 0 = 02 наблюдаются изломы, соответствующие наименьшим значениям ю и наибольшим значениям ю и M . Следует от-
min max max «'
метить, что при равенстве углов 0 = 02 отсутствует вращение робота и колес в полете. Участки графиков до излома соответствуют случаю, когда робот в полете поворачивается против часовой стрелки, а колеса — по часовой (А0<180°), а на участках графиков после излома направления вращения робота и колес меняются местами (А0 > 180°). Это означает, что в первом случае для придания роботу правильной ориентации при приземлении угловые скорости колес в полете отрицательные, а во втором — положительные. Угловые скорости противоположных знаков в обоих случаях объясняются необходимостью предотвращения вращения устройства перед приземлением.
Участок штах до излома представляет собой кривую с направленной от горизонтальной оси выпуклостью, а после излома — наклонную прямую. Участки графика ютт противоположны аналогичным участкам ютах : до излома — наклонная прямая, после излома — кривая с выпуклостью от горизонтальной оси.
Если визуально соединить участки штах поверхности 4 и ютт поверхности 2, то они образуют кривую, выпуклость которой для поверхности 4 направлена вверх, а для поверхности 2 вниз относительно горизонтальной оси. Аналогичное соединение штах поверхности 2 и ютт поверхности 4 позволит получить наклонную прямую, угол наклона к горизонтальной оси которой будет возрастать по мере увеличения угла 02.
На графиках наибольших и наименьших значений моментов, обеспечивающих вращение колес робота, также наблюдаются изломы, соответствующие значению 0 = 02. Причем до излома графики Мтах и Мтт представляют собой кривые, выпуклости которых направлены от горизонтальной оси, а их кривизна возрастает по мере увеличения угла 0. Участки тех же зависимостей после излома являются наклонными прямыми, одна из которых — Мтах — имеет положительный угол наклона к горизонтальной оси, а другая — Мтш — отрицательный.
Следует отметить, что на участках до излома модули значений Мтах больше модулей значений Мтт для одного и того же угла 02, а на участках после излома, наоборот, | Мтах |<|Мтт |. Это обусловлено тем, что положительные моменты на участках до излома и отрицательные моменты на участках после излома являются моментами, предотвращающими вращение робота перед приземлением. Эти моменты необходимы для торможения и действуют очень малое время по сравнению с моментами противоположных знаков, обеспечивающими требуемую ориентацию устройства.
7.2. 2-й эксперимент: варьирование угла поверхности приземления
На рис. 10 получены зависимости при варьировании угла 0 для пяти различных углов 0. Видно, что время полета плавно убывает по криволинейному закону по мере увеличения угла 02, причем с возрастанием значения 0 соответствующая ей кривая располагается ниже, что обусловлено как и ранее было установлено, убыванием расстояния, преодолеваемого в полете. Но в отличие от графиков Т^(0), показанных на рис. 7, выпуклость кривой направлена вниз, а не вверх.
д)
Рисунок 10. Графики зависимостей: (слева); ^^^ —
мтш(02) (по центру); -— «иД^Х " — ^(0,) (справа); Х = 1м,
а) 0 =-30°; б) 0 =-10°; в) 0 = 0°; г) 0 = 10°; д) 0 = 30°
По графикам моментов видно, что характер кривых Mmax и Mmin противоположен друг другу: участки Mmax и Mmm до излома являются кривыми с направленными от горизонтальной оси выпуклостями, а участки Mmax и Mmin после излома представляют собой кривые с направленными к горизонтальной оси выпуклостями. При стыковке между собой Mmin до излома и Mmax после излома получается кривая, возрастающая по мере увеличения 0, а при стыковке Mmax до излома и Mmm после излома — кривая, убывающая с ростом 02. Причем по приведенным графикам видно, что модули моментов торможения (Mmin до излома и Mmax после излома) больше моментов, обеспечивающих требуемую ориентацию робота, как и для первого численного эксперимента.
На графиках наибольших и наименьших значений угловых скоростей вращения колес и обеспечивающих их моментов также наблюдаются изломы при 0 = 02, когда вращения робота в полете не происходит. На участках до изломов вращение робота происходит по часовой стрелке, а вращение колес — против часовой стрелки (А0 > 180o), а на участках после изломов, наоборот.
Все участки угловых скоростей представляют собой кривые, направленные выпуклостью вверх. При стыковке между собой участков угловых скоростей ютах до излома и ютт после излома и наоборот будут получены две кривые, выпуклости которых направлены вверх. Следует отметить, что модули наименьших угловых скоростей и до и после излома больше модулей наибольших угловых скоростей: |romJ > |ютах |. Причем по мере увеличения угла 0 значения ютт до излома убывают, а после излома — возрастают, а значения ютах, наоборот, до излома возрастают, а после излома — убывают.
7.3. 3-й эксперимент: варьирование углов 0 и 02 при Д0 = const
Рассмотрим случай, когда угол А0 остается постоянным при варьировании углов 0 и Тогда можно выделить два случая, в одном из них А0 < 180° (рис. 11а), а в
другом А0 > 180° (рис. 116). Диапазоны углов наклона поверхностей отрыва и приземления в каждом из этих случаев ограничены минимальным и максимальным значениями, которые высчитываются, как приведено в табл. 1.
а) б)
Рисунок 11. Диапазоны углов наклона поверхностей: а) Д0 < 180°; б) Д0 > 180°
Таблица 1. Границы диапазонов углов наклона поверхностей
Де < 180° Де >180°
е, lmin е* lmin Де - п+e2mm
е, lmax Де - п+e2max е* lmax
02min п -Де+eimin А* e2min
е e2max fi* e2max п-Де+eimax
В табл. 1 приняты обозначения e;min = e*2mm =-40° ,e1*max = e;max = 40°.
По приведенным на рис. 12 графикам видно, что время полета убывает по закону, близкому к пропорциональному, по мере увеличения угла 0 поверхности отрыва при всех рассмотренных значениях Д0, что связано с уменьшением преодолеваемого в полете расстояния. Это проиллюстрировано на графиках траекторий рис. 13, на котором Д0 < 180°, и рис. 14, где Д0 > 180°. Также можно отметить, что чем больше Де, тем больше время полета, так как расстояние полета при этом возрастает, что уже было подтверждено графиками рис. 8 и 9.
Tf, с
2 1
3'
О 10 20 30 40
01г град
а)
б)
Рисунок 12. Графики зависимостей Tfl (0) : а) Де < 180°; 1 — Де = 120°; 2 — Де = 130°; 3 — Де = 140°; б) Де > 180°; 1 — Д0 = 240°; 2 — Де = 230°; 3 — Де = 220°
а)
б)
в)
Рисунок 13. Графики зависимостей ус (хс) при Д0 = 140° а) 0 =-40°; б) 0 =-20°; в) О, = 0°
а)
б)
в)
Рисунок 14. Графики зависимостей ус (хс) при Д0 = 220° : а) 0 = 0°; б) 0 = 20°; в) 0 = 40°
Соответствующие графики изменения наибольших и наименьших моментов приводов колес от угла наклона поверхности отрыва представлены на рис. 15. По ним видно, что с увеличением 0 зависимости Мтах (0) возрастают, а зависимости Мтт(0) убывают по криволинейным законам, выпуклости которых направлены к горизонтальной оси, что обусловлено уменьшением времени полета и увеличением преодолеваемого расстояния с ростом 0. Причем для случая Д0 > 180° кривые Мшах(0) сходятся при 0 = 91т1П для каждого значения Д0, а кривые Мтт (0) — при 0 = 61тах. Следует отметить, что чем меньше значение Д0, тем меньшие моменты колес требуются для придания роботу необходимой ориентации, причем модули тормозящих моментов больше модулей моментов, обеспечивающих требуемую ориентацию устройства при одних и тех же значениях 0, как и было установлено ранее.
М, Нм
Я >
.—— ____ ъ 1
<\
5' ---- - «. _
а)
О 10 20 30 40
01; град
б)
Рисунок 15. Графики зависимостей —М^^ДОД —■ — —■ —Л/^ДбД
а) — А0 < 180°, 1, 4 — Д0 = 120°, 2, 5 — А0 = 130°, 3, 6 — Д0 = 140°;
б) — А0 > 180°, 1, 4 — А0 = 240°, 2, 5 — А0 = 230°, 3, 6 — А0 = 220°
Угловые скорости вращения колес при этом изменяются по законам, показанным на рис. 16. Установлено, что при А0 < 180° наибольшие и наименьшие угловые скорости убывают с ростом 0, а при А0 > 180°, наоборот, возрастают по криволинейным законам, выпуклости которых направлены вверх для А0 < 180° и вниз для А0 > 180°, причем в последнем случае кривые ютах (0 ) практически накладываются друг на друга.
а)
б)
— «тп (01),
Рисунок 16. Графики зависимостей —®шах(01)- ~ "
а — А0 < 180°, 1, 4 — А0 = 120°, 2, 5 — А0 = 130°, 3, 6 — А0 = 140°, б — А0 > 180°, 1, 4 — А0 = 240°, 2, 5 — А0 = 230°, 3, 6 — А0 = 220°
8. Заключение
Работа посвящена исследованию управляемого с точки зрения ориентации полета колесного прыгающего робота, в результате которого объект должен приземлиться
на передние и задние колеса одновременно при прыжке с одной наклонной поверхности (поверхности отрыва) на другую наклонную поверхность (поверхность приземления). В качестве звеньев устройства, отвечающих за управляемый поворот робота в полете, используются колеса, в данной работе рассматривается их синхронное вращение. Предложена система управления объектом, в которой задача построения траектории полета рассматривается как оптимизационная и решается с использованием квадратичного программирования.
Прыжок робота исследуется на четырех типах поверхностей, отличающихся между собой комбинациями углов наклона поверхностей отрыва и приземления. Варьируемыми параметрами выступают углы наклона обеих поверхностей. В результате проведенного численного исследования установлено, что время полета убывает по мере увеличения угла наклона поверхности отрыва как при фиксированном значении Д9, так и при варьируемом, что обусловлено уменьшением расстояния, преодолеваемого роботом в полете. Также выявлено, что при Д0 = const наибольшие моменты возрастают, а наименьшие убывают с ростом а при Д0 Ф const на графиках моментов наблюдается излом при 0 = 02, когда вращение робота в полете отсутствует, что также связано с уменьшением расстояния и времени полета. Причем тормозящие робота перед приземлением моменты имеют большие модули, чем моменты, отвечающие за вращение устройства. Помимо этого, установлено, что угловые скорости вращения колес ведут себя следующим образом: при Д0 < 180° = const наибольшие и наименьшие их значения убывают по мере увеличения 0, а при Д0 > 180° = const, наоборот, возрастают, при Д0 Ф const на графиках наблюдается излом при 0 = 02. Полученные закономерности могут быть использованы для решения вопросов проектирования колесных прыгающих роботов с целью выбора отвечающих требованиям моментов и угловых скоростей вращения колес.
Литература
[1] Zhong J., Luo, M., Fan J., Zhao J. Trajectory Planning of an Intermittent Jumping Quadruped Robot with Variable Redundant and Under Actuated Joints // Complexity. 2018. Vol. 6. P. 114.
[2] Umehara A., Yamamoto Y., Nishi H., Takanishi A., Lim H. O. Jumping Pattern Generation for One-legged Jumping Robot // Proc. 17th Intern. Conf. IEEE Control, Automation and Systems (ICCAS). Jeju, South Korea, — 2017. P. 1396-1400.
[3] Zhang Z., Zhao J., Chen H., Chen D. A Survey of Bioinspired Jumping Robot: Takeoff, Air Posture Adjustment, and Landing Buffer // Applied Bionics and Biomechanics. 2017. Vol. 2017. P. 1-22.
[4] Ivanescu M., Nitulescu M., Vladu C., Hai N. V. D., Florescu M. Hybrid Control Strategies for Jumping Robots // In Intern. Conf. on Robotics in Alpe-Adria Danube Region. — Springer, Cham, 2018. P. 193-204.
[5] Stoeter S., Papanikolopoulos N. Kinematic Motion Model for Jumping Scout // IEEE Transactions on Robotics and Automation. 2006. Vol. 22. No. 2. P. 398-403.
[6] Tsukagoshi H., Sasaki M., Kitagawa A., Tanaka T. Design of a Higher Jumping Rescue Robot with the Optimized Pneumatic Drive // Proc. of the IEEE Intern. Conf. Robotics and Automation, Barcelona. — 2005. P. 1276-1283.
[7] Яцун С. Ф., Волкова Л. Ю., Ворочаев А. В. Исследование движения многозвенного робота, перемещающегося прыжками и планированием // Справочник. Инженерный журнал с приложением. 2014. № S4. С. 12-17.
[8] Jatsun S., Vorochaeva L., Vorochaev A. Modeling of Movement of the Planning Robot // Proc. of the 18th Intern. Conf. on Circuits Advances in Robotics, Mechatronics and Circuits: (CSCC'14) and Proc. of the 2014 Intern. Conf. on Mechatronics and Robotics, Structural Analysis (MEROSTA 2014). — Santorini Island, Greece, 2014. P. 34-39.
[9] Jatsun S. F., Loktionova O. G., Vorochaeva L. Yu., Vorochaev A. V. Investigation of the Influence of the Wings and Tail in Flight of the Jumping Robot // Applied Mechanics and Materials. 2015. Vol. 789-790. P. 621-625.
[10] ^vac M. Bioinspired Jumping Locomotion for Miniature Robotics: Ph.D. dissertation. — Ecole Polytechnique F'ed'erale de Lausanne, 2010.
[11] Ворочаева Л. Ю., Мальчиков А. В., Савин С. И. Обоснование и выбор схемы колесной прыгающей мониторинговой платформы // Вестник Брянского государственного технического университета. 2018. № 5 (66). С. 40-50.
[12] Ворочаева Л. Ю., Мальчиков А. В., Савин С. И. Определение диапазонов допустимых значений геометрических параметров колесного прыгающего робота // Известия ЮЗГУ. 2018. Т. 22. № 1(76). С. 76-84.
[13] Ворочаева Л. Ю., Мальчиков А. В., Савин С. И. Конструктивные особенности и классификация прыгающих роботов // Cloud of science. 2018. Т. 5. № 3. С. 473-497.
[14] Добронравов В. В., Никитин Н. Н. Курс теоретической механики. — М. : Высшая школа, 1983.
[15]Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: ЧеРо, 1999.
[16] Волкова Л. Ю., Яцун С. Ф. Изучение влияния положения точки закрепления ноги прыгающего робота в корпусе на характер движения устройства // Нелинейная динамика. 2013. Т. 9. № 2. С. 327-342.
[17] Jatsun S., Savin S. and Yatsun A. Comparative analysis of iterative LQR and adaptive PD controllers for a lower limb exoskeleton // Proc. IEEE Intern. Conf. Cyber Technology in Automation, Control, and Intelligent Systems (CYBER): 2016. P. 239-244.
[18] Posa M., Cantu C., Tedrake R. A direct method for trajectory optimization of rigid bodies through contact // Intern. J. of Robotics Research. 2014. Vol. 33. No. 1. Р. 69-81.
[19] Савин С. И., Ворочаева Л. Ю., Савин А. И. Метод генерации оптимальных траекторий квадрокоптера посредством выпуклого программирования // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2018. Т. 15. № 5. С. 54-63.
[20] Boyd S., Vandenberghe L. Convex optimization. — Cambridge university press, 2004.
[21]Mattingley J., Boyd S. CVXGEN: A code generator for embedded convex optimization // Optimization and Engineering. 2012. 13 (1). Р. 1-27.
[22] Kuindersma S., Permenter F., Tedrake R. An efficiently solvable quadratic program for stabilizing dynamic locomotion // Proc. of the IEEE Intern. Conf. Robotics and Automation (ICRA), Hong Kong, 2014. P. 2589-2594.
[23] Savin S., Vorochaeva L. Nested quadratic programming-based controller for pipeline robots // Proc. of the Intern. Conf. Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM). St. Petersburg, 2017. P. 1-6.
[24] Пановко Г. Я., Яцун С. Ф., Савин С. И., Яцун А. С. Особенности управления движением многозвенной электромеханической системы с учетом свойств электропривода // Машиностроение и инженерное образование. 2016. № 2(47). С. 2-10.
Авторы:
Людмила Юрьевна Ворочаева — кандидат технических наук, доцент кафедры механики,
мехатроники и робототехники, Юго-Западный государственный университет
Сергей Игоревич Савин — кандидат технических наук, старший научный сотрудник лаборатории мехатроники, управления и прототипирования, Университет Иннополис
Андрей Васильевич Мальчиков — кандидат технических наук, доцент кафедры механики,
мехатроники и робототехники, Юго-Западный государственный университет
Study of orientation control for a wheeled jumping robot moving over slanted surfaces
L. Yu.Vorochaeva*, S. I. Savin**, A. V. Malchikov*
Southwest State University, 94, 50 let Oktyabrya st., Kursk, 305040 Russia Innopolis University, 1, Universitetskaya st., Innopolis, 420500 Russia e-mail: mila180888@yandex.ru
Absract. In this paper, the control of a wheeled jumping robot moving over slated surfaces is studied. To this end, a mathematical model of the robot was developed. The model describes its motion during the flight phase, allowing to describe the trajectory generation problem as an optimization problem, which in turn can be solved as a quadratic program. The study allowed to find the dependencies of the flight time, the angular velocity and motor torque profiles as functions of the angles of the supporting surfaces at the take-off and landing sites. Keywords: wheeled jumping robot, orientation control, take-off and landing surfaces, quadratic programming, numeric optimization.
References
[1] Zhong J., Luo, M., Fan J. & Zhao J. (2018) Complexity, 6:1-14.
[2] Umehara A., Yamamoto Y., Nishi H., Takanishi A. & Lim H. O. (2017) Jumping Pattern Generation for One-legged Jumping Robot. In Proc. 17th Intern. Conf. IEEE Control, Automation and Systems (ICCAS), Jeju, South Korea, pp. 1396-1400.
[3] Zhang Z., Zhao J., Chen H. & Chen D. (2017) Applied bionics and biomechanics, 2017:1-22.
[4] Ivanescu M., Nitulescu M., Vladu C., Hai N. V. D. & Florescu M. (2018) Hybrid Control Strategies for Jumping Robots. In Intern. Conf. on Robotics in Alpe-Adria Danube Region, pp. 193-204.
[5] Stoeter S. & Papanikolopoulos N. (2006) IEEE Trans. on Robotics and Automation, 22(2):398-403.
[6] Tsukagoshi H., Sasaki M., Kitagawa A. & Tanaka T. (2005) Design of a Higher Jumping Rescue Robot with the Optimized Pneumatic Drive. In Proc. of the IEEE Intern. Conf. Robotics and Automation, pp. 1276-1283.
[7] Yatsun S. F., Volkova L. Y. & Vorochayev A. V. (2014) Spravochnik. Inzhenernyy zhurnal s prilozheni-yem, (S4):12-17. [In Rus]
[8] Jatsun S., Vorochaeva L. & Vorochaev A. (2014) Modeling of Movement of the Planning Robot. In Proc. of the 18th Intern. Conf. on Circuits (CSCC'14) and Proc. of the 2014 Intern. Conf. on Mecha-tronics and Robotics, Structural Analysis (MEROSTA 2014). Santorini Island, Greece, pp. 34-39.
[9] Jatsun S. F., Loktionova O. G., Vorochaeva L. Yu. & Vorochaev A. V. (2015) Applied Mechanics and Materials, 789-790: 621-625.
[10] Kovac M. (2010) Bioinspired Jumping Locomotion for Miniature Robotics (Ph.D. dissertation). Ecole Polytechnique F'ed'erale de Lausanne.
[11] Vorochayeva L. Yu., Malchikov A. V. & Savin S. I. (2018) Vestnik Bryanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 5(66):40-50. [In Rus]
[12] Vorochayeva L. Yu., Malchikov A. V. & Savin S. I. (2018) Izvestia UzGU, 22:76-84. [In Rus]
[13] Vorochayeva L. Yu., Malchikov A. V. & Savin S. I. (2018) Cloud of science, 5(3):473-497. [In Rus]
[14] Dobronravov V. V. & Nikitin N. N. (1983) Kurs teoreticheskoy mekhaniki. Moscow. [In Rus]
[15] Markeyev A. P. (1999) Teoreticheskaya mekhanika. Moscow. [In Rus]
[16] Volkova L. Y. & Yatsun S. F. (2013) Nelineynaya dinamika, 9(2):327-342.
[17] Jatsun S., Savin S. & Yatsun A. (2016) Comparative analysis of iterative LQR and adaptive PD controllers for a lower limb exoskeleton. In Proc. IEEE Intern. Conf. Cyber Technology in Automation, Control, and Intelligent Systems (CYBER), pp. 239-244.
[18] Posa M., Cantu C. & Tedrake R. (2014) Intern. J. of Robotics Research, 33(1):69-81.
[19] Savin S. I., Vorochayeva L. Yu. & Savin A. I. (2018) Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 15(5):54-63. [In Rus]
[20] Boyd S. & Vandenberghe L. (2004) Convex optimization. Cambridge university press.
[21] Mattingley J. & Boyd S. (2012) Optimization and Engineering, 13(1):1-27.
[22] Kuindersma S., Permenter F. & Tedrake R. (2014) An efficiently solvable quadratic program for stabilizing dynamic locomotion. In Proc. of the IEEE Intern. Conf. Robotics and Automation (ICRA), Hong Kong, pp. 2589-2594.
[23] Savin S. & Vorochaeva L. (2017) Nested quadratic programming-based controller for pipeline robots. In Proc. of the Intern. Conf. Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM), St. Petersburg, pp. 1-6.
[24] Panovko G. Ya., Yatsun S. F., Savin S. I. & Yatsun A. S. (2016) Mashinostroyeniye i inzhenernoye obra-zovaniye, (47):2-10. [In Rus]
