ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕНД-СЕЗОННЫХ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 330.4

Исследование тренд-сезонных экономических процессов Е. С. Магомедова, П.Х. Османова

Среди большого разнообразия экономико-математических методов, используемых для решения задач управления, особое место занимают методы и модели прогнозирования.

В ходе решения задачи прогнозирования пользуются ограниченным количеством информации об одномерном временном ряде конечной длины. При этом в экономике исследуются дискретные временные ряды, наблюдаемые в дискретные моменты времени.

Дискретный временной ряд можно рассматривать как последовательность значенийу1} у2, уп в моменты времени 7, или сокращенно уг (7 = 1, 2, п).

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах часто возникают более или менее регулярные колебания - периодические составляющие рядов динамики, в результате чего значения уровней временных рядов могут содержать следующие компоненты (составные части):

• тренд;

• сезонную компоненту;

• циклическую компоненту;

• случайную компоненту.

Если период колебаний не превышает одного года, то их называют сезонными.

Влияние сезонности на экономику вполне очевидно, оно проявляется в аритмии производственных и других процессов: недогрузка производственных мощностей в одни периоды года и более интенсивное их использование в другие; неравномерное распределение внутри рамок года объемов грузооборота и товарооборота и т. д.

Рассмотрим тренд-сезонный временной ряд {у}, г = 1, Т, порождаемый аддитивным случайным процессом:

Уг = иг + + е7 , 7 = 1,Т (1)

где и{ - тренд; - сезонная компонента; ег - случайная компонента; Т -число уровней наблюдения.

Относительно и{ предполагается, что это некоторая гладкая функция, степень гладкости которой заранее неизвестна. Сезонная компонента имеет период Т0 : Уг+То = V, (Т0 = 12 для ряда месячных данных; Т0 = 4 - для ряда квартальных данных) и Т0 нацело делит Т, т. е. Т = mx Т0, m - целое число. Очевидно, если Т0 - число месяцев или кварталов в году, то m - число лет, представленных во временном ряду {у}. Часто исходные данные тренд-сезонного временного ряда представляются в виде матрицы {уразмера [т х Т0]. В этом случае выражение (1) перепишется с учетом введения

г =

Т 10

+1

и V-/ 1 /тт

двойной индексации: у7 = иц + + е7, г = т, 7 = 1, Т0, где

7 = *- (г -1) х То, [ ] означает целую часть.

Проблема анализа сезонности заключается в исследовании собственно сезонных колебаний и в изучении того внешнего циклического механизма, который их вызывает. Для исследования сезонных колебаний вне связи с причинами, их порождающими, очевидно, необходимо отфильтровать из временного ряда {у} сезонную компоненту у, а уже затем анализировать ее динамику.

Выявление наличия во временном ряду сезонных колебаний сводится к проверке на случайность остаточного ряда: {II? = у? - и* .

Анализ динамики, или эволюция, сезонной волны включает 3 компонента: 1) анализ динамики амплитуды сезонной волны в каждом месяце (квартале, неделе); 2) анализ динамики точек экстремума сезонный волны; 3) исследование изменений формы волны.

Очевидно, что процедуры расчета зависят от принятой модели временного ряда, содержащей сезонность в аддитивной или мультипликативной форме. При этом для аддитивной модели характеристики сезонности будут измеряться в абсолютных величинах, а для мультипликативной - в относительных.

Рассмотрим алгоритм расчета сезонной составляющей для случая аддитивной сезонности.

1. Для описания тенденции воспользуемся процедурой скользящей средней при четной длине интервала сглаживания I = 2р. Тогда для временных рядов месячной динамики скользящая средняя при I = 12 на каждом активном участке будет определяться выражением

11

-у*-б + Л-5 + ••• + у* + ••• + У*+5 +- у*+б

у'=1-12-—• (2)

Аналогичное выражение можно записать для определения скользящей средней при I = 4, часто используемой для рядов квартальной динамики:

11

-Уг - 2 + у*-1 + у* + у*+1 +- у*+2

у'= --4-2—• (3)

2. Рассчитаем отклонения фактических значений от уровней сглаженного ряда:

** = у* - у; • (4)

Уровни вновь полученного ряда отражают эффект сезонности и случайности.

3. Для элиминирования влияния случайных факторов определим предварительные значения сезонной составляющей как средние значения из уровней для одноименных месяцев (кварталов). Например, для временных рядов месячной динамики процедура усреднения может быть описана выражением:

' 1 к

7 X х12 1+г при г = 1,2,-,б;

к 7=1

" 1 к-1 (5)

7 X Х12 1+г при * = 7,8,-Д2,

7 1=0

где к - число целых периодов (циклов) во временном ряду, полученном на втором шаге.

4. Проведем корректировку первоначальных значений сезонной составляющей, вызванную тем, что суммарное воздействие сезонности на динамику предполагается нейтральным. Для аддитивного случая сумма значений сезонной составляющей для полного сезонного цикла должна быть равна нулю. Поэтому окончательные, скорректированные оценки сезонной компоненты определим с помощью следующего выражения:

8г = Хг - х (г = 1,2,..., т), (6)

_ 1 т _

где х = —X хг ; т - число фаз в полном сезонном цикле (как правило,

т г=1

т = 12 для рядов месячной динамики и т = 4 для квартальных данных).

Для мультипликативной формы сезонности меняется содержание 2 и 4-го этапов алгоритма. Очевидно, что на втором шаге знак вычитания необходимо заменить делением:

Х = Уг / у;. (7)

После получения предварительных оценок сезонности усреднением на шаге 3 следует выполнить процедуру их корректировки. Взаимопогашае-мость сезонных колебаний в мультипликативной форме выражается в том, что средняя арифметическая значений коэффициентов сезонности для полного сезонного цикла должна быть равна 1. Поэтому окончательные оценки коэффициентов сезонности получим с помощью следующего выражения:

= ХгХ (г = 1,2,...,т), (8)

- т ,

где х = ——, т - число фаз в полном сезонном цикле.

X Хг

г=1

Процедуру построения тренд-сезонных моделей можно описать в виде следующей последовательности шагов:

1. Оценивание сезонной составляющей по описанной схеме (2) - (8) с учетом характера сезонности (аддитивной или мультипликативной).

2. Сезонная корректировка (десезонализация) исходных данных.

3. Расчет параметров тренда на основе временного ряда, полученного на втором шаге.

4. Моделирование динамики исходного ряда с учетом трендовой и сезонной составляющих.

5. Оценка точности и адекватности полученной модели.

6. Использование построенной модели для прогнозирования. Применяя рассмотренные методы, рассчитаем прогнозную оценку финансирования РЦП ВИЧ в Дагестане на 2006, 2007, 2008 гг.

В таблице представлены квартальные данные финансирования РЦП «Анти ВИЧ - СПИД» за 2000 - 2005 гг.:

Год 2000 2001 2002

Квартал 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

г 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Финансирование, тыс. РУб- 23 25 24 28 49 48 54 49 74 82 87 97

Год 2003 21 304 20 05

Квартал 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

г 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Финансирование, тыс. РУб* 108,9 113 117,5 123,8 138,8 144 149,5 154,1 97,4 90,75 94,3 104,3

Источник: Данные СПИД-центра РД.

Графический анализ исходного временного ряда свидетельствует о наличии некоторой тенденции, при этом в динамике развития данного показателя наблюдаются регулярные колебания.

160

ш

е

| 140 гс ш о

£ 120 о

X

га

== 100 80 60 40 20 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

кварталы

Проведем тренд-сезонный анализ имеющегося временного ряда. Для описания тенденции воспользуемся выражением

11

- 2 + Уг-1 + Уг + Л+1 + - у1 + 2

у;=--2—.

4

Вычитая из фактических уровней значения сглаженного ряда, получим временной ряд, уровни которого Хг отражают влияние случайных факторов и сезонности (см. табл.):

Квартал г Финансирование, тыс. руб. у; хг = у( - у;

1 1 23 — ---

2 2 25 — ---

3 3 24 28,25 -4,25

4 4 28 34,38 -6,38

1 5 49 41,00 8,00

2 6 48 47,38 0,63

3 7 54 53,13 0,88

4 8 49 60,50 -11,50

1 9 74 68,88 5,13

2 10 82 79,00 3,00

3 11 87 89,36 -2,36

4 12 97 97,60 -0,60

1 13 108,9 105,29 3,61

2 14 113 112,45 0,55

3 15 117,5 119,54 -2,04

4 16 123,8 127,15 -3,35

1 17 138,8 135,03 3,78

2 18 144 142,81 1,19

3 19 149,5 141,43 8,07

4 20 154,1 129,59 24,51

1 21 97,4 116,04 -18,64

2 22 90,75 102,91 -12,16

3 23 94,3 --- ---

4 24 104,25 --- ---

Предварительную оценку сезонной компоненты получим усреднением уровней временного ряда х{ для одноименных кварталов. Например, значение сезонной составляющей для 1-го квартала:

_ = 8,00 + 5,13 + 3,61 + 3,78 -18,64

х1 =-= 0,38

15

Аналогично вычислены х2, х3, х4: х2 = -1,36; х3 = 0,06; х4 = 0,54.

4

Т. к. X хг =-0,39 (отлична от нуля), то проведем корректировку значений

г=1

сезонной составляющей. В соответствии с 5г = х* - х (г = 1,4), найдем «по-

правку», на которую надо изменить предварительные оценки сезонности:

- 1 - 0,39

х = -X х! = —— = -0,0969 . 4£ 4

Скорректированные оценки сезонности (например, оценка сезонной компоненты для 1-го квартала = 0,38 - (-0,0969) = 0,47) приведены в табл.:

Предварительная Скорректированные

Квартал г оценка сезонной значения сезонной

компоненты хг компоненты 5г

1 1 0,38 0,47

2 2 -1,36 -1,26

3 3 0,06 0,16

4 4 0,54 0,63

Е -0,39 0

Теперь необходимо удалить из исходного ряда сезонную составляющую, т. е. провести сезонную корректировку (десезонализацию) исходных данных у1 - = ~ (см. табл.):

г Финансирование, тыс. руб. Сезонная компонента Десезонализированный исходный ряд

1 23 0,47 22,53

2 25 -1,26 26,26

3 24 0,16 23,84

4 28 0,63 27,37

5 49 0,47 48,53

6 48 -1,26 49,26

7 54 0,16 53,84

8 49 0,63 48,37

9 74 0,47 73,53

10 82 -1,26 83,26

11 87 0,16 86,84

12 97 0,63 96,37

13 108,9 0,47 108,43

14 113 -1,26 114,26

15 117,5 0,16 117,34

16 123,8 0,63 123,17

17 138,8 0,47 138,33

18 144 -1,26 145,26

19 149,5 0,16 149,34

20 154,1 0,63 153,47

21 97,4 0,47 96,93

22 90,75 -1,26 92,01

23 94,3 0,16 94,14

24 104,25 0,63 103,62

Построив график десезонализированных данных, делаем предположение о наличии трендовой составляющей, после чего можно перейти к построению моделей.

Таблица построенных моделей

Порядок модели У = А0 + АН + А2*2 + ... АО А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7

1-го порядка 26,3 4,8

2-го порядка -14,1 14,2 -0,37

3-го порядка 27,3 -3,9 1,4 -0,05

4-го порядка 27 -3,7 1,4 -0,05 -0,00004

5-го порядка 2,2 19,5 -4,6 0,57 -0,028 0,00044

6-го порядка 53 -41,1 16,8 -2,67 0,21 -0,0078 0,00011

7-го порядка 2,4 31,8 -16,3 4,09 -0,5 0,032 -0,001 0,000013

Рассчитав для каждой из полученных моделей показатели точности, выберем наиболее точную среди них (полином 6-го порядка): € = 53 - 411 + 16,8*2 - 2,67г3 + 0,21*4 - 0,0078 г5 + 0,00011 г6 ;

1

У - %

Уг

•100% »10,1%.

Е отн — / 1

п г—1

Проверим, является ли данная модель адекватной. Для этого найдем значения остаточного ряда по формуле

ег = Уг - % (г = 1 2 п ). Итак, получим:

г Финансирование уп тыс. руб. € е г = Уг - %

1 22,53 26,21 -3,677

2 26,26 19,66 6,604

3 23,84 23,81 0,029

4 27,37 32,42 -5,052

21 96,93 121,09 -24,158

22 92,01 107,95 -15,936

23 94,14 101,29 -7,154

24 103,62 111,29 -7,675

^ Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности.

Для исследуемого ряда остатков образуется последовательность из плюсов и минусов:

г 1 2 3 4 5 21 22 23 24

е г -3,677 6,604 0,029 -5,052 6,72 -24,158 -15,936 -7,154 -7,675

8 г + - - + - + + -

Число серий у(24) = 12, протяженность самой длинной серии т тах (24) = 4, по таблице т 0 (24) = 5. Запишем систему неравенств вида:

у(п) >

1(2„ -1) -1,96,1^:29 3 V 90

Ттах (п) < Т0(п)'

12 >

1(2. 24 -1) -1,96 •24 - 29

, 4 < 5 или 12 > 11, 4 < 5.

З V 90

Оба эти неравенства выполняются, поэтому остаточный ряд удовлетворяет критерию случайности.

^ Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения.

е - е .

Для этого воспользуемся ЛЬ-критерием: ЛЬ = тах тт . Итак,

^ е 2/(п -1)

19,З4 - (-24,16) , ^ _ ЯЬрасч =—, = 4,41. Поскольку расчетное значение Ль-критерия

расч ^2237,91/23

попадает в критические границы (3,34 - 4,71), то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.

^ Проверка независимости значений уровней остаточной последова-

¿(ег - ег-1 )2

тельности с помощью д-критерия Дабина - Уотсона: ё = —-. Оп-

I е;

.2

и

г=1

978 99

ределим ёрасч : ёрасч = 55641 = 1,53 . ИTаK, мы получили ёрасч > ёкрит(1,45) ; следовательно, уровни остаточного ряда независимы.

На основании указанных показателей можно сделать вывод, что исследуемая трендовая модель У = 53 - 41,1г + 1б,8г2 - 2,67г3 + 0,21г4 - 0,0078 г5 + 0,00011 г6

отвечает всем требованиям качества: точности и адекватности.

Перейдем к построению прогнозов. Построим точечный прогноз на 4 квартала вперед, подставив значения г = {25,26,27,28} в имеющуюся модель:

У = 53 - 41,1г + 16,8г2 - 2,67г3 + 0,21г4 - 0,0078 г5 + 0,00011 г6

£5 = 152,5 ; У26 = 245 ; £7 = 414,8 ; ^ = 695,9 .

Построим соответствующие интервальные прогнозы, т. е. для каждого точечного прогноза укажем границы, в которых с определенным уровнем значимости будет изменяться прогнозируемая величина. Для этого определим стандартную ошибку

^ =

I (У - У )2 ,

, где к - число параметров модели.

п - к

2237 91

£ (уг - % )2 = Е е2 = 2237,91. Таким образом, ^ = ^ 24 7 = 11,47. Формула для расчета доверительного интервала имеет вид:

иу = €п+1 ± га^

1

1 +1 + 3(*г - г")2 п Е (г-г")2

где = п + £ - время, для которого делается прогноз Для гь = 24 +1 = 25 имеем

, 1 3(25 -12,5)2 , ЛЛ 1 + — + ^--Ат = 1,09.

24 £ (г -12,5)2

Для числа степеней свободы V = п - 2 = 22 и для уровня значимости а = 0,05 га = 2,07 . Следовательно, окончательный интервальный прогноз

будет:

152,5 - 2,07 • 11,47 • 1,09 < ^ < 152,5 + 2,07 • 11,47 • 1,09 или 126,8 < У€1 < 178,3. То есть прогнозное значение расходов бюджета республики будет находиться в границах от 126,8 до 178,3 тыс. руб.

Аналогичным образом получаются интервальные прогнозы для %26, %27

и у28: 218,9 < у26 < 271; 388,6 < %27 < 441,1; 669,3 < %28 < 722,4.

Поскольку далеко не все социально-экономические процессы и явления имеют «гладкий» характер и практически всегда имеются различного рода отклонения в динамике их развития, появляется необходимость в их выделении и исключении, методология которых была представлена в данной работе.

Литература

1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 432 с.

2. Магомедова Е.С., Османова П.Х. Динамика распространения ВИЧ-инфекции: прогнозные оценки и модели // Вестник ДГУ. Естественные науки. 2007. Вып. 1. - С. 79 - 86.

3. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 206 с.

4. Рыжиков И.В. Отдельные аспекты занятости и безработицы среди молодежи // Вопросы статистики. 2006. № 5. - С. 78 - 87.

5. Шмойлова Р.А. Теория статистики. - 4-е изд. - М.: Финансы и статистика, 2003.

6. Экономико-математические методы и прикладные модели / Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. и др.; Под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 391 с.