Исследование траекторий намагниченной частицы в плоскости экватора магнитного диполя Текст научной статьи по специальности «Математика»

Исследование траекторий намагниченной частицы в плоскости экватора

магнитного диполя

В. И. Денисов1, A.B. Козарь2-0, В.Ф. Шарихин3

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет,

1 кафедра квантовой теории и физики высоких энергий; 2 кафедра фотоники и физики микроволн. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

3 Московский энергетический институт, кафедра общей физики. Россия, 111250, Москва,

Красноказарменная ул., д. 14.

E-mail: а avk@phys.msu.ru

Статья поступила 29.01.2010, подписана в печать 13.03.2010

Рассмотрено движение намагниченной частицы в плоскости экватора внешнего магнитного дипольного поля. Проведен анализ и классификация типов траекторий этой частицы. Показано, что в зависимости от энергии и ориентации ее магнитного дипольного момента возможны восемь различных типов траекторий. Это позволяет использовать внешнее магнитное поле для перемещения намагниченной частицы в любую точку плоскости магнитного экватора.

Ключевые слова: магнитный дипольный момент, магнитное поле, уравнение траектории, первые интегралы.

УДК: 537.63. PACS: 41.20.Gz.

Введение

В последнее время в связи с успехами в развитии нанотехнологий значительно возрос интерес к задачам о движении наночастиц во внешних магнитных полях. Это связано с тем, что при создании различных наноструктур из магнитных материалов практически единственным способом [1, 2] для управления перемещением таких частиц является воздействие внешним магнитным полем на их дипольные моменты.

Для осуществления целенаправленных перемещений необходимо знание основных закономерностей движения массивных магнитных диполей в неоднородных магнитных полях.

В нерелятивистском случае уравнения движения таких диполей имеют вид [3]

= ^ = [М1Н], (1)

где т — масса частицы, М1 — ее магнитный дипольный момент, £ — суммарный момент импульса частицы.

Эти уравнения существенно нелинейны и в общем случае допускают только численные решения. Однако имеются некоторые частные случаи, когда уравнения (1) можно решить точно. Рассмотрим один из них.

Предположим, что внешнее магнитное поле создается неподвижным магнитным диполем М2:

3 (М2г)г^М2г2

Н

(2)

Предположим далее, что в этом поле движется электрически нейтральная частица массы т, обладающая магнитным дипольным моментом М\. Из последнего уравнения системы (1) следует, что движение частицы не будет сопровождаться изменением ориентации ее магнитного дипольного момента, если вектор на всей траектории окажется коллинеарным вектору внешнего магнитного поля Н. Такое условие выполняется, например, когда частица движется в плоскости магнит-

ного экватора поля (2) и ее вектор М1 коллинеарен вектору М2. Изучим возможные типы траекторий при таком движении.

1. Уравнения движения частицы в плоскости магнитного экватора

Предположим, что внешнее магнитное поле (2) создается магнитом, масса которого значительно больше массы т. Поместим в центр этого магнита начало координат, ориентировав ось 2 вдоль вектора М2. Пусть массивная частица с магнитным дипольным моментом движется в плоскости магнитного экватора внешнего поля (2) и вектор М1 коллинеарен вектору М2. В этом случае система уравнений (1) примет вид:

й2г 3 (МгМ2)г йЬ

mdfi

= 0,

(3)

г5 ' сИ где г = хех+ уеу.

Система уравнений (3) обладает двумя первыми интегралами: интегралом энергии

тг2 (М1М2)

и момента импульса

т[гг] = тСо, Ь = Ь$, где Ео, Со и £о — постоянные, причем

тщ (МгМ2) _

£о — —Н--з-. ^о iTo^oJ ■

z ro

(4)

Вводя в плоскости магнитного экватора полярные координаты, перепишем первые интегралы в виде

тг.9 (MiM2) _ о

—{г + г (р у + - -2

2 I- 1 ■ т' .я 1 гз =Ео, г2ф = С0. (5)

Переходя, как и в задачах небесной механики, к новой переменной и = 1 /г, систему уравнений (5) приведем к виду

2£п

du V

dip) mCl

2(Mi M2)

и2 —= 1 (6) dp CqU2

Таким образом, приходим к задаче, аналогичной задаче о движении массивной частицы в пространстве Шварцшильда [4], только с другим потенциалом взаимодействия.

Интегрируя уравнения (6), получим уравнение траектории диполя ip = ip{r) и закон его движения t = t{r) по этой траектории:

1 /г

Ф) = Щ±

du

1/Го

л/Щ^У

t = h±yr

l/r

du

lAb

2л/Щй)'

(7)

где знаки перед интегралами выбираются так, чтобы решение удовлетворяло начальным условиям, а

2Е0

тС$

тС|

(8)

Оба интеграла в выражениях (7) в общем случае сводятся к эллиптическим функциям, что не позволяет наглядно проанализировать полученные решения. Поэтому проведем качественное исследование [5] возможных типов траекторий магнитного диполя. Так как результаты такого исследования существенно зависят от знака скалярного произведения (М1М2), то рассмотрим эти случаи по отдельности.

2. Типы траекторий магнитного диполя при антипараллельных векторах М\ и М2

В случае, когда векторы М\ и М2 антипараллель-ны, выражение (8) принимает вид

тС$

2£0 тС|

Как известно [5], вид траектории во многом определяется количеством и взаимным расположением вещественных корней уравнения Ф(и) = 0. Так как функция Ф(и) является кубической относительно переменной и, то уравнение Ф(и) = 0 имеет три корня. Эти корни, согласно теореме Виета, удовлетворяют соотношениям

щ + U2 + щ-

тС2

—2—, щщ + щщ + щщ = 0,

2 MiM2

U\£¿2 ¿¿3

En

О)

М1М2 '

Вычислим дискриминант D уравнения Ф(и) = 0: Ео

D =

En

т3С$

(10)

(2MiM2)2Lu 54(MiM2)2 J '

Так как в рассматриваемом случае энергия диполя (4)

mvl М1М2

пять типов траекторий магнитного диполя. Рассмотрим их по очереди.

1. При Ео > ш3Сц/(54М2М|) дискриминант D положителен, поэтому кубическое уравнение Ф(и) = 0 имеет [6] один действительный корень щ и два комплексно сопряженных щ = b\ + ic\, щ = Ь\ - ic\. Согласно последнему соотношению (9), действительный корень должен быть отрицательным: ui = -a\<0. Поэтому в рассматриваемом случае функция Ф (и) может быть представлена в виде

Щи) = УЩ?-(и + а21)[(и-Ь1)2 + <?1]. (11)

Из выражения (11) следует, что при неотрицательных значениях и функция Ф(и)>0. Поэтому и будет монотонной функцией полярного угла ip, т.е. на траектории будут отсутствовать точки поворота и предельные точки. Это означает, что при Е0 > т3Ср/(54М2М|), в зависимости от начальных условий, траектория является либо инфинитной (и-¥ 0, г-¥оо), либо финитной (и-¥ оо, г —> 0). Конкретный вид траектории зависит от знака du!dip в начальный момент времени t = to-Так как при и > 0 выполняется условие Ф(и)^0, то возможны два случая, a) du/dip > О при t = to-В этом случае уравнение (6) принимает вид

(u + a?)[(u-ôi)2 + cf],

показывающий, что и монотонно возрастает с ростом полярного угла ц>.

Найдем асимптотическое выражение для этой траектории при и-¥ оо (г-¥ 0 — финитное движение). При и-¥ оо уравнение (6) принимает вид

шС|

иа.

Интегрируя его, найдем уравнение для финитной части траектории:

1 МхМг 2

(12)

£п =

является знаконеопределенной функцией от разности двух положительных величин 2 > О и М\М2/г^>0, то дискриминант (10) в областях Е0<0 и Е0 > ш3Ср/(54М2М|) положителен, при Е0 = ш3Ср/(54М2М|) и Е0 = 0 равен нулю и отрицателен при 0 < Ео < ш3Сц/(54М2М|). Это означает, что при антипараллельных векторах М\ и Мч возможны

где <р 1 — константа интегрирования, определяемая начальными условиями, и выражение (12) справедливо при 1р ^ <р\.

Из выражения (12) следует, что на финитной части траектории расстояние между диполями асимптотически сокращается пропорционально квадрату разности (<£> —<£>1) и при значении полярного угла ц> = ц>\ это расстояние становится равным нулю.

б) du/dlp< 0 при ¿ = ¿0.

В этом случае уравнение (6) принимает вид

du

dip

/2MiM2

{и + а\)[{и ^ bi)2 + с2].

Из этого уравнения следует, что и является монотонно убывающей функцией полярного угла ц>. При и—¥ 0 (или г оо) имеем

du

dip

I2M1M2 9 г < О

Отсюда получим асимптотическое выражение для ин-финитной части траектории

1 _ _

и

где (р\ — константа интегрирования, определяемая начальными условиями.

Таким образом, на инфинитной части траектории расстояние между диполями М\ и М2 растет обратно пропорционально разности (<£> — <£>*), обращаясь в бесконечность при конечном значении (р = (р* полярного угла.

Типичный вид траектории диполя при >

> приведен на рис. 1.

270

Рис. 1. Типичный

вид траектории Е0 > т3С06/(54М?М22)

диполя при

йиу _ 2МХМ2

тС£

тС1

змхм2

(13)

Из этого уравнения следует, что траектория диполя М\ предопределяется начальными условиями для и при t = t0.

Если и = тСд/(ЗМхМ2) в начальный момент времени, то йи/й(р = 0 и диполь движется по круговой орбите радиуса Я = г0 = ЗМхМ2/(тС^) с частотой ио = т2С1/{Ж\М22).

В случае, когда в начальный момент времени t = tо магнитный диполь находится внутри окружности радиуса Я = г0 = ЗМхМ2/(тС^), решение уравнения (13) имеет вид

1 тС1

7 = и = ~тхм2

1 - 3 сШ2

(14)

где ср2 — константа интегрирования, начальными условиями.

определяемая

Из этого выражения следует, что и —>• оо (или Г —^ 0) При (Р = (Р2 , а ПРИ ~~^ ^^ диполь

асимптотически приближается к окружности радиуса Я = го = ЗМхМ2/(тС^), совершая бесконечное число оборотов.

Если же в начальный момент времени t = tо магнитный диполь находится вне окружности радиуса Я = г0 = ЗМ\М2/(тС^), решение уравнения (13) имеет вид

' ¥> - Ч>\

1 тСд

7 = и = бмхм2

-1

(15)

где — константа интегрирования, определяемая начальными условиями.

Так как переменная и должна быть неотрицательной величиной, то из этого выражения следует, что при стремлении полярного угла (р к некоторому значению (р = (рь, удовлетворяющему условию \.Ъ2[((рь — р2)/2] = 1/3, магнитный диполь удаляется на пространственную бесконечность, а при (р — -л =Ьоо он асимптотически приближается к окружности радиуса Я = го = ЗМХМ2/(тС^), совершая бесконечное число оборотов.

Примеры возможных траекторий, описываемых уравнениями (14) и (15), приведены на рис. 2.

2. При Е0 = т3СЦ/(54М^М%) дискриминант В = 0 и уравнение Ф(и) = 0 имеет три действительных корня, два из которых совпадают. В этом случае уравнение (6) принимает вид

270

Рис. 2. Примеры возможных траекторий, описываемых уравнениями (14) и (15)

3. При 0 < Е0 < тъС^/(Ь4М\М1) дискриминант В отрицателен и уравнение Ф(и) = 0 имеет три различных действительных корня. Согласно двум последним соотношениям (9), один действительный корень должен быть отрицательным, а остальные два — положительными: их = а\ > 0, и2 = Ь\ > 0, щ = —с\ < 0. Тогда уравнение (6) принимает вид

(Ли V

\Лр)

2МХМ[ тСд

■(и-а%)(и-Ь1)(и + 4).

(16)

Не ограничивая общности, будем считать, что Щ<а Поэтому области движения диполя, определяемые из условия Ф(и) ^ 0, будут иметь вид: 0 ^ и ^ Щ и а\ ^ и ^ сх). В области движение с энер-

гией 0 < В0 < т3Сд/(54М^Л1|) невозможно, так как в ней Ф(м) < 0.

Из уравнения (16) следует, что диполь, в зависимости от начальных условий, может совершать либо финитное движение в области, находящейся внутри окружности радиуса Я\ = 1/а|, либо инфинитное движение в области, находящейся вне окружности радиуса Я.2 = Пример этих типов траектории при 0 < Е0 < тъС^/{ЪШ\М1) приведен на рис. 3.

Рис. 4. Улитка Паскаля

Рис. 3. Пример траектории при О <Е0< т3С^/(5Ш21м1)

4. При Ео = 0 дискриминант 5 = 0 и уравнение (6) принимает вид

ЖХМ2 тС^

Несложно найти решение этого уравнения:

Г = - = ^[1+С08(^-Ы]> (17)

где (¿>4 — константа интегрирования, определяемая начальными условиями.

Кривая, описываемая уравнением (17), в научной литературе получила название улитки Паскаля. Типичный вид этой кривой приведен на рис. 4.

5. При Ео < 0 дискриминант В положителен, поэтому кубическое уравнение Ф(и) = 0 имеет один действительный корень щ и два комплексно сопряженных и2 = + 1>с5> Щ = Ьь~ 1сь • Согласно последнему соотношению (9), действительный корень должен быть положительным: щ = > 0. Поэтому в рассматриваемом случае уравнение (6) принимает вид

{йи\2 2МхМ2, 2чг/ , ч2 21

Из условия Ф(гг) ^ 0 следует, что при Е0 < 0 область движения диполя ограничена окружностью радиуса Я= 1/а|, причем В этой области, в зависи-

мости от начальных условий, диполь либо сразу движется к началу координат, либо сначала приблизится

240 300

270

Рис. 5. Типичный вид траектории диполя при Ео <0

к окружности радиуса Я = 1/а|, затем отразится от этой окружности и после этого начнет движение к началу координат (рис. 5).

3. Типы траекторий частицы магнитного диполя при параллельных векторах М\ и М2.

При параллельных векторах М\ и М2 выражение (8) принимает вид

2М{М2 о 2 2Е0 Ф(ы) =--и3-и2+ и

тСо тСо '

Теорема Виета в этом случае дает соотношения между корнями уравнения Ф(и) = 0, которые отличаются от соотношений (9):

тС2

их+и2 + щ = - 0 , щи2 + щи3 + и2и3 = 0,

¿М\М2 ^^

Кроме того, из выражения (4) следует, что при параллельных векторах Мх и М2 энергия (4) положительна: Ео>0. Поэтому возможны следующие три типа траекторий, соответствующие трем допустимым областям изменения значений энергии Ед.

1. При Е0 > тъС^/(ЬАМ\М1) дискриминант В положителен и уравнение Ф(и) = 0 имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня. Из последнего соотношения (18) следует, что действительный корень положителен. Так как в области движения диполя функция Ф(и) должна быть неотрицательной, то выражение (8) принимает вид

Щи) =

2MxMt jtlCq

(а\ — и)[(и — bß)2 + Cß].

Отсюда следует, что область движения диполя ограничена снизу окружностью радиуса Я= 1/а|, причем г > Д.

В этой области, в зависимости от начальных условий, диполь либо сразу движется к пространственной бесконечности, либо сначала приблизится к окружности радиуса Я= 1/а§, затем коснется этой окружности и после этого начнет удаляться от нее на пространственную бесконечность.

2. При Е0 = т3С^/(54М2М2) дискриминант 0 = 0 и уравнение Ф(гг) = 0 имеет три действительных корня, два из которых отрицательны и совпадают, а третий положителен. В этом случае функцию (8) можно представить в виде

ад =

2МХМ2

mCl

jtlCq

тС^

6МХМ2 M ШХМ2) '

Поэтому из выражения (7) несложно найти уравнение траектории

1

тС^

7 = и= тхм2

1 -3thz

2 <р-<р7

где (р7 — константа интегрирования, определяемая начальными условиями.

Из этого выражения следует, что траектория магнитного диполя начинается на пространственной бесконечности при значении угла (р, удовлетворяющем условию \\\[((р - (р1)/2\ =-1/д/З, затем с ростом полярного угла (р приближается к окружности радиуса Я = 6МхМ2/(тС^), касаясь ее при (р = (р7, и затем удаляется на пространственную бесконечность при Иг[((р—(р7)/2] = 1/л/З. Траектория диполя в этом случае имеет вид, похожий на вид траектории рис. 6, отличаясь от него величиной кривизны.

3. При 0 < Е0 < т3С$/(54М2М2) дискриминант В отрицателен и уравнение Ф(и) = 0 имеет три различных действительных корня. Из последних двух соотношений (18) следует, что один действительный корень должен быть положительным, а остальные два — отрицательными: щ = а\ > 0, и2 = — Щ <0, щ = — < 0. Поэтому в рассматриваемой области значений энергии Ео функцию Ф(и) можно представить в виде

(du\ 2МхМ2/ о w ,2w 2ч

270

Рис. 6.

Типичный

Е0 > /n3C£/(54Af jf Af|

вид траектории 3/^6 игл Л/г2 л/г2\

диполя при

Область движения диполя, определяемая из условия Ф(и) ^ 0, будет иметь вид: 0 ^ и ^ а\. В области а\ ^ и^оо движение с энергией 0 < Е0 < тъС^/(ЪАМ\М2) невозможно, так как в ней Ф(и) < 0.

Из уравнения (19) следует, что диполь может совершать только инфинитное движение в области, находящейся вне окружности радиуса R= 1 /а\. Траектория магнитного диполя при 0 < Eq < т^С^/(Ъ4М\М2) имеет вид, похожий на вид траектории рис. 6, отличаясь от него величиной кривизны.

Заключение

Проведенный анализ показал, что в зависимости от начальных условий и прежде всего от величины энергии намагниченной частицы Eq возможно ее движение по восьми типам траекторий. Поэтому обеспечивая выполнение соответствующих начальных условий, можно произвести требуемое перемещение наночастицы внешним дипольным магнитным полем в любую точку плоскости магнитного экватора.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 09-02-13540-офи-ц).

Список литературы

1. Berry M. V., Sinclar Е.С. // J. Phys. A. 1997. 30. P. 2853.

2. Berry M.V. Ц Proc. Roy. Soc. Lond. A. 1996. 452. P. 1207.

3. Берестецкий В.Б., Лифшиц ЕМ., Питаевский JI.П. Квантовая электродинамика. М., 1980.

4. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр. М., 1986.

5. Петкевич В.В. Теоретическая механика. М., 1971.

6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., 1975.

Investigation of trajectories for magnetized particle in equator plane of magnetic dipole V.I. Denisov 1 . A. V. KozarJV. F. Sharikhin3

1 Department of Quantum Theory and High Energy Physics; Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

2 Department of Photonics and Microwave Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

3 Department of General Physics, Moscow Power Institute, Moscow 111250, Russia. E-mail: a avk@phys.msu.ru.

The decision of a problem on movement magnetized nanoparticle in a plane of equator external magnetic dipole fields is received. Dependence of a kind of trajectories on energy of a particle and its orientation of the magnetic dipole is found. The received result allows to use an external magnetic field for moving magnetized nanoparticle in any point of a plane of magnetic equator.

Keywords: magnetic dipole moment, magnetic field, trajectory equation, first integrals. PACS: 41.20.Gz. Received 29 January 2010.

English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2010).

Сведения об авторах

1. Денисов Виктор Иванович — докт. физ.-мат. наук, профессор, профессор; тел.: (495) 939-18-64.

2. Козарь Анатолий Викторович — докт. физ.-мат. наук, профессор, профессор; тел.: (495) 939-55-16, e-mail: avk@phys.msu.ru.

3. Шарихин Валентин Федорович — канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент.