CC BY
143
ИССЛЕДОВАНИЕ УЧЕТА ВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ В КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОНОМЕНКЛАТУРНЫХ МОДЕЛЯХ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
УДК 338.012
Наталья Анатольевна Черняева,
доцент кафедры каф. Экономики и менеджмента Пензенской государственной технологической академии
Тел. (8412) 49-61-59
Эл.почта: nachernyaeva@yandex.ru
Владимир Федорович Шишов
к.э.н., доцент каф. Прикладной математики и исследований операций в экономике Пензенской государственной технологической академии Тел. (8412) 49-61-59 Эл.почта: vfshishov@mail.ru
В статье рассмотрены два вида моделей - традиционная многономенклатурная модель управления запасами при постоянном спросе и модель учета средней стоимости запасов при оптимизации системы управления запасами. При учете временной стоимости денег в моделях изучались три возможные схемы выплаты издержек: «пренуме-рандо» (в момент общей поставки партии заказа), «постнумерандо» (в момент общей поставки следующей партии заказа) и схема выплаты издержек в середине периода времени. В качестве критерия оптимизации стратегии управления запасами принималась максимизация суммарной интенсивности доходов для имеющих место в системе управления запасами уходящих и приходящих денежных потоков, характеризующих анализируемые модели.
Ключевые слова: модели управления запасами, временная стоимость денег, спрос, затраты на хранение, объем заказа, количество поставок, накладные расходы, стратегия управления запасами.
Natalya A. Chernyaeva,
Associate Professor, the Department of Economics and Management,
Penza State Technological Academy,
Tel.: (8412) 49-61-59,
E-mail: nachernyaeva@yandex.ru
Vladimir F. Shishov,
PhD in Economics, Associate Professor, the
Department of Applied Mathematics and Operations
Research in Economics,
Penza State Technological Academy,
Tel.: (8412) 49-61-59
E-mail: vfshishov@mail.ru
INVESTIGATION INTO ACCOUNT OF A TIME VALUE OF MONEY IN CLASSICAL MULTITOPIC INVENTORY MODELS
The article describes two types of models. The first is a traditional multitopic inventory model with constant demand and the second is a model based on the average cost of inventory in optimizing inventory management system. The authors taking into account the time value of money in the models study three possible schemes for the payment of costs: «prenumerando» (at the time of the general batch order delivery), «postnumerando» (at the time of the general next batch order delivery) and the scheme of payment of costs in the mid-term. Maximization of the total intensity of revenue for outgoing and incoming cash flows occurring in the inventory management system that characterize the analyzed models was adopted as the criterion of optimization of inventory control strategy. Keywords: models of inventory management, time value of money, demand, cost of storage, amount of order, number of deliveries, overhead costs, inventory control strategy.
1. Введение
Теория управления запасами относится к числу наиболее молодых отраслей исследования операций, хотя отдельные результаты ее получены достаточно давно.
Складские системы промышленных предприятий содержат от нескольких десятков до нескольких тысяч номенклатур. Следовательно, возникает необходимость рассмотрения задач управления многономенклатурными запасами.
Целью работы явилось изучение моделей управления многономенклатурными запасами на основе учета временной стоимости денег при оптимизации систем управления запасами.
В работе рассматривалось два вида моделей - традиционная многономенклатурная модель управления запасами при постоянном спросе и модель учета средней стоимости запасов при оптимизации системы управления запасами. При этом ставился вопрос о необходимости учёта временной стоимости денег при оптимизации многономенклатурных моделей управления запасами. В случае учета временной стоимости денег в модели изучались три возможные схемы выплаты издержек: «пренумерандо» (в момент общей поставки партии заказа), «постнумерандо» (в момент общей поставки следующей партии заказа) и схема выплаты издержек в середине периода времени.
В качестве критерия оптимизации стратегии управления запасами принималась максимизация суммарной интенсивности доходов для имеющих место в системе управления запасами уходящих и приходящих денежных потоков, характеризующих анализируемую систему.
2. Традиционная многономенклатурная модель управления запасами при постоянном спросе
В традиционных многономенклатурных моделях управления запасами при постоянном спросе учитывается произвольное количество N видов /-товаров (/' = 1, У), по каждому из которых планируется свой запас. Поставка всех товаров каждый раз общая, т.е. в партии заказа представлены все виды анализируемых товаров, причем размер заказа для каждого вида /-товара свой. Обозначения, принятые в моделях:
- спрос на /-товар постоянен; Д/ - его годовое потребление;
- поставки общие; Т0 - интервал повторного заказа;
- затраты на хранение единицы /-товара - Сы (зависят от /-товара);
- накладные затраты одной поставки - Со (общие для партии заказа);
- объем заказа /-товара - qi (в партии общей поставки);
- ежегодное количество поставок — 1/Т0 (где Т0 обозначается в годах);
- средний годовой уровень запаса / -товара - qi/2.
Величина суммарных годовых затрат для анализируемой модели определяется выражением (1.1):
С
1 л n
- 1+Х chi ■ (q/2),
(1.1)
причем для любого фиксированного Т = Т0 имеем: qi = Т0 • Д.
Введем дополнительные обозначения:
Д = (Д1, Д2, ..., Ду) - вектор годового потребления /-товаров;
Си = (Си1, Си2, ..., Сш) - вектор тарифов затрат на хранение;
Д • Си - скалярное произведение этих векторов, которое находится по формуле (1.2).
Д • Си = Д\Си\ + Д2СИ2 + ... + ДуСиу (1.2)
Теперь задача нахождения оптимальной стратегии может быть квалифицирована как задача минимизации суммарных затрат, представленных функцией СКТ)) переменной Т>:
сг (Т0) = С 1 + T ■ (D ■ СА) ^ min
^ J 2 T >0
(1.3)
Найдем оптимальное значение интервала Т0 повторного заказа, затем (с учетом равенств д = Б 1 • Т*) - оптимальный размер заказа д* по каждому /-товару.
Первое слагаемое в правой части представленного выражения (как функция переменной 70) представляет собой гиперболу, второе слагаемое -линейную функцию. Легко видеть, что точка минимума существует.
Интервал повторного заказа (общий) находится по формуле (1.4):
Т* =>/2Со ЦБ • Ск) (Ы)
В случае, когда поставки по каждому /-товару организуются независимо одна от другой, оптимальный интервал повторного заказа для /-товара равен
т* 2С0/(Си .Б,) (1.5)
Сравнивая это выражение для Т* с приведенным выше выражением для Т*, легко видеть, что для многономенклатурной модели с общими поставками интервал повторного заказа становится (при сохранении накладных расходов на поставку) более «коротким»: Т* < Т*,
сы • Б/ < Ъ •• С*.
Экономичный размер заказа (/-товара) определяется по формуле (1.6):
2) издержки хранения находим как
X* =
д* = О^2С0 / (О • Ск) (1.6)
Рассмотрим применение полученных зависимостей на примере «Теплосетевой компании», которой для выполнения аварийно-восстановительных работ в течение года необходимо закупать 5 видов оборудования. Предполагается, что спрос известный и фиксированный. Данные об объеме закупок и стоимости каждого вида оборудования представлены в таблице 1.
При общих поставках накладные расходы составляют 11 ООО руб.
Необходимо проанализировать оптимальную стратегию при общих поставках этих видов товара.
Определим скалярное произведение векторов Б • Сы = 269,5 (тыс. руб.).
Оптимальный интервал повторного заказа определяется по формуле (1.4). ТО = 0,2857 года (104 дня)
Для основных параметров стратегии управления запасами при оптимальной организации общих поставок получим:
1) объем товаров в заказе (для расчета используем формулу (1.6)) представлены в таблице 2.
Сы . Результаты расчетов 2
представлены в таблице 3.
3) издержки поставок (общих за год) определяем по формуле:
п = Т*- • С;
1 об
П = 38,500 (тыс. руб.)
4) среднюю стоимость запасов на-
ходим по формуле С■ =
Сы ■ д*
Результаты расчетов представлены в таблице 4.
Следовательно, при оптимальном управлении запасами в случае организации общих поставок этих продуктов имеем:
1) издержки поставок составляют 38,5ОО тыс. руб.
2) общие издержки хранения по всем товарам - 38,500 тыс. руб.
3) средняя стоимость запасов по всем товарам составляет 385 тыс. руб.
3. Учет временной стоимости денег в моделях управления запасами
При учете временной стоимости денег решение задачи оптимизации
стратегии управления запасами будет зависеть (в отличие от классического случая) от конкретной, принятой в рамках модели схемы выплат издержек хранения, что представляется спецификой контрактных условий выплат таких издержек. Эти выплаты могут быть привязаны к разным вариантам таких схем. Задача оптимизации работы многономенклатурной системы управления запасами будет описана для следующих модификаций моделей:
- выплаты издержек хранения по схеме «пренумерандо», что для рассматриваемой модели системы управления запасами соответствует реализации таких выплат в момент общей поставки партии заказа, т.е. до истечения периода хранения партии товара;
- выплаты издержек хранения по схеме «постнумерандо», что для рассматриваемой модели системы управления запасами соответствует реализации таких выплат в момент общей поставки уже следующей партии заказа;
- выплаты таких издержек в середине периода времени, в течение которого хранится партия товара.
Таблица 1. Показатели, характеризующие закупаемое оборудование
№ п/п Наименование оборудования Объем закупок Б/, ед. оборудования Издержки хранения Сы, руб./ ед. Стоимость одной ед. оборудования Сщ, руб. Издержки дефицита Ст, руб. Прибыль от ед. оборудования Рпь руб.
1 Трансформатор напряжения 220кВ 20 315 3150 630 378
2 Трансформатор напряжения 110кВ 40 200 2000 400 240
3 Опорный изолятор 6-10 кВ 310 40 400 80 48
4 Опорный изолятор 35кВ 300 90 900 180 108
5 Опорный изолятор 110 кВ 830 260 2600 520 312
Таблица 2. Объем товаров в заказе
Размер заказа Товар
1 2 3 4 5
д, ед. товара 6 11 89 86 237
Таблица 3. Издержки хранения
Сумма издержек хранения Товар
1 2 3 4 5
X*, тыс. руб. 0,900 1,142 1,771 3,857 30,828
Таблица 4. Средняя стоимость запасов
Средняя стоимость запасов Товар
1 2 3 4 5
С, тыс. руб. 9,000 11,429 17,714 38,571 308,286
Для всех таких модификаций моделей систем управления запасами в качестве критерия оптимизации стратегии управления принимается максимизация суммарной интенсивности доходов для имеющих место в системе управления запасами уходящих и приходящих денежных потоков, характеризующих анализируемую систему.
Рассмотрим организацию управления запасами теплосетевой компании при выплате издержек хранения в начале периода - «пренумерандо».
Для удобства дальнейшего сравнения результатов с аналогичными, но уже для классической модели без учета временной стоимости денег, полагаем что СоРп (например, издержки уже включены в стоимость товара). Для определенности считаем, что Рп / Cm = 0,12 (для всех видов продукции), и принимаем, что годовая ставка наращения составляет 20% т.е. r = 0,2.
Найдем параметры оптимальной стратегии управления запасами с общими поставками для модели с учетом временной структуры процентных ставок и сравним их с аналогичными параметрами для классической модели.
Определим скалярные произведения векторов.
D • Ch=269,500 (тыс. руб.) Сопп = Cm, так как Com = 0, поэтому D • Comm=D • Cm= 2695 (тыс. руб.).
Для нахождения оптимальной стратегии с учетом временной стоимости денег предварительно определяем значение
cos а =
Таблица 5. Объем товаров в заказе
= 3r •
3C0 • (D • Ch )2
,1 r D ■ Сопп (а)
z0 = 2 1- +---_ _ ■ cosl — I =
0 р 3 D ■ Ch {3 J
= 1,7415.
В соответствии с принятыми числовыми значениями показателей, характеризующих рассматриваемую систему управления запасами, имеющееся кубическое уравнение относительно неизвестного Z имеет в этой ситуации вид Z3 - 3 • Z - 0,0571 = 0 .
Размер заказа Товар
1 2 3 4 5
q0, ед. товара 3 7 51 49 136
Таблица 6. Годовые издержки хранения
Сумма издержек хранения Товар
1 2 3 4 5
X0, тыс. руб. 0,517 0,656 1,017 2,214 17,702
При найденном в данном примере значении Z0 = 1,7502 левая часть этого равенства принимает значение 1,74153 - 3 • 1,7415 - 0,0571 ~ -0,0001.
При выбранной точности расчетов для Z0 получаем достаточно хорошее приближение. Определив значение Z0 = 1,7415, переходим к анализу основных параметров оптимальной стратегии управления запасами. Оптимальное значение Т*об периода времени между общими поставками с учетом временной стоимости денег (рассчитывается по формуле (1.25)) для рассматриваемого случая составляет: Т*б = T)6/Z = 0,164 года (60 дней)
В оптимальном случае с учетом временной стоимости денег при общих поставках товаров имеем:
1) объем товаров в заказе рассчитываются по формуле q0 = Т*0б • D ¡ .
Результаты расчетов представлены в таблице 5.
2) годовые издержки хранения на-
ходим как X, =
Ch,
■ q
по видам това-
\2(D ■ Ch + Г ■ (D ■ Сопп))3 = 0,02857. Затем, переходим к arccosa (как видим, для данной ситуации он равен 1,5422 радиан), рассчитываем значение
cos = 0,8707.
После этого находим значение
ров. Результаты расчетов представлены в таблице 6.
Суммарные годовые издержки составят 22,107 тыс. руб.
3) накладные расходы на поставки в год составят 67,047 тыс. руб.
4) средняя стоимость запасов по всем товарам составит 221,074 тыс. руб.
Итак, если не учитывать временную структуру процентных ставок, то рекомендуемое согласно теории значение периода времени между общими поставками в данном примере равняется Т0=0,2857 года (104 дня).
Учет временной стоимости издержек / доходов приводит к оптимальному значению этого показателя, которое в нашем примере составляет Т*0б = 0,164 года (60 дней).
Отклонение для периода времени между общими поставками партий соответствует ошибке порядка 43%. Понятно, что такая ошибка приведет к существенному изменению стратегии управления запасами и, кроме
того, может значительно отразиться на показателе эффективности работы системы. В частности, оценим отклонение показателя интенсивности доходов системы управления запасами в рамках рассматриваемого примера для интересующих нас двух случаев:
1) при Т*б = 0,164 года (60 дней) (стратегия реализуется с учетом временной стоимости денег);
2) при T0 = 0,2857 года (104 дня) (стратегия реализуется без учета временной стоимости издержек/доходов).
Случай 1.
При стратегии с использованием показателей Т'0б и q* интенсивность доходов Fmax = 188,567 (тыс. руб.).
Случай 2.
При стратегии с использованием показателей T°06 и q° интенсивность доходов F = 167,379 (тыс. руб.).
Разница Fmax - F0
в интенсивности доходов (годовой) для этих случаев по анализируемым видам товара имеет порядок 21,367 тысяч рублей за год, несмотря на некоторое увеличение общих издержек. Кроме того, при уменьшении интервала времени между общими поставками товаров уменьшаются и объемы хранимых товаров, и объемы страховых запасов по этим товарам, следовательно, и замороженные в них деньги. Поэтому суммарный показатель возможного повышения эффективности системы за счет учета временной структуры процентных ставок по всей группе товаров может оказаться весьма существенным.
Рассмотрим стратегию оптимизации управления запасами при выплате издержек хранения «постнумерандо» в условиях предыдущей задачи.
Найдем оптимальную длительность периода времени между общими поставками Т\6(посш) и оптимальные размеры q'(nocm) /-товаров в партии заказа. Найдем значение cosa = -0,0238.
Далее имеем cos= 0,8621 и Z0(nocm) = 1,7241.
Таблица 7. Объем товаров в заказе
Размер заказа Товар
1 2 3 4 5
q* ед. товара 3 7 51 50 138
Таблица 8. Объемы товаров в заказе
Размер заказа Товар
1 2 3 4 5
q*, ед. товара 3 7 51 49 137
Учитывая то, что в данном примере Т0 = 0,553647 года, для основных параметров оптимальной стратегии управления в этом случае имеем
Т*0б(пост) = 0,168 года (60 дней).
Определяем объем товаров в заказе. Результаты расчетов представлены в таблице 7.
Оценим также отклонение показателей интенсивности доходов в этом примере при выплате издержек хранения «постнумерандо» для интересующих нас двух случаев:
1) при Т*0б(пост) = 0,168 года (60 дней) (стратегия реализуется с учетом временной стоимости денег);
2) при Т* = 0,2857 года (104 дня) (стратегия реализуется без учета временной стоимости издержек/доходов).
Случай 1.
При стратегии, при которой используются показатели Т'0б(пост) и допоет) интенсивность доходов Рпост = 188,622 (тыс. руб.)
Случай 2.
При стратегии с использованием показателей Т 0б и д0 интенсивность доходов Р = 167,383 (тыс. руб.).
Разница Рпост - Р в интенсивности доходов (годовой) для этих случаев по анализируемым видам товара при выплате издержек «постнумерандо» имеет порядок 21,239 тысяч рублей за год, несмотря на некоторое увеличение общих издержек. Заметим, что имеющиеся расхождения будут, очевидно, соответствующим образом нивелированы на практике из-за необходимости округления результатов для размеров /-заказов в общих партиях поставок до приемлемого целого значения.
Найдем оптимальную стратегию при выплате издержек хранения в середине интервала повторного заказа для задачи о пополнении запасов «Теп-лосетевой компании». Оптимальная длительность периода времени между общими поставками Т*б(той) = 0,165 года (60 дней).
Результаты расчетов представлены в таблице 8.
Для сравнения результатов с аналогичными для классической модели, но без учета временной стоимости денег в примере ранее было условно принято С0П = 0.
Рассчитаем интенсивность доходов (обозначим ее через ^„„(той)), соответствующей оптимальной стратегии в рамках модифицированной модели
^тах(той) = 188,542 (тыс. руб.).
При стратегии с использованием показателей Т 0б и д0 интенсивность доходов Р^ост = 167,384 (тыс. руб.).
Разница Ртах - Рпост в интенсивности доходов (годовой) для этих случаев по анализируемым видам товара при выплате издержек в середине интервала повторного заказа имеет порядок 21,156 тысяч рублей за год, несмотря на некоторое увеличение общих издержек. Заметим, что имеющиеся расхождения будут, очевидно, соответствующим образом нивелированы на практике из-за необходимости округления результатов для размеров /-заказов в общих партиях поставок до приемлемого целого значения.
4. Заключение
Таким образом, модели оптимальных стратегий управления запасами могут быть улучшены в смысле максимизации эффективности таких систем за счет учета действующих на рынке процентных ставок и временной стоимости денег при анализе денежных потоков, характеризующих соответствующие издержки и доходы. Учет особенностей конкретных схем выплат издержек мало влияет на параметры оптимальной стратегии управления запасами при заданном годовом потреблении, заданной структуре процентных ставок и заданных тарифах издержек. При этом суммарный показатель возможного повышения эффективности системы за счет учета временной стоимости издержек/ доходов по всей имеющейся номенклатуре товаров оказывается весьма значительным.
Литература
1. Беляев Ю. А. Дефицит, рынок и управление запасами. - М.: УДН, 1991. - 230 с.
2. Бродецкий Г. Л. Управление запасами. - М.: Эксмо, 2007. - 282с.
3. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами. Учебник для вузов. - СПб.: Питер, 2001. - 384 с.
4. Степанов А. Г. Разработка управленческого решения средствами пакета Excel. Учебное пособие. - СПб: Питер, 2009. - 172 с.
5. Шрайбфедер Д. Эффективное управление запасами. - Альпина Бизнес Букс, 2006. - 306 с.
6. Черняева Н.А., Шишов В.Ф. Од-нономенклатурные модели управления запасами с учетом временной стоимости денег. Межвузовский сборник научных трудов «Математико-статистичес-кий анализ социально-экономических процессов». Выпуск 9. М.: МЭСИ, 2012, с.238-240.
7. Шишов В.Ф. Анализ многономенклатурных моделей управления запасами для различных условий поставок. Межвузовский сборник научных трудов «Математико-статистический анализ социально-экономических процессов». Выпуск 9. М.: МЭСИ, 2012, с.248-252.
References
1. Belyaev A. Deficiency of the market and inventory management. - Moscow: UDN, 1991. - 230 p.
2. Brodetsky GL. Inventory Management. - New York: Penguin Books, 2007. - 282s.
3. Ryizikov YI. Queuing theory and inventory management. Textbook for Higher Schools. - St.: Peter, 2001. - 384 p.
4. Stepanov AG Development of management decision with the tools of Excel. Textbook. - St. Petersburg: St. Petersburg, 2009. - 172 p.
5. Shraybfeder D. Effective inventory management. - Harvard Business Review, 2006. - 306 p.
6. Chernyaeva NA, Shishov VF. Onenomenklature inventory control models with the time value of money. Interu-niversity collection of scientific papers «Mathematical and statistical analysis of the socio-economic processes.» Issue 9. M. MESI, 2012, s.238-240.
7. Shishov VF. Analysis of multi-nomenclature inventory control models for different supply conditions. Interu-niversity collection of scientific papers «Mathematical and statistical analysis of the socio-economic processes.» Issue 9. M. MESI, 2012, s.248-252.
