ИССЛЕДОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ МОДЕЛЕЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ СЛЕДЯЩЕГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА

Малёв Николай Анатольевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ МОДЕЛЕЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ СЛЕДЯЩЕГО

ЭЛЕКТРОПРИВОДА

Малёв Н.А.

Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, Россия

ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2224-0681, maleeev@mail.ru

Резюме: ЦЕЛЬ. Одним из основных требований к следящим электроприводам является обеспечение высокой точности воспроизведения произвольного входного сигнала. В условиях влияния параметрических и координатных возмущений удовлетворение данного требования может быть достигнуто за счет применения адаптивного управления. При синтезе адаптивных управляющих алгоритмов следящих электроприводов широкое применение находит беспоисковый градиентный метод, обеспечивающий экстремум выбранного показателя качества функционирования электропривода. Для построения адаптивных систем управления данного типа необходимо вычислять уравнения чувствительности, как правило, высокого порядка. Актуальность настоящего исследования обусловлена тем, что практическая реализация уравнений чувствительности высокого порядка возможна только в форме цифровых моделей. Цифровые модели, в свою очередь, позволяют получить соответствующее программное обеспечение, на основе которого разрабатываются цифровые алгоритмы адаптивного управления следящих электроприводов на базе микропроцессорной техники. Таким образом, задача формирования и исследования цифровых моделей чувствительности при синтезе градиентных алгоритмов управления следящих электроприводов является важной и актуальной. МЕТОДЫ. При решении задачи исследования применялись методы теории чувствительности, векторно-матричные уравнения в форме пространств состояний, методы дискретных преобразований и моделирования уравнений состояния и выхода цифровых моделей чувствительности в программной среде MatLab. РЕЗУЛЬТАТЫ. В работе решается задача анализа цифровых моделей чувствительности следящего электропривода, полученных с помощью различных методов дискретной аппроксимации. На основании рассмотренных методов экстраполяции нулевого и первого порядка, инвариантной импульсной характеристики и билинейного преобразования (Тастина) показано, что наименьшую погрешность в переходном и установившемся режимах обеспечивает метод билинейного преобразования, реализуемый в программной среде MatLab с помощью функции bilinear. При этом высокая точность билинейного преобразования в динамическом режиме достигается при дискретизации с запасом по частоте, что позволяет, помимо прочего, избежать эффекта наложения спектров при дискретной аппроксимации и снизить минимальное значение шума АЦП за счет распределения шума квантования по более широкой полосе частот. Полученная в форме пространства состояний цифровая модель чувствительности следящего электропривода может быть использована при формировании беспоискового градиентного алгоритма управления и реализована на базе микропроцессорной техники. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Исследование аналоговой и цифровых моделей чувствительности в программной среде MatLab показало высокую степень совпадения результатов моделирования аналоговой модели и цифровой модели, полученной на основе билинейного преобразования. Необходимым условием при дискретном преобразовании в среде MatLab является запись полного уравнения выхода аналоговой модели, с учетом матрицы выхода и матрицы обхода, даже если последняя является нулевой. Показанная в работе процедура получения цифровой модели чувствительности отличается сравнительной простотой, не требует существенных вычислительных затрат и позволяет получить соответствующий программный код на языке MatLab либо на любом другом языке программирования высокого уровня. Цифровая модель чувствительности является наиболее сложным вычислительным аспектом при синтезе беспоискового градиентного алгоритма управления следящего электропривода, поэтому решенная в настоящей работе задача по исследованию цифровых моделей чувствительности позволяет упростить и автоматизировать процесс формирования эффективных алгоритмов управления электротехнических комплексов и систем, функционирующих в условиях параметрической неопределенности.

Ключевые слова: цифровая модель; модель чувствительности; следящий электропривод; пространство состояний; дискретная аппроксимация; погрешность преобразования.

Для цитирования: Малёв Н.А. Исследование цифровых моделей чувствительности следящего электропривода // Вестник Казанского государственного энергетического университета. 2024. Т. 16. № 1 (61). С. 52-69.

RESEARCH OF DIGITAL SENSITIVITY MODELS OF A SERVO DRIVE

Malev N.A.

Kazan State Power Engineering University, Kazan, Russia

ORCID: https://orcid.org/0000-0003-2224-0681, maleeev@mail.ru

Abstract: THE PURPOSE. One of the main requirements for servo drives is to ensure high fidelity in the reproduction of an arbitrary input signal. Under the influence ofparametric and coordinate disturbances, the satisfaction of this requirement can be achieved through the use of adaptive control. When synthesizing adaptive control algorithms for servo drives, the searchless gradient method is widely used, which provides the extremum of the selected indicator of the quality of the operation of the electric drive. To build adaptive control systems of this type, it is necessary to calculate sensitivity equations of a high order. The relevance of this research is due to the fact that the practical implementation of high-order sensitivity equations is possible only in the form of digital models. Digital models, in turn, make it possible to obtain appropriate software, on the basis of which digital algorithms for adaptive control of servo drives based on microprocessor technology are developed. Thus, the task of forming and studying digital models of sensitivity in the synthesis of gradient control algorithms for servo drives is important and relevant. METHODS. When solving the research problem, methods of sensitivity theory, vector-matrix equations as state spaces, methods of discrete transformations and modeling of equations of state and output of digital sensitivity models in the MatLab software environment were used. RESULTS. The paper solves the problem of analyzing digital models of the sensitivity of a servo drive got using various methods of discrete approximation. Based on the considered zero and first order extrapolation methods, invariant impulse response and bilinear transformation (Tustin), it is shown that the smallest error in transient and steady state is provided by the bilinear transformation method implemented in the MatLab software environment using the function "bilinear". The high accuracy of the bilinear transformation in dynamic mode is achieved with sampling with a frequency margin, which allows to avoid the effect of aliasing in discrete approximation and reduce the minimum value of the ADC noise because of the distribution of quantization noise over a wider frequency band. The digital model of the sensitivity of the servo drive got as a state space can be used in the formation of a searchless gradient control algorithm and implemented based on microprocessor technology. CONCLUSION. The research of analog and digital sensitivity models in the MatLab software environment showed high agreement between the results of modeling the analog model and the digital model got based on a bilinear transformation. A necessary condition for a discrete transformation in the MatLab environment is to write the full output equation of the analog model, considering the output matrix and the bypass matrix, even if the latter is zero. The procedure for obtaining a digital sensitivity model shown in the work is relatively simple, does not require significant computational costs, and allows you to get the corresponding program code in the MatLab language or in any other high-level programming language. The digital sensitivity model is the most complex computational aspect in the synthesis of a searchless gradient control algorithm for a servo drive. The problem solved in this work on the research of digital sensitivity models allows us to simplify and automate forming effective control algorithms for electrical sets and systems operating under conditions of parametric uncertainty.

Keywords: digital model; sensitivity model; servo drive; state space; discrete approximation, conversion error.

For citation: Malev N.A. Research of digital sensitivity models of a servo drive. KAZAN STATE POWER ENGINEERING UNIVERSITY BULLETIN. 2024. T. 16. No. 1 (61). P. 52-69.

Введение (Introduction)

Следящий электропривод как сложная гетерогенная электромеханическая система, функционирующая, как правило, в условиях непрерывно изменяющихся переменных состояния [1, 2] и координатных возмущений [2, 3], подвержен не только внешним дестабилизирующим воздействиям, но и внутренним «шумам» и возмущениям [3], вызванным нестационарностью параметров в процессе эксплуатации [4, 5], и в этом смысле является типичным объектом с параметрической неопределенностью. Так, момент инерции нагрузки может изменяться относительно номинального (расчетного) значения в сравнительно широких пределах от допустимой минимальной до допустимой максимальной величин [6, 7], что приводит к получению математической модели следящего электропривода с параметрической неопределенностью интервального типа [8, 9]. Нестационарность параметров уравнения электрического равновесия электропривода, активного сопротивления и индуктивности обмоток электродвигателя, соответствует неопределенности, параметризованной временем [6, 10]. В настоящей работе не рассматриваются сигнальные, функциональные и структурные неопределенности, обусловленные неизвестными внешними сигналами и функциональными зависимостями переменных состояния, а также наличием у математической модели электропривода элементов немоделируемой динамики [11, 12]. Тем не менее, при необходимости сигнальная, функциональная и структурная неопределенности могут быть сведены к параметрической неопределенности [11, 13], что позволяет рассматривать следящий электропривод в качестве объекта исследования с параметрической неопределенностью как определяющим фактором возможных сингулярных проявлений.

Задача определения оценок нестабильных параметров %var либо их вариаций Дх

относительно номинальных значений хо может быть решена с применением методов

теории чувствительности и представлена в аддитивной %var (Дх) = хо + Дх форме [14, 15].

Рассматриваемые в работе методы теории чувствительности модели следящего электропривода к вариациям параметров относительно номинальных значений представляют собой частную задачу решения проблемы параметрической неопределенности при формировании беспоискового градиентного алгоритма управления электропривода. Данный алгоритм основан на минимизации квадрата невязки между эталонной моделью и объектом с параметрической неопределенностью и предполагает определение модели чувствительности по нестабильным параметрам [16, 17]. Порядок модели чувствительности определяется произведением порядка уравнений динамики объекта исследования на количество нестабильных параметров и может быть довольно высоким, что приводит к усложнению вычислительных процедур. Целью настоящего исследования является определение цифровой модели чувствительности следящего электропривода к вариациям нестабильных параметров и ее детальный анализ. Важность и актуальность решения данной задачи проявляется при формировании цифровых алгоритмов управления электроприводов с параметрической неопределенностью. Научная и практическая ценность исследования состоит в определении метода дискретной аппроксимации, позволяющего получить цифровую модель чувствительности, наиболее точно соответствующую аналоговому прототипу. Кроме того, математическое описание цифровой модели чувствительности формируется в автоматическом режиме, а полученные разностные уравнения в векторно-матричной форме могут быть реализованы в виде рабочей программы для соответствующих микропроцессорных устройств.

Методы (methods)

Для формулировки метода формирования моделей чувствительности рассмотрим следящий электропривод как непрерывную динамическую систему с вектором состояния х 6 R", вектором выходных координат у 6 Rm и вектором нестабильных квазистационарных параметров у,(у (/) = 0), вызывающим вариацию А/, при которой х =

Хс+ 4Х,Х6 Rp.

Полное движение исследуемого объекта по состоянию и выходу описывается уравнениями

х (t, х = Хо + Дх) = X (t) + Дх (t, Хо, Дх) ; (1)

y (t, х = хо+Дх) = y (t)+Ду (t, хо, Дх), (2)

Д Д

где х (t) = х (t, хо) и y (t)=y (t, хо) - номинальное движение переменных состояния и выходных координат объекта исследования; Дх (t, хо, Дх) и Ду (t, хо, Дх) - дополнительное

движение переменных состояния и выходных координат, вызванное как номинальным значением вектора параметров х 0, так и вариацией А/.

Полагая, что норма вариаций вектора параметров А/ мала, а номинальные движения х (/) и у (/) дифференцируемы по вектору параметров х в точке х = хо в каждый момент времени, перепишем выражения (1) и (2):

а* (*, х)

х (t, х) = х (t) + у (t, х) = y (t) +

Зу (t, х)

х=хо

Ах+ЛУ (Дх):

x=xo

причем

ЛХ(Ах)

ЛУ(Дх)

Дх+л2 (Дх) , (3)

(4)

lim —и = 0; lim —^ 4 ,/ = 0. (5)

IMH ||Дх|| MH> ||Дх||

С учетом выражений (3) - (5) дополнительные движения Дх(t,хо,Дх) и Ду (t, хо, Дх) объекта исследования с параметрической неопределенностью запишем как

х(t,хо, Дх) = Е(*)Дх , (6)

у (t, хо, Дх) = Н(/)Дх. (7)

В выражениях (6), (7) матрицы чувствительности E(t) и H(t) - это матрицы Якоби по переменным состояния и выходным координатам соответственно, такие, что

Е (t) = row S(t) = row

(t ) =

Зх (t, х)

; j = 1 p

х=хо

л j (t )=gy (',х)

5х j

;j = 1 p

х=хо

(6)

(7)

где сту (/) и лу ^) - это функции чувствительности первого порядка по состоянию и выходу.

Формирование модели чувствительности рассмотрим на примере линейного непрерывного объекта исследования с математическим описанием в векторно-матричной форме

*(ЬХ) = А(х)х(Ьх) + В(х)и(0; у(*,х) = с(хЫьх).

х 6 К", и 6 Кг, у 6 £\ (8)

Продифференцируем систему уравнений (8) по компоненту х у вектора параметров

X в точке х = Хо:

а

^х

-[*('>х)]

j х=хо

Введём обозначения

А ДЗА(х)

д

Г¿фхЛ d

1 dt J х=хо dt l J х=хо

(9)

Xj Зх j

; в

;ЗБ (х)

х=хо

Xj Зх,

с ДЗС(х)

х=хо

Зх.

х=хо

А (х) = А; В (х)| = В; С (х)| = С; 4 лх=хо 4 лх=хо 4 лх=хо

*Х)1х=хо = *); У Х)1х=хо = У ) и для модели чувствительности по компоненту х у получим систему уравнений

От общей формы записи уравнений чувствительности перейдем к конкретному объекту исследования и рассмотрим следящий электропривод, сформированная автором функциональная схема которого представлена на рисунке 1.

М

Auw

Au¡

^^^—^

u¡

УП

Д

ДТ

ДУС

р

a

Ua

ДУП

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

РО

Рис. 1. Функциональная схема следящего электропривода

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

Fig. 1. Functional diagram of the servo drive

u

n

u

w

На схеме приняты следующие обозначения: РУП - регулятор углового перемещения; РУС - регулятор угловой скорости; УП - управляемый преобразователь; Д -двигатель постоянного тока; Р - редуктор; РО - рабочий орган; ДТ - датчик тока; ДУС -датчик угловой скорости; ДУП - датчик углового перемещения.

Переменные состояния и входные воздействия следящего электропривода обозначены следующими величинами: иа - напряжение задания углового перемещения;

Диа - сигнал рассогласования угловых перемещений; ырп - напряжение на выходе регулятора углового перемещения; Дию - сигнал рассогласования угловых скоростей; Ирс -напряжение на выходе регулятора угловой скорости; ип - напряжение на входе

управляемого преобразователя;

- напряжение питания двигателя; Мс - момент

/»д аасааа^.А/А./А^'АААА^' 111И их!х1>х .¿гл^с

сопротивления нагрузки; ю - угловая скорость вращения двигателя; а - угловое перемещение рабочей оси; / - ток якоря двигателя; иа - напряжение на выходе датчика углового перемещения; ию - напряжение на выходе датчика угловой скорости; и^ -напряжение на выходе датчика тока.

В целях упрощения решаемой задачи примем следующие допущения: нелинейности элементов следящего электропривода отсутствуют либо не проявляются; координаты электропривода находятся в допустимых пределах; датчики переменных состояния, регуляторы и управляемый преобразователь представлены безынерционными звеньями.

Структурная схема динамической модели следящего электропривода с двигателем постоянного тока с учетом принятых допущений представлена на рисунке 2.

е

kpnkpckn

W = Х2

— с

г = х3

1/L

s-1

-V

-1

М

R/L-

c/Js kp/s a =

с

u

kgckpckn

kgnkpnkpckn

Рис. 2. Структурная схема следящего Fig. 2. Structural diagram of the servo drive

электропривода

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

Структурная схема следящего электропривода соответствует функциональной схеме, показанной на рисунке 1. Для удобства последующих вычислений при записи уравнений состояния автором вынесены на вход регуляторы переменных состояния и

объединены сумматоры контуров углового перемещения, угловой скорости и тока якоря. Схема учитывает внутреннюю обратную связь по противо-ЭДС е и представляет собой схему непосредственного моделирования [17 - 19].

К параметрам динамической модели следящего электропривода относятся следующие величины: крп - коэффициент передачи регулятора углового перемещения; крс

- коэффициент передачи регулятора угловой скорости; кп - коэффициент передачи управляемого преобразователя; Я - активное сопротивление якорной цепи; Ь -индуктивность якорной цепи; с - коэффициент противо-ЭДС; 3 - приведенный момент инерции кр - коэффициент передачи редуктора; кдп - коэффициент передачи датчика

углового перемещения; кдс - коэффициент передачи датчика угловой скорости; кдт -

коэффициент передачи датчика тока.

Обозначим переменные состояния следящего электропривода а = х, ю = х2 , г = хз

и на основе структурной схемы на рис. 2 запишем систему дифференциальных уравнений электропривода в форме Коши:

Х1 =

С 1

*2=~хз—мс; (н)

3 с

. _ ^дп^рп^рс^п ^дс^рс^п +с кдткц ^рп^рс^п Хо —--Х1--Хо--Хо Н--.

. ь ььь

Для получения уравнений чувствительности необходимо продифференцировать каждое из уравнений системы (11) по нестабильным параметрам, в качестве которых будем рассматривать активное сопротивление якорной цепи Я, индуктивность якорной цепи Ь и момент инерции 3. Поскольку порядок уравнений объекта исследования п = 3 и количество нестабильных параметров р = 3, модель чувствительности будет иметь девятый порядок. Переменные состояния модели чувствительности обозначим следующим образом: аК = х1х, аЬ = х2х' а J = х3х , юЯ = х4х , юЬ = х5х ' юJ = х6х' = х7х ' = х8х ' iJ = х9х .

Рассматриваемый пример формирования модели чувствительности следящего электропривода можно отнести к разряду частных задач, когда функции чувствительности по переменным состояния сту (/) и функции чувствительности по выходу л у (t) суть одно

и то же, поскольку ток якоря, скорость вращения и угловое перемещения относятся к регулируемым выходным координатам в системе подчиненного регулирования. В этой связи компактная векторно-матричная форма записи уравнений чувствительности может быть представлена в виде:

Н = АХХХ+ВХи(Ь

У = Сх Хх+ вхц0-Дифференцируя систему (11) по указанным параметрам, получим:

Х1х = крх4х;

хп = крх5%;

хч = крх6%;

х4% с = 7Х7,;

с = 7Х8,;

х6% с = 7

3 с

'с0>

. _ кдпкрпкрскп кдскрскп+с кдткп1

х7х - - - х4х - х7х -—/0;

Ь

. _ кдпкрпкрскп кдскрскп+с кдткп

Х83С - ^ х25( - х5% -

Ь

Х8% +

кдпкрпкрскп кдекрскп + с кдткп + Я . крпкрскп

+ : а0 + Ю0 + ^ г0 ^ маз0;

Ь

2

Ь

Ь2

(13)

. _ кдпкрпкрскп кдскрскп+с кдткп

х9% - - Х^ - Х^ - Х9х.

Приведем систему дифференциальных уравнений чувствительности (13) к форме

(12):

0 0 0 кр 0 0 0 0 0

Х15( 0 0 0 0 кр 0 0 0 0 Х1х

0 0 0 0 0 кр 0 0 0 Х2х

х4% 0 0 0 0 0 0 с 3 0 0 Х3х Х4х

х6% 0 0 0 0 0 0 0 с 3 0 с 3 Х5х Х6%

0 0 0 0 0 0 0 0 Х7г

хч -«71 0 0 -$74 0 0 -$77 0 0 Х8г

х9г 0 -$82 0 0 -$85 0 0 -$88 0 _ Х9%

0 0 -$93 0 0 -$96 0 0 -$99

0 0 0 0 0 "

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 а0 ю0

0 0 с - 32" 1 Ь 0 1 3 10 иаз0

0 0 0 0 _ Мс0

к к к к дп рп рс п кдс крскп + с кдткп +Я к к к рп рс п 0

Ь2 Ь2 Ь2 Ь2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0 0 0 0 0

— — $01 —

$82

93

к к к к дп рп рс п

$74 — $8* — $ал —

$85

96

кдскрс кп + с _

$77 — $ — $ —

88

99

кдткп +Я

Ь ,4 85 96 ь " 88 99 Ь

Матрица выхода С{ в рассматриваемом случае является единичной, а матрица обхода - нулевой. Необходимость записи четырех матриц уравнений состояния и выхода обусловлена последующей дискретной аппроксимацией, как будет показано ниже.

+

Результаты и обсуждение (Results and Discution)

В следящем электроприводе в качестве исполнительного элемента применен двигатель постоянного тока типа 4ПБ112М2Г [17, 18]. Номинальные значения параметров следящего электропривода в соответствии со схемой на рис. 2 записываются в командном окне программной среды MatLab, численные значения параметров указаны в системе СИ:

R=1.47; c=0.663; L=0.011; J=0.015; Kum=10; Kdt=0.2; Kds=0.4; Kdp=6; Krp=30; Krs=15; Kp=10;

Аналоговая модель чувствительности следящего электропривода, полученная автором, в виде соответствующей Simulink-модели представлена на рисунке 3.

Рис. 3. Аналоговая модель чувствительности Fig. 3. Analog model of the servo drive

следящего электропривода в приложении Simulink sensitivity in the application Simulink *Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

Номинальные значения входных координат подаются на мультиплексор с применением блоков а0, w0, Ю, uza0, Mc0 и объединяются в вектор входных координат

= [°

о ыза0 Mc0 J . Основная матрица системы A{, матрица входа Б^

матрица выхода С{ и матрица обхода задаются в командном окне по уравнениям (12) и

реализуются в блоках Ax, Вх, Сх, и Dx соответственно. Демультиплексор разделяет вектор выхода на переменные ...х^, отображаемые в соответствующих блоках х1...х9, а блок

Display регистрирует установившиеся значения функций чувствительности. Из анализа рис. 3 следует, что координаты aR = х1{, rnR = х^, wj = х6{, iR = х7{ имеют установившиеся

значения х^уст, близкие к нулю (см. Display), остальные координаты имеют отличные от

нуля установившиеся значения. Величина х^уст свидетельствует о влиянии

соответствующего нестабильного параметра на i-ю выходную координату тем большее, чем больше значение х^уст. Так, из рис. 3 видно, что максимальное влияние оказывают

изменения момента инерции и индуктивности якорной цепи, что главным образом сказывается на токе якоря и в меньшей степени на скорости вращения и угловом перемещении вследствие свойства естественной робастности замкнутых систем управления.

Следует отметить, что значительную роль при формировании адаптивного алгоритма управления играют также динамические изменения координат ...х^, которые

под действием вариаций параметров достигают существенных значений. Количественную оценку влияния нестабильных параметров на выходные координаты следящего электропривода осуществим с применением квадратичного интегрального критерия

u

о

г

ьп— 14 л. 0

Соответствующие графики, полученные автором в результате моделирования, представлены на рисунках 4, 5.

xly(t),..., X9x(t), о.е.

у105

Add 2:1

Add 2:2 Add 2:3

—*-Add 2:5 — Add 2:6

Add 2:7 -1-Add 2:8 Add 2:9

ч/1 "N-ffhH- ■Ж П Н гт yrflfrm' TMtrttvl' WWrvPI'l«

t, c"

О 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.06 О.ОЭ 0.1

Рис. 4. Графики функций чувствительности Fig. 4. Graphs of sensitivity functions

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

[Mt)'...' S9 x(t)]10-6, о.е.

111111111 111111111 111111111 111111111 Gain25:1 Gain25:2

^pWfrH- +H-H ми uain^j Gain25:4 Gain25:5 Gain25:6 GainS 5:7 Gain25:B

-1-

t, c

0.03 0.04

О.Ов 0.0Э

t, c

Рис. 5. Графики количественных оценок функций Fig. 5. Graphs of quantitative estimates of sensitivity

чувствительности functions

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

На рисунках 4, 5 зависимости Add2:5, Add2:8 (Gain25:5, Gain25:8) соответствуют изменениям скорости вращения = и тока якоря iL = х8^ при вариациях

индуктивности якорной цепи, что подтверждается рядом исследований [10, 14, 17, 18]. При этом в установившихся режимах на выходные координаты модели чувствительности

главным образом влияют изменения приведенного момента инерции, как было отмечено выше (рис. 3).

Таким образом, вариации нестабильных параметров приводят к изменениям показателей качества переходных процессов следящего электропривода, а также вызывают изменения установившихся значений выходных координат. Оба фактора негативно сказываются на функционировании электропривода и могут привести к нежелательным динамическим выбросам и ошибкам слежения.

При формировании параметрически инвариантной системы управления следящего электропривода на основе градиентного алгоритма с применением модели чувствительности [20, 21] необходимо произвести дискретную аппроксимацию системы уравнений (12), что позволит реализовать соответствующую модель в виде программного кода [22, 23].

Решение уравнения состояния модели чувствительности (первого уравнения системы (12)) представляет собой сумму свободной и вынужденной составляющих и может быть записано в виде [24, 25]:

* * х(/) = е"Ах'хх(0)+ | е"АхХНи(т)Л = Ф(/)хх(0)+ | ф(/-т)Ви(т^т, (14)

т=0 т=0

где е ) = Ф(г) - фундаментальная матрица решений (переходная матрица).

Полагаем, что входной сигнал на шаге квантования с периодом дискретности То неизменен, т.е. и(г) = и (кТо) на интервале кТ0 < г <(к +1)70 и уравнение состояния на указанном интервале

г

х(г) = Ф(г-кТ0)хх(кТ0) + и (кТ0) | ф(г-т)Ви (т)Л . (15)

т=0

В момент времени г = (к +1) То уравнение состояния

(к+1)То

х [(к +1) То ] = Ф(Т,) хх(кТо)+ и (кТо) | ф[(к + 1)То-т] Ви (т)/т. (16)

кТо

Введем замену (к + 1)Т, - т = д и окончательно запишем

То

хх(к + 1) = Ф(То )хх(к)+ и (к) | Ф(д)Ви^д . (17)

о

В результате соответствие между матрицами аналоговой и цифровой моделей чувствительности можно выразить следующими соотношениями:

А^ =Ф(То ) = еАТо; То

Вй = | Ф(д^д = еАТоВ; (18)

о

С^ = С; Б, = Б.

Основной сложностью при дискретном преобразовании аналоговой модели чувствительности является вычисление матричной экспоненты и ее последующее интегрирование. Известны методы разложения матричной экспоненты в ряд

®(t> ) = ; в, = a-1

¿=о i •

(A ^0)- E

B,

i •

методы, основанные на преобразовании Лапласа L eATo = (sE - A) 1 или теореме Кэли-

Гамильтона и др. [26, 27]. Для дискретного преобразования уравнений высокого порядка целесообразно воспользоваться одним из методов дискретизации, интегрированным в программную среду MatLab.

Для многомерных систем (MIMO) в MatLab предусмотрены следующие приближенные методы дискретных преобразований: 1) zoh (zero-order hold) -экстраполяция нулевого порядка. Для данного метода u (t)= u (kTo) на интервале

kTQ < t <(k + l)To ; 2) foh (first-order hold) - экстраполяция первого порядка. Для данного

метода u (t) = u (k)+--0[u (k +1)- u (k)] на интервале k?0 < t <(k +1)70 ; 3) impulse -

To

метод инвариантного преобразования импульсной характеристики, обеспечивающий совпадение выходных координат аналогового объекта с соответствующими координатами цифрового объекта во временной области в моменты дискретизации. Недостатком метода является проявление эффекта наложения частот и искажение частотных характеристик цифрового объекта на частотах, близких к частоте Найквиста; 4) tustin - метод трапеций, обеспечивающий лучшее соответствие частотного диапазона между непрерывной и аналоговой системами за счет нелинейного преобразования шкалы частот, при котором бесконечный частотный диапазон аналоговой области конформно отображается в конечный диапазон частот дискретной области, ограниченный частотой Найквиста.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таким образом, наименьших вычислительных затрат при дискретной аппроксимации требует метод экстраполяции нулевого порядка, но при этом является и наименее точным, тогда как метод трапеций приводит к нелинейному отображению частотной шкалы, но обеспечивает наибольшее совпадение частотных характеристик аналоговой и цифровой систем.

Указанные методы дискретных преобразований реализуются в среде MatLab с применением функции c2d - continuous-to-discrete. Соответствующие скрипты и результаты вычислений для методов zoh и tustin представлены ниже в виде изображений командного окна MatLab и соответствующих таблиц.

Command Window ®

>> sysl=ss(А,В,С,D]; % коэффициенты матриц (12) Гз=0.001; % период дискретности sys2=c2d(sysl, Ts, 'zoh')

sys2

A

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

x1 0.9983 0 0 9.624e-05 0 0 1.955e-06 0 0

x2 0 0.9983 0 0 9.624e-05 0 0 1.955e-06 0

x3 0 0 0.9983 0 0 9.624e-05 0 0 1.955e-06

x4 -47.99 0 0 0.8905 0 0 0.03637 0 0

x5 0 -47.99 0 0 0.8905 0 0 0.03637 0

x6 0 0 -47.99 0 0 0.8905 0 0 0.03637

x7 -2020 0 0 -4.647 0 0 0.6309 0 0

x8 0 -2020 0 0 -4.647 0 0 0.6309 0

x9 0 0 -2020 0 0 -4.647 0 0 0.6309

B

u1 u2 u3 u4 u5

x1 0 0 -6.127e-08 0 0

x2 0.1504 0.0003379 1.933e-05 -0.02506 0

x3 0 0 -0.0001445 0 -7.397e-08

x4 0 0 -0.001777 0 0

x5 4363 9.802 0.5607 -727.1 0

x6 0 0 -2.836 0 -0.001452

x7 0 0 -0.07481 0 0

x8 1.836e+05 412.5 23.6 -3.06e+04 0

x9 0 0 7.299 0 0.003736

C

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

y1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

У2 0 1 0 0 0 0 0 0 0

y3 0 0 1 0 0 0 0 0 0

У4 0 0 0 1 0 0 0 0 0

y5 0 0 0 0 1 0 0 0 0

у6 0 0 0 0 0 1 0 0 0

У7 0 0 0 0 0 0 1 0 0

У8 0 0 0 0 0 0 0 1 0

У9 0 0 0 0 0 0 0 0 1

D

u1 u2 u3 u4 u5

У1 0 0 0 0 0

У2 0 0 0 0 0

y3 0 0 0 0 0

У4 0 0 0 0 0

У5 0 0 0 0 0

у6 0 0 0 0 0

У7 0 0 0 0 0

У8 0 0 0 0 0

У9 0 0 0 0 0

Command Window ®

» sysl=ss(А,В,С,D); % коэффициенты матриц (12) Тз=0.001; % период дискретности sys2=c2d(sysl, Ts, 'tustin')

sys2 =

A

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

x1 0.9978 0 0 9.489e-05 0 0 1.811e-06 0 0

x2 0 0.9978 0 0 9.489e-05 0 0 1.811e-06 0

x3 0 0 0.9978 0 0 9.489e-05 0 0 1.811e-06

x4 -44.46 0 0 0.8979 0 0 0.03623 0 0

x5 0 -44.46 0 0 0.8979 0 0 0.03623 0

x6 0 0 -44.46 0 0 0.8979 0 0 0.03623

x7 -2012 0 0 -4.621 0 0 0.6393 0 0

x8 0 -2012 0 0 -4.621 0 0 0.6393 0

x9 0 0 -2012 0 0 -4.621 0 0 0.6393

B

u1 u2 u3 u4 u5

x1 0 0 -8.234e-08 0 0

x2 0.2021 0.0004541 2.597e-05 -0.03368 0

x3 0 0 -0.0001398 0 -7.156e-08

x4 0 0 -0.001647 0 0

x5 4042 9.802 0.5195 -673.7 0

x6 0 0 -2.796 0 -0.001431

x7 0 0 -0.07451 0 0

x8 1.829e+05 410.9 23.51 -3.048e+04 0

x9 0 0 6.808 0 0.003485

C

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

y1 0.9989 0 0 4.745e-05 0 0 9.057e-07 0 0

У2 0 0.9989 0 0 4.745e-05 0 0 9.057e-07 0

y3 0 0 0.9989 0 0 4.745e-05 0 0 9.057e-07

У4 -22.23 0 0 0.9489 0 0 0.01811 0 0

У5 0 -22.23 0 0 0.9489 0 0 0.01811 0

У6 0 0 -22.23 0 0 0.9489 0 0 0.01811

У7 -1006 0 0 -2.31 0 0 0.8197 0 0

У8 0 -1006 0 0 -2.31 0 0 0.8197 0

У9 0 0 -1006 0 0 -2.31 0 0 0.8197

D

u1 u2 u3 u4 u5

у1 0 0 -4.117e-08 0 0

У2 0.1011 0.000227 1.299e-05 -0.01684 0

y3 0 0 -6.991e-05 0 -3.578e-08

У4 0 0 -0.0008234 0 0

У5 2021 4.541 0.2597 -336.8 0

У6 0 0 -1.398 0 -0.0007156

У7 0 0 -0.03726 0 0

у8 9.145e+04 205.5 11.75 -1.524e+04 0

У9 0 0 3.404 0 0.001742

Как видно из результатов, дискретное преобразование методом zoh соответствует выражению (18), тогда как при преобразовании Тастина с^ Ф с; б^ Ф б. Необходимым условием для возможности использования функции c2d является запись матриц С и Б в аналоговой модели, даже если они не влияют на динамику объекта исследования.

На рисунке 6 показана сформированная автором в приложении Smulink схема для анализа аналоговой и цифровых моделей чувствительности.

т

х= Лх+ Вы у = Сх+ Du

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ля+t = Ахд + Вип

>'л = Сх„ + Dur

Дл+1 = АДл + Внг y, = Cx„ + Dlb

-0.1388

-2.469е-05 5,765 -0.004364

2.622е-05

-26.58 0.02717

•64.07| 0 06577I

►

Рис. 6. Аналоговая и цифровые модели Fig. 6. Analog and digital sensitivity models in a чувствительности в приложении Simulink Simulink application

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

Модели чувствительности на рис. 6 представлены блоками State Space "Analog" для аналоговой модели и Discrete State Space "Tustin", "zoh" соответственно. Установившиеся значения выходных координат аналоговой и цифровых моделей чувствительности имеют существенные различия и для переменных (wL = и iL = максимальные значения

A О = -64,07

о.е.,

АХ5* = 32 34

Atustin 32,34

о.е. и

абсолютных погрешностей составляют

А ^ — 38,03 о.е., А^и — 4,493 о.е. На рисунке 7 показаны полученные автором графики

функций чувствительности для аналоговой модели и цифровой модели, полученной методом трапеций.

хЮ5 и

моделей Analog и Tustin Tustin models

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

Результаты исследования позволяют сделать вывод, что погрешность произведенных дискретных преобразований достигает существенных значений в установившемся режиме, а выбранный период дискретности Г0 = 0,001 с приводит к значительным динамическим погрешностям.

Таким образом, для повышения точности преобразования следует увеличивать частоту дискретизации и, при необходимости, использовать другие функции преобразования в программной среде MatLab. Одной из таких функций является функция bilinear, реализующая следующий вычислительный алгоритм:

А, =|Е - А -1

-1

1

E + А— I; B, = -=| E - А— 21J d yfx{ 21

1

-1

B;

-1

C =-F= C E - A— ; D = — C E - A —

-1

(18)

B + D,

где 1 = -

я/с

( -rrf \

л/l У '21J ' " 21 У "21,

- коэффициент, который зависит от частоты среза / и частоты

tg

/0

дискретизации /0 . Скрипт с применением функции bilinear представлен ниже:

А=[0 0 0 Кр 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 Кр 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 Кр 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 с/1 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 с/1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 с/1; -а71 0 0 -а74 0 0 -а77 0 0; 0 -а82 0 0 -а85 0 0 -а88 0; 0 0 -а93 0 0 -а96 0 0 -а99];

В=[0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 -сЛЛ2 0 -1/с; 0 0 -1/Ь 0 0; (Кар*Кгр*Кге*Кр)/Ъл2 (КаБ*Кге*Кр +с)/ЬЛ2 (К^Кр+Я)/^ -(30*15*10)^2 0; 0 0 0 0 0]; С=[1 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 1 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1];

Б=[0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0]; РБ=10000;

[А4 Ва, С4 Ба]=ЪШпеаг(А, В, С, Б, Б8)

Результат выполнения скрипта не показан в силу громоздкости результатов вычисления. На рисунке 8 показан фрагмент полученных автором функций чувствительности аналоговой модели и цифровой модели, полученной с применением билинейного преобразования.

у та5

ХЛ„, (t ) x^ (t) о е. 1 1.041е-14 | -2.437е-С®|

Ч V x1%(k Тс),... Тс), о.е

x9I (k | 2.028е-12|

\ | -4,887е-12 | 1.144e-0S|

/ \ | -9.528е-ю| | 5.188е-12|

/ | -1.211е-0б| | 1.022е-09|

/

\

ч

t, С

1 2 34 567 8 9 10 11

у10"3

Рис. 8. Графики функций чувствительности Fig. 8. Plots of sensitivity functions for Analog and моделей Analog и Bilinear Bilinear models

*Источник: Составлено авторами Source: compiled by the author.

Из анализа приведенных зависимостей видно, что графики аналоговой и цифровой моделей чувствительности при частоте дискретизации 10 кГц практически совпадают, а абсолютные погрешности установившихся значений, показанные в верхней правой части рис. 8 пренебрежимо малы.

Таким образом, исследование цифровых моделей чувствительности следящего электропривода показало преимущество билинейного дискретного преобразования аналоговой модели чувствительности с применением функции bilinear с запасом по частоте дискретизации, что позволило получить соответствующую цифровую модель, практически идентичную исходной аналоговой модели.

Выводы (Conclusions)

В работе сформулированы основные теоретические положения по формированию моделей чувствительности объектов с параметрической неопределенностью, описываемых уравнениями динамики в векторно-матричной форме. На основании структурной схемы непосредственного моделирования записаны дифференциальные уравнения следящего электропривода в форме Коши и получены соответствующие уравнения чувствительности координат электропривода по нестабильным параметрам электромеханического преобразователя постоянного тока: индуктивности и активного сопротивления якорной цепи и приведенного момента инерции. Получена многомерная аналоговая модель чувствительности следящего электропривода в форме пространства состояний, позволяющая выявить наиболее чувствительные к параметрическим возмущениям координаты объекта исследования, а также нестабильные параметры, оказывающие максимальное влияние на переходные и установившиеся режимы работы электропривода. Показано, что наибольшее влияние на функционирование следящего электропривода оказывают изменения индуктивности якорной цепи и приведенного момента инерции, а координатой с наибольшим дополнительным движением при параметрических возмущениях является ток якоря.

Рассмотрены методы дискретной аппроксимации аналоговой модели чувствительности, позволяющие получить соответствующие уравнения состояния цифровых моделей чувствительности в форме программного кода на языке MatLab с возможностью реализации полученных уравнений «в железе» с помощью микропроцессорных устройств. На основании анализа рассмотренных методов дискретной аппроксимации многомерных систем показано, что наилучшие результаты в смысле совпадения выходных координат цифровой модели чувствительности с исходной аналоговой моделью обеспечивает билинейное преобразование с частотой дискретизации, значительно превышающей частоту Найквиста (выборка с запасом по частоте).

Таким образом, в работе сформулирована сравнительно простая процедура по получению цифровой модели чувствительности на основании математического описания объекта исследования, функционирующего в условиях параметрической неопределенности,

что позволяет сформировать беспоисковый градиентный алгоритм управления следящего электропривода и реализовать его на базе современной микропроцессорной техники.

Литература

1. Langley R.S., Legault J., Woodhouse J. et al. On the applicability of the lognormal distribution in random dynamical systems. Journal of Sound and Vibration. 2013;332(13):3289-3302.

2. Bhaduri A., He Y., Shields M.D. et al. Stochastic collocation approach with adaptive mesh refinement for parametric uncertainty analysis. Journal of Computational Physics. 2018; 371: 732-750.

3. Паршуков А.Н. Критерий робастной устойчивости и качества управления линейной замкнутой системой в условиях структурно-параметрической неопределенности описания в передаточной функции объекта управления. Вестн. НГУ. Серия: Информационные технологии. 2017; 15(1):59-69.

4. Garatti S., Campi M.C. Modulating Robustness in Control Design: Principles and Algorithms. IEEE Cont. Syst. Mag. 2013;33(2):36-51.

5. Gryazina E., Polyak B. Random Sampling: Billiard Walk Algorithm. Europ. J. Oper. Res. 2014;238(2):497-504.

6. Panda A.K., Modak S.V. An FRF-based perturbation approach for stochastic updating of mass, stiffness and damping matrices. Mechanical Systems and Signal Processing. 2022;166:108416.

7. Garg S., Gupta H., Chakraborty S. Assessment of DeepONet for time dependent reliability analysis of dynamical systems subjected to stochastic loading. Engineering Structures. 2022;270:114811.

8. Ping Q., Yizhong W., Jianwan D. et al. A new sequential sampling method of surrogate models for design and optimization of dynamic systems. Mechanism and Machine Theory.2021;158:104248.

9. Елсуков В.С., Лачин В.И., Павлов В.В. Синтез систем управления со знакопеременной компенсирующей обратной связью в условиях ограниченной неопределенности. Изв. вузов. Электромеханика. 2020;63(5):40-45.

10. Малёв Н.А., Погодицкий О.В., Любарчук Ф.Н. Анализ вариаций параметров асинхронного электромеханического преобразователя по линейному интегральному критерию с применением эталонной модели. Вестник КГЭУ. 2019;1:60-67.

11. Tsvetkov V. Ya. Framework of Correlative Analysis. European researcher. Series A. 2012; 6-1 (23):839-844.

12. Furtat I., Fradkov A., Tsykunov A. Robust synchronization of linear dynamical systems with compensation of disturbances. Int. J. Robust and Nonlinear Control. 2014;24(17):2774-2784.

13. Панферов В.И. Параметрическая идентификация модели объекта управления по переходной функции работающей системы автоматического регулирования. Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника».2019;19(3):52-59.

14. Малёв Н.А., Погодицкий О.В., Козелков О.В., Малацион А.С. Цифровой алгоритм контроля функционирования электромеханического преобразователя постоянного тока. Известия высших учебных заведений. ПРОБЛЕМЫ ЭНЕРГЕТИКИ. 2022;24(1):126-140.

15. Goncalves M., Sousa P., Mendes J. et al. Real-Time Event-Driven Learning in Highly Volatile Systems: A Case for Embedded Machine Learning for SCADA Systems, IEEE Access. 2022;10: 5079450806.

16. Hulsmann J., Barbosa J., Steinke F. Local Interpretable Explanations of Energy System Designs. Energies. 2023; 16(5):2161.

17. Малёв Н.А., Погодицкий О.В., Малацион А.С. Метод формирования Q-таблиц для автоматизированного контроля параметров электромеханических преобразователей с применением линейного интегрального критерия. Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. 2020, № 22(2). С. 86-97.

18. Малёв Н.А., Погодицкий О.В., Цветкович А.М. Особенности применения теории чувствительности для анализа влияния параметрических возмущений на динамические свойства электромеханических преобразователей. Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. 2019;21(6):101-110.

19. Maler O., Manna Z., Pnueli A.: From Timed to Hybrid systems. Real Time: Theory in Practice, Lecture Notes in Comp.Sc. 1992; 600:447-484.

20. Pan J., Jiang X., Wan X. et al. A filtering based multi-innovation extended stochastic gradient algorithm for multivariable control systems. Int. J. ControlAutom. Syst. 2017;15:1189-1197.

21. Ma J. X., Xiong W. L., Ding F. Iterative identification algorithms for input nonlinear output error autoregressive systems. International Journal of Control, Automation, and Systems. 2016;14(1): 140-147.

22. Xu L., Ding F. The parameter estimation algorithms for dynamical response signals based on the multiinnovation theory and the hierarchical principle. IET Signal Processing. 2017; 11(2):228-237.

23. Dincel E., Mutlu I., Schrodel F. et al. Further Results on Dominant Pole Placement via Stability Mapping Approach. IFAC-PapersOnLine, 2018; 51(4):918-923.

24. Duman-Mammadov A., Dincel E., Soylemez M.T. Design of decentralized proportional-integral proportional-retarded controllers in discrete-time domain for two-input two-output processes. Transactions of the Institute of Measurement and Control. 2023;45(3):427-439.

25. Das S., Halder K., Gupta A. Delay handling method in dominant pole placement based PID controller design. IEEE Transactions on Industrial Informatics..2019; 16(2):980-991.

26. Derksen H., Makam V. Invariant Theory and wheeled PROPs. Journal of Pure and Applied Algebra. 2023; 227(9):107302.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

27. Kemper G. Computing quotients by connected solvable groups. Journal of Symbolic Computation. 2022;109:426-440.

Авторы публикации

Малёв Николай Анатольевич - канд. техн. наук., доцент кафедры Приборостроение и мехатроника Казанского государственного энергетического университета.

References

1. Langley R.S., Legault J., Woodhouse J. et al. On the applicability of the lognormal distribution in random dynamical systems. Journal of Sound and Vibration. 2013;332(13):3289-3302.

2. Bhaduri A., He Y., Shields M.D. et al. Stochastic collocation approach with adaptive mesh refinement for parametric uncertainty analysis. Journal of Computational Physics. 2018; 371: 732-750.

3. Parshukov A. N. New Robust Stability and Robust Performance Criterion for Linear Closed Loop Systems with Indeterminacy of Structure and Parametric Uncertainty into Transfer Function of Object Control. Vestnik NSU. Series: Information Technologies. 2017;15(1):59-69 (in Russ.).

4. Garatti S., Campi M.C. Modulating Robustness in Control Design: Principles and Algorithms. IEEE Cont. Syst. Mag. 2013;33(2):36-51.

5. Gryazina E., Polyak B. Random Sampling: Billiard Walk Algorithm. Europ. J. Oper. Res. 2014;238(2):497-504.

6. Panda A.K., Modak S.V. An FRF-based perturbation approach for stochastic updating of mass, stiffness and damping matrices. Mechanical Systems and Signal Processing. 2022;166:108416.

7. Garg S., Gupta H., Chakraborty S. Assessment of DeepONet for time dependent reliability analysis of dynamical systems subjected to stochastic loading. Engineering Structures. 2022;270:114811.

8. Ping Q., Yizhong W., Jianwan D. et al. A new sequential sampling method of surrogate models for design and optimization of dynamic systems. Mechanism and Machine Theory.2021;158:104248.

9. Elsukov V.S., Lachin V.I., Pavlov V.V. Synthesis of Control Systems with Sign-To-Effect Compensating Feedback in Conditions of Limited Uncertainty. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika, Russian Electromechanics. 2020; 63(5):40-45.

10. Malev N.A., Pogoditsky O.V. Research and synthesis of the modal regulator of the two-mass electromechanical system of the crane lifting mechanism. Proceedings of the higher educational institutions. Energy sector problems. 2018; 20(7-8):99-106. (In Russ.).

11. Tsvetkov V. Ya. Framework of Correlative Analysis. European researcher. Series A. 2012; 6-1 (23):839-844.

12. Furtat I., Fradkov A., Tsykunov A. Robust synchronization of linear dynamical systems with compensation of disturbances. Int. J. Robust and Nonlinear Control. 2014;24(17):2774-2784.

13. Panferov V.I., Panferov S.V., Haldin K.S. Parametric Identification of the Model of Object Management by Transitional Function Working System Automatic Regulation. Bulletin of the South Ural State University. Ser. Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics. 2019;19(3):52-59. (in Russ.).

14. Malev N.A., Pogoditsky O.V., Kozelkov O.V., Malacion A.S. Digital algorithm monitoring functioning of electromechanical dc converter. Power engineering: research, equipment, technology. 2022;24(1):126-140. (In Russ.).

15. Goncalves M., Sousa P., Mendes J. et al. Real-Time Event-Driven Learning in Highly Volatile Systems: A Case for Embedded Machine Learning for SCADA Systems, IEEE Access. 2022;10: 5079450806.

16. Hulsmann J., Barbosa J., Steinke F. Local Interpretable Explanations of Energy System Designs. Energies. 2023; 16(5):2161.

17. Malev N.A., Pogoditsky O.V., Malacion A.S. Q-tables formation method for automated monitoring of electromechanical converters parameters with application of linear integral criterion. Power engineering: research, equipment, technology. 2020;22(2):86-97. (In Russ.).

18. Malev N.A., Pogoditsky O.V., Cvetkovich A.M. Features of application of sensitivity theory for analysis of influence of parametric disturbances on dynamic properties electromechanical con-verters. Power engineering: research, equipment, technology. 2019;21(6):101-110. (In Russ.).