Исследование тепловых поцессов при ламинарном течении затопленной стесненной струи вязкой жидкости при температурных граничных условиях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 665.75

Э. В. Шамсутдинов, Ю. Г. Назмеев ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ ЗАТОПЛЕННОЙ СТЕСНЕННОЙ СТРУИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА

Представлена математическая модель и результаты численного исследования тепловых процессов при ламинарном течении плоских затопленных стесненных струй вязкой. Численные исследования проведены при линейном изменении температуры жидкости на выходе из насадки для температурных граничных условий первого рода.

Введение

Исследованию струйных течений как сжимаемой, так и несжимаемой жидкости, в научной литературе посвящено большое количество работ. Связано это с тем, что на практике весьма часто встречаются задачи струйного течения вязких жидкостей в различного рода резервуарах в условиях нестационарного теплопереноса. Весьма часто моделирование процессов теплопереноса в струйных течениях осуществляется в рамках теории ламинарного и турбулентного пограничного слоя, или моделей невязкой сжимаемой жидкости. В данной работе рассматривается процесс теплопереноса при ламинарном течении плоской стесненной струи вязкой жидкости, причем решение гидродинамической части рассматриваемой задачи базируется на использовании фундаментальной системы уравнений механики сплошной среды - уравнений движения и неразрывности.

Постановка задачи

Так как в рассматриваемой задаче насадки расположены близко друг от друга, то распространение одиночных струй, выходящих из насадок можно заменить распространением одной плоской струи, выходящей из плоскощелевой насадки. В математическом плане подобное приближение позволяет свести трёхмерную постановку задачи о теплопере-носе к двумерной постановке.

Рассматриваемая математическая модель исследования неизотермического течения ламинарного потока затопленной стесненной струи вязкой жидкости в ограниченном объеме основана на следующих допущениях:

1. нестационарность процессов теплопереноса обусловлена зависимостью от времени температуры Т пост и расхода вязкой жидкости О;

2. теплофизические свойства жидкости, плотность р, теплоёмкость Ср и теплопроводность А, меняются в ходе процесса незначительно.

3. Кинематическая вязкость жидкости V зависит от его температуры Т :

V = V (Т)

4. Объёмные силы, влияющие на процесс нестационарного теплопереноса, являются силами тяжести;

5. Основная система уравнений, описывающая процесс рассматриваемого теплообмена базируется на системе дифференциальных уравнений механики сплошных сред.

Исходную систему уравнений движения и переноса энергии, описывающая процесс теплопереноса при течении плоской затопленной свободной струи течений в декартовой системе координат (х,у^), запишем в безразмерном виде, для чего введем безразмерную

температуру 0, безразмерные компоненты u * и и * вектора скорости U , давление Р,

X

время t и независимые переменные X , z :

*max

* x * z * 3Q

X = —; Z = —; t =

8 8

4p bS

t. M . 4PbSux . M . 4PbSuz .

— t ; M * = ---- ; M * = ---- .

2 X 3Qmax Z 3Qr

<max

16pb2S2P

p = —1-j-----;

9Qmax

0

Т - Т

min

Т - Т

max

где Qmax _ максимальный расход вязкой жидкости на выходе из насадки, 8 - радиус насадки; Тmin, Tmax _ некоторые минимальная и максимальная характерная для задачи температуры, которые для граничных условий третьего рода могут быть выбраны следующим образом:

Tmin = mln{T0min-TBx rnin>TOKp min } Tmax = max{T0max-TBx max-Токр max } Токр min, Токр max - минимальное и максимальное значения функции Токр (x, t) в области x е [8, l], t е [0, Т]:

Т

окр min

min

8< x <l,0 < t < Т

Токр (x,t), Т(

окр max

max

8< x <l,0< t < Т

Токр (x,t) •

Подставив все безразмерные величины в уравнения сохранения энергии, движения и неразрывности, получим:

Э0 4Ь?1

Э0 .. Э0

— + Ux* —- + u *

x

э t

Э u

Э x

x

+ u

Э t

x

Эм * x *

Э x

z dz 3^максср

Э u

" Э f 1 Э f 1

1 *

_ Э x l Э x* J Э z l Э z* J

+ u

x

16p2b2S3gx*

z

+

4Ц

макс

b

3G

макс

Э u * z *

Э t

Э x Э u

ФцИ

+ u

x

Э x

+ u

z

4Ц

макс

b

+

3Gмакс

3u * 3u *

z

Эx

ФцИ

Э z

Э u * x *

Э x

3u * z *

Э z

Э u * z *

Э x

+

Э z

2

макс d u

ФцИ

9G

/

d р

*

Э x

+

x

d z

16p2b2S3gz*

9G

2

макс

Э р

*

Э z

+

+ ■

d z

Фц№

d u * z *

Э z

+

= 0.

d x

d z

(1)

(2)

(3)

(4)

*

*

*

*

*

*

*

*

*

где дх*, gz - компоненты вектора ускорения свободного падения, р - плотность,

(о) М-(0)

Фи =-------------, М- макс - максимальная динамическая вязкость в диапазоне температур

М- макс

*

Тмин - Т - Тмакс, 1 - время-

Гидродинамические начальные и граничные условия примут вид:

1. На АВ: считаем заданным профиль вектора скорости:

(* * \ * * * х ,1 ) при 0 < х < 1, г = 0, 0 < 1 ^

где Г (х,1) - функция, зависящая от профиля насадок и от характера изменения расхода жидкости.

2. На ВС: скорость жидкости равна нулю (граничное условие прилипания):

-*• * I * *

и = 0, при 1 < х <-, г = 0, 0 < 1 ^.

5

3. На СБ и АЕ выполняется условие симметрии течения:

/-►-«Л * | * *

(и • п) = 0, при х = 0; -, 0 < г < , 0 < 1 < 1к,

где П - нормаль к границам АЕ.

4. На БЕ примем, что:

* I * И? *

р = 0, при 0 < х <-, г = —, 0 < 1 < 1к.

5 5

Температурное начальное условие имеет вид:

(* * * \ 1*4

х ,г Д = 0 =0 0макс Ф00х ,г

/* *\ Т0(х , г ) Тмин г\

где Ф00\х ,г =-------------^-7-—1---- -----г, 00макс - максимальная безразмерная тем-

^0макс (Тмакс _ Тмин) пература в начальный момент времени.

Температурные граничные условия имеют вид:

(* * \ * * х ,1 ], при 0 < х < 1, г = 0,

(* * \ * * х , 1 I - заданная функция координаты х и времени 1 . В случае линейного закона изменения температуры она имеет вид:

х Д ) = А! ,

где А - некоторая постоянная.

2. Для граничных условий первого рода имеем следующее выражение:

1 5’

0 = К0Ф0^х ,1 /, при 1 <х < х^ = —, г = 0:

где К0 = Тгмакс Тмин , Ф0(х*,1*)= Тг(х ,(*) Тмин , Тг.макс- максимальная тем-Тмакс _ Тмин Тг.макс _ Тмин

пература стенки.

3. Тепловые граничные условия на СБ и АЕ будут следующие: Э0 - 0 при х* = 0,-, 0 < г* < ^

Эх* ’5’ " " 5

4. Тепловые граничные условия на СБ имеют вид:

*

г

Э0 * * I * И

—* = 0, при 0 < х < хк = -, г =- .

Э г к 5 5

Метод решения

Для решения гидродинамической части задачи воспользуемся методом конечных элементов (МКЭ).

Искомые переменные, такие как давление Р и составляющие Ц скорости и заменяются приближёнными выражениями:

Р(С %)= I Р(С х j )Ф ] (Й; (5)

]

и1 (Л %)= I и1 (Л х j V ] (хХ (6)

]

где % — точка области определения неизвестных переменных; % j - узлы конечных элементов; ф j (%) - базисные функции МКЭ, являющиеся полиномами заданного порядка.

Подставив (5) - (6) в систему уравнений движения и неразрывности (2) - (4), и записывая её в слабой форме с использованием метода Фаэдо-Галеркина (с учётом начальных и граничных условий) получим систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций в узлах р( ,%j), Ц( ,^). Для её решения используются стандартные методы (например, метод Рунге-Кутта).

Результаты численных исследований

кг

Расход вязкой жидкости через насадку плоскощелевую равен О = 0.1852-------------

м • с

при тепловых граничных условиях первого рода. В начальный момент времени температура жидкости Т=293К. Начиная с нулевого момента времени, температура жидкости, проходящей через насадку, возрастает по линейному закону за время 1 = 100 (1* = 6960с) (безразмерное) до значения Т = 333К . На стенке резервуара выдерживаются тепловые граничные условия первого рода 1г = 1 . Максимальная величина скорости

3О

vmax =-= 0.00144 м/с. В этом случае, определяющие параметры задачи равны

4р Ь5

Ред = 0.0098 , 1Ре1 = 0.393, РК = 492, Ре7 = 1659, К = 1, хк1 = 2. Время, выраженное в секундах, связано с безразмерным временем формулой 1* = 69.6 • 1, с.

В результате численных исследований получены изотермы при линейном изменении температуры вязкой жидкости на выходе из насадки при тепловых граничных условиях первого рода (рис. 1-3). Из представленных графиков видно, что при данном тепловом

Рис. 1 - Изотермы при линейном изменении температуры вязкой жидкости на выходе из насадки для различных моментов времени: а) 1 = 20; б) 1 = 40

Рис. 2 - Изотермы при линейном изменении температуры вязкой жидкости на выходе из насадки для различных моментов времени: а) 1 = 60; б) 1 = 80

граничном условии в начальные моменты времени наибольшие значения температур достигаются на дне резервуара, между краем насадки и границей раздела струй (рис. 1). И данная ситуация продолжается достаточно длительное время. Причем максимальные значения температур в этой области значительно выше, чем в области основного потока. И лишь при 1>80 фронт распространения теплового потока, идущего от струи догоняет фронт распространения теплоты, идущего от границы (рис. 2). Т.е. интенсивность теплопереноса в придонной области значительно выше за счет теплопроводности, по сравнению с конвективным теплообменом от струи нагретой вязкой жидкости. С течением времени фронты температур выравниваются, и в рассматриваемой области течения 0=1 (рис. 3).

Рис. 3 - Изотермы при линейном изменении температуры вязкой жидкости на выходе из насадки для различных моментов времени: а) 1 = 100; б) 1 = 150

Заключение

В результате численного исследования получены распределения полей температур при течении плоской затопленной стесненной струи при граничных тепловых условиях первого рода, позволяющие оценить характер происходящих тепловых процессов при линейном изменении температуры жидкости на выходе из насадки.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №05-08-65508, №0502-08037)

© Э. В. Шамсутдинов - канд. техн. наук, зам. дир. исследовательского центра проблем энергетики КазНЦРАН; Ю. Г. Назмеев - д-р техн. наук, чл.-корр. РАН, дир. исследовательского центра проблем энергетики КазНЦРАН.